第06讲 一次函数（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第06讲 一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的定义：形如（其中、是常数，且)的函数，叫做一次函数。 2.正比例函数的定义：当一次函数中时，函数表达式为(其中是常数，且)，此时称为正比例函数。 3.两者的关系：正比例函数是一次函数的特殊情况，即所有正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 4.自变量取值范围：一般情况下自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中，需结合实际场景确定(如时间、长度等不能为负数)。 5.概念辨析：判断一个函数是否为一次函数，需满足两个条件：①自变量的次数为1；②自变量系数(分母中不含自变量，且不含二次项)。 知识点2：一次函数的图象 1.图象形状：一次函数()的图象是一条直线，简称直线；正比例函数()的图象是经过原点的直线。 2.图象画法(两点法)： 画一次函数的图象：通常取与坐标轴的交点和，描点后连线。 画正比例函数的图象：除原点外，再取一点(如)，描点后连线。 3.图象平移规律： 上下平移：直线向上平移()个单位，得；向下平移()个单位，得(简记“上加下减常数项”)。 左右平移：直线向左平移()个单位，得；向右平移()个单位，得(简记“左加右减自变量”)。 4.特殊情况：当自变量取值范围受限时，一次函数的图象可能是线段、射线或直线上的部分点，而非完整直线。 知识点3：一次函数的性质 1.增减性(由的符号决定)： 当时，随的增大而增大(直线从左往右上升)。 当时，随的增大而减小(直线从左往右下降)。 2.图象经过的象限(由和的符号共同决定)： 、：第一、二、三象限。 、：第一、三、四象限。 、：第一、三象限(正比例函数)。 、：第一、二、四象限。 、：第二、三、四象限。 、：第二、四象限(正比例函数)。 3.直线的倾斜程度：越大，直线与轴所成锐角越大，直线越陡；越小，直线越缓。 4.两直线的位置关系(同一平面直角坐标系中)： 若：两直线相交(当时，交于轴上同一点)。 若且：两直线平行。 若且：两直线重合。 知识点4：用待定系数法求一次函数表达式 1.定义：先设出待求函数的表达式(含待定系数)，再根据已知条件列出方程(组)，求出待定系数，进而得到函数表达式的方法。 2.基本步骤： 设：正比例函数设为()；一次函数设为()。 列：将图象上点的坐标或已知、的对应值代入表达式，得到关于待定系数的方程(正比例函数需1 组 条件，一次函数需2组条件)。 解：解方程(组)，求出待定系数的值。 写：将系数代入所设表达式，写出最终函数解析式。 3.常见类型： 已知两点坐标求表达式(最基础类型)。 已知图象平移关系求表达式(利用平移规律先确定，再找一点求)。 已知函数性质(如增减性、经过的象限)求表达式(结合、的符号列条件)。 知识点5：一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程的关系： 从“数”的角度：方程的解，就是一次函数中时的值。 从“形”的角度：方程的解，是一次函数图象与轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式的关系： 不等式的解集：一次函数图象在轴上方部分对应的的取值范围。 不等式的解集：一次函数图象在轴下方部分对应的的取值范围。 3.与二元一次方程组的关系： 二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象的交点坐标(横、纵坐标分别为方程组的解)。 知识点6：一次函数的实际应用 1.解题核心：将实际问题抽象为一次函数模型，即分析题目中的数量关系，列出的表达式，再利用函数性质解决问题。 2.常见题型： 行程问题：根据路程、速度、时间的关系建模(注意分段函数，如往返、中途停留等情况)。 利润问题：利润=单价×销量-成本，结合自变量取值范围求最大/最小利润。 分段计费问题：如水费、电费、出租车费等，按不同计费标准分段列函数表达式。 调运问题：根据调运量和运费关系建模，求最低总运费。 计时/计数问题：如漏刻计时、小球反弹等，根据均匀变化规律列一次函数。 3.解题步骤：①审清题意，确定自变量和因变量； ②找出等量关系，列函数表达式； ③确定自变量取值范围； ④利用函数性质(增减性、图象)求解； ⑤检验结果是否符合实际。 知识点7：易错辨析与重点记忆 1.易错点1：忽略的条件。判断一次函数时，需同时满足“的次数为1”和“”，如不是一次函数。 2.易错点2：平移规律混淆。“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对常数项，如直线向左平移2个单位，得，而非。 3.易错点3：实际问题中忽略自变量取值范围。如利润问题中销量不能为负数，个数不能为小数。 4.易错点4：求函数表达式时漏解。当已知自变量和函数值的取值范围(如时)，需分(增函数)和(减函数)两种情况讨论。 5.重点记忆口诀： 增减性：正上升负降，增减趋势记心上。 象限判断：正正过一三二，正负过一三四；负正过一二四，负负过二三四。 待定系数法：设、列、解、写四步走，两点确定一直线。 【题型1一次函数与正比例函数的定义辨析】 方法技巧：1.紧扣定义：一次函数需满足（、为常数，），自变量次数为1； 2.正比例函数是特殊一次函数，需额外满足，即（）； 3.判断时先化简表达式，再验证是否不为0、自变量次数是否为1。 例1. （25-26八年级上·江苏连云港·月考）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，形如的函数是一次函数，据此判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 故选：． 变式1. （25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正比例函数的定义判断，正比例函数的形式为． 【详解】解：正比例函数的形式为， A．含有常数项，不是正比例函数； B．是反比例函数，不是正比例函数； C．符合形式，且，是正比例函数； D．是二次函数，不是正比例函数． 故选C． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）函数是关于的正比例函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．正比例函数的形式为，，因此函数表达式中的常数项必须为零，据此解答即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得， 解得，． 故答案为：1． 变式3. （25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【详解】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 【题型2一次函数图象的画法（两点法）】 方法技巧：1.选点原则：优先取与坐标轴交点（和），确保坐标为整数； 2.正比例函数选和两点； 3.步骤：列表→描点→连线，实际问题中需根据自变量取值范围截取线段/射线。 例2. （23-24八年级下·福建厦门·期中）画出一次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查作一次函数的图象，理解一次函数图象的性质，根据两点确定一条直线作出函数图象是解题关键． 分别求得一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，从而作出函数图象． 【详解】解：在一次函数中， 当时，； 当时，； ∴一次函数的图象与两坐标轴交于和两点， 如图： 变式1. （25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)图见解析 (2)1 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， 作出一次函数图象如下： （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 变式2. （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 【答案】(1)见解析；见解析 (2)不在 【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象． （1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象； （2）求出当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：时，， 解得：， 时，， 时，， 补充表格如下： x … 0 1 … … 0 4 6 … 画出函数图象如下． （2）解：当时，， ∴点 不在函数图象上． 故答案为：不在 变式3. （25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； (3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分别求出直线与x轴和轴的交点，画出函数图象，根据函数图象直接得出结论； （2）设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论； （3）先求出、两点坐标，把点和点坐标分别代入计算出对应的的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定的范围． 【详解】（1）解： 函数图象如图所示： ， ∴观察图象，当时，的取值范围为． （2）∵设平移后的函数表达式为， 将代入得：， ∴． ∴平移后的直线函数表达式为． （3）∵一次函数与、轴分别交于、两点， ∴当时，，即, 当时，，即． ∵把代入，即， 把代入，不成立， 又∵的图象恒过，在上方， ∴的图象与线段AB有交点时，的取值范围为． 【题型3一次函数图象与系数、的关系判断】 方法技巧：1.定增减性：时随增大而增大，时随增大而减小； 2.定与轴交点：交正半轴，交负半轴，过原点； 3.象限判断：结合、符号，用口诀辅助“正左升右降，负左降右升，定上下，象限全明”。 例3. （25-26八年级上·广东深圳·期中）若函数经过点，则 ，且该函数是 函数． 【答案】 正比例 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，求解函数解析式，将点代入函数解析式，建立方程求解；再根据函数形式判断函数类型即可． 【详解】解：∵ 函数经过点， ∴， 解得：； 函数是正比例函数． 故答案为 ；正比例． 变式1. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与其系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 变式2. （25-26八年级上·陕西西安·月考）在直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，一致，故A符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故B不符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故C不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故D不合题意； 故选：A． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 【题型4用待定系数法求一次函数表达式】 方法技巧：1.设表达式：正比例函数设，一次函数设； 2.代点列方程：正比例函数需1组点坐标，一次函数需2组点坐标； 3.求解：解一元一次方程或二元一次方程组，代入原式得表达式。 例4. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意设，则，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答； （2）根据（1）中的结论，把代入计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）解：当时，． 变式1. （25-26八年级上·浙江温州·月考）已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，以及求函数值． （1）先设一次函数表达式，根据给定条件列方程组求解系数，即可求解函数表达式； （2）将代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：当时，． ∴的值为． 变式2. （25-26八年级上·安徽亳州·月考）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 3 (1)求该一次函数的表达式； (2)求该一次函数的图象与轴和轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)该一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定及函数与坐标轴交点的求解，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式以及求函数与坐标轴交点的方法是解题的关键； （1）已知一次函数（）的两组与的对应值，将其代入函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组就能求出和的值，进而确定一次函数表达式； （2）求函数图象与轴交点，就是令，代入一次函数表达式求出对应的值；求与轴交点，就是令，代入求出对应的值，从而得到交点坐标． 【详解】（1）解：把，和，代入中，得 ，解得 该一次函数的表达式为； （2）解：当时，，解得， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为， 当时，， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 变式3. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． (1)m的值为_______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)3 【分析】（1）由直线：过点，代入即可求解； （2）由直线：过点，点，用待定系数法求解析式即可； （3）由直线：可求出点，利用三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：直线：过点， ， ． （2）解：直线：过点，点， ，解得， ． （3）解：当时，， ，， ． 【点睛】本题考查了一次函数用待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型5一次函数与坐标轴的交点问题】 方法技巧：1.求与轴交点：令，解方程，得横坐标，交点为； 2.求与轴交点：令，得，交点为； 3.注意：交点坐标是求面积、平移的基础。 例5. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟知一次函数图像与轴的交点的性质是解答本题的关键． 求一次函数图象与轴的交点坐标，需令纵坐标，解方程求横坐标即可． 【详解】解：令，代入函数解析式， 得， 解得， ∴图象与轴交点坐标为． 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·广西贺州·期中）方程的解就是函数的图象与（    ） A．轴交点的横坐标 B．轴交点的横坐标 C．轴交点的纵坐标 D．轴交点的纵坐标 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与轴交点问题，由方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标，因为当时，的值即为方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与轴交点时，， ∴令，得，解得， ∴方程的解是函数图象与轴交点的横坐标， 故选：． 变式2. （25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合，即可求解； （3）由于直线过定点，代入点的坐标，即可求得，若直线与的三边有两个公共点，根据图象即可得到． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 点的坐标为 把，点坐标代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）在中，； 当时，， ， ， ， ， ， 点在轴上， ， ， ， 或； （3）直线经过点， 把点的坐标代入得，， 解得， 若直线与的三边有两个公共点，则，即 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． 变式3. （25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【题型6一次函数图象的平移问题】 方法技巧：1.核心规律：上加下减常数项，左加右减自变量； 2.上下平移：向上平移个单位得，向下平移个单位得； 3.左右平移：向左平移个单位得，向右平移个单位得。 例6. （2024·广东江门·二模）一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”是解答本题的关键． 根据函数图象平移规则，沿y轴向下平移时，函数解析式中的常数项减少平移单位数． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向下平移2个单位， 那么所得图象的函数解析式是． 故选：C． 变式1. （24-25八年级下·云南红河·期末）把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律，上加下减，左加右减． 根据一次函数图像的平移规律作答即可． 【详解】解：把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 故选：D． 变式2. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知时，直线的图象在轴上方，那么当时，x的范围是； 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为． 故答案为：． 变式3. （25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； (3)在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一次函数定义得出，又因为一次函数经过原点，把原点坐标代入，由此即可求解； （2）因为两条直线，则比例系数相等，由此即可求解； （3）根据函数图象平移规律“上加下减”，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴把代入一次函数中得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的值为； （2）解：∵函数图象平行于直线， ∴， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； （3）解：在（1）的条件下，， ∴原函数解析式为：， ∵将函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的直线解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两条直线平行，一次函数的性质和平移规律等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型7一次函数函数值的大小比较】 方法技巧：1.直接代入法：将自变量值代入表达式，计算后比较； 2.增减性法：由符号判断增减性，结合自变量大小比较函数值； 3.图象法：在图象上找到对应点，横坐标越大，点越靠右，根据升降性判断函数值大小。 例7. （25-26八年级上·广东深圳·期中）若点都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 通过直接计算函数值比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在一次函数上， ∴， ∴． 故选A． 变式1. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)确定这个一次函数表达式； (2)若点，在这个一次函数的图象上，试比较y1与y2的大小． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴， 又∵一次函数的图象过点， ∴， ∴这个一次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵， ∴． 变式2. （25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且 ∴． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可判断求解； （）方法一：利用一次函数的性质解答即可；方法二：求出，再利用作差法比较即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：点不在这个函数图像上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个函数图像上； （3）解：方法一：∵， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴； 方法二：当时，；当时，， ∵， ∴． 【题型8一次函数与几何图形的面积问题】 方法技巧：1.与坐标轴围成三角形：面积； 2.不规则图形：用“割补法”转化为三角形/矩形，利用交点坐标求边长； 3.动点面积：设动点坐标，根据面积公式列方程，注意绝对值符号（避免负面积）。 例8. （25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B可知，点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入一次函数表达式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解计算即可； （3）根据的长为点的横坐标的绝对值，的长为点的纵坐标的绝对值，利用直角三角形面积公式进行求解计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一次函数 当时，， 则点的坐标为； 当时，， 解得， 则点的坐标为 答：A，B两点的坐标为、； （2）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则 答：线段的长为； （3）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则、, 因此，直线与坐标轴围成的的面积为：． 答：直线与坐标轴围成的的面积为． 变式1. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）函数的图象不经过第 象限，它与轴的交点坐标是 ，它与轴的交点坐标是 ，与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】 二 9 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，直线经过的象限，直线与坐标轴的交点坐标以及围成三角形的面积等，解题的关键是掌握一次函数的性质． 通过一次函数的比例系数和与轴的交点坐标判断图象所经象限； 令求与x轴交点； 令求与y轴交点； 利用交点坐标计算直角三角形面积． 【详解】解：函数是一次函数，比例系数，随的增大而增大，且与轴的交点坐标为， ∴直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限， 故答案为：二； 当时，， 解得， ∴与轴的交点坐标是， 故答案为：； 当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故答案为：； 直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两直角边长度分别为6和3， ∴三角形面积为， 故答案为：9； 变式2. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)关于y轴对称图形为，画出的图形，并写出，，三点的坐标； （____，____），（____，_____），（_____，_____）； (2)计算的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并直接写出点的坐标：P（_____，____）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可．由图可得答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接交y轴于点P，点P即为所求，求出直线的解析式，求其与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知 故答案为：； （2）解：； （3）如图，点P即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 即， 当时，， 即． 故答案为：． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组、的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）过点作轴的垂线交轴于点，根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的2倍，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式，再分三种情况、结合一次函数的性质与等腰直角三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． （2）令，则， ， ，且点在轴正半轴上， ， ， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， 点的坐标为． （3）由在、在，且轴， 设直线的表达式为， 将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． 设，， ∵轴，且N在上， ∴将代入，得， 解得， ∴点N的坐标是， ∴ ①如图，当点M为直角顶点时，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标是； ②当点N为直角顶点时，如图，且， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标是； ③当点N为直角顶点时，如图，且， 作于点Q，则为的中点，且， ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为， 点坐标为：； 综上，点P的坐标是或或． 【题型9一次函数与方程、不等式的综合应用】 方法技巧：1.与方程关系：的解是函数图象与轴交点的横坐标； 2.与不等式关系：的解集是图象在轴上方的取值，对应下方； 3.两函数不等式：的解集是在上方的取值。 例9. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，结合图象可得其解集为满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意得，满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值， ， 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与方程（组），不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解即可得到交点的坐标； （2）不等式的解集为直线在直线下方时对应的x的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴直线和直线交点A的坐标为． （2）解：由图象可得，不等式的解集为． 变式2. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，表示在x轴的上方，且的图象在的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解． 【详解】解：根据图象可得，，则x的取值范围是：． 故答案为：． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x …           0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 m 5 … (1)补全表格： ； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时， ；当时， ， ②下列说法正确的个数是（  ） （i）变量x是变量y的函数；（ii）每增加，就减小 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2 C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若一次函数的图象与的图象有两个交点，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，或；②B (4)且 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）在中，当时，代入即可得到答案． （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可． （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可． （4）先确定直线恒过点，根据一次函数的图象与的图象有两个交点, 画出图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，则， 故． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：，或； ②（i）变量不是变量的函数，原说法错误； （ii）当时，每增加，就增加，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵一次函数的图象与的图象有两个交点， 当平行于中一支时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 因为是一次函数，所以， 故答案为：且． 【题型10一次函数的实际应用（行程、计费问题）】 方法技巧：1.建模步骤：审题→找等量关系→设变量→列一次函数表达式； 2.行程问题：重点关注速度、时间、路程的关系，图象横轴为时间，纵轴为路程； 3.分段计费问题：根据计费标准划分区间，分别列表达式，结合费用求用量或反之。 例10. （25-26八年级上·甘肃张掖·月考）甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 【答案】(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 变式1. （25-26八年级上·山东济南·月考）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个 (2)购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用． （1）分别设购进这两款玩具的个数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据所获利的利润款玩具的利润款玩具的利润计算即可； ②根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时w值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设购进 A 款玩具 x 个，购进 B 款玩具 y 个 根据题意，得， 解得， 答：购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个； （2）解：①第二次购进 B 款玩具个， 则， ∴w 关于a 的函数表达式为； ②由①得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵且 a为整数， ∴时，w最大，为元， （个）． 答：购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元． 变式2. （25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的表达式，是解题的关键． （1）设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元，根据购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设应购买个“冰墩墩”， 投入资金是元．根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解，根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，设计可行方案进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意，得，解得． ∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元； （2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元． 根据题意，得，即． ∵， ∴随的增大而减小． 又∵，解得， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴． ∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元． 变式3. （25-26八年级上·四川成都·期中）在校运动会无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，无人机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)，_______； (2)分别求出线段，对应的函数表达式；（请写出自变量的取值范围） (3)当两架无人机之间的高度差为米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时的取值． 【答案】(1)，； (2)对应的函数表达式为 ，对应的函数表达式为 ； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据图象即可求解； （2）利用待定系数法求出解析式即可； （3）根据两架无人机之间的高度差为米，结合（2）的解析式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，甲飞行秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ）， 故答案为：，； （2）解：设对应的函数表达式为， 把， ， 代入得：，            解得， ∴对应的函数表达式为 ； 设对应的函数表达式为 ， ∵乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米， ∴图象过， ∴， 解得， ，令，得， ∴对应的函数表达式为 ； （3）解：对于，令，得， 当 时，甲的高度为， 此时两无人机高度差为米， 当甲比乙高米时， ， 解得：， 当乙比甲高米时， 解得：， ∴能形成这种表演效果时的取值为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于x的一元一次方程的解就是一次函数当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：由图知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图像．熟悉正比例函数的图像和性质是解题的关键．正比例函数的图像和性质：对于，当时，函数图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图像经过第一、三象限，随的增大而增大；并且越大，函数图像越陡． 【详解】解：∵正比例函数①、②的图像经过一、三象限，正比例函数③的图像经过二、四象限， ∴，，， ∵越大，正比例函数图像越陡， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由直线为，则令，则，可得与x轴相交于点，故可判断A；根据两条直线平行，可得与直线平行的直线，故可判断B；依据题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故可判断C；依据题意，由直线为，，则y随x的增大而增大，结合一次函数的性质即可判断D． 【详解】解：∵直线为， ∴令，则，可得与x轴相交于点，故A错误； 根据两条直线平行，可得与直线平行的直线的，故B错误； 由题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故C错误； ∵直线为，， ∴y随x的增大而增大． ∵点在上，且， ∴，则D正确． 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西·期末）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解，根据一次函数的图像与轴的交点坐标为，故的解为，即可作答． 【详解】解：∵直线的图象经过点， 则， ∴的解为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）当时，函数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据的，得出y随x的增大而减小，又结合，故把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，的， ∴y随x的增大而减小， 依题意，把代入得， 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，使用待定系数法，设正比例函数为，将点代入求解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴这个正比例函数的表达式是， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点， 把代入， ∴， ∴， ∴， 二元一次方程组的解是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示与x间的函数关系． (1)甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元； (2)当时，求与x的函数表达式； (3)游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 【答案】(1)60，30 (2) (3)采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 【分析】本题考查一次函数的应用、求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据函数图象和图象中的数据即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图象可得，再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：（元/千克）． 故答案为：60，30． （2）解：当时，设与x的函数表达式是， ，得， 所以，当时，与x的函数表达式是； （3）解：由题意可得，， 当时，令，得； 当时，令，得． 答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 12．（25-26八年级上·陕西西安·月考）为丰富“班级读书角”，小丽计划分两次购入两种图书．第一次分别购进A种图书40本和B种图书20本，共花费800元；第二次分别购进A种图书15本和B种图书10本，共花费325元（两次同种图书单价相同）． (1)A、B两种图书每本的价格各是多少元？ (2)若读书角要购买A、B两种图书共30本，其中购买A种图书m本，且，请你给出一种总费用最省的方案，并计算该方案的费用． 【答案】(1)A种图书每本15元，B种图书每本10元 (2)购买A种图书12本，B种图书18本时最省钱，此时的费用为360元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购进A种图书40本和B种图书20本，共花费800元；购进A种图书15本和B种图书10本，共花费325元建立方程组求解即可； （2）设总费用为w元，分别求出A种图书和B种图书的费用，二者求和可表示出w，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元， 由题意得，， 解得， 答：A种图书每本15元，B种图书每本10元； （2）解：设总费用为w元， 由题意得，购买B种图书， 则， ∵，且， ∴当时，w随m的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时， 答：购买A种图书12本，B种图书18本时最省钱，此时的费用为360元． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入（1）中所求解析式，进行求解即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， 则与的函数关系式是， 即； （2）把点代入得：， 解得：； （3）由“上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 平移后的图象与轴的交点的坐标为． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 【答案】(1) (2)作图见详解， (3) 【分析】本题考查图形与坐标、网格中作轴对称图形、动点最值问题、三角形三边关系、待定系数法求函数表达式、求直线与坐标轴的交点坐标等知识，数形结合，掌握网格中点的坐标的写法、点的对称及待定系数法求一次函数表达式是解决问题的关键． （1）数形结合，直接由网格中点的位置得到顶点三点的坐标； （2）在图中画出的三个顶点关于轴对称的点，连接三个顶点即可得到，数形结合，直接由网格中点的位置得到其坐标； （3）在（2）的基础上，连接，当轴上的动点在线段上时，的值最小，为线段的长，利用待定系数法求出直线的表达式，将代入表达式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： 即为所求，则点的坐标为； （3）解：如图所示： 点与点关于轴对称， ， 则， 在中，由三角形三边关系可知，， 当轴上的动点在线段上时，的值最小，为线段的长， ，， 设， 将，代入得： ，解得， ， 是轴上的点，即点的横坐标为， 当时，，即的坐标是， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一次函数与正比例函数的概念 1.一次函数的定义：形如（其中、是常数，且)的函数，叫做一次函数。 2.正比例函数的定义：当一次函数中时，函数表达式为(其中是常数，且)，此时称为正比例函数。 3.两者的关系：正比例函数是一次函数的特殊情况，即所有正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 4.自变量取值范围：一般情况下自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中，需结合实际场景确定(如时间、长度等不能为负数)。 5.概念辨析：判断一个函数是否为一次函数，需满足两个条件：①自变量的次数为1；②自变量系数(分母中不含自变量，且不含二次项)。 知识点2：一次函数的图象 1.图象形状：一次函数()的图象是一条直线，简称直线；正比例函数()的图象是经过原点的直线。 2.图象画法(两点法)： 画一次函数的图象：通常取与坐标轴的交点和，描点后连线。 画正比例函数的图象：除原点外，再取一点(如)，描点后连线。 3.图象平移规律： 上下平移：直线向上平移()个单位，得；向下平移()个单位，得(简记“上加下减常数项”)。 左右平移：直线向左平移()个单位，得；向右平移()个单位，得(简记“左加右减自变量”)。 4.特殊情况：当自变量取值范围受限时，一次函数的图象可能是线段、射线或直线上的部分点，而非完整直线。 知识点3：一次函数的性质 1.增减性(由的符号决定)： 当时，随的增大而增大(直线从左往右上升)。 当时，随的增大而减小(直线从左往右下降)。 2.图象经过的象限(由和的符号共同决定)： 、：第一、二、三象限。 、：第一、三、四象限。 、：第一、三象限(正比例函数)。 、：第一、二、四象限。 、：第二、三、四象限。 、：第二、四象限(正比例函数)。 3.直线的倾斜程度：越大，直线与轴所成锐角越大，直线越陡；越小，直线越缓。 4.两直线的位置关系(同一平面直角坐标系中)： 若：两直线相交(当时，交于轴上同一点)。 若且：两直线平行。 若且：两直线重合。 知识点4：用待定系数法求一次函数表达式 1.定义：先设出待求函数的表达式(含待定系数)，再根据已知条件列出方程(组)，求出待定系数，进而得到函数表达式的方法。 2.基本步骤： 设：正比例函数设为()；一次函数设为()。 列：将图象上点的坐标或已知、的对应值代入表达式，得到关于待定系数的方程(正比例函数需1 组 条件，一次函数需2组条件)。 解：解方程(组)，求出待定系数的值。 写：将系数代入所设表达式，写出最终函数解析式。 3.常见类型： 已知两点坐标求表达式(最基础类型)。 已知图象平移关系求表达式(利用平移规律先确定，再找一点求)。 已知函数性质(如增减性、经过的象限)求表达式(结合、的符号列条件)。 知识点5：一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程的关系： 从“数”的角度：方程的解，就是一次函数中时的值。 从“形”的角度：方程的解，是一次函数图象与轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式的关系： 不等式的解集：一次函数图象在轴上方部分对应的的取值范围。 不等式的解集：一次函数图象在轴下方部分对应的的取值范围。 3.与二元一次方程组的关系： 二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象的交点坐标(横、纵坐标分别为方程组的解)。 知识点6：一次函数的实际应用 1.解题核心：将实际问题抽象为一次函数模型，即分析题目中的数量关系，列出的表达式，再利用函数性质解决问题。 2.常见题型： 行程问题：根据路程、速度、时间的关系建模(注意分段函数，如往返、中途停留等情况)。 利润问题：利润=单价×销量-成本，结合自变量取值范围求最大/最小利润。 分段计费问题：如水费、电费、出租车费等，按不同计费标准分段列函数表达式。 调运问题：根据调运量和运费关系建模，求最低总运费。 计时/计数问题：如漏刻计时、小球反弹等，根据均匀变化规律列一次函数。 3.解题步骤：①审清题意，确定自变量和因变量； ②找出等量关系，列函数表达式； ③确定自变量取值范围； ④利用函数性质(增减性、图象)求解； ⑤检验结果是否符合实际。 知识点7：易错辨析与重点记忆 1.易错点1：忽略的条件。判断一次函数时，需同时满足“的次数为1”和“”，如不是一次函数。 2.易错点2：平移规律混淆。“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对常数项，如直线向左平移2个单位，得，而非。 3.易错点3：实际问题中忽略自变量取值范围。如利润问题中销量不能为负数，个数不能为小数。 4.易错点4：求函数表达式时漏解。当已知自变量和函数值的取值范围(如时)，需分(增函数)和(减函数)两种情况讨论。 5.重点记忆口诀： 增减性：正上升负降，增减趋势记心上。 象限判断：正正过一三二，正负过一三四；负正过一二四，负负过二三四。 待定系数法：设、列、解、写四步走，两点确定一直线。 【题型1一次函数与正比例函数的定义辨析】 方法技巧：1.紧扣定义：一次函数需满足（、为常数，），自变量次数为1； 2.正比例函数是特殊一次函数，需额外满足，即（）； 3.判断时先化简表达式，再验证是否不为0、自变量次数是否为1。 例1. （25-26八年级上·江苏连云港·月考）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1. （25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（） A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）函数是关于的正比例函数，则的值为 ． 变式3. （25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【题型2一次函数图象的画法（两点法）】 方法技巧：1.选点原则：优先取与坐标轴交点（和），确保坐标为整数； 2.正比例函数选和两点； 3.步骤：列表→描点→连线，实际问题中需根据自变量取值范围截取线段/射线。 例2. （23-24八年级下·福建厦门·期中）画出一次函数的图象． 变式1. （25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 变式2. （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 变式3. （25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； (3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________． 【题型3一次函数图象与系数、的关系判断】 方法技巧：1.定增减性：时随增大而增大，时随增大而减小； 2.定与轴交点：交正半轴，交负半轴，过原点； 3.象限判断：结合、符号，用口诀辅助“正左升右降，负左降右升，定上下，象限全明”。 例3. （25-26八年级上·广东深圳·期中）若函数经过点，则 ，且该函数是 函数． 变式1. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·陕西西安·月考）在直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【题型4用待定系数法求一次函数表达式】 方法技巧：1.设表达式：正比例函数设，一次函数设； 2.代点列方程：正比例函数需1组点坐标，一次函数需2组点坐标； 3.求解：解一元一次方程或二元一次方程组，代入原式得表达式。 例4. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 变式1. （25-26八年级上·浙江温州·月考）已知是关于的一次函数，当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的值． 变式2. （25-26八年级上·安徽亳州·月考）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 3 (1)求该一次函数的表达式； (2)求该一次函数的图象与轴和轴的交点坐标． 变式3. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． (1)m的值为_______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【题型5一次函数与坐标轴的交点问题】 方法技巧：1.求与轴交点：令，解方程，得横坐标，交点为； 2.求与轴交点：令，得，交点为； 3.注意：交点坐标是求面积、平移的基础。 例5. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 变式1. （25-26八年级上·广西贺州·期中）方程的解就是函数的图象与（    ） A．轴交点的横坐标 B．轴交点的横坐标 C．轴交点的纵坐标 D．轴交点的纵坐标 变式2. （25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 变式3. （25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【题型6一次函数图象的平移问题】 方法技巧：1.核心规律：上加下减常数项，左加右减自变量； 2.上下平移：向上平移个单位得，向下平移个单位得； 3.左右平移：向左平移个单位得，向右平移个单位得。 例6. （2024·广东江门·二模）一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 变式1. （24-25八年级下·云南红河·期末）把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 变式3. （25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； (3)在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【题型7一次函数函数值的大小比较】 方法技巧：1.直接代入法：将自变量值代入表达式，计算后比较； 2.增减性法：由符号判断增减性，结合自变量大小比较函数值； 3.图象法：在图象上找到对应点，横坐标越大，点越靠右，根据升降性判断函数值大小。 例7. （25-26八年级上·广东深圳·期中）若点都在一次函数的图象上，则和的大小是（   ） A． B． C． D．不能确定 变式1. （24-25八年级下·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)确定这个一次函数表达式； (2)若点，在这个一次函数的图象上，试比较y1与y2的大小． 变式2. （25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【题型8一次函数与几何图形的面积问题】 方法技巧：1.与坐标轴围成三角形：面积； 2.不规则图形：用“割补法”转化为三角形/矩形，利用交点坐标求边长； 3.动点面积：设动点坐标，根据面积公式列方程，注意绝对值符号（避免负面积）。 例8. （25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 变式1. （25-26八年级上·江苏徐州·月考）函数的图象不经过第 象限，它与轴的交点坐标是 ，它与轴的交点坐标是 ，与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 变式2. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)关于y轴对称图形为，画出的图形，并写出，，三点的坐标； （____，____），（____，_____），（_____，_____）； (2)计算的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并直接写出点的坐标：P（_____，____）． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 【题型9一次函数与方程、不等式的综合应用】 方法技巧：1.与方程关系：的解是函数图象与轴交点的横坐标； 2.与不等式关系：的解集是图象在轴上方的取值，对应下方； 3.两函数不等式：的解集是在上方的取值。 例9. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 变式1. （25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； 变式2. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 变式3. （25-26八年级上·江苏泰州·月考）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x …           0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 m 5 … (1)补全表格： ； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时， ；当时， ， ②下列说法正确的个数是（  ） （i）变量x是变量y的函数；（ii）每增加，就减小 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2 C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若一次函数的图象与的图象有两个交点，直接写出实数的取值范围． 【题型10一次函数的实际应用（行程、计费问题）】 方法技巧：1.建模步骤：审题→找等量关系→设变量→列一次函数表达式； 2.行程问题：重点关注速度、时间、路程的关系，图象横轴为时间，纵轴为路程； 3.分段计费问题：根据计费标准划分区间，分别列表达式，结合费用求用量或反之。 例10. （25-26八年级上·甘肃张掖·月考）甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 变式1. （25-26八年级上·山东济南·月考）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 变式2. （25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 变式3. （25-26八年级上·四川成都·期中）在校运动会无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，无人机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)，_______； (2)分别求出线段，对应的函数表达式；（请写出自变量的取值范围） (3)当两架无人机之间的高度差为米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时的取值． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西·期末）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为 ． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）当时，函数的最大值为 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示与x间的函数关系． (1)甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元； (2)当时，求与x的函数表达式； (3)游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 12．（25-26八年级上·陕西西安·月考）为丰富“班级读书角”，小丽计划分两次购入两种图书．第一次分别购进A种图书40本和B种图书20本，共花费800元；第二次分别购进A种图书15本和B种图书10本，共花费325元（两次同种图书单价相同）． (1)A、B两种图书每本的价格各是多少元？ (2)若读书角要购买A、B两种图书共30本，其中购买A种图书m本，且，请你给出一种总费用最省的方案，并计算该方案的费用． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $