1.2 等腰三角形 (第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质)（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形和等边三角形性质，通过建筑工人用等腰三角板检测房梁水平的现实问题导入，关联七下“轴对称”中“三线合一”旧知，借助折叠直观回顾与作中线、角平分线的逻辑证明，搭建从几何直观到演绎推理的学习支架。 其特色在于以问题链驱动探究，如通过作辅助线证明“等边对等角”“三线合一”及等边三角形内角性质，发展推理能力。结合方程思想求解多等腰三角形角度的典例与变式训练，强化应用意识。课堂小结结构化呈现性质，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与实践能力。

2.等腰三角形 第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。 掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。 应用等腰三角形的性质解决实际问题。 情景引入 问题：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，在顶点处系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中体现了什么数学原理吗? 思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？ 七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”. 情景引入 等腰三角形的相关概念你还记得吗？ A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？ 新知探究 探究：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？ 新知探究 已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B = ∠C. A B C D 证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。 求证：∠B =∠C。 A B C 证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的角平分线AD。 ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）。 ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 方法二 D 新知探究 思考交流 由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ A B C 猜测：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 新知探究 A B C D 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线。 求证：点D是BC的中点，AD⊥BC。 证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）。 ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应边相等、对应角相等）， ∴点D是BC的中点。 又∵点B，D，C在同一条直线上， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC。 新知探究 定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 几何语言： 在△ABC中，AB=AC。 (1)∵∠1=∠2， ∴AD⊥BC，BD=CD。 (2)∵AD⊥BC ， ∴∠1=∠2，BD=CD。 (3)∵BD=CD ， ∴∠1=∠2，AD⊥BC 。 A B C D 1 2 注意：对腰上的高、中线、底角的平分线一般不重合 典例分析 方法技巧 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. A B C D 例1.如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求△ABC 各角的度数. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x， 于是在 △ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°，在△ABC 中， ∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 新知探究 尝试交流 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流。 A B C 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理呢？ 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. A C B 证明：在△ABC 中， ∵ AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠B. 又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 新知探究 归纳总结 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合。 典例分析 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F. (1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数； (2)求证：EF＝ED. 解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠BAC)＝ (180°－50°) ＝65°. 典例分析 (2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED. 课堂小结 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 A B C D 1 2 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 A B C 变式训练 1.如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在直线a，b上，且a // b。若∠2=80°，则∠1的度数为( ) A.20° B.30° C.40° D.45° A 变式训练 2.△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，DF⊥AC 于 F，DE ⊥ AB 于 E . 求证：DE＝ DF. A B C D 证明：连接 AD， ∵AB＝ AC，BD＝ DC（已知） ∴AD 是∠BAC 的平分线. （等腰三角形三线合一） 又∵DE⊥AB DF⊥AC， ∴DE＝ DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. 感谢聆听! $