精品解析：黑龙江省大兴安岭地区呼中区碧水呼源两校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题（9） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列整式运算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列汉字中，属于轴对称图形是（ ） A. 中 B. 水 C. 动 D. 转 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 4，5，6 D. 5，5，11 4. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ） A. 10 B. 9 C. 45 D. 90 6. 若分式方程无解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 8. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，，是边上的中线，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，于D，E是线段AD上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时， ．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 12. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是______．（写出一个即可） 13. 若，则x的值为_______． 14. 已知，，则的值为_____． 15. 若ab=1,则值为________. 16. 若的乘积中不含x的一次项，则m的值为_____． 17. 如图，是的边上任意一点，是线段上一点且，是线段的中点，若的面积为，则的面积为_____． 18. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 19. 在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为_______． 20. 如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1） （2） 23. 先化简，再求值： ，其中． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积为______； （3）若平面直角坐标系中存在点，使（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 25. 在边长为4的等边三角形中，点在射线上（不与点，重合），连接，并在其右侧作，使，连接． （1）当点在边上（如图时，填空：与的位置关系是 　 　；与的数量关系是 　 　； （2）当点在边的延长线上（如图时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请结合图2情形进行证明；若不成立，请说明理由； （3）当，请直接写出线段长． 26. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，满足． （1）如图，求和的值； （2）在轴上是否存在点，使是以为腰等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，请直接写出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题（9） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，合并同类项，积的乘方运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除、幂的乘方、合并同类项相关运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列汉字中，属于轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 水 C. 动 D. 转 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：汉字“中”字可以沿垂直中线对折，左右部分完全重合，则“中”是轴对称图形；其他选项“水”、“动”、“转”均无对称轴，不是轴对称图形． 故选A． 3. 下列长度三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 4，5，6 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系， 直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； C．∵，∴能构成三角形，故该选项符合题意； D．∵，∴不能构成三角形．故该选项符合题意； 故选：C． 4. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 5. 不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ） A. 10 B. 9 C. 45 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】不改变分式的值，又要使分式中的各项系数全部化为整数，考虑到分式的分子、分母中各项系数均为分数，可分两步进行思考．分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 【详解】因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 故选D． 【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 6. 若分式方程无解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解：先将分式方程化简，利用分母关系合并分式，然后求解方程，当解为增根（分母为零）时方程无解． 【详解】解： ， ∴． 当解为增根时，方程无解，即， ∴，解得． 故选：A． 7. 如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算即可； 【详解】过点作， 平分，， ， ， ． 故选． 8. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，且甲、乙每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件．利用时间相等关系列方程． 【详解】解：∵ 甲做360个零件的时间为 ， 乙做480个零件的时间为 ， ∵时间相等， ∴ ， 即选项B正确． 故选：B 9. 如图，在等腰中，，，是边上的中线，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．根据等腰三角形的性质易知，根据含度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：，，是边上的中线， ，，平分， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，，于D，E是线段AD上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时， ．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可以判断①③正确，根据三角形的内角和是，结合角之间的关系判断②④即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ∵， ， 因此①正确； 连接，如图所示： ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 因此②正确； 是等边三角形， ， ， ，即， ， ， 因此③正确； 当时，， ， ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上，正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据可用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以______．（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：（或）． 13. 若，则x的值为_______． 【答案】或1或0 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 14. 已知，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的方法和整体代入思想是解题的关键．先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 详解】解：． 故答案为：． 15. 若ab=1,则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】先通分化简，再把ab=1代入即可. 【详解】====1. 【点睛】此题主要考查分式的计算. 16. 若的乘积中不含x的一次项，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先展开多项式，合并同类项，令x一次项的系数为零，进行求解即可． 【详解】解：． ∵乘积不含x的一次项， ∴，解得． 故答案为：2． 17. 如图，是的边上任意一点，是线段上一点且，是线段的中点，若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，解题的关键是掌握三角形的中线性质．根据，则，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比，得，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 在中，，过点A的一条直线将该三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．分两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数可以是或． 故答案为： 或． 20. 如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，…进而发现规律是解题关键． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，熟练掌握整式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． （1）先进行单项式乘以多项式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可得解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可得解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 当时，， 所以是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 当时，， 所以原分式方程无解． 23. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的四则混和运算法则先化简分式即可求解． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值．正确化简分式是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积为______； （3）若平面直角坐标系中存在点，使（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，轴对称变换，全等三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称的性质，确定、、关于轴对称的点、、，再顺次连接即可； （2）用所在矩形的面积减去周围三角形面积即可； （3）根据全等的性质，点关于的对称点，根据直角坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：若（点与点不重合），则，， 如图所示，利用网格找点关于的对称点即可，此时点的坐标为． 25. 在边长为4的等边三角形中，点在射线上（不与点，重合），连接，并在其右侧作，使，连接． （1）当点在边上（如图时，填空：与位置关系是 　 　；与的数量关系是 　 　； （2）当点在边的延长线上（如图时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请结合图2情形进行证明；若不成立，请说明理由； （3）当，请直接写出线段的长． 【答案】（1）平行，相等 （2）（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析 （3）2或8 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （3）过点作，交于点．证出是等边三角形即可得结论． 【小问1详解】 如图1中，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：平行，相等； 【小问2详解】 （1）中的两个结论仍然成立， 如图2，，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ； 【小问3详解】 当点在线段上，如图3中， 是等边三角形， ， 把线段绕点顺时针旋转，得到线段， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）， ，， ； 当点在线段的延长线上，如图4中， 是等边三角形， ， 把线段绕点顺时针旋转，得到线段， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）， ，， ， ； ∴线段的长2或8． 26. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】（1）甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 （2）有三种购买方案 （3） 【解析】 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【小问1详解】 解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． 【小问2详解】 解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． 【小问3详解】 解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，满足． （1）如图，求和的值； （2）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，请直接写出这个定值． 【答案】（1）， （2）存在，点的坐标为或或 （3）的大小不发生变化， 【解析】 【分析】（1）先将已知式子利用完全平方公式进行变形，然后根据完全平方式的非负性，即可求出、的值； （2）先由勾股定理求出的长，设点的坐标，则，，分：当时和当时，两种情况讨论，列式解方程求解即可； （3）过点作，交于点，通过证明， 得到， 从而证得是等腰直角三角形，即可得解 ． 【小问1详解】 解：， ，即， ，， ，， ，； 【小问2详解】 解：，，，， ，， ，， ， 设点的坐标，则，， 当时，则有， ， 整理得， 解得或（不合题意，故舍去）， 此时点的坐标为， 当时，则有， 解得或， 此时点的坐标为或， 综上可知，在轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：的大小不发生变化，， 如图，过点作，交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了完全平方式的非负性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论思想等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $