河北省保定市多校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷

河北省保定市多校2025-2026学年高一上学期期中联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 1、 单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分。 1．已知集合，集合，则( ) A. B. C. D. 2．复数的虚部为( ) A. B. C. D. 3．设向量，，则( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 4．已知，且，则的最小值为( ) A. B.4 C. D.8 5．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 6．如图，已知等腰三角形中，，，点P是边上的动点， 则的值( ) A.为定值6 B.不为定值，有最大值6 C.为定值10 D.不为定值，有最小值10 7．已知是定义域为R的奇函数,当时,,若,则零点的个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8．在平面直角坐标系中,函数且的图象恒过定点P,若角的终边过点P,则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分。 9．下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 10．有关复数和实数m，n，下列说法不正确的是( ) A.，则 B.，则 C. D.，其中 11．已知，，，下列结论正确的是( ) A.的最小值为9 B.的最大值为 C.的最小值为 D.的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为________. 13．已知函数的最小正周期为，则_____________. 14．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.若,则对,的最小值为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分 15．（13分）已知,复数. （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限,求m的取值范围; （2）若z满足,,求的值. 16．（15分）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式. 17．（15分）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像.当时，求不等式的解集. 18．（17分）在中，D是边上靠近B的三等分点. (1)若，证明：； (2)若，. (i)求面积的最大值； (ii)求的最小值. 19．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为中点，且，的角平分线交于点E，且. (1)求A； (2)求a. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $数学答案 1.答案：B 解折：解不等式4≤1台1=≤0分1-川x+3)≤0，解得x<-3或x21, x+3 x+3 x+3≠0 所以东合4-3到-a-3或2， 解x-1<5得-5<x-1<5,即-4<x<6, 所以集合B={xx-1<5={x-4<x<6), 所以AnB=(-4,-3)U[1,6). 故选：B 2.答案：C 解析：由题复数1-1-1-i(2-1=1-3113 2+i(2+i(2-i)4+155 所以复数的虚部为3 故选：C 3.答案：D 解析：若a/6,则x+2=x2解得：x=-1或x=2, 若a⊥6，则(x+2)x+x=0解得：x=0或x=-3, 所以“x=-1是“a6的不必要条件， “x=-3”是“a16的不必要条件， “x=-2”是“a/6”的不充分条件， “x=0”是“a⊥6的充分条件， 故选：D 4.答案：B 解析：因为ab=2,a>b>0 所以L+L+8=a+b+8=a+b+8 ≥2,0+b8 =4 a'b'a+b ab'a+b 2 a+b"2"a+b 当且仅当a+b=8,即a=2+V2,b=2-V2时等号成立， 2 a+b 所以上+号+8的最小值为4 a b a+b 故选：B. 5.答案：B 解析：命题x∈R,4x2+a-2)x+1>0”是假命题， 等价于“3∈R,4x2+a-2)x+1≤0”是真命题， 即判别式△=(a-2)2-4x4≥0， 解得：a≤-2或a≥6， 则实数a的取值范围为：(-0，-2]U[6,+∞). 故选：B. 6.答案：C 解析：如图，记BC的中点为O,连接AO, 由题可知，A0⊥BC,A0=V32-22=√5，AB+AC=2A0, 所以AP.(AB+AC)=2AP.AO=2|AP‖AO1cos∠PAO=2|AOP=10.故选C. B 0 7.答案：A 解析：由于f(x)是定义域为R的奇函数，故f(0)=a-cos0=a-1=0,故a=1, 所以，当xe0,刘时，f=1-cos子， 又由f(x+1)=f(-x+1),可得f(x+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=f(x), 故f(x)是周期函数，且周期为4， 当xe-1时e0到则-=1a子io受， 又f-刘=-fy,所以xc-l0时，f到=-l+eos 当xe2]时，2-e0.,则f2-=1-cos经引2-=1+cos受 又由f(x+=f-x+),得到f(2-)=f(x),所以当x∈，2]时，fx)=1+cosx x, 当xe2时2-e-10则f12-=-1+cos号引2-x刘=-1cos受， 所以当x∈[2,3]时，f(x)=-1-osx, -1+cosx,-1<x≤0， 2 1-cos5x,0<x≤1， 故f(x)= 2 1+cosx,1<x≤2， 2 -1-cos5x,2<x≤3， 2 在同一坐标系中，作出y=f(x,y=|logx的图象如下， 又当x>6时，y=log6x>1,而f(x)≤1，故当x>6后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：y=f(x),y=log6x的图象有4个不同的交点，故y=f(x)-log6x有 4个零点， 故选：A. y=logx 456 f(x) 8.答案：C 解析：因为函数f(x)=a+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,所以P(-l,3): 3V10 因为角0的终边过点P,所以sin0= V-1)2+3210, 4 所以cos20=1-2sin20=- 5 故选：C 9.答案：AB 解析：A:(sin15°-cosl52=1-2sin15°cos15°=1-sin30°=】，成立； B:sin22.50-c0s22.5°=-cos45°=-2，成立 2 C:cos28°cos32°-c0s62°cos58°=cos28°cos32°-sin28°sin32°=c0s(28°+32) =c0s600=,不成立： D: (tan10°-5)cos50°-sim102-5cos10°.cos50°-2sin50eos50°-sin10°.-c0s10 =-1 cos10° c0s10° c0s10°cos10° ,不成立 故选：AB. 10.答案：AB 解析：对于A,取复数z=i,则z2=z5=-1,所以A不正确： 对于B,取复数z=1,232=i,则z+z子=1-1=0，所以B不正确： 对于C,设z=r(cos0+isin0)≥0)，则z=r,所以z=rm z"=r(cosme+isin me),=rcos2 me+sin2 me =rm, 所以2=z,meN,所以C正确。 对于D,设z,=a+bi,22=c+i(a,b,c,d∈R), 可则三=a+bi_a+bi(c-i_ac+bd)+(bc-adi z2 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 则 (ac+bd)2+(be-ad)2 (c2+d2）2 (ac+bd)'+(be-ad)2 a2+b2 (c2+d2）2 Ve2+d2' 又=Va+6,,=ve+a,所以 a2+b2 22Ve2+d2 好骨英0：D正海 故选：AB. 11.答案：ACD 解析：因为a>0,b>0,a+2b=1, 所以8日8》a+20=5+会5+ 2b.2a-=9, a b a b 当且仅当2少_20，即a=b=时取等号，上+2取得最小值9，故A正确： a b a b 时于B,心+R=20+=5次-4物+1因6号+岁 根据二次函数的性质可知，当b= ,a 时， 5 a2+b2取得最小值，故B错误； 对于C,2°+4°≥2√2°.4=2√22b=22, 当且仅当a=2h=,即a=,6=1时取等号， 2 4 此时2°+4取得最小值22，故C正确； 对于D,因为1=a+2b≥2Na-26,即ab 8 当且仅当a=0分即a-寸b=时取等号， 1 所以1og:a+log,b=og:ah≤1ogg-3, 即1og2a+log,b最大值-3，故D正确。 故选：ACD 12.答案：[4,5)U(5,+o 解析：对于函数f==4,令-4之0解得x≥4且x≠5， x-5x-5≠0 所以fy=r=4的定义域为4,5)U(5,+w x-5 故答案为：[4,5)U(5,+0) 13.答案： 3-4 解析：fx=sin2ox=1-cos2ox的最小正周期为 2死=元， 2 20 得0=1， 个 =sin2π、3 34 14.答案：3V5 解析：由2 a cos A+ccos(A+C)=bcosC,得2 sin AcosA-sin Ccos B=sin BcosC, 2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B=sin(B+C)=sin 4, 因为4e@小，则sn4>0所以co4分4-号 3 设AD=入AC,则点D在直线AC上，所以AB-元AC=AB-AD=DB, B D 当BD⊥AC时，D8最小，其最小值为ABsin 4=6xY5=3V5 2 故答案为：35 15.答案：(1)-3 <m<1; 2 (2)17 5 解析：(1)复数z在复平面内对应的点为(2m+3,m-1), 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得 2m+3>0 <m<1, m-1<0 解得3 所以m的取值范围是-3 <m<1. (2)依题意，z+3z=2m+3+0m-1)i+3[2m+3-(m-1)i]=4(2m+3)-2(m-1)i=n+4i, 又m,neR,则 4(2m+3)=n,解得m=-1,n=4, -2(m-1)=4 n+mi4-i(4-i)3-4i)8-19i819 3+4i3+4i(3+4i)3-4i)252525 所以n+mi 3+4i 5 16.答案：()f(=4- (2)f(x)在(-2,2)上单调递增，证明见解析 解析：(1)油题意可得f10)=ax0+b=0, 4-0 即b=0,-2+3-a=0,故a=1, 即到=此时有到动 故f(x)关于原点对称，故a=1,b=0 即f(x的解析式为f()=4文 (2)f(x)在(-2,2上单调递增；证明如下： 令a调点4 _4(x-x2)+xx2)(4+xx2)(x-x2) (4-x2)4-x) （4-x)(4-x) 由-2<x<x2<2,则4+xx2>0,x-x2<0,4-x)(4-x)>0, 故f(x)-f(x)<0,即f(x在(-2,2)上单调递增； (3)由题意可得f(x)为奇函数，则有f(2t+1)>-f(t-2)=f(2-t), 2t+1>2-t 又因为了侧在22到上单调遥增则有-2<211<2.解得1<号 -2<2-t<2 所以原不等式的解集为 17.答案：(1)f(x)=sin a 解：为1，所以2×+p-+,ke, 6 2 可得0=亚+，k∈Z, 6 又0<p<所以e-名所以i=sm2x+副 6 ②谐了八=s如2x+君)的图像向右平移召个单位长度得 3 ymx}+得-m2x的图像， 再将y=sin2x图像上每个点的横坐标变为原来的2倍 得到y=sinx的图像，所以gx)=sinx, 所以原不等式化为sin2x≤simx+ 4 令1=+子xe0,则1e任 4'4 不等式化为sm2- ≤sint, 所以-cos2t≤sint,所以2sin2t-sint-1≤0， 所以-)ssin s1, 2 结合函数y=sint在 π5π 44 上的图像得文<1≤ 6 所以至<x+子，即不等式的解架 11π 4-6 0,12】 5π 4 4 18.答案：(1)证明见解析 (2X093 8 (m3-2 2 A 解析：(1) B 因为D是AB边上靠近B的三等分点， 所以cD-C+号B-Ca+cB-C网)=c+cB, 所以co-a+j 设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则CD=DB=c 4 即c2=b2+4a2+4abc0s∠ACB, 在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos∠ACB, 所以a2+b2-2 abcos∠ACB=b2+4a2+4 abcos∠ACB, 化简得a+2bcos∠ACB=0, 即BC+2 4Ccos.∠ACB=0, (2①)在△ACD中，由余弦定理得 AD2=AC2+CD2-2AC.CD·coS∠ACD, 又∠4CD-骨AD=5 所以3=AC2+CD2-AC·CD≥2AC.CD-ACCD=AC.CD, 当且仅当AC=CD, 即△ACD为等边三角形时等号成立， 所以AC.CD≤3， 又D是AB边上靠近B的三等分点， 3 所以CDs人家58丛N 2 34 28 即△ABC的面积的最大值为 8 而在△4CD中，∠4CD-于0=5 由正弦定理，得CD AC AD sin∠ACD =2 sin4 sin∠ADC Sin x 3 又∠ADC 2元-A, 3 所以=2sin =3c054+sinA CD=2sind,4C 2sinLADC 因为∠ADC+∠BDC=π， 所以cos∠ADC+coS∠BDC=0, 由余弦定理，得D+DC2-AC,BD+DC2-BC -=0, 2AD·DC 2BD·DC 将AD=2BD=V3代入上式 化简得BC?=9+3。 +3cD-AC2, Γ42 2 所以BC2=9+3x in(co sin) -cos24 42 sin-3cos 4sind 1 3 +7sin2A-v3cosAsinA 4 =177 42c0s24V -sin24 _12-3sim(2A+9), 4 其中tanp= 73 3