精品解析：河北唐山市丰润区2023-2024学年第一学期期中考试高一数学试卷

丰润区2023—2024学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知函数则的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设，则（ ） A. B. C. D. P与Q的大小与a有关 8. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的是2分． 9. 已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为2 11. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若不等式的解集是，则的解集是 D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件 12. 关于函数的性质描述，正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在定义域上是增函数 D. 的图象关于原点对称 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，则的真子集的个数为_________. 14. 已知，，且满足，则的最小值为________. 15. 设，则函数的最大值为______. 16. 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，，，． （1）求、的值及、； （2）求. 18. 某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格求： （1）每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润． （2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大. 19. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围. 20. 若二次函数，满足对称轴为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2023—2024学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】全集，集合， 则. 2. 下列函数中，与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个函数相同，需要满足定义域相同和对应法则相同. 【详解】对于函数 的定义域为R 对于A： 定义域为R， ，故A正确； 对于B： 定义域为R， ，故B错误； 对于C： 定义域为 ，故C错误； 对于D： 定义域为 ，故D错误 故选：A 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式可化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4. 已知函数则的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由已知 ， 所以 . 5. 集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可. 【详解】因为，，所以， 记， 对于A选项，其表示，不满足； 对于B选项，其表示，不满足； 对于C选项，其表示，满足； 对于D选项，其表示，不满足； 故选：C. 6. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以即解得或， 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数， 所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件， 故选:C. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. P与Q的大小与a有关 【答案】A 【解析】 【分析】由作差法判断即可 【详解】因为，所以. 故选：A 8. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的是2分． 9. 已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合有且只有一个元素求得的值. 【详解】当时，，符合题意. 当时，，符合题意. 故选：AC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【详解】取，满足， 但 ，因此不成立，故A错误； 若，故，， 取，所以，故B正确； 若，则，故，故C正确； ​当时，，当且仅当时等号成立，故D错误. 11. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若不等式的解集是，则的解集是 D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义可判断A；由命题的否定可判断B；由不等式的解法可判断C；由不等式恒成立求出k的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D． 【详解】对于A，x＞y不能推出x2＞y2，例如x＝﹣1，y＝﹣2， x2＞y2也不能推出x＞y，例如x＝﹣2，y＝﹣1，故“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要，故A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确； 对于C，若不等式x2+ax﹣b＜0的解集是（﹣2，3），则﹣2，3是方程x2+ax﹣b＝0的两个根， 由根与系数的关系可得﹣a＝﹣2+3，﹣b＝﹣6，可得a＝﹣1，b＝6， 所以ax2﹣x+b＞0即为﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，可得不等式ax2﹣x+b＞0的解集为（﹣3，2），故C正确； 对于D，不等式对一切x都成立，当k＝0时，不等式0恒成立， 当k≠0时，＝k2﹣4×2k×（）＜0，解得﹣3＜k＜0， 综上，k∈（﹣3，0]，所以“k∈（﹣3，0）”是“不等式对一切x都成立”的充分不必要条件，故D错误． 故选：BC． 12. 关于函数的性质描述，正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在定义域上是增函数 D. 的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D； 【详解】对于A，由，解得且， 可得函数的定义域为，故A正确； 对于B，由A可得，即， 当可得， 当可得，可得函数的值域为，故B正确； 对于C，由，则在定义域上不是增函数，故C 错误； 对于D，由的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，则的真子集的个数为_________. 【答案】7 【解析】 【分析】若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为. 【详解】解：因为集合中有3个元素，所以集合的真子集的个数为. 故答案为：7. 14. 已知，，且满足，则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 15. 设，则函数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把分、、三种情况化简为，再结合一次函数的性质即可求解. 【详解】令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值是. 综上所述，的最大值是. 故答案为：. 16. 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围. 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，，，． （1）求、的值及、； （2）求. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，可求得、的值，即可求得集合、； （2）利用并集和交集的定义可求得集合. 【小问1详解】 解：由题意可得，，则，解得， 所以，，， 则，满足题意. 综上所述，，，，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，因此，. 18. 某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格求： （1）每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润． （2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大. 【答案】（1）万元； （2）每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答. （2）求出售价的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答. 【小问1详解】 每套丛书售价定为元时，销售量为万套， 于是得每套丛书的供货价格为元， 所以书商所获得的总利润为万元． 【小问2详解】 每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元， 则， ，当且仅当，即时等号成立， 即当时，， 所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元． 19. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，求出集合，由此能求出； （2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围． 【小问1详解】 解：时，集合，， ． 【小问2详解】 解：，， 当时，，解得， 当时，，解得， 实数的取值范围是． 20. 若二次函数，满足对称轴为，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【小问1详解】 二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. 【小问2详解】 不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 21. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出命题，命题为假命题时的取值范围，进而得到结果即可； （2）求（1）中的补集即可． 【小问1详解】 若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围. 【小问1详解】 由题意可知， ，即， ，， 又，即， ，. 【小问2详解】 ，且，有 ， ， ， ，即， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为为奇函数， 所以由，得， 又因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，故， 所以实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $