精品解析：内蒙古锡林郭勒盟第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级期中试题 数学 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、单选题（每题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】由集合，得． 故选：B． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：B 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】因为 . 故选：D. 【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式，属于基础题. 5. 已知函数，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：A 6. 已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 7. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解. 【详解】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以， 即； 因为且， 所以且， 解得，， 则， 又，所以. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底. 【详解】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线， 故选：AC. 10. 已知角是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可证明正确；对于，若,显然,可得错误；对于,利用诱导公式,三角形内角和定理可得正确． 【详解】对于正确; 对于,正确; 对于显然,故错误; 对于,由为锐角,可得:,可得: ,正确. 故选:. 【点睛】本题考查诱导公式在解三角形中的应用,难度较易. 11. 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 方程在上有且只有三个相异实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】将的图象变换后的函数的解析式写出来，依据为偶函数，且最小正周期为，可以求出与的函数解析式，再对选项逐一判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得， 因为的最小正周期为，所以，解得，即， 因为为偶函数，所以，解得， 又因为，当时，可得， 所以，. 对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确； 对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误； 对于C，由，得，即，解得， 所以的解集为，故C正确； 对于D，由，得， 即， 所以即 所以，解得， 又因为，所以，所以方程在上有3个相异实根，故D错误. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（填空题 共15分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型周期公式计算即可. 【详解】因为函数，所以周期. 故答案为：. 13. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 14. 如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角函数的定义把矩形的各个边长用角表示出来，结合辅助角公式与三角函数的基本关系式即可求出矩形面积最大时角的值. 【详解】由题意可知在中，，，在中，， 因为，且，所以， 所以， 所以， 其中，， 所以当，即时，最大， 即， 即，， 因为，， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用直角三角形中三角函数的定义求得四边形各边关于的表达式，从而利用辅助角公式得解. 第Ⅲ卷（解答题 共77分） 15. 请解答下列各题： （1）计算； （2）已知，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算，即可求得答案. （2）由求出、的值，代入即可求得答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴． 16. 已知平面向量． （1）若，求与的夹角； （2）若，求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量夹角的坐标运算求夹角即可； （2）由已知及向量平行的坐标表示列方程求的，根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量. 【小问1详解】 由题设，又， 所以，则，故， 所以，而， 所以. 【小问2详解】 由，则，可得，则， 所以向量在向量上的投影向量. 17. 甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 【答案】海里/时，北偏东 【解析】 【分析】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的，设乙船速度为海里/时，根据图形运用余弦定理可得到的关系式，从而求出；再结合正弦定理，计算算出的大小即可得到乙船的航行方向. 【详解】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的，设乙船速度为v海里/时，如图. 在中，由余弦定理可知：， 即，解得. 又由正弦定理可知， ∴，∴， 即乙船应按北偏东的方向，以21海里/时的速度航行. 18. 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 19. 函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象. （1）求函数图象的对称中心. （2）当时，求 的值域. （3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出 ，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心； （2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域； （3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知，， ∴，∴， ， 将代入得， ，即，解得 ，， ∵，∴， ， ∴. 函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得 令，解得 ∴此函数图象的对称中心为. （2）当时， ， ，即 的值域为. （3）， 令，由（2）知， ， 因此m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级期中试题 数学 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、单选题（每题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知角是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 方程在上有且只有三个相异实根 第Ⅱ卷（填空题 共15分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的周期为______． 13. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 14. 如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，则的值为______． 第Ⅲ卷（解答题 共77分） 15. 请解答下列各题： （1）计算； （2）已知，求． 16. 已知平面向量． （1）若，求与的夹角； （2）若，求向量在向量上的投影向量． 17. 甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 18. 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 19. 函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象. （1）求函数图象的对称中心. （2）当时，求 的值域. （3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $