专题03 期末复习压轴题18个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学上学期沪教版五四制2024

专题03 期末复习压轴题18个考点 【沪教版五四制2024】 【选填压轴篇】 1 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 1 【考点2 二次根式的性质与化简】 5 【考点3 利用一元二次方程求取值范围】 8 【考点4 利用一元二次方程解决几何问题】 11 【考点5 判断直角三角形】 15 【考点6 利用勾股定理求线段长度】 18 【考点7 勾股定理与弦图】 22 【考点8 利用勾股定理解决翻折问题】 28 【考点9 勾股定理的实际应用】 33 【解答压轴篇】 36 【考点10 无理数小数部分有关的计算】 36 【考点11 复合二次根式的化简求值】 39 【考点12 与二次根式有关的材料题】 44 【考点13 由一元二次方程的解求参数】 49 【考点14 根的判别式与根与系数的关系的综合】 54 【考点15 一元二次方程的应用】 60 【考点16 勾股定理在格点中的运用】 64 【考点17 利用勾股定理证明/求线段平方关系】 69 【考点18 勾股定理中的最短路径问题】 74 【选填压轴篇】 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 【例1】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【答案】 两 7 2 48 【分析】（1）由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； （3）运用数立方的计算方法计算即可； （4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）∵1000<19683<1000000， ∴10<<100， ∴是两位数； 故答案为：两； （2）∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； （3）∵8<19<27， ∴2<<3， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （4）∵观察发现：只有8的立方的个位数为2 ∴的个位数为8 又∵64＜110＜125 ∴的十位为4 ∴=48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． 【变式1-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 【考点2 二次根式的性质与化简】 【例2】已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 【答案】- 【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0， 解得，x＝8，则y＝18， ∵x＞0，y＞0， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝﹣ 把x＝8， y＝18代入 原式＝﹣ ＝2﹣3 ＝-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，根据是整数，则均为有理数，即为同类二次根式，为同类二次根式，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 又∵x，y是正整数，是整数， ∴均为有理数， ∴为同类二次根式，为同类二次根式， ∴或， ∴满足条件的有序实数对是或； 故答案为：或． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得： ， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 【考点3 利用一元二次方程求取值范围】 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）若关于的方程的一根大于2，一根小于2，则的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布，将一元二次方程转化为二次函数是解决此类问题的关键．先设函数，将一元二次方程转化为二次函数，再根据二次函数图象的性质得到且，解出不等式组即可求出的范围． 【详解】解：设函数，则其图像为开口向上的抛物线， 若方程的一根大于2，一根小于2，则抛物线在处的函数值必小于0， ， 又方程有两个不相等的实数根， ，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-1】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义； 分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，可得，求出和，再根据确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可． 【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； ②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时， ∴或， 解不等式组得该不等式组无解； 解不等式组得：， 综上，m的取值范围为：或， 故选：D． 【变式3-2】设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据跟与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，，即， 方程的较大根的范围为． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海·月考）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握方程根与系数的关系，得出两个方程根之间的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，推导出方程的两根为和，再根据的范围确定较小根的范围． 【详解】解：方程的两根为和， ，， 设方程的两根为和， 则，， ，， 方程的两根为和， ， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故答案为：． 【考点4 利用一元二次方程解决几何问题】 【例4】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ，，， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：B． 【变式4-1】如图，有一张矩形纸片，，，点为边上一动点（不与点重合），沿折叠该纸片使点的对应点为，再沿经过点的直线对折（点在边上），若点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一直线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得，，设，则，可证是等腰三角形，即，用含的式子分别表示出的长度，在中，根据勾股定理可求出的值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵沿折叠得，沿折叠得，且，，三点在同一直线上， ∴， ∴，，，，，， ∴，即是等腰三角形，则，且，， ∴在中，，，，由勾股定理得，， ∴，解得，，， ∵，当时，，不符合题意， ∴舍去， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，是外一点，在的垂直平分线上，若，，则 ． 【答案】 【分析】设，取的中点，连接，利用垂直平分线性质、勾股定理构建方程求解． 【详解】解：设，取的中点，连接，如图， ∵在的垂直平分线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， 变形为， 设，则原方程变形为：， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定和勾股定理的建模应用是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识．首先求出一元二次方程的解为或，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得或， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：D． 【考点5 判断直角三角形】 【例5】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用所学知识判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据直角三角形的定义（有一个角为90°）和勾股定理的逆定理，逐个分析每个条件是否能使为直角三角形即可． 【详解】解：∵ 在中，， ∴对于①：，即，解得：，故是直角三角形； 对于②：设，则，故是直角三角形； 对于③：，则，即，故是直角三角形； 对于④：，即，故是直角三角形． 对于⑤：设，则， ∴，解得：， ∴最大角，故不是直角三角形． 综上，有4个条件能确定直角三角形． 故选C． 【变式5-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 【变式5-2】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC ∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】= 【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论． 【详解】解：连接AC，BD， 根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10， ∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2， ∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠BCD＝45°． 故答案为：＝． 【点睛】本题考查了网格中对几何图形的理解与分析的问题，涉及到了勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的相关知识，解决本题的关键是牢记相关性质与公式，以及熟练运用即可． 【变式5-3】（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 【考点6 利用勾股定理求线段长度】 【例6】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．若，，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】过点M作于点H，证明四边形是矩形得，，由折叠性质得，，，由此依据“”判定和全等得，，则，在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， 四边形是长方形，且，， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， ，， 在和中， ， ， ， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质的综合运用是解决问题的关键． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）在中，，，边上的高为12，则的周长为 ． 【答案】32或42 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于边上的高位置不确定，需分类讨论垂足是否在线段上． 【详解】解：设边上的高为，垂足为D，则， 在中，，，由勾股定理， 在中，，，由勾股定理得， 当点D在线段上时，，的周长为， 当点D不在线段上时，，的周长为． 故答案为：32或42． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 【考点7 勾股定理与弦图】 【例7】（25-26八年级上·四川成都·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 【变式7-1】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】如图，依题意，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成， 由题意得：，，， ∴，则 ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，若正方形的面积为，，则与的面积差是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先求出正方形的边长的平方，设，再利用勾股定理得到关于的方程，由此可得出，再证明，从而可得，，然后证明，再求得，从而可求得 ． 【详解】解：如图，记交于点M， ∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式7-3】（2024·河北保定·二模）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 化简得：①， ∵， ∴②， ，得：， ∴． 故选：C． 【考点8 利用勾股定理解决翻折问题】 【例8】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 【变式8-2】如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，的长度为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、矩形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．分两种情况，①当时，②当时，分别由勾股定理和等腰三角形的判定与性质求出的长即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当时，过点作于点D， ∵将沿翻折，点C的对应点是点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ②如图2，当时， ∵将沿翻折，点C的对应点是点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或2， 故答案为：或2． 【考点9 勾股定理的实际应用】 【例9】将一根18cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ； 【答案】5cm 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可. 【详解】如图，由题意知：盒子底面对角线长为=5（cm）， 盒子的对角线长：=13cm， ∵细木棒长18cm， ∴细木棒露在盒外面的最短长度是：18-13=5cm， 所以细木棒露在外面的最短长度是5厘米． 故答案为：5cm. 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，在实际问题中构建直角三角形利用勾股定理解决问题的思想是解题的关键. 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 【变式9-2】一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：=+=， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 【解答压轴篇】 【考点10 无理数小数部分有关的计算】 【例10】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题关键． 本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据新定义即可求解； （2）根据新定义逐一判断即可； （3）根据，不等式可变形为，再将代入，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ，， 故答案为：，； （2）解：表示的小数部分， ，故①正确； 根据定义可得，，故②正确； 表示的小数部分， ，故③错误 ， ， ， ，即，故④正确 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ∵ ． 【变式10-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 【变式10-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【答案】（l）1；（2）28． 【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可； （2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，∴ ∴ ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a、b的值是解答本题的关键． 【考点11 复合二次根式的化简求值】 【例11】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 【变式11-1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 【变式11-2】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 【答案】（1）④；；（2）①；② 【分析】（1）第④步出现了错误，==． （2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误； = =． （2）① = = =． ② = = ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键． 【变式11-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 【答案】（1） ， ；（2） 【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解. 【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3 即， ∴=； 首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20 即， ∴= （2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60 即， ∴= 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键. 【考点12 与二次根式有关的材料题】 【例12】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 【变式12-3】阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 【答案】(1) ①；②；(2) ；(3) 【分析】（1）①分子分母同时乘以即可化简；②分子分母同时乘以即可化简； （2）分子分母同时乘以即可化简； （3）根据例题即可化简． 【详解】解：（1）①原式=； ②原式=； 故答案为﹣1；； （2）原式=； （3）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题意，正确运算是解题的关键． 【考点13 由一元二次方程的解求参数】 【例13】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴，， ∴方程的两个根为和， ∴， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为； 【变式13-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2)0，4， (3) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“自反值”的定义列出关于x的方程求解即可； （2）根据“自反值”的定义可得，然后分和，分别根据列出关于a的方程求解即可； （3）根据“自反值”的定义列出关于x的方程，然后根据根的判别式列出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ， ， ． 所以代数式的“自反值”是，． （2）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程只有一个解， ∴当时，可得一元一次方程，有1个解（符合题意）； 当时，可得一元二次方程，有1个解， ∴，整理得：，解得：或． 综上，a的值为0，4，． （3）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程对于任意常数恒有两个解， ∴，即；， ∴对于任意常数恒成立， ∵， ∴要使对于任意常数恒成立，则，解得：． 综上，a的取值范围为． 【变式13-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式 的“零值”为 ，“对称值”为 ； (2)若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； (3)若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 【答案】(1)和， 0 (2)当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为 (3)，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、因式分解、乘法公式等知识点，掌握“零值”和“对称值”定义是解题的关键． （1）由，再结合“零值”和“对称值”即可求解； （2）由题意令其“零值”为t，则，即可知，  ，可求得或，再求出对应的m即可； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为3，设两个“零值”为和可求得， ，即，． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为． 故答案为：和，0． （2）解：∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则，    ∴，                  ∴，，                            ∴或，                          当“零值”为时，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为； ． （3）解：∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴．                                   ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴，   ∴． ∴， ∴，． ∴，， 【考点14 根的判别式与根与系数的关系的综合】 【例14】（25-26九年级上·福建泉州·期中）我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知方程的两个实数根是，那么_____； (2)已知、满足，且，求的值； (3)已知、、满足，求正数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． （1）一元二次方程的两个实数根是，那么，由此可直接得出答案； （2）由题意得出是方程的两个实数根，进而求出和的值，相加即可； （3）由，可得，进而可得是方程的两个实数根，由根的判别式得，结合是正数即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：满足，且， 满足，且， 是方程的两个实数根， ， ， ． （3）解：， ， 是方程的两个实数根， ，即， 是正数， ， ， 正数的最小值是． 【变式14-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，“派生点”Q与的取值无关，直线过定点，故方程的“派生点”Q为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：， 解得，， ， 该方程的“派生点”Q的坐标为； （2）解：方程为， ， ，或，， ①当，即时，“派生点”Q的坐标为． ∵点Q在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时，“派生点”Q的坐标为， ∵点Q在直线上， 代入得， ，符合题意； 综上，m的值为或； （3）解：存在，满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的“派生点”Q为， 即，， ，． 【变式14-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 【变式14-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【详解】（1）解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； （2）解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； （3）解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 【考点15 一元二次方程的应用】 【例15】（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米 (2)①，；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【详解】（1）解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． （2）解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式15-2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)；(3) 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 【变式15-3】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 【考点16 勾股定理在格点中的运用】 【例16】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，顶点叫做格点．图中已给出了两个格点A，B． (1)在图1的格点中取一点C，画出一个等腰三角形； (2)在图2格点上取一点D，作线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）利用勾股定理数形结合的性质作出点D即可． 【详解】（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，点D即为所求（答案不唯一） 【变式16-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点，位于格点处，请按要求作图． (1)在图甲中画出一个格点，使得是等腰直角三角形； (2)在图乙中画出一个格点，并满足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理作图即可； （2）根据勾股定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 证明：∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求； 证明：∵，， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和利用网格求三角形面积是解题关键． （1）根据画图即可； （2）根据画图即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，四边形即为所求， 【变式16-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． (1) （度）； (2)若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)45 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用网格特点和等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】（1）解：由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图，取格点H，连接交于点E，连接，可得，， 则是等腰直角三角形， ∴， 则， 由， 可得， 故点E即为所求作； 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，可得，，则是等腰直角三角形，可得，则，由，可得，故点E即为所求作． 【考点17 利用勾股定理证明/求线段平方关系】 【例17】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 【变式17-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 【变式17-2】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式17-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 【考点18 勾股定理中的最短路径问题】 【例18】（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 【变式18-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【答案】最短为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 【变式18-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，掌握将运动轨迹转化到一个平面上是解题的关键． 需将该U形池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则，， 在中，由勾股定理，可得， 故他滑行的最短距离为． 【变式18-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题18个考点 【沪教版五四制2024】 【选填压轴篇】 1 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 1 【考点2 二次根式的性质与化简】 2 【考点3 利用一元二次方程求取值范围】 2 【考点4 利用一元二次方程解决几何问题】 3 【考点5 判断直角三角形】 4 【考点6 利用勾股定理求线段长度】 5 【考点7 勾股定理与弦图】 6 【考点8 利用勾股定理解决翻折问题】 7 【考点9 勾股定理的实际应用】 8 【解答压轴篇】 9 【考点10 无理数小数部分有关的计算】 9 【考点11 复合二次根式的化简求值】 10 【考点12 与二次根式有关的材料题】 12 【考点13 由一元二次方程的解求参数】 14 【考点14 根的判别式与根与系数的关系的综合】 15 【考点15 一元二次方程的应用】 16 【考点16 勾股定理在格点中的运用】 18 【考点17 利用勾股定理证明/求线段平方关系】 19 【考点18 勾股定理中的最短路径问题】 20 【选填压轴篇】 【考点1 与平方根、立方根有关的计算】 【例1】有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【变式1-2】据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，试确定 是 位数； （2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是 ； （3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是 ； （4） 用上述方法确定 110592 的立方根是 ． 【变式1-3】一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 二次根式的性质与化简】 【例2】已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对是 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·月考）计算： （1） ； （2） ． 【考点3 利用一元二次方程求取值范围】 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）若关于的方程的一根大于2，一根小于2，则的范围是 ． 【变式3-1】关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式3-2】设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海·月考）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 【考点4 利用一元二次方程解决几何问题】 【例4】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，有一张矩形纸片，，，点为边上一动点（不与点重合），沿折叠该纸片使点的对应点为，再沿经过点的直线对折（点在边上），若点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一直线上，则的长为 ．    【变式4-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，是外一点，在的垂直平分线上，若，，则 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【考点5 判断直角三角形】 【例5】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC ∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【变式5-3】（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【考点6 利用勾股定理求线段长度】 【例6】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．若，，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）在中，，，边上的高为12，则的周长为 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【考点7 勾股定理与弦图】 【例7】（25-26八年级上·四川成都·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 【变式7-1】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，若正方形的面积为，，则与的面积差是（    ） A． B．7 C． D． 【变式7-3】（2024·河北保定·二模）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 【考点8 利用勾股定理解决翻折问题】 【例8】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，的长度为 ． 【考点9 勾股定理的实际应用】 【例9】将一根18cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ； 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【变式9-2】一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【解答压轴篇】 【考点10 无理数小数部分有关的计算】 【例10】（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题： (1)___________，___________； (2)当时，以下说法正确的是___________（填序号）； ①； ②； ③； ④若，则． (3)当时，解不等式． 【变式10-2】确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【变式10-3】数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是，的整数部分是，求的值； （2）已知，其中是一个整数，，求． 【考点11 复合二次根式的化简求值】 【例11】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【变式11-1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【变式11-2】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 【变式11-3】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 【考点12 与二次根式有关的材料题】 【例12】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【变式12-3】阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 【考点13 由一元二次方程的解求参数】 【例13】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 【变式13-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【变式13-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【变式13-3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式 的“零值”为 ，“对称值”为 ； (2)若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； (3)若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 【考点14 根的判别式与根与系数的关系的综合】 【例14】（25-26九年级上·福建泉州·期中）我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知方程的两个实数根是，那么_____； (2)已知、满足，且，求的值； (3)已知、、满足，求正数的最小值． 【变式14-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【变式14-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【变式14-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． (2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？ (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【考点15 一元二次方程的应用】 【例15】（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式15-2】受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【变式15-3】（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【考点16 勾股定理在格点中的运用】 【例16】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，顶点叫做格点．图中已给出了两个格点A，B． (1)在图1的格点中取一点C，画出一个等腰三角形； (2)在图2格点上取一点D，作线段． 【变式16-1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点，位于格点处，请按要求作图． (1)在图甲中画出一个格点，使得是等腰直角三角形； (2)在图乙中画出一个格点，并满足． 【变式16-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【变式16-3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． (1) （度）； (2)若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【考点17 利用勾股定理证明/求线段平方关系】 【例17】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【变式17-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式17-2】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【变式17-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【考点18 勾股定理中的最短路径问题】 【例18】（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【变式18-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【变式18-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 【变式18-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $