精品解析：湖北省鄂州市华容区华容区“235”教联体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

南漳县实验中学九年级（上）第三次数学月考试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可. 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选D 3. 下列说法中正确的是（ ） A. “若是有理数，则”是必然事件 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. “景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件的分类和概率的意义进行解答即可，此题考查了事件的分类、概率的意义，熟练掌握事件的分类、概率的意义是解题的关键． 【详解】解：A、“若是有理数，则”是必然事件，故A说法正确，符合题意； B、成语“刻舟求剑”所描述的事件，是不可能事件，故B说法错误，不符合题意； C、“景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天降雨的可能性是，故C说法错误，不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次不一定中奖次，故D说法错误，不符合题意； 故选：A ． 4. 将抛物线平移至，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则：左加右减，上加下减判断即可． 【详解】解：向右平移2个单位，向下平移1个单位得到； 故选：B． 5. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 6. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 8. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转角度问题，正确理解题意是解题的关键． 在中，根据，可得然后旋转后AB与即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵C，A，在一条直线上， ∴， ∵旋转后与重合， ∴旋转角为 故选：C． 9. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】∵四边形内接于， ∴，而， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质． 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法： ①； ②； ③； ④，（m为实数）； ⑤当时，， 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ，故正确； ②对称轴， ，故正确； ③， ， 当时，， ，故错误； ④根据图示知，当时，有最大值； 即：， 所以为实数），故正确； ⑤如图，当时，不只是大于0，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于． 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象经过点P，且在每个象限内y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是___________．（只要写出一个满足条件的即可） 【答案】P（1，-1）（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质可得k＜0，故可求出k的取值，故可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 ∴k＜0， ∴-1符合． ∴ 当x=1时，y=-1 故P（1，-1）． 故答案为：P（1，-1）（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的图象与性质． 12. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的顶点形式，确定对称轴和开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为，且开口向上， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且， 因此， 故答案为：． 13. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 【答案】16 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解： 解：∵， ∴当时，Ｓ取得最大值64， 即飞机着陆后滑行16秒才能停下来． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解题的关键． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 过点作于点，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，进而可利用勾股定理计算出，接着根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后证明，利用相似比可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 为等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， 线段逆时针旋转到线段， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，． 17. 如图，在矩形中，E为上一点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，在矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据矩形得，结合，证明即可证明； （2）利用相似三角形的性质，列比例式，解方程解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 整理，得， 故， 故的长为或． 18. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，弧长公式的应用，正确得出对应点的位置是解题关键． （1）根据关于原点对称的特点，画出点、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （2）根据旋转的性质，画出点、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （3）点旋转到点的过程中，所经过的路径为以为圆心，为半径的弧，由勾股定理计算半径，由旋转可知圆心角为，代入弧长公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点旋转到点的过程中，所经过的路径为以为圆心，为半径的弧， ∵， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为：． 19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可； （2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， ∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以一定有乙的概率为： 【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键． 20. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可； （2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果． 【小问1详解】 将点坐标代入直线，得： 故 将代入，得 ， 故答案为：6 6 【小问2详解】 令直线中，得 故 两个函数联立成方程组，得： 解得或 故 ； 【小问3详解】 根据图像可知：当或时， 【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． 21. 如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，得到，根据角平分线的定义得到，求得，则，，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，，证明是等边三角形，则，，，进而得，，根据三角形和扇形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】（1） （2）不能 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵，， 石块不能飞越防御墙． 【小问3详解】 解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 23. 【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边上一个动点（不与B重合），且，，连接． （1）【特例分析】如图①，当，时．猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数． （2）【拓展探究】如图②，当，时．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由． （3）【学以致用】如图③，当，，，时，求的长． 【答案】（1），，； （2），， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 由，得： ， ∴， ∴，； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据得到，根据得到，即可得到，得到，，结合四边形内角和定理即可得到答案； （2）根据，，，得到，从而得到，即可得到答案； （3）分两种情况讨论（方法思路相同），过A作于H，根据得到是等腰直角三角形，得到，结合勾股定理得到由勾股定理得：，，证明，从而得到即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 结合四边形内角和定理可得， ∴ ∴，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过A作于H，如图所示， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由，得： ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：； ②如图，过作于， 同理可得：， ∴， 即， 解得：， 综上所述，的值为：或． 【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据角度加减关系得到三角形全等、相似的条件． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，顶点为M． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点M作轴，垂足为N，作于点D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为，连接，如图②、设的面积为S． ①求出S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； ②当时，直接写出m的值； ③当S随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）①②③或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的面积综合，二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）①理解题意，得，，，，结合点P为该抛物线上一点，其横坐标为，故，根据代入数值化简，再进行分类讨论，即可作答． ②先理解题意，其结合以及，分别列式计算求出m的值； ③结合且运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于两点， ∴把代入 得，解得， ∴， 【小问2详解】 解：①∵抛物线与y轴相交于点C，顶点为M． ∴令时，则， ∴， 对称轴为直线， 把代入，得出， 即， ∵过点M作轴，垂足为N，作于点D， ∴，， ∵点P为该抛物线上一点，其横坐标为， ∴ ∴的面积 ， 令时，则， 当时，则或， ∵ ∴ 故当时，； 当时，； ∴ ②由①得 依题意，当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得，（故舍去）； 依题意，当时，则， ∴， ∴， 即， 此方程无实数根， 综上：； ③由①得 则的开口向上，对称轴为直线， 即在对称轴的右侧，S随m的增大而增大 ∴当S随m的增大而增大时，则； 则的开口向下，对称轴为直线， 即在对称轴的左侧，S随m的增大而增大 ∴当S随m的增大而增大时， 综上：当S随m的增大而增大时， 或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南漳县实验中学九年级（上）第三次数学月考试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 3. 下列说法中正确的是（ ） A. “若是有理数，则”是必然事件 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. “景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 4. 将抛物线平移至，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 5. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 6. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法： ①； ②； ③； ④，（m为实数）； ⑤当时，， 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④⑤ 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象经过点P，且在每个象限内y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是___________．（只要写出一个满足条件的即可） 12. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是________． 13. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 三、解答题（本大题共9题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． 17. 如图，在矩形中，E为上一点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 20. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 21. 如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 23. 【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边上一个动点（不与B重合），且，，连接． （1）【特例分析】如图①，当，时．猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数． （2）【拓展探究】如图②，当，时．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由． （3）【学以致用】如图③，当，，，时，求的长． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，顶点为M． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点M作轴，垂足为N，作于点D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为，连接，如图②、设的面积为S． ①求出S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； ②当时，直接写出m的值； ③当S随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $