第27讲：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质及其应用【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质及其应用，系统梳理五点法作图、图象变换、解析式确定、参数物理意义、最值应用及综合问题。从基础作图方法到图象变换规律，再到由部分图象求解析式，结合简谐运动等物理情境及新文化题，构建递进式学习支架。 资料以题型分类为框架，解题策略含核心思路与易错点提醒，经典例题融入筒车、声波等生活实例。通过数学眼光观察物理现象，用数学思维分析变换与性质，培养抽象能力和模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，弥补知识盲点。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第27讲：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质及其应用】 总览 题型梳理 1．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【知识点的认识】 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 2．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 3．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象】 【解题策略】 一、必备核心思路 五点法的本质是利用正弦函数y＝sinx的5个关键特殊点（零点、极值点），通过“换元法”映射到y＝Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的图象上，实现图象精准绘制 二、实用解法步骤 1.确定函数定义域：默认x∈R，若有具体范围需先标注. 2.令，将原函数转化为，明确需找的5个关键特殊点，对应t的值分别为：、、、、. 3.逐一代入，求解对应x的值：通过解方程、、、、，得到5个x坐标（注意ω正负对求解的影响，负号需变号）. 4.确定对应y的值：根据，5个特殊点的y值分别为：、、、、. 5.描点连线：在平面直角坐标系中准确标出5个点、、…、，再用平滑曲线连接，得到一个周期内的函数图象，若需扩展可按周期性平移. 三、易错点提醒 1.求解x时需注意ω的正负，避免移项变号错误；2.描点时需注意A的正负，A＜0时函数图象会关于x轴对称翻转；3.连线必须用平滑曲线，不可画成折线 （2024秋•莆田校级期末）已知函数．经典例题1例题 （1）利用“五点法”完成以下表格，并在下图中画出函数f（x）在区间上的图象； （2）求出函数f（x）的单调减区间． 2x 0 π x f（x） 0 0 0 （2024秋•厦门期末）已知函数．经典例题2例题 （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间和对称中心的坐标． （2024秋•龙岗区校级期末）已知函数．经典例题3例题 （1）填写表格，并用“五点作图法”在直角坐标系上作出函数f（x）在上的图象； 0 π x f（x） 1 0 （2）设x∈R，解不等式； （3）已知，求sinθ． （2024秋•仓山区校级期末）已知函数．小试牛刀1 （1）求出函数f（x）的单调减区间； （2）用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的大致图像； （3）当x∈[0，π]时，求曲线y＝sinx与的交点个数．（请直接写出答案） （2024秋•三明月考）已知函数．小试牛刀2 （1）求当f（x）取得最大值时，x的取值集合； （2）求f（x）在上的值域． （3）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象． x y （2025春•蕉城区校级月考）用“五点法“作函数在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如表：小试牛刀3 ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 2 0 （1）根据表数据，直接写出函数f（x）的解析式，并求出函数f（x）的单调递减区间； （2）若f（x）﹣a≤0在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【题型2：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换】 【解题策略】 易错点提醒 1.平移时必须“只对x本身”操作，不可对整体平移；2.先伸缩后平移的平移单位易误写为，需牢记除以ω；3.A和ω的正负仅影响图象的“翻转”，不影响平移、伸缩的单位长度 （2025秋•清远月考）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）经典例题1例题 A．g（x）＝sinx B．g（x）＝cos4x C．g（x）＝sin4x D． （2025•武汉模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则ω的最小值是（　　）经典例题2例题 A． B．1 C．2 D． （2025秋•浙江期中）将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（　　）经典例题3例题 A． B． C． D． （2025秋•东莞市月考）为了得到函数的图象，只要把函数y＝2sin2x图象上所有的点（　　）小试牛刀1 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 （2025秋•烟台期中）已知图象关于点对称．小试牛刀2 （1）求ω的值； （2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的值域． （2024秋•莆田校级期末）已知函数．小试牛刀3 （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象． （i）求函数g（x）的解析式； （ii）若，其中，求sinx0的值． 【题型3：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式】 【解题策略】 一、必备核心思路 解析式含3个参数A、ω、φ，需通过图象的“极值信息”求A，“周期信息”求ω，“特殊点信息”求φ 二、实用解法步骤 1.求振幅A：（振幅是最大值与最小值差的一半）；若图象有翻转（如最高点在下方），则A取负值（可先求，再根据图象升降趋势判断符号）. 2.求角频率ω：先由图象确定周期T，再根据（ω≠0）求解ω.周期T的常见求法：①相邻两个最高点（或最低点）的横坐标差；②相邻两个平衡位置（零点）且图象升降趋势相同的点的横坐标差；③一个最高点与相邻最低点横坐标差的2倍. 3.求初相φ：常用“代入特殊点法”，步骤如下：①选取图象上的特殊点（优先选最高点、最低点或与y轴交点，避免选模糊的零点）；②将特殊点坐标代入解析式，得到；③结合图象的“升降趋势”确定的具体值（避免多解错误）；④解出φ，若题目未指定φ的范围，通常取的解. 三、易错点提醒 1.求T时易混淆“相邻点”的类型，需确保所选两点为“同类型特殊点”；2.代入特殊点求φ时，易忽略图象升降趋势导致φ多解错误，例如：代入零点时，若图象在该点从下往上穿，则（k∈Z），若从上往下穿，则（k∈Z）；3.忘记根据题目要求确定φ的范围，需默认取的解）. （2025秋•越秀区校级月考）如图，直线y＝1与函数f（x）＝Asin（ωxx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象的三个相邻的交点为A，B，C三点，且|AB|＝π，|BC|＝2π，则（　　）经典例题1例题 A．1 B． C． D．2 （2025春•湖北期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）经典例题2例题 A．ω＝2， B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数f（x）的图象关于对称 D．函数f（x）在上单调递增 （2025•浙江学业考试）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线与曲线y＝f（x）的两个交点，若，则ω＝ 　4　 ．经典例题3例题 （2025秋•广东月考）已知函数的图象如图所示．小试牛刀1 （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若，且，求f（α）的值． （2025秋•福建期中）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，|OM|．小试牛刀2 （1）求f（x）的解析式； （2）若，求函数的取值范围． （2024秋•莆田校级期末）如图，是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）图象的一部分小试牛刀3 （1）求函数f（x）的解析式； （2）函数g（x）＝f（x）﹣1在区间上有且仅有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围． 【题型4：y＝Asin（ωx+φ）解析式中参数的物理意义】 【解题策略】 一、必备核心思路 此题型主要应用于简谐运动、声波、光波等物理场景，核心是掌握A、ω、φ、T的物理意义，建立数学解析式与物理量的对应关系 二、各参数物理意义（以简谐运动为例） 1.振幅A：表示简谐运动的“最大位移”，即物体偏离平衡位置的最大距离，物理意义：A越大，振动幅度越大；取值范围：A＞0（物理中振幅为正数）. 2.周期T：表示物体完成一次全振动所需的时间，计算公式：（ω＞0，物理中角频率为正数）；物理意义：T越大，振动越缓慢. 3.频率f：表示单位时间内完成全振动的次数，与周期的关系：；物理意义：f越大，振动越剧烈. 4.角频率ω：表示单位时间内相位的变化量，物理意义：ω越大，相位变化越快，振动越剧烈. 5.初相φ：表示t＝0时的相位，即t＝0时物体的位移状态：当t＝0时，位移，速度（由导数推导，物理中速度为位移对时间的导数）；初相的取值范围通常为或. 6.相位：表示t时刻的相位，用于描述物体在振动过程中的位置状态，相位差（两个简谐运动的相位之差）决定了它们的振动同步性. 三、解题关键步骤 1.从物理情境中提取已知物理量（如最大位移、周期、t＝0时的位移等）. 2.根据物理量与参数的对应关系，依次求出A、ω、φ（例如：最大位移＝A，周期T已知则，t＝0时的位移代入求φ）. 3.验证解析式是否符合物理情境（如速度方向、位移范围等）. 四、易错点提醒 1.混淆周期与频率的关系，忘记；2.忽略物理中A、ω均为正数，不可取负值；3.初相φ的求解未结合t＝0时的速度方向（仅代入位移易导致多解） （2025春•松滋市校级期中）简谐运动的相位与初相分别是（　　）经典例题1例题 A．， B．5x﹣3，4 C．5x﹣3， D．4， （2025春•长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米 B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米 C．经过2秒小球往复振动一次 D．每秒小球能往复振动30次 （2025春•崂山区校级月考）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米，记水筒M在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且t＝0时，盛水筒M位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M距离水面的高度为（　　）米．经典例题3例题 A．3.25 B．2.25 C．1.25 D．0.25 （多选）（2023春•黄冈期中）某弹簧振子在振动过程中时间t（单位：s）与位移y（单位：m）满足解析式，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是（　　）小试牛刀1 A．振幅为10 B．周期为 C．频率为 D．初相为 （多选）（2025春•临沂期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移y关于时间t的函数解析式为，t∈[0，+∞），则（　　）小试牛刀2 A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 （2025春•沙市区校级月考）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）．小试牛刀3 （1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离． 【题型5：三角函数的最值应用】 【解题策略】 一、必备核心思路 三角函数最值的本质是利用正弦函数、余弦函数的有界性（，），结合代数式的变形（如配方、换元）转化为标准型或，再求最值. 二、常见类型及实用解法 类型1：标准型（A≠0，ω≠0） 1.最值求解：①当时，；②当时，（若A＜0，需反向：时，时）. 2.关键：判断是否能取到1和-1（需结合x的定义域，若定义域限制导致无法取到最值，则需用单调性求最值）. 类型2：二次型（a≠0） 1.换元转化：令，，则原函数转化为二次函数（）. 2.二次函数最值：根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：①对称轴在区间左侧（）：最值在t＝-1和t＝1处取得；②对称轴在区间内（）：最小值在对称轴处取得，最大值在区间端点处取得；③对称轴在区间右侧（）：最值在t＝-1和t＝1处取得. 类型3：含定义域限制的最值（x∈[m,n]） 1.步骤：①化简函数为标准型；②求在时的取值范围；③结合在上的单调性，求最值（可通过画出在上的图象辅助判断）. 三、易错点提醒 1.二次型换元后忘记的范围限制，直接按二次函数全体定义域求最值；2.忽略x的定义域对的限制，默认能取到1和-1；3.A＜0时未反向求最值 （2025春•温州期中）已知f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx，则f（x）的最小值为（　　）经典例题1例题 A．0 B． C．1 D． （2025秋•安徽月考）已知函数f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x+4的最大值为f（θ），则tanθ＝（　　）经典例题2例题 A． B． C．3 D．﹣3 （2025秋•长沙校级月考）若实数x，y满足x2+2y2﹣2xy＝1，则2x2+2y2的最小值为（　　）经典例题3例题 A． B．3 C． D．2 （2024秋•丽水期末）函数在区间（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025•安徽校级开学）已知实数x，y满足（2x﹣y）2+4y2＝1，则2x+y的最大值为（　　）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． （2025秋•济宁校级期末）若x2+y2＝2，那么2x﹣3y的最大值为　　 ．小试牛刀3 【题型6：图像变换结合三角函数的图像性质综合】 【解题策略】 一、必备核心思路 此题型是高考高频综合题，核心是“先通过图像变换得到目标函数解析式，再结合三角函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解问题”，或“先利用性质确定解析式参数，再进行图像变换”。 二、常见综合考法及实用解法 考法1：由变换求解析式，再求性质 1.根据图像变换路径（如“经平移、伸缩得到”），求出目标函数的解析式（参考题型2的变换方法）. 2.利用整体代换思想求性质：①单调性：令，根据的单调区间，解不等式求x的范围；②对称性：对称轴满足（k∈Z），对称中心满足（k∈Z）；③周期性：. 考法2：由性质求解析式，再进行变换 1.根据已知性质（如周期、单调性、对称轴、最值等），求出解析式的参数A、ω、φ（参考题型3、5的解法）. 2.按照题目要求进行图像变换（如“将的图象向左平移个单位，再伸缩得到”），并求解的相关问题（参考题型2的变换步骤）. 考法3：变换与性质的双向约束 1.已知变换路径和某一性质（如“经变换得到的函数是奇函数”），求参数φ或ω的值：①奇函数性质：且定义域关于原点对称，即；②偶函数性质：，即；③结合变换过程中ω、φ的由来，列方程求解. 三、解题关键技巧 1.整体代换：处理性质时，始终令，将问题转化为的性质问题，降低难度. 2.数形结合：画出函数的大致图象，结合图像直观判断单调区间、对称中心等，避免抽象推导错误. 3.参数验证：求出参数后，需代入变换过程和性质中验证，确保符合所有条件. 四、易错点提醒 1.整体代换时忘记ω的正负对不等式方向的影响；2.混淆对称轴与对称中心的求解方程；3.忽略变换过程中参数与性质的约束关系，导致参数多解或错解. （24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．经典例题1例题 （23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为 ；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为 ．经典例题2例题 （23-24高三上·湖南长沙·月考）将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则 .经典例题3例题 （2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． （25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ）小试牛刀2 A．0 B． C． D． （2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：三角函数图像应用的新文化题】 （24-25高一下·北京·期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．经典例题1例题    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） （2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：经典例题2例题 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 （24-25高三上·江苏南京·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）经典例题3例题    A． B． C．1s D． （24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 小试牛刀1 【多选题】（24-25高一下·山东临沂·月考）《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．当时，的值域为 C．在区间上单调递增 D．将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ）.小试牛刀3    A． B． C．π D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 2．（25-26高三上·河南·月考）已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．（25-26高三上·湖南·月考）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C．当时，的值域为 D．当取得最值时， 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·云南昆明·期中）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象.若函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．函数的周期为 B． C．是图象的一个对称中心 D．的解集为 11．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 12．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．是偶函数 D．的单调递增区间为 13．（24-25高一下·贵州遵义·月考）《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象的一个最高点为，相邻两个对称中心的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B．在区间上的最大值为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象上所有点向左平移个单位长度，得到奇函数的图象 三、填空题 14．（25-26高一上·北京·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 15．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 16．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 17．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 18．（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 19．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数. (1)把函数化简为的形式，并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求先列表再作图）； (2)求的单调递增区间； (3)若时，方程有解，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数． (1)求； (2)判断曲线的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标； (3)如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在区间上的示意图； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第27讲：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质及其应用】 总览 题型梳理 1．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【知识点的认识】 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 2．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 3．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象】 【解题策略】 一、必备核心思路 五点法的本质是利用正弦函数y＝sinx的5个关键特殊点（零点、极值点），通过“换元法”映射到y＝Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的图象上，实现图象精准绘制 二、实用解法步骤 1.确定函数定义域：默认x∈R，若有具体范围需先标注. 2.令，将原函数转化为，明确需找的5个关键特殊点，对应t的值分别为：、、、、. 3.逐一代入，求解对应x的值：通过解方程、、、、，得到5个x坐标（注意ω正负对求解的影响，负号需变号）. 4.确定对应y的值：根据，5个特殊点的y值分别为：、、、、. 5.描点连线：在平面直角坐标系中准确标出5个点、、…、，再用平滑曲线连接，得到一个周期内的函数图象，若需扩展可按周期性平移. 三、易错点提醒 1.求解x时需注意ω的正负，避免移项变号错误；2.描点时需注意A的正负，A＜0时函数图象会关于x轴对称翻转；3.连线必须用平滑曲线，不可画成折线 （2024秋•莆田校级期末）已知函数．经典例题1例题 （1）利用“五点法”完成以下表格，并在下图中画出函数f（x）在区间上的图象； （2）求出函数f（x）的单调减区间． 2x 0 π x f（x） 0 0 0 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（1）由题意根据五点法作图，画出函数f（x）在区间上的图象． （2）由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间． 【解答】解：（1）对于函数，在区间上，2x∈[0，2π]， 列表： 2x 0 π 2π x f（x） 0 0 0 作图： （2）令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ， 可得函数f（x）的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z． 【点评】本题主要考查五点法作图、三角函数的图象和性质，考查运算求解能力，属于中档题． （2024秋•厦门期末）已知函数．经典例题2例题 （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间和对称中心的坐标． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出g（x）的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意填表如下： 0 π 2π x f（x） 0 2 0 ﹣2 0 利用描点、连线，画出函数图象，如图所示： （2）由题意知，g（x）＝f（x）＝2sin（2x）， 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z； 所以g（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； 令2xkπ，解得x，k∈Z， 所以g（x）对称中心的坐标为（，0），k∈Z． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． （2024秋•龙岗区校级期末）已知函数．经典例题3例题 （1）填写表格，并用“五点作图法”在直角坐标系上作出函数f（x）在上的图象； 0 π x f（x） 1 0 （2）设x∈R，解不等式； （3）已知，求sinθ． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（1）由函数f（x）＝sin（2x），填写表格，用“五点作图法”在直角坐标系上作出f（x）的图象即可； （2）不等式化为sin（2x），求出解集即可； （3）由题意得sin（θ），利用θ＝（θ），即可求sinθ的值． 【解答】解：（1）由函数f（x）＝sin（2x），填写表格如下： 0 π 2π x f（x） 0 1 0 ﹣1 0 用“五点作图法”在直角坐标系上作出函数f（x）在上的图象，如图所示： （2）不等式，可得sin（2x），解得2kπ2x2kπ，k∈Z； 即kπx≤kπ，k∈Z；所以不等式的解集为{x|kπx≤kπ，k∈Z}； （3）因为f（）＝sin（θ），θ∈[π，]，所以θ∈[，π]， 所以cos（θ）， 所以sinθ＝sin[（θ）] ＝sin（θ）coscos（θ）sin （） ． 【点评】本题考查了三角函数求值运算问题，是中档题． （2024秋•仓山区校级期末）已知函数．小试牛刀1 （1）求出函数f（x）的单调减区间； （2）用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的大致图像； （3）当x∈[0，π]时，求曲线y＝sinx与的交点个数．（请直接写出答案） 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】（1）利用正弦函数的单调递减区间列出不等式并求解即得． （2）通过列表得函数f（x）在[0，π]内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图． （3）在同一坐标系内作出两个函数在[0，π]上的图象，观察图象即可得解． 【解答】解：（1）根据题意，函数， 由， 得， 所以函数f（x）的单调减区间是； （2）列表： x 0 π π 2π y 1 2 0 ﹣2 0 1 描点，连线，画出f（x）在[0，π]上的大致图象如图： （3）在同一坐标系内作出函数y＝sinx与在[0，π]的图象，如图： 观察图象，曲线y＝sinx与的交点个数为2． 【点评】本题考查了正弦函数的性质，属于基础题． （2024秋•三明月考）已知函数．小试牛刀2 （1）求当f（x）取得最大值时，x的取值集合； （2）求f（x）在上的值域． （3）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象． x y 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（1）由已知可得，利用正弦函数的性质即可求解； （2）由题意可求，进而利用正弦函数的性质即可求解； （3）利用五点法完成表格，然后再作图即可． 【解答】解：（1）由已知令， 则， 所以， 解得， 即当f（x）取得最大值时，x的取值集合为； （2）当时，， 则，即 所以f（x）在上的值域为[﹣1，2]； （3）列表如下： x 0 π π 2π y 2 0 ﹣2 0 图象如下： 【点评】本题考查了正弦函数的性质以及五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象，考查了函数思想，属于基础题． （2025春•蕉城区校级月考）用“五点法“作函数在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如表：小试牛刀3 ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 2 0 （1）根据表数据，直接写出函数f（x）的解析式，并求出函数f（x）的单调递减区间； （2）若f（x）﹣a≤0在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（1）根据表格数据可求解析式，整体代入可得减区间； （2）分离参数求解最值可得答案或者利用数形结合法可得答案． 【解答】解：（1）由题意知，， 令，k∈Z， 解得，k∈Z， 即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）； （2）f（x）﹣a≤0在区间恒成立， 即f（x）≤a在区间恒成立， 所以a≥f（x）max， 由于， 则， 所以， 即f（x）≤0恒成立， 所以a≥0， 所以a的取值范围为[0，+∞）． 【点评】本题考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 【题型2：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换】 【解题策略】 易错点提醒 1.平移时必须“只对x本身”操作，不可对整体平移；2.先伸缩后平移的平移单位易误写为，需牢记除以ω；3.A和ω的正负仅影响图象的“翻转”，不影响平移、伸缩的单位长度 （2025秋•清远月考）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）经典例题1例题 A．g（x）＝sinx B．g（x）＝cos4x C．g（x）＝sin4x D． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】根据三角函数图象的变换求解即可． 【解答】解：图象上所有点的横坐标缩短到原来的变为： f（2x），再将其向左平移个单位长度变为： g（x）． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象变换，属基础题． （2025•武汉模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则ω的最小值是（　　）经典例题2例题 A． B．1 C．2 D． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】结合正切函数图象的平移变换求出g（x），然后结合奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝2tan（）的图象， 若g（x）为奇函数，则，k∈Z， 即ω，k∈Z， 因为ω＞0， ω的最小值为1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及正切函数的对称性，属于基础题． （2025秋•浙江期中）将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（　　）经典例题3例题 A． B． C． D． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可求解． 【解答】解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数g（x）＝f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）的图象． 故选：D． 【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题． （2025秋•东莞市月考）为了得到函数的图象，只要把函数y＝2sin2x图象上所有的点（　　）小试牛刀1 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】将函数化为，再结合“左加右减”的平移法则，即可求解． 【解答】解：， 它是由y＝2sin2x图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦型函数的平移变换，属于基础题． （2025秋•烟台期中）已知图象关于点对称．小试牛刀2 （1）求ω的值； （2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的值域． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）cos（ωx），进而利用余弦函数的性质即可求解； （2）由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）cos（2x），进而利用余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）因为 sinωxcosωx+2（cosωxsinωx） （cosωxsinωx） cos（ωx）， 又f（x）的图象关于点对称， 所以ωkπ，k∈Z，解得ω＝3k+1，k∈Z， 又因为0＜ω＜2， 所以ω＝1； （2）由（1）可得f（x）cos（x）， 将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得函数ycos（2x）的图象， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos[2（x）]cos（2x）的图象， 因为x∈，可得2x∈[，]，可得cos（2x）∈[﹣1，]， 所以f（x）cos（x）∈[，]，即函数g（x）在上的值域为[，]． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． （2024秋•莆田校级期末）已知函数．小试牛刀3 （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象． （i）求函数g（x）的解析式； （ii）若，其中，求sinx0的值． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论． （2）（i）由题意，根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式． （ii）由题意，求得sin（x0），根据x0为锐角可得cos（x0）的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得sinx0＝sin[（x0）]的值． 【解答】解：（1）对于函数sin2xsin2xcos2xsin2xcos2x＝sin（2x）， 令2kπ2x2kπ，k∈Z，求得kπx≤kπ，k∈Z， 可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z． （2）（i）将函数f（x）的图象先向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x）＝sin（2x）的图象； 再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x）的图象． 故g（x）＝sin（x）． （ii）若，即sin（x0），其中， 则x0为锐角，故cos（x0）． 故sinx0＝sin[（x0）]＝sin（x0）coscos（x0）sin． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，两角和的正弦公式，属于中档题． 【题型3：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式】 【解题策略】 一、必备核心思路 解析式含3个参数A、ω、φ，需通过图象的“极值信息”求A，“周期信息”求ω，“特殊点信息”求φ 二、实用解法步骤 1.求振幅A：（振幅是最大值与最小值差的一半）；若图象有翻转（如最高点在下方），则A取负值（可先求，再根据图象升降趋势判断符号）. 2.求角频率ω：先由图象确定周期T，再根据（ω≠0）求解ω.周期T的常见求法：①相邻两个最高点（或最低点）的横坐标差；②相邻两个平衡位置（零点）且图象升降趋势相同的点的横坐标差；③一个最高点与相邻最低点横坐标差的2倍. 3.求初相φ：常用“代入特殊点法”，步骤如下：①选取图象上的特殊点（优先选最高点、最低点或与y轴交点，避免选模糊的零点）；②将特殊点坐标代入解析式，得到；③结合图象的“升降趋势”确定的具体值（避免多解错误）；④解出φ，若题目未指定φ的范围，通常取的解. 三、易错点提醒 1.求T时易混淆“相邻点”的类型，需确保所选两点为“同类型特殊点”；2.代入特殊点求φ时，易忽略图象升降趋势导致φ多解错误，例如：代入零点时，若图象在该点从下往上穿，则（k∈Z），若从上往下穿，则（k∈Z）；3.忘记根据题目要求确定φ的范围，需默认取的解）. （2025秋•越秀区校级月考）如图，直线y＝1与函数f（x）＝Asin（ωxx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象的三个相邻的交点为A，B，C三点，且|AB|＝π，|BC|＝2π，则（　　）经典例题1例题 A．1 B． C． D．2 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】由|AB|＝π，|BC|＝2π，得到T＝3π，从而，再由，得到，然后求得，进而求得A，从而求得正确答案． 【解答】解：因为|AB|＝π，|BC|＝2π， 所以|AC|＝3π，则T＝3π， 所以，则， 又， 则，又，则， 所以，由，得， 因此，又|AB|＝xB﹣xA＝π， 解得，所以， 则，解得A＝2， 所以，则． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题． （2025春•湖北期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）经典例题2例题 A．ω＝2， B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数f（x）的图象关于对称 D．函数f（x）在上单调递增 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】由图象求出f（x）的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解． 【解答】解：对于A，由f（x）的部分图象知，A＝2，T＝4×（）＝π，则ω2， 则f（x）＝2sin（2x+φ）， 又（，2）在f（x）上，则2sin（2φ）＝2，即sin（φ）＝1， 所以φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z， 又|φ|，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x），即ω＝2，φ，选项A正确； 对于B，因为f（）＝2sin（2）＝2sin1， 所以x不是f（x）图象的对称轴，选项B错误； 对于C，因为f（）＝2sin[2×（）]＝2sin（﹣π）＝0， 所以f（x）的图象关于点（，0）对称，选项C正确； 对于D，当时，， 所以f（x）在上单调递增，选项D正确． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． （2025•浙江学业考试）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线与曲线y＝f（x）的两个交点，若，则ω＝ 　4　 ．经典例题3例题 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】设A、B的横坐标分别为x1、x2，可得x2﹣x1，然后根据正弦函数的性质，结合题意建立关于ω的等式，结合三角函数的周期公式算出ω的值． 【解答】解：设A、B的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），则|AB|＝x2﹣x1， 令f（x），即sin（ωx+φ），结合正弦函数的性质， 可得ωx+φ2mπ，m∈Z，或ωx+φ2kπ，k∈Z， 因为A、B两点的横坐标满足f（x）， 所以（ωx2+φ）﹣（ωx1+φ）（2k﹣2m）π，k、m∈Z， 即ω（x2﹣x1）（2k﹣2m）π，可得（2k﹣2m）π， 根据f（x）的周期T，解得0＜ω＜6，故取k＝m，可得ω＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的解析式求法、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． （2025秋•广东月考）已知函数的图象如图所示．小试牛刀1 （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若，且，求f（α）的值． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】（1）根据三角函数的图象求出f（x）的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解； （2）三角函数的同角关系，两角和的三角函数的公式，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得A＝2，， 所以T＝π，所以ω2， 又根据五点法可得，所以φ， 所以f（x）＝2sin（2x）， 令2x， 解得x，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z； （2）若，则2α∈（，π），又， 所以cos2α， 所以f（α）＝2sin（2α）． 【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数的求值，属中档题． （2025秋•福建期中）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，|OM|．小试牛刀2 （1）求f（x）的解析式； （2）若，求函数的取值范围． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．版权所有 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式； （2）由（1）的结论，利用差角的余弦公式化简，再求出指定区间上的值域． 【解答】解：（1）观察图象， 函数f（x）的最小正周期，解得ω＝2， 由，则， 而﹣π＜φ＜0，则， 所以f（x）的解析式为； （2）由（1）知， （cos2xsin2x）﹣cos2x ＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x， 因为当时，， 所以当x＝0时，g（x）min＝0，当时，g（x）max＝1， 则所求函数值域为[0，1]． 【点评】本题考查了函数解析式和值域的计算，属于中档题． （2024秋•莆田校级期末）如图，是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）图象的一部分小试牛刀3 （1）求函数f（x）的解析式； （2）函数g（x）＝f（x）﹣1在区间上有且仅有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．版权所有 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出A和ω，再利用特殊点求得φ，即可得解； （2）令，则问题可以转换为2sint﹣1＝0在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程t2+2at+2a﹣3＝0在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解． 【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）， 结合图象可得A＝f（x）max＝2， 函数f（x）的最小正周期为，则， 所以f（x）＝2sin（2x+φ），因为， 则，因为，所以，解得， 所以； （2）由（1）可得； 令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程2sint﹣1＝0在有且仅有两个实根， 令2sint﹣1＝0，得或， 所以方程2sint﹣1＝0的正根从小到大排列分别是，… 所以，解得； （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有t2+2at+2a﹣3＝0，则关于t的方程t2+2at+2a﹣3＝0在上有解， 由t2+2at+2a﹣3＝0可得， 令，则， 因为，y＝2﹣s在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当s趋向于0时，h（s）趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是． 【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，是中档题． 【题型4：y＝Asin（ωx+φ）解析式中参数的物理意义】 【解题策略】 一、必备核心思路 此题型主要应用于简谐运动、声波、光波等物理场景，核心是掌握A、ω、φ、T的物理意义，建立数学解析式与物理量的对应关系 二、各参数物理意义（以简谐运动为例） 1.振幅A：表示简谐运动的“最大位移”，即物体偏离平衡位置的最大距离，物理意义：A越大，振动幅度越大；取值范围：A＞0（物理中振幅为正数）. 2.周期T：表示物体完成一次全振动所需的时间，计算公式：（ω＞0，物理中角频率为正数）；物理意义：T越大，振动越缓慢. 3.频率f：表示单位时间内完成全振动的次数，与周期的关系：；物理意义：f越大，振动越剧烈. 4.角频率ω：表示单位时间内相位的变化量，物理意义：ω越大，相位变化越快，振动越剧烈. 5.初相φ：表示t＝0时的相位，即t＝0时物体的位移状态：当t＝0时，位移，速度（由导数推导，物理中速度为位移对时间的导数）；初相的取值范围通常为或. 6.相位：表示t时刻的相位，用于描述物体在振动过程中的位置状态，相位差（两个简谐运动的相位之差）决定了它们的振动同步性. 三、解题关键步骤 1.从物理情境中提取已知物理量（如最大位移、周期、t＝0时的位移等）. 2.根据物理量与参数的对应关系，依次求出A、ω、φ（例如：最大位移＝A，周期T已知则，t＝0时的位移代入求φ）. 3.验证解析式是否符合物理情境（如速度方向、位移范围等）. 四、易错点提醒 1.混淆周期与频率的关系，忘记；2.忽略物理中A、ω均为正数，不可取负值；3.初相φ的求解未结合t＝0时的速度方向（仅代入位移易导致多解） （2025春•松滋市校级期中）简谐运动的相位与初相分别是（　　）经典例题1例题 A．， B．5x﹣3，4 C．5x﹣3， D．4， 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式，写出函数的相位和初相． 【解答】解：简谐运动的相位是5x，x＝0时得出初相是． 故选：A． 【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题． （2025春•长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米 B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米 C．经过2秒小球往复振动一次 D．每秒小球能往复振动30次 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】求出t＝0时h的值，即可判断出A项的正误；根据振幅的物理意义判断出B项的正误；根据三角函数的周期公式，算出函数的周期T＝2，由此判断出C、D两项的正误，进而可得本题答案． 【解答】解：根据t＝0时，h＝2sin（）， 可知小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米，所以A项不正确； 根据函数的振幅为2， 可知小球的最高点和最低点之间的距离是2×2＝4厘米，所以B项不正确； 根据函数的周期T2秒， 可知经过2秒小球往复振动一次，所以C项正确； 由C项的分析，可知每秒小球不能往复振动30次，所以D项不正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义等知识，属于基础题． （2025春•崂山区校级月考）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米，记水筒M在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且t＝0时，盛水筒M位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M距离水面的高度为（　　）米．经典例题3例题 A．3.25 B．2.25 C．1.25 D．0.25 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】先确定解析式，再将t＝80代入即可． 【解答】解：∵，，当t＝0时，，则． ∵，∴，故， ∴当t＝80时，盛水筒M与水面距离为：2sin2.25． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的实际应用，属于基础题． （多选）（2023春•黄冈期中）某弹簧振子在振动过程中时间t（单位：s）与位移y（单位：m）满足解析式，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是（　　）小试牛刀1 A．振幅为10 B．周期为 C．频率为 D．初相为 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据简谐运动的相关概念逐项分析判断． 【解答】解：∵， 故振幅为10，周期为，频率为，初相为， 故A、C正确，B、D错误； 故选：AC． 【点评】本题主要考查了三角函数的应用，属于基础题． （多选）（2025春•临沂期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移y关于时间t的函数解析式为，t∈[0，+∞），则（　　）小试牛刀2 A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据函数y＝20sin（t）的解析式，得出最小正周期，φ和A，以及振子第一次到达平衡位置时t的值，判断即可． 【解答】解：因为y＝20sin（t），t∈[0，+∞），则函数的最小正周期为T，选项A正确； 由φ，知初相是，选项B错误； 由A＝20，知该振子离开平衡位置的最大距离是20，选项C正确； t时，y＝20sin（）＝0，振子第一次到达平衡位置，选项D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，是基础题． （2025春•沙市区校级月考）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）．小试牛刀3 （1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离． 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】（1）根据三角函数的周期公式算出ω，由筒车所在圆的半径与轴心O到水面的距离算出A与K，然后根据f（0）＝0确定出φ的值，即可得到d与时间t之间的关系式； （2）则f（t0），算出，结合同角三角函数的关系算出．然后根据两角和与差的三角函数公式算出f（t0）的值，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）由题意可知，结合ω＞0可得ω＝2． 因为筒车所在圆的半径为2米，筒车的轴心O距水面的高度为1米，所以A＝2且K＝1． 当t＝0时，d＝0，代入d＝2sin（2t+φ）+1，可得2sinφ+1＝0， 即sinφ，结合，解得，所以； （2）由题意得，解得，其中，k∈Z． 由，解得． 所以， 可得d＝sin[（t0）]+1米． 答：再经过分钟后，盛水桶P到水面的距离为米． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式的求法、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题． 【题型5：三角函数的最值应用】 【解题策略】 一、必备核心思路 三角函数最值的本质是利用正弦函数、余弦函数的有界性（，），结合代数式的变形（如配方、换元）转化为标准型或，再求最值. 二、常见类型及实用解法 类型1：标准型（A≠0，ω≠0） 1.最值求解：①当时，；②当时，（若A＜0，需反向：时，时）. 2.关键：判断是否能取到1和-1（需结合x的定义域，若定义域限制导致无法取到最值，则需用单调性求最值）. 类型2：二次型（a≠0） 1.换元转化：令，，则原函数转化为二次函数（）. 2.二次函数最值：根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：①对称轴在区间左侧（）：最值在t＝-1和t＝1处取得；②对称轴在区间内（）：最小值在对称轴处取得，最大值在区间端点处取得；③对称轴在区间右侧（）：最值在t＝-1和t＝1处取得. 类型3：含定义域限制的最值（x∈[m,n]） 1.步骤：①化简函数为标准型；②求在时的取值范围；③结合在上的单调性，求最值（可通过画出在上的图象辅助判断）. 三、易错点提醒 1.二次型换元后忘记的范围限制，直接按二次函数全体定义域求最值；2.忽略x的定义域对的限制，默认能取到1和-1；3.A＜0时未反向求最值 （2025春•温州期中）已知f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx，则f（x）的最小值为（　　）经典例题1例题 A．0 B． C．1 D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】由正弦二倍角公式，即换元得到，即可求解． 【解答】解：f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x+sinxcosx， 令t＝sin2x∈[﹣1，1]， 整理得，故g（t）的对称轴方程为：， 所以当t＝﹣1时，取到最小值0， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． （2025秋•安徽月考）已知函数f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x+4的最大值为f（θ），则tanθ＝（　　）经典例题2例题 A． B． C．3 D．﹣3 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】利用二倍角的三角函数公式化简函数表达式，确定θ的表达式，利用和差角和倍角的正切公式求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x＝3sin2x﹣4cos2xsin（2x+φ）＝5sin（2x+φ）， 当2x+φ2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值为5，此时θkπ，k∈Z； 所以tanθ＝tan（kπ），k∈Z． 化简得tanθ＝tan（kπ）＝tan（）． 由tanφ，化简得2tan23tan2＝0，解得tan2或tan． 因为cosφ0，sinφ0，所以φ在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以tan，tanθ3． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的求值运算，是基础题． （2025秋•长沙校级月考）若实数x，y满足x2+2y2﹣2xy＝1，则2x2+2y2的最小值为（　　）经典例题3例题 A． B．3 C． D．2 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】利用三角换元，结合正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：因为x2+2y2﹣2xy＝（x﹣y）2+y2＝1， 令x﹣y＝cosα，y＝sinα， 则x＝cosα+sinα， 则2x2+2y2＝2（cosα+sinα）2+2sin2α＝2（1+2sinαcosα+sin2α） ＝2（1+sin2α） ＝3+2sin2α﹣cos2α＝3sin（2α﹣φ）∈[3，3]． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数性质在最值求解中的应用，属于基础题． （2024秋•丽水期末）函数在区间（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】设f（x）在区间上的最大值与最小值之差为m，根据正弦函数的图象与性质，确定出m达到最大值、最小值时相对应的t值，进而求出m的最大值与最小值，可得所求答案． 【解答】解：根据正弦曲线的性质，可知： 当点（t，f（t））与点（t，f（t））关于点（t，0）对称时， 函数f（x）在区间上的最大值与最小值之差达到最大值， 此时f（t）＝2sin（3t）＝0． 不妨设f（x）在区间上单调增，可得3t2kπ，k∈Z，解得tkπ，k∈Z． f（x）的最大值为f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ）＝2sin， 最小值为f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ）＝2sin（）， 所以f（x）在区间上的最大值、最小值之差的最大值为． 若f（x）在区间上不单调，且f（t）＝f（t）时， 则f（x）在区间上的最大值与最小值之差达到最小值． 此时f（t）达到最大或最小值，不妨设f（t）为最大值2，即2sin（3t）＝2， 则3t2kπ，k∈Z，解得tkπ，k∈Z． 此时f（x）的最小值为f（t）＝f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ）， 所以f（x）在区间上的最大值与最小值之差的最小值为2． 综上所述，f（x）在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是[2，]． 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性与最值等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题． （2025•安徽校级开学）已知实数x，y满足（2x﹣y）2+4y2＝1，则2x+y的最大值为（　　）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】由进行换元求解． 【解答】解：因为（2x﹣y）2+4y2＝1， 令， 所以2x+y＝2x﹣y+2y＝sinθ+cosθ ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数最值的求解，属于基础题． （2025秋•济宁校级期末）若x2+y2＝2，那么2x﹣3y的最大值为　　 ．小试牛刀3 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】设，利用三角函数有界性得函数的最大值． 【解答】解：设， 所以2x﹣3y＝2sin（α+φ），φ为辅助角， sin（α+φ）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查辅助角公式，考查三角函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 【题型6：图像变换结合三角函数的图像性质综合】 【解题策略】 一、必备核心思路 此题型是高考高频综合题，核心是“先通过图像变换得到目标函数解析式，再结合三角函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解问题”，或“先利用性质确定解析式参数，再进行图像变换”。 二、常见综合考法及实用解法 考法1：由变换求解析式，再求性质 1.根据图像变换路径（如“经平移、伸缩得到”），求出目标函数的解析式（参考题型2的变换方法）. 2.利用整体代换思想求性质：①单调性：令，根据的单调区间，解不等式求x的范围；②对称性：对称轴满足（k∈Z），对称中心满足（k∈Z）；③周期性：. 考法2：由性质求解析式，再进行变换 1.根据已知性质（如周期、单调性、对称轴、最值等），求出解析式的参数A、ω、φ（参考题型3、5的解法）. 2.按照题目要求进行图像变换（如“将的图象向左平移个单位，再伸缩得到”），并求解的相关问题（参考题型2的变换步骤）. 考法3：变换与性质的双向约束 1.已知变换路径和某一性质（如“经变换得到的函数是奇函数”），求参数φ或ω的值：①奇函数性质：且定义域关于原点对称，即；②偶函数性质：，即；③结合变换过程中ω、φ的由来，列方程求解. 三、解题关键技巧 1.整体代换：处理性质时，始终令，将问题转化为的性质问题，降低难度. 2.数形结合：画出函数的大致图象，结合图像直观判断单调区间、对称中心等，避免抽象推导错误. 3.参数验证：求出参数后，需代入变换过程和性质中验证，确保符合所有条件. 四、易错点提醒 1.整体代换时忘记ω的正负对不等式方向的影响；2.混淆对称轴与对称中心的求解方程；3.忽略变换过程中参数与性质的约束关系，导致参数多解或错解. （24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： （23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为 ；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为 ．经典例题2例题 【答案】 2 【分析】根据题意可得最小正周期满足，再由，求出，再根据三角函数的平移变换可得，由对称轴可得，，进而求出，再根据三角函数的性质即可求解. 【详解】因为的最大值和最小值分别为和， 又，所以，中一个为最大值，一个为最小值， 因为的最小值为，所以的最小正周期满足， 所以，故. 将的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为， 由题意可知，直线是图象的一条对称轴， 所以，，所以，， 又，令，则，所以. 因为，所以， 所以在区间上为减函数， 故最小值为. 故答案为：2； （23-24高三上·湖南长沙·月考）将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则 .经典例题3例题 【答案】 【分析】先将横坐标伸长为原来的2倍得出,再将所得图象向左平移个单位长度得到函数，最后应用奇函数的性质求参数关系即可. 【详解】将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数， 因为为奇函数，图象关于原点对称，所以有， 解得. 故答案为: （2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得函数的周期，根据最小正周期的计算公式，求得参数，根据复合函数以及三角函数的单调性和对称性，可得答案. 【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 故选：D. （25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ）小试牛刀2 A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，， 令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，， 所以， 即，则， 所以． 故选：B （2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得， 由面积为及对称性知，，进而， 代入结合，得. 故选：B 【题型7：三角函数图像应用的新文化题】 （24-25高一下·北京·期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．经典例题1例题    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由4个函数的周期和的周期之间的关系，结合函数图象并应用特值法排除，即可得. 【详解】由、、、的最小正周期依次为， 由图知的最小正周期为2，则或， 对于，有，与图象不符， 综上，，即为②③的组合. 故答案为：②③ （2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：经典例题2例题 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 【答案】C 【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可知：，可得， 则， 结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角， 所以小明弹奏的音是“角”. 故选：C. （24-25高三上·江苏南京·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）经典例题3例题    A． B． C．1s D． 【答案】C 【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 【详解】因为，，，所以，又，所以， 则，由可得， 所以，， 所以，，故， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s. 故选：C. （24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 小试牛刀1 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 【多选题】（24-25高一下·山东临沂·月考）《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．当时，的值域为 C．在区间上单调递增 D．将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据题设描述的正弦型函数的性质求解析式，再结合正弦函数的性质求区间值域和区间单调性判断A、B、C；根据图象平移写出解析式，应用代入法判断对称中心确定D的正误. 【详解】由题设，函数的周期满足：，解得， 且，， 即，，因，则， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由可得，故，故B错误； 对于C，由可得，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得， 因，即得到的函数图象不关于点对称，故D错误. 故选：AC （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（    ）.小试牛刀3    A． B． C．π D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即， 所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即， 因为，所以令，即， 故选：D. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】依题意可得，利用正切型函数的性质求得，，再根据确定的最大最小值即可. 【详解】由题意得，则，即，． 因为，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为． 故选：D. 2．（25-26高三上·河南·月考）已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移变换求出函数解析式，再利用图象经过的点，求出的表达式即可得解. 【详解】由函数的图象向左平移个单位，得， 又所得函数的图象经过点，则，而， 所以. 故选：C 3．（2025高三上·江苏·学业考试）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 4．（25-26高三上·湖南·月考）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，则， 所以， 由题意可得，则， 此时， 又时，，则， 即，而，则. 故选：A 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称 C．当时，的值域为 D．当取得最值时， 【答案】C 【分析】根据和差公式、二倍角公式对原函数进行化简，再结合三角函数的性质逐项分析即可. 【详解】. 将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，， ，解得. . 选项A：的最小正周期为，故A错误； 选项B：将的图象向右平移个单位长度后得到， 函数图象不关于轴对称，故B错误； 选项C：当时，， ， 因此当时，的值域为，故C正确； 选项D：，，则，， 因此当取得最值时，，，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 7．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期求，再代入“五点”中的一个点，即可求. 【详解】由图象可知，，得，在的一个递减区间内， 则当时，，得，又, 当时，. 故选：C 8．（25-26高三上·云南昆明·期中）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象.若函数为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数图象变换求得，根据函数为奇函数，求得的值. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得函数的图象. 再将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象. 依题意，函数为奇函数，则，所以，， 即，，又，故 故选：A. 9．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 二、多选题 10．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ） A．函数的周期为 B． C．是图象的一个对称中心 D．的解集为 【答案】BC 【分析】利用解析式可求得最小正周期判断A；利用面积可求得点的坐标，进而可求判断B；求得函数的对称中心可判断C；求得不等式的解集判断D. 【详解】对于A，由，所以函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，，因为的面积为，所以， 所以，所以，所以. 所以，即， 又因为，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 所以函数图象的对称中心为， 当时，可得是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，由，得，所以， 所以，解得， 所以的解集为，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 【答案】ABD 【分析】根据函数的部分图象求出的解析式，结合正弦函数的奇偶性、单调性、最值与零点可判断各个选项. 【详解】设函数的周期为，由图象可知，，，所以，解得，此时； 如图，，因为，所以，因此； 对于A，因为函数，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以，结合正弦函数的单调性知，在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最小值等于，故C错误； 对于D，依题意，，由，，得；因为，函数在上有2个零点，，解得，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．是偶函数 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【分析】先根据图象求解出的值，然后可得的解析式，由此可判断A；根据整体代换法可求出的对称中心，由此可判断出B；根据图象变换可求的解析式，则的奇偶性可知，由此可判断C；根据整体代换法可求出的单调递增区间，由此可判断出D. 【详解】显然，由，得， 由，得， 因为，所以时，则，A正确； 令，得，所以图象的对称中心为，B错误； 的图象向左平移个单位长度得到， 显然是偶函数，C正确； 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确； 故选：ACD. 13．（24-25高一下·贵州遵义·月考）《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象的一个最高点为，相邻两个对称中心的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B．在区间上的最大值为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象上所有点向左平移个单位长度，得到奇函数的图象 【答案】AC 【分析】AC选项，根据最高点得到AC正确；B选项，求出最小正周期，进而得到，代入，求出，得到，整体法求出函数在上的最大值；D选项，求出平移后的解析式，得到其不是奇函数. 【详解】AC选项，由题意得，是图象的一条对称轴，AC正确； B选项，最小正周期，则， 所以，将代入得，即， 又，故，解得，， 当时，， 又在上的值域为， 故在区间上最大值为2，B错误； D选项，将的图象上所有点向左平移个单位长度， 得到， 由于，显然不是奇函数，D错误. 故选：AC 三、填空题 14．（25-26高一上·北京·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 15．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据三角函数变换求出，然后令其为0，求出零点，并根据零点的范围列出不等式，得到. 最后分析讨论求出结果即可. 【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 则. 令，则，所以， 因为函数在区间上恰有2个零点，所以， 化简得，因为，所以. 设区间内包含的整数为和需满足. 同时，和不在此区间内. 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)，此时或 【分析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为．    （2）令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 17．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)建系见解析，点 ，点 ； (2)最大值为. 【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标； （2）把四边形的面积表示为的函数，利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 18．（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】(1)作图见解析， (2)该船在或时可以进入港口 【分析】（1）根据表格中的数据可作出函数的图象，结合图象信息可求出、、的值，当，时，并结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数解析式； （2）分析可知，货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港，解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．    由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． 19．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数. (1)把函数化简为的形式，并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求先列表再作图）； (2)求的单调递增区间； (3)若时，方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的图象作图即可； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可； （3）方程有解，则在上值域即为的范围，求出在上的值域即可. 【详解】（1）由， ， 列表如下： 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如图所示： （2）令，解得， 故的单调递增区间为； （3）当时，，则， 所以在上的值域为 因为方程有解，所以的取值范围为. 20．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数． (1)求； (2)判断曲线的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标； (3)如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在区间上的示意图； 【答案】(1) (2)是，对称中心为 (3)答案见解析 【分析】（1）利用诱导公式将函数表达式化简计算可得结果； （2）结合（1）中结论以及函数对称中心定义即可判断； （3）根据中心对称图象特征作出其关于成中心对称的图象即可. 【详解】（1）由可知 ； 因此 （2）根据（1）中分析由可知的图象是中心对称图形，其对称中心为； （3）结合已有图象以及函数的对称中心，只需作出函数在区间上的图象关于成中心对称的图象即可； 可在区间上取关键点，它们关于点对称的点坐标为，用平滑的曲线连接即可做出对称的图象如下图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $