5.7 三角函数的应用教案(1)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用（第 2 课时） 【教学内容】 学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。 【教学目标】 1. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型； 2. 初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解； 3. 会使用三角函数模型解决简单的实际问题。 【教学重难点】 教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题. 教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型. 【教学过程】一、导入新课 思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例： 小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。 请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？ 函数模型；因为它具有 性质。二、课堂探究 例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y Asin(x ) b ( A 0, 0, ) （1） 求这一天 6—14 时的最大温差； （2） 写出这段曲线的函数解析式。 1 学科网（北京）股份有限公司 解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是 20℃ （2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数 小结： （1） 振幅 A= b= 如何求函数中的和； （2） 所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。 例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报. (1) 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001). (2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久? (3) 若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速 度减少,如果这条船停止卸货后需 0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？ 小组合作发现，代表发言。可能结果： 1） 水深的最大值是 7.5 米，最小值是 2.5 米。 2） 水的深度开始由 5.0 米增加到 7.5 米，后逐渐减少一直减少到 2.5，又开始逐渐变深，增加到 7.5 米后，又开始减少。 3） 水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。 4） 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式） 5） 教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类 型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数 y Asin(x ) b（关键在 于周期性）。 （学生活动，求解解析式）A=2.5,b=5,T=12.4, =0; T 2 12.4, 得 5 y 2.5sin 5x 5 . . 31 31 5x 所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 y 2.5sin 5 近似描述. 31 得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。 学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表. 问题探究 2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？ （师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深≥5.5 米 (2)货船需要的安全水深为 4+1.5＝5.5(米),所以当 y≥5.5 时就可以进港. 令 2.5sin 5x 5 5.5 31 sin 5x 0.2 31 由计算器可得 MODE MODE 2 sin-1 SHIFT 0.2 = 0.201 357 92≈0.201 4. 如图,在区间[0,12]内,函数 y 2.5sin 5x 31 5 的图象与直线 y＝5.5 有两个交点 A、B, 因此 5x≈0.201 4,或π－ 31 5x≈0.201 4. 31 解得 xA≈0.3975,xB≈5.8025. 由函数的周期性易得:xC≈12.4+0.3975＝12.7975,xD≈12.4+5.8025＝18.2025. 因此,货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨 5 时 45 分左右出港;或在下午 13 时左右进港,下午 18 时左 右出港.每次可以在港口停留 5 小时左右. 刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题： 问题探究 3：在探究 2 条件中，若该船在 2：00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ （学生讨论）安全即需要：实际水深≥安全水深，即： 5x 2.5sin 5 5.5 0.3( x 2) , 31 讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？ 设在时刻 x 货船的安全水深为 y,那么 y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐 标系内作出这两个函数的图象,可以看到在 6—7 时之间两个函数图象有一个交点. 借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为（7.016,3.995），故我们只需要算出 6，6.5，7 三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间 实际水深 安全水深 是否安全 6 5.25 米 4.3 米 安全 6.5 4.62 米 4.1 米 较安全 7 4.01 米 4.0 米 危险 因此为了安全,货船最好在 6.6 时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.（可能有的同学有些异议，可以讨论） 从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？ （学生讨论） 可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度. 小结：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释. 三、课堂总结 本类题型的一般解题步骤：实际情境 发现和提出问题 收集数据 处理数据 （如：散点图） 选择函数模型 求解函数模型 检验模型 应用到实 际问题 符合实际 不符合实际 四、课后作业 【目标检测题】（见资源包） $$