第24讲：正弦函数、余弦函数的图像与性质【知识梳理+9个题型归纳与方法总结+课后针对性练习】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦正弦函数与余弦函数的图像与性质，以五点法作图为核心，系统梳理图像绘制步骤，通过图像直观推导定义域、值域、周期性等性质，衔接易混概念辨析与易错点解析，构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于以图像为载体培养数学眼光，通过性质对比表格发展数学思维，结合9类题型分类及解题策略提升数学语言表达能力。课中辅助教师突破重难点，课后例题与练习题助学生查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第24讲：正弦函数+余弦函数的图像与性质】 总览 题型梳理 1.正弦函数与余弦函数的图像绘制（核心方法：五点法） 五点法是绘制三角函数图像的核心方法，核心思路是选取函数一个周期内的5个关键控制点，通过描点、连线得到图像（再利用周期性延伸至整个定义域）. （1）正弦函数的图像绘制 第一步：确定一个周期.正弦函数的最小正周期为，选取核心周期. 第二步：找五个关键点.选取周期内使函数值取0、1、-1的关键x值，对应坐标如下： 0 0 1（最大值） 0 -1（最小值） 0 第三步：描点连线.按坐标描出五个点，用平滑曲线连接，得到在上的图像（正弦曲线）. 第四步：周期延伸.利用，将上的图像向左、向右平移个单位，得到整个定义域上的图像. （2）余弦函数的图像绘制 核心逻辑：与正弦函数类似，最小正周期为，选取周期找五个关键点. 五个关键点坐标： 0 1（最大值） 0 -1（最小值） 0 1 描点连线与延伸：同正弦函数，描点后平滑连线得到上的余弦曲线，再利用周期性平移得到上的完整图像. （3）正弦曲线与余弦曲线的关联 余弦曲线可由正弦曲线平移得到：，即把的图像向左平移个单位，可得到的图像. 2.由图像推导的核心性质（定义域、值域、周期性等） 三角函数的性质可直接由图像直观得出，正弦函数与余弦函数的核心性质对比如下： 性质 正弦函数 余弦函数 定义域 （全体实数） （全体实数） 值域 ，最大值1，最小值-1 ，最大值1，最小值-1 周期性 最小正周期，周期通式 最小正周期，周期通式 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称（） 偶函数，图像关于y轴对称（） 单调性 递增区间：；递减区间： 递增区间：；递减区间： 对称性 中心对称：关于点对称；轴对称：关于直线对称 中心对称：关于点对称；轴对称：关于直线对称 二、概念比较（易混概念辨析） 1.正弦曲线与余弦曲线的图像差异：正弦曲线过原点，在处函数值为0；余弦曲线过点，在处取最大值1.二者的平移关系是，而非简单的上下平移. 2.周期与最小正周期：周期是指满足的非零常数，而最小正周期是所有周期中最小的正数.正弦、余弦函数的周期有无数个（），但最小正周期唯一，为，不可将“周期”等同于“最小正周期”. 3.正弦函数与余弦函数的单调区间：二者的单调区间均以为周期重复，但递增、递减区间的起始位置不同.正弦函数在递增，余弦函数在递增，需注意区分“型”与“型”起始点. 4.对称性的两种类型：中心对称（关于点对称）和轴对称（关于直线对称）.正弦函数的对称中心是，对称轴是；余弦函数的对称中心是，对称轴是，不可混淆“点”与“直线”的对称特征. 5.五点法的“关键点”与普通点：五点法选取的是周期内函数值取最值（1、-1）和零点（0）的点，这些点决定了图像的“轮廓”，而非任意五个点.若选取非关键点，可能导致图像变形，无法准确反映函数特征. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.五点法绘图遗漏或错选关键点 错误示例：绘制图像时，误将、等非关键点纳入“五点”，导致图像平滑性错误；或绘制时，将对应的函数值错写为0，违背余弦函数性质. 规避方法：牢记两类函数五点的核心特征——正弦函数“0→1→0→-1→0”，余弦函数“1→0→-1→0→1”，按周期逐一对应x值，确认坐标无误后再描点. 2.混淆周期与最小正周期 错误示例：认为“正弦函数的周期是”，忽略周期的多样性（如、等均为周期）；或求解“的周期”时，错误回答“”，混淆与正弦型函数的周期. 规避方法：明确“周期”与“最小正周期”的定义差异，记忆正弦、余弦函数的最小正周期为，周期通式为；解题时若未明确“最小”，需说明周期的通式，若明确“最小”，则直接答. 3.单调区间书写遗漏周期参数 错误示例：将的递增区间写为，忽略函数的周期性，仅描述了一个周期内的递增区间，未涵盖全体定义域. 规避方法：牢记三角函数的单调区间是“周期性重复”的，书写时必须添加周期参数；同时注意区间的闭区间符号（端点处函数连续，可包含端点）. 4.对称性判断混淆“点”与“直线” 错误示例：认为“关于直线对称”“关于点对称”，颠倒了中心对称与轴对称的特征. 规避方法：结合图像记忆对称性——正弦曲线过原点，绕原点旋转180°重合，故关于原点（及）中心对称；余弦曲线关于y轴对称，故关于轴对称.可通过代入验证：若，则关于直线对称；若，则关于点对称. 5.图像平移方向或单位错误 错误示例：认为“可由向右平移个单位得到”，混淆平移方向；或平移单位错写为，违背的变换关系. 规避方法：牢记“左加右减”的平移法则（针对x的变化）：是向左平移个单位，是向右平移个单位.由，可知是“向左平移个单位”，可通过代入x=0验证：平移后x=0对应原函数，，左移后x=0时，验证正确. 四、重点记忆+常考结论 1.核心基础记忆 五点法核心：正弦“0→1→0→-1→0”，余弦“1→0→-1→0→1”，周期均为. 值域与最值：、的值域均为，当且仅当时，时；时，时（）. 奇偶性核心：（奇），（偶），定义域均为（关于原点对称）. 2.常考结论（高频考点） （1）周期相关结论：①正弦、余弦函数的最小正周期均为，若函数变为、，最小正周期为（延伸结论，提前衔接后续知识点）；②若，则，周期的整数倍仍为周期. （2）对称性衍生结论：①若关于直线对称，则，此时；②若关于点对称，则，此时. （3）单调区间应用结论：①比较两个正弦值大小：若（正弦函数递增区间），则；②比较两个余弦值大小：若（余弦函数递减区间），则. （4）最值相关结论：①或时，函数取最大值1；或时，取最小值-1；②（同角三角函数关系），故与不能同时取1或同时取-1. （5）图像变换结论：①向左平移个单位得；②关于x轴对称得，关于y轴对称得；③关于x轴对称得，关于y轴对称得. （6）零点相关结论：的零点为；的零点为，零点即函数图像与x轴的交点. 3.记忆口诀（辅助记忆） 五点法：正弦零点起，先升后降回零点；余弦最大起，先降后升回最大. 单调性：正弦增区间，负半π到正半π；余弦增区间，π到2π记心怀. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：五点法作图】 【解题策略】 核心题型： 用五点法绘制或在上的图像 用五点法绘制或的图像 根据图像特征确定函数解析式（逆向五点法） 解题策略： 1.正弦函数五点： 2.余弦函数五点： 3.作图步骤：列表→描点→平滑连线→周期延伸 （2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像：经典例题1例题 (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： （2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数. 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. （24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ）小试牛刀1 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B （24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图．小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】按列表、描点、连线可得答案. 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 （24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：小试牛刀3 x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【分析】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 【题型2：周期性问题】 【解题策略】 题型分类： 求函数最小正周期（如） 判断函数周期性（如） 根据周期性求参数（如已知周期求） 核心结论： 的最小正周期为 或的最小正周期 周期函数加减乘除周期函数（周期相同）仍为周期函数，周期不变或为原周期的约数 易错点： 混淆周期与最小正周期概念，误将"周期"等同于"最小正周期" （2025高一上·全国·专题练习）求下列三角函数的周期．经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照三角函数的周期性，或者结合函数图像得出三角函数的周期. 【详解】（1）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （2）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （3）因为 ， 由周期函数的定义知，的周期为． （4）的图象如图（实线部分）所示， 由图象可知，的周期为． （2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. （24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象变换作出的图象求解即可. 【详解】的图象如图所示，    由图象可知最小正周期为. 故选：B. （24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期：小试牛刀2 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由周期公式直接计算即可； （2）由即可计算，结合图象验证结论. 【详解】（1）由周期公式得. （2）因为， 图象如下图所示， 所以函数的周期为. （21-22高三上·河南·开学考试）函数的的一个周期为（  ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数两部分的周期，即可求得函数的周期. 【详解】易知，的最小正周期分别为，，则，的公倍数是的一个周期. 故选：D 【题型3：奇偶性与对称性问题】 【解题策略】 题型分类： 判断函数奇偶性（如） 求函数对称轴或对称中心（如的对称轴） 根据对称性求参数（如已知关于轴对称，求） 核心结论： 正弦函数：奇函数，图像关于原点对称，对称中心，对称轴 余弦函数：偶函数，图像关于轴对称，对称中心，对称轴 对称性关系：相邻两对称轴距离=相邻两对称中心距离=半周期；对称轴与对称中心距离=1/4周期 解题策略： 1.奇偶性判断：验证 2.对称轴求解：令（正弦型）或（余弦型），解 3.对称中心求解：令（正弦型）或（余弦型），解得横坐标，纵坐标为0 （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A （25-26高三·全国·假期作业）已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式确定，再代入点，结合正弦函数的性质可得答案. 【详解】根据题意，，因为，所以， 所以． 又函数的图象关于点中心对称， 所以，所以，， 所以，． 因为，所以，解得， 又，所以，故． 故答案为：. （25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A （2025高三·全国·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得，结合，即可得出答案. 【详解】依题意，又其为偶函数， 则图像关于轴对称，则， 得，又，则或. 故选：B （2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值. 【详解】根据余弦函数的性质的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，为． 故选：B 【题型4：单调性问题（重点题型）】 【解题策略】 题型分类： 求函数单调区间（如的递增区间） 根据单调性比较函数值大小（如比较与） 根据单调性求参数范围（如已知在上递减，求） 核心结论： 正弦函数增区间：，减区间： 余弦函数增区间：，减区间： 复合函数单调性：同增异减（内函数与外函数单调性相同则增，不同则减） （24-25高一下·全国·课后作业）求函数的单调递增区间．经典例题1例题 【答案】 【分析】先求定义域，再结合函数的单调性和正弦单调性计算即可. 【详解】由解得． 又单调递增区间为 函数为定义域上的增函数， 所以原函数的单调递增区间为 （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整体代换法求单调区间即可求解. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为． 故选：B （24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． （23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解. 【详解】（1）函数的递增区间为，， 递减区间为，， 则函数的递增区间为，， 递减区间为，， （2）因为求的单调增区间即求的单调减区间， 因为求的单调减区间即求的单调增区间， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. （3）令，，得，， 即，， 所以的单调递减区间为，； 令，，得，， 即，， 所以的单调递增区间为，. （23-24高二上·甘肃武威·月考）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 【题型5：值域与最值问题（必考题型）】 【解题策略】 题型分类： 求函数值域（如） 求函数最大值或最小值（如） 根据值域或最值求参数（如已知的值域为，求） 核心策略： 1.直接利用三角函数有界性： 2.换元法：令或，转化为二次函数求值域 3.配方法：如，结合分析 （25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ）经典例题1例题 A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. （24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．经典例题2例题 （2）求函数的值域． 【答案】； 【分析】（1）根据，得出的值域，令，将问题转化为求二次函数的值域即可求解； （2）先将函数转化为，然后利用余弦函数的取值范围建立不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则令， 所以. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以时，函数单调递增， 则当时，， 当时，. 综上，函数的值域为. （2）因为，所以，且. 又因为，所以，即， 整理得，解得或， 综上，函数的值域为. （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的值域.小试牛刀2 【答案】 【分析】首先进行变形，用表示，然后利用解出的范围，即为值域. 【详解】由可得， 即，，， 根据三角函数的性质，， 因此，两边同时平方可得，即， 解不等式，有，，， 解得或. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时应用正弦函数的值域得出当时，有最小值，最后结合最小值即可求参． 【详解】因为当时，， 所以，当时，有最小值． 可得的最小值为，解得. 故选：A. 【题型6：图像变换问题（必考题型）】 【解题策略】 题型分类： 平移变换（如将图像向左平移单位） 伸缩变换（如将图像纵坐标伸长为原来2倍） 对称变换（如关于轴、轴、原点对称） 综合变换（如） 核心规律： 1.平移变换："左加右减，上加下减"（针对和） ：将图像向左平移个单位 ：将图像向上平移个单位 2.伸缩变换： ：振幅变为（纵向伸缩） ：周期变为（横向伸缩） 3.对称变换： ：关于轴对称 ：关于轴对称 ：关于原点对称 （25-26高三上·福建厦门·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 .经典例题1例题 【答案】 【分析】通过平移变换得到的表达式为,再利用 “整体法”对正弦型函数的对称轴方程进行分类讨论求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 令,解得图像的对称轴方程为， 要求与轴距离最短的对称轴的方程，即求距离的最小值，则 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 综上可知或时，距离都大于，故与轴距离最短的对称轴的方程是. 故答案为： （2025·河南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ）经典例题2例题 A．4 B．5 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B （25-26高三上·湖北孝感·月考）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数图象的性质，确定函数的周期，从而得，即可得的最小值. 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，故的最小值为 故选：D. （25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，若为偶函数，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为偶函数得的图象关于直线对称.，再根据余弦函数的对称性即可求得. 【详解】∵为偶函数，∴的图象关于直线对称. ∴， ∴. ， 故选：A. （24-25高一下·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .小试牛刀3 【答案】. 【分析】利用三角函数的平移可得新函数，再结合正弦函数的图像性质，可求得函数的对称轴方程为，，通过对取值进行比较，从而可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 由正弦函数的图像性质可知，函数的对称轴方程为，， 解得，， 当时，；当时，， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 故答案为：. 【题型7：解三角不等式问题（高频考点）】 【解题策略】 题型分类： 简单不等式（如） 复合不等式（如） 含参数不等式（如，求范围或参数范围） 解题策略： 1.利用三角函数图像求解： 先求或的解（关键点） 根据函数单调性确定不等式解集区间 结合周期性写出所有解 2.典型不等式解集： ：当时，无解或全体实数；当时， ：类似，解集为 （2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】函数的定义域满足：， 即，注意到， ，， 则， ，，其中. 从而，. （24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. （24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】列不等式求解即可. 【详解】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. （24-25高一下·四川内江·月考）已知，则不等式的解集为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】依题意可得，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】由，即，所以， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： （24-25高一下·四川南充·月考）设，使且同时成立的x的取值范围 小试牛刀3 【答案】 【分析】根据正弦曲线与余弦曲线分别求出在下的角的范围，再求交集. 【详解】因为，由正弦曲线，当时，则， 由余弦曲线，当时，则， 所以且同时成立的取值范围为. 故答案为：. 【题型8：参数求解问题（难点题型）】 【解题策略】 题型分类： 根据图像特征求参数（如已知图像求） 根据函数性质求参数（如已知周期、对称轴、对称中心等） 根据特定条件求参数（如已知函数在某区间上的值域、单调性） 解题策略： 1.图像分析法： 振幅 周期（可从相邻波峰/波谷距离确定） 相位：通过特殊点代入确定（如平衡点、最值点） 2.性质应用法： 奇偶性：若为奇函数→ 对称性：对称轴；对称中心 （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B （25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 .经典例题2例题 【答案】11 【分析】由直线是曲线的一条对称轴，得到，进而得到在上单调递增，比较端点即可求解. 【详解】因为直线是一条对称轴，所以. 整理可得：，即， 由，得， 则函数在上单调递增， 因为函数在区间上不单调，所以，解得， 因为且，所以的最小值为11， 故答案为：11 （2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. （24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ）小试牛刀2 A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期 且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B （25-26高三上·山西大同·期中）已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 .小试牛刀4 【答案】11 【分析】由最大值得到，由为对称中心，得到，再结合单调性得到，再验证，即可求解. 【详解】因为， 所以，，所以， 又，所以是函数的对称中心， 所以，，所以， 所以，即， 所以是奇数，又函数在区间上单调， 所以即，所以， 当时，不符合题意； 当时，，，又， 取，时，满足， 所以最大值为11. 故答案为：11 【题型9：综合应用问题（压轴题型）】 【解题策略】 题型分类： 多性质综合（周期性+单调性+最值） 函数与方程（求在上的解） 解题策略： 1.数形结合：将函数性质与图像特征结合分析 2.转化思想：将复杂问题转化为基本性质问题 3.周期性应用：利用周期性将问题限定在一个周期内解决，再扩展至全体实数 （24-25高三上·河北·月考）已知，若，，且.经典例题1例题 (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后根据正弦函数的对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）由题意得函数的最小正周期. 所以，所以. 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. （24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中.经典例题2例题 (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）单调递增区间：；单调递减区间： (2)存在实数，证明见解析 【分析】（1）利用五点作图法来画出图象，根据图象写出单调区间. （2）由来进行判断和证明 【详解】（1）（i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. （24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有小试牛刀1 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据三角函数的周期性、对称性等知识求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）利用分离常数法，结合正弦函数的值域、函数的单调性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得，则； 令，则： 故的单调递增区间为：. （2）由， 因为，可得， 所以，即， 又由，方程有解， 即方程有解，即有解， 令，即有解， 令在上为单调递增函数， 则,所以， 即实数的取值范围为. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）若函数图象关于原点对称，的图象关于y轴对称，当时，，则（   ）小试牛刀2 A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．在有5个零点 D．方程在有5个根 【答案】ABC 【分析】先由函数的对称性推导出函数的周期性即可判断A，B项；再由函数的零点与方程的根以及量函数的图象交点之间的关系，数形结合即可判断C，D项. 【详解】对于A，因为的图象可由的图象向左平移个单位得到，且关于y轴对称， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因图象关于原点对称，则，由A可得， 故有，从而，， 即是的一个周期，故B正确； 对于C，令，得．如图①，作出和在上的图象， 可知两函数有5个交点，故有5个零点，故C正确； 对于D，如图②，作出和在的图象， 可知两函数图象有4个交点，即方程有4个根，故D错误． 故选：ABC. 【多选题】（24-25高一上·四川广元·期末）若函数的零点为，函数的零点为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确. 【详解】AB选项，分别令得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 其中，， 作出函数，和在上的图象，如图所示， 因为函数与在上的图象关于对称， 在上单调递减， 所以，，， 所以，故A错误，B正确； C选项，由图象可知，，故，C正确； D选项，由C知，，且，， 所以，即， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以图象关于对称，故B正确； 对于C，，，故在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项B，可知D错误. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可； 【详解】对于A：为偶函数，故A错误； 对于B：的最小正周期为，故B错误； 对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D：，则，故为偶函数，故D错误； 故选：C 5．（24-25高一下·四川成都·期末）函数，的零点个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】令得，结合，得到根的个数，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 故或或或，解得或或或， 所以零点个数为4. 故选：C 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先验证函数是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项. 【详解】因为，所以， 所以函数是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误； 取特殊值，令，则， 根据图象可以看出D错误，C正确. 故选：C. 7．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 8．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用求出，由求出，得到，再求即可. 【详解】设，则， 由得，， 所以，即，解得，所以， 由得， 可得， 所以， 当是偶数时，， 所以，由图知，而所以不符合题意； 当是奇数时， ， ，由图知，，所以符合题意， 所以. 综上，. 故选：D. 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是. 故选：C 11．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 二、多选题 12．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A利用二次函数性质求解最小值判断；对于B、C、D应用基本不等式求解最小值判断即可. 【详解】对于A：，显然时取到最小值2，故A正确； 对于B：由题意，所以， 当且仅当，即，也即时，等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D：， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 13．（24-25高一下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 【答案】ABD 【分析】应用代入法验证对称轴和对称中心判断A、C，整体法判断函数的区间单调性判断B；根据正弦型函数的区间单调性、值域确定曲线交点个数判断D. 【详解】A：由，则的图象关于直线对称，对； B：由题设，结合正弦函数性质知单调递增，对； C：由，则的图象关于直线对称，故不是对称中心，错； D：由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且在、、上对应值域依次为、、， 由题设，令， 则在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以在、、上单调递增，对应值域依次为、、， 在、上单调递减，对应值域均为， 所以与分别在、、、上各有一个交点，即共有4个交点，对. 故选：ABD 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：    对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD . 15．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】在同一个坐标系中作出与的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结合选项中的给定区间逐一判断即得. 【详解】函数的定义域为，由可得， 于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间. 如图作出两函数的图象如下：      对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增， 且，，故两函数在上必有交点， 即为原函数的一个零点所在区间，故A正确； 对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立， 而在上恒为增，且，故两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故B错误； 对于C，时，因在上递增，在上递减， 而在上恒为增，且，，， 即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确； 对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立， 而在上恒为增，且，即两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故D错误. 故选：AC. 三、解答题 16．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）根据“五点法”作图，即可得函数的图象； （2）利用函数图象结合，即可求得答案. 【详解】（1）列表如下： x 对应的图象如图：      （2）由且，结合图象知，且. 17．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【详解】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 18．（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据周期公式求出，即，再根据正弦函数单调区间求法求单调区间； （2），则，根据，求得或，分别在，，研究根的情况，得到答案. 【详解】（1）因为函数的周期为， 所以周期，解得，即函数； 由正弦函数的单调性，可令， 解得，，即的单调递增区间为； （2）由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为，， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述：方程的所有根的和为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第24讲：正弦函数+余弦函数的图像与性质】 总览 题型梳理 1.正弦函数与余弦函数的图像绘制（核心方法：五点法） 五点法是绘制三角函数图像的核心方法，核心思路是选取函数一个周期内的5个关键控制点，通过描点、连线得到图像（再利用周期性延伸至整个定义域）. （1）正弦函数的图像绘制 第一步：确定一个周期.正弦函数的最小正周期为，选取核心周期. 第二步：找五个关键点.选取周期内使函数值取0、1、-1的关键x值，对应坐标如下： 0 0 1（最大值） 0 -1（最小值） 0 第三步：描点连线.按坐标描出五个点，用平滑曲线连接，得到在上的图像（正弦曲线）. 第四步：周期延伸.利用，将上的图像向左、向右平移个单位，得到整个定义域上的图像. （2）余弦函数的图像绘制 核心逻辑：与正弦函数类似，最小正周期为，选取周期找五个关键点. 五个关键点坐标： 0 1（最大值） 0 -1（最小值） 0 1 描点连线与延伸：同正弦函数，描点后平滑连线得到上的余弦曲线，再利用周期性平移得到上的完整图像. （3）正弦曲线与余弦曲线的关联 余弦曲线可由正弦曲线平移得到：，即把的图像向左平移个单位，可得到的图像. 2.由图像推导的核心性质（定义域、值域、周期性等） 三角函数的性质可直接由图像直观得出，正弦函数与余弦函数的核心性质对比如下： 性质 正弦函数 余弦函数 定义域 （全体实数） （全体实数） 值域 ，最大值1，最小值-1 ，最大值1，最小值-1 周期性 最小正周期，周期通式 最小正周期，周期通式 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称（） 偶函数，图像关于y轴对称（） 单调性 递增区间：；递减区间： 递增区间：；递减区间： 对称性 中心对称：关于点对称；轴对称：关于直线对称 中心对称：关于点对称；轴对称：关于直线对称 二、概念比较（易混概念辨析） 1.正弦曲线与余弦曲线的图像差异：正弦曲线过原点，在处函数值为0；余弦曲线过点，在处取最大值1.二者的平移关系是，而非简单的上下平移. 2.周期与最小正周期：周期是指满足的非零常数，而最小正周期是所有周期中最小的正数.正弦、余弦函数的周期有无数个（），但最小正周期唯一，为，不可将“周期”等同于“最小正周期”. 3.正弦函数与余弦函数的单调区间：二者的单调区间均以为周期重复，但递增、递减区间的起始位置不同.正弦函数在递增，余弦函数在递增，需注意区分“型”与“型”起始点. 4.对称性的两种类型：中心对称（关于点对称）和轴对称（关于直线对称）.正弦函数的对称中心是，对称轴是；余弦函数的对称中心是，对称轴是，不可混淆“点”与“直线”的对称特征. 5.五点法的“关键点”与普通点：五点法选取的是周期内函数值取最值（1、-1）和零点（0）的点，这些点决定了图像的“轮廓”，而非任意五个点.若选取非关键点，可能导致图像变形，无法准确反映函数特征. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.五点法绘图遗漏或错选关键点 错误示例：绘制图像时，误将、等非关键点纳入“五点”，导致图像平滑性错误；或绘制时，将对应的函数值错写为0，违背余弦函数性质. 规避方法：牢记两类函数五点的核心特征——正弦函数“0→1→0→-1→0”，余弦函数“1→0→-1→0→1”，按周期逐一对应x值，确认坐标无误后再描点. 2.混淆周期与最小正周期 错误示例：认为“正弦函数的周期是”，忽略周期的多样性（如、等均为周期）；或求解“的周期”时，错误回答“”，混淆与正弦型函数的周期. 规避方法：明确“周期”与“最小正周期”的定义差异，记忆正弦、余弦函数的最小正周期为，周期通式为；解题时若未明确“最小”，需说明周期的通式，若明确“最小”，则直接答. 3.单调区间书写遗漏周期参数 错误示例：将的递增区间写为，忽略函数的周期性，仅描述了一个周期内的递增区间，未涵盖全体定义域. 规避方法：牢记三角函数的单调区间是“周期性重复”的，书写时必须添加周期参数；同时注意区间的闭区间符号（端点处函数连续，可包含端点）. 4.对称性判断混淆“点”与“直线” 错误示例：认为“关于直线对称”“关于点对称”，颠倒了中心对称与轴对称的特征. 规避方法：结合图像记忆对称性——正弦曲线过原点，绕原点旋转180°重合，故关于原点（及）中心对称；余弦曲线关于y轴对称，故关于轴对称.可通过代入验证：若，则关于直线对称；若，则关于点对称. 5.图像平移方向或单位错误 错误示例：认为“可由向右平移个单位得到”，混淆平移方向；或平移单位错写为，违背的变换关系. 规避方法：牢记“左加右减”的平移法则（针对x的变化）：是向左平移个单位，是向右平移个单位.由，可知是“向左平移个单位”，可通过代入x=0验证：平移后x=0对应原函数，，左移后x=0时，验证正确. 四、重点记忆+常考结论 1.核心基础记忆 五点法核心：正弦“0→1→0→-1→0”，余弦“1→0→-1→0→1”，周期均为. 值域与最值：、的值域均为，当且仅当时，时；时，时（）. 奇偶性核心：（奇），（偶），定义域均为（关于原点对称）. 2.常考结论（高频考点） （1）周期相关结论：①正弦、余弦函数的最小正周期均为，若函数变为、，最小正周期为（延伸结论，提前衔接后续知识点）；②若，则，周期的整数倍仍为周期. （2）对称性衍生结论：①若关于直线对称，则，此时；②若关于点对称，则，此时. （3）单调区间应用结论：①比较两个正弦值大小：若（正弦函数递增区间），则；②比较两个余弦值大小：若（余弦函数递减区间），则. （4）最值相关结论：①或时，函数取最大值1；或时，取最小值-1；②（同角三角函数关系），故与不能同时取1或同时取-1. （5）图像变换结论：①向左平移个单位得；②关于x轴对称得，关于y轴对称得；③关于x轴对称得，关于y轴对称得. （6）零点相关结论：的零点为；的零点为，零点即函数图像与x轴的交点. 3.记忆口诀（辅助记忆） 五点法：正弦零点起，先升后降回零点；余弦最大起，先降后升回最大. 单调性：正弦增区间，负半π到正半π；余弦增区间，π到2π记心怀. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：五点法作图】 【解题策略】 核心题型： 用五点法绘制或在上的图像 用五点法绘制或的图像 根据图像特征确定函数解析式（逆向五点法） 解题策略： 1.正弦函数五点： 2.余弦函数五点： 3.作图步骤：列表→描点→平滑连线→周期延伸 （2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像：经典例题1例题 (1)，. (2). （2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ）小试牛刀1 A．3 B．4 C．5 D．6 （24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图．小试牛刀2 （24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：小试牛刀3 x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【题型2：周期性问题】 【解题策略】 题型分类： 求函数最小正周期（如） 判断函数周期性（如） 根据周期性求参数（如已知周期求） 核心结论： 的最小正周期为 或的最小正周期 周期函数加减乘除周期函数（周期相同）仍为周期函数，周期不变或为原周期的约数 易错点： 混淆周期与最小正周期概念，误将"周期"等同于"最小正周期" （2025高一上·全国·专题练习）求下列三角函数的周期．经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)． （2025·上海杨浦·一模）函数的最小正周期为 .经典例题2例题 （24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的周期：小试牛刀2 (1)； (2). （21-22高三上·河南·开学考试）函数的的一个周期为（  ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：奇偶性与对称性问题】 【解题策略】 题型分类： 判断函数奇偶性（如） 求函数对称轴或对称中心（如的对称轴） 根据对称性求参数（如已知关于轴对称，求） 核心结论： 正弦函数：奇函数，图像关于原点对称，对称中心，对称轴 余弦函数：偶函数，图像关于轴对称，对称中心，对称轴 对称性关系：相邻两对称轴距离=相邻两对称中心距离=半周期；对称轴与对称中心距离=1/4周期 解题策略： 1.奇偶性判断：验证 2.对称轴求解：令（正弦型）或（余弦型），解 3.对称中心求解：令（正弦型）或（余弦型），解得横坐标，纵坐标为0 （25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三·全国·假期作业）已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ．经典例题2例题 （25-26高三上·天津河北·期中）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 （2025高三·全国·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·广西·模拟预测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：单调性问题（重点题型）】 【解题策略】 题型分类： 求函数单调区间（如的递增区间） 根据单调性比较函数值大小（如比较与） 根据单调性求参数范围（如已知在上递减，求） 核心结论： 正弦函数增区间：，减区间： 余弦函数增区间：，减区间： 复合函数单调性：同增异减（内函数与外函数单调性相同则增，不同则减） （24-25高一下·全国·课后作业）求函数的单调递增区间．经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， （23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). （23-24高二上·甘肃武威·月考）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：值域与最值问题（必考题型）】 【解题策略】 题型分类： 求函数值域（如） 求函数最大值或最小值（如） 根据值域或最值求参数（如已知的值域为，求） 核心策略： 1.直接利用三角函数有界性： 2.换元法：令或，转化为二次函数求值域 3.配方法：如，结合分析 （25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ）经典例题1例题 A． B． C．0 D． （24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．经典例题2例题 （2）求函数的值域． （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的值域.小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）如果函数在区间上的最小值为，则a的值为（    ）．小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：图像变换问题（必考题型）】 【解题策略】 题型分类： 平移变换（如将图像向左平移单位） 伸缩变换（如将图像纵坐标伸长为原来2倍） 对称变换（如关于轴、轴、原点对称） 综合变换（如） 核心规律： 1.平移变换："左加右减，上加下减"（针对和） ：将图像向左平移个单位 ：将图像向上平移个单位 2.伸缩变换： ：振幅变为（纵向伸缩） ：周期变为（横向伸缩） 3.对称变换： ：关于轴对称 ：关于轴对称 ：关于原点对称 （25-26高三上·福建厦门·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 .经典例题1例题 （2025·河南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（    ）经典例题2例题 A．4 B．5 C．10 D．16 （25-26高三上·湖北孝感·月考）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，若为偶函数，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .小试牛刀3 【题型7：解三角不等式问题（高频考点）】 【解题策略】 题型分类： 简单不等式（如） 复合不等式（如） 含参数不等式（如，求范围或参数范围） 解题策略： 1.利用三角函数图像求解： 先求或的解（关键点） 根据函数单调性确定不等式解集区间 结合周期性写出所有解 2.典型不等式解集： ：当时，无解或全体实数；当时， ：类似，解集为 （2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ．经典例题1例题 （24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ．经典例题2例题 （24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 .小试牛刀1 （24-25高一下·四川内江·月考）已知，则不等式的解集为 ．小试牛刀2 （24-25高一下·四川南充·月考）设，使且同时成立的x的取值范围 小试牛刀3 【题型8：参数求解问题（难点题型）】 【解题策略】 题型分类： 根据图像特征求参数（如已知图像求） 根据函数性质求参数（如已知周期、对称轴、对称中心等） 根据特定条件求参数（如已知函数在某区间上的值域、单调性） 解题策略： 1.图像分析法： 振幅 周期（可从相邻波峰/波谷距离确定） 相位：通过特殊点代入确定（如平衡点、最值点） 2.性质应用法： 奇偶性：若为奇函数→ 对称性：对称轴；对称中心 （2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B．3 C．2 D． （25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 .经典例题2例题 （2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ）小试牛刀2 A． B．2 C．5 D． （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B．2 C．3 D．4 （25-26高三上·山西大同·期中）已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 .小试牛刀4 【题型9：综合应用问题（压轴题型）】 【解题策略】 题型分类： 多性质综合（周期性+单调性+最值） 函数与方程（求在上的解） 解题策略： 1.数形结合：将函数性质与图像特征结合分析 2.转化思想：将复杂问题转化为基本性质问题 3.周期性应用：利用周期性将问题限定在一个周期内解决，再扩展至全体实数 （24-25高三上·河北·月考）已知，若，，且.经典例题1例题 (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. （24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中.经典例题2例题 (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. （24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有小试牛刀1 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）若函数图象关于原点对称，的图象关于y轴对称，当时，，则（   ）小试牛刀2 A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．在有5个零点 D．方程在有5个根 【多选题】（24-25高一上·四川广元·期末）若函数的零点为，函数的零点为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上递减 D．的图象关于点中心对称 4．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）函数，的零点个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 8．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 12．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．当时，曲线与的交点个数为4 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 15．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 16．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 17．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18．（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求方程的所有根的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $