精品解析：辽宁省沈阳皇姑区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度九年级（上）期末能力训练 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上边看得到的图形是解题的关键． 【详解】解：从上边看，该几何体的俯视图是一个矩形加一条实线， 故选：A． 2. 某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 由题意，后期分期付款总额为售价减前期付款，即元，每月付款额y与月数x满足反比例关系，即可解答． 【详解】解：∵电脑售价为12000元，前期付款4000元， ∴后期分期付款总额为元． ∵后期每月付款额相等，分x个月付清， ∴， ∴． 故选：B． 3. 将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（　　） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，将抛物线向下平移3个单位长度可得到； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 6. 如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ） A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定定理对甲、乙进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 7. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 8. 某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设票价每张x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设票价每张x元，由题意可得， 故选：B． 9. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由“三线合一”的性质可得，，再根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点E， ∵，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧， 得到：，，，， A、，，，得，故选项错误，不符合题意； B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意； C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意； D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_____. 【答案】x1=1, x2=2. 【解析】 【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得. 【详解】x(x-2)-(x-2)=0， ， x-1=0或x-2=0， 所以x1=1， x2=2， 故答案为x1=1， x2=2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键. 12. 如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ∴，，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 14. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以和为边作平行四边形，连接，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H，证明四边形是矩形，再证明，得到，求出，作交的延长线于点P，于点Q，证明得到，求出，由垂线段最短得到，进而完成解答． 【详解】解：如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作交的延长线于点P，于点Q，则， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先进行负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， 或， 解得． 17. 一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中2个红球，1个白球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记为随机摸球1次．若随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用树状图和列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表，确定所有等可能结果数以及两次摸出的小球都是红球有4种结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红）  （白，白） 由列表可知：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果， 所以两次摸出的小球都是红球的概率为． 18. 如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】需设置页边距为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先设页边距为，再根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，最后解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设页边距为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：需设置页边距为． 19. 如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，，且两人相距，求路灯的高度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设路灯的高度为x，先判定，再根据相似三角形的性质可得=，用含x代数式表示，同理，用含x代数式表示DN，再根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设路灯的高度为， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵两人相距， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵一次函数解析式， ∴，即， ∴面积为∶． 21. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的截面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 【答案】古树的高度约为米． 【解析】 【分析】如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，设与交于， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22. 在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． （1）利用图①，求证：； （2）若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； （3）如图②，交于点，若，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的面积为或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． 【小问3详解】 解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数表达式： （2）如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②2或；③． 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）①作交于，交于点，先用勾股定理求出对应的边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可； ②先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出； ③先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：∵已知直线与、轴交于点、点， ∴当时，，点； 当时，，点． ∵抛物线过点、点、点， ∴， 解得：，，． ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ①作交于，交于点， ∵点，点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，轴， ∴轴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当有最大值时，取到最大值． ∵点在上，点在上， 又∵点的横坐标为， ∴点，点． ∵点在点上方， ∴ ． ∴当时，有最大值为． ∴的最大值为：． ②∵， ∴． ∵中某角， ∴分情况讨论：（i）；（ii）． 在线段上找中点，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）①可得, ∴． ∵、点， ∴点，即点． 情况（i）：， ∵，， ∴． ∵设直线的解析式为：， 代入点，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设直线的解析式为：， 代入点、点， 得： 整理得：． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，解得． 情况（ii）：， 作交于． ∵， ∵，，， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵点，点， ∴， ， ， ， ． ∵由（2）可得，， ∴， ． ∵在和中， ， ∴． ∴， ∴，即． ∴， ， ． 又∵， ∴， ， ， 解得：，（舍）． 综上：或． ③对函数配方： ， ， ， ， ∴顶点为，当时，． ∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大； 当点在对称轴的右边时，随的增大而减小． 分情况讨论： 情况（i）：在对称轴的左边，且，即， ∵， ∴． ∵由，得． ∴当时，（舍）； 当时，，代入函数得：， ，即， 解得，即（舍），． 情况（ii）：在对称轴的右边，且，即， ∴当时，； 当时，． 又∵， ∴， ， ， 解得：（舍），（舍）． 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，包含的考点有二次函数的待定系数法、一次函数的图像与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，掌握数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级（上）期末能力训练 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移后得到抛物线，平移方法可以是（　　） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移3个单位长度 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 5. 如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ） A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 7. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 8. 某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_____. 12. 如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 13. 如图，边长为2正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是_____________． 14. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 15. 如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以和为边作平行四边形，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. 一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中2个红球，1个白球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记为随机摸球1次．若随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 18. 如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 19. 如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，，且两人相距，求路灯的高度是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 21. 如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的截面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 22. 在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． （1）利用图①，求证：； （2）若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； （3）如图②，交于点，若，求的长． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数表达式： （2）如图②，点是第一象限内抛物线上点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，取值范围是，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $