福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期第十八周周练数学试卷（选择性必修二第四章数列）

高二数学校本作业 高二年级 数学科 主题： 第四章 数列 编号16 主编： 审核 ： 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优 辅后 限时训练 网络批改：是 否 √ √ 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列，则5是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 2．已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 3．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．49 B．63 C．84 D．105 5．设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 7．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 2、 多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 11．设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，. 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 3、 填空题 12．在等比数列中，，则 ． 13．已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则 . 14．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1) 求的通项公式； (2) 求，并求的最小值． 16． 已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1) 求数列的通项公式； (2) 若，求的值. 17．已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．已知数列的通项公式为= n. 数列满足，. (1) 求数列的前n项和. (2) 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3) 求数列的前n项和. 19. (1) 已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列，求的通项； (2) 在数列中，，． (ⅰ) 求的通项公式； (ⅰⅰ) 若数列满足，且，，设其前项和为，且数列的前项和为， 求证：. 答案与解析 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知数列，则5是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【解题思路】根据规律找出数列通项求解即可. 【解答过程】因为 ，所以数列为所以通项公式为 令，得，所以5是这个数列的第23项. 故选：C. 2．已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【解答过程】由，，则，， 所以， 所以数列数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 3．设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【解题思路】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【解答过程】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A. 5．设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得到，利用等差中项求得，然后依次求得，即可求得. 【解答过程】∵，∴， 即，∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 6．设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，由题意得出，可得出，进而可得出关于的方程，结合可得出的值，进而可求出的值，可得出这两个数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和. 【解答过程】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中， 由题意，即，即，整理得， 因为，所以，故， 所以，则，故， 又因为， 所以数列的前项和为 . 故选：A. 7．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】设数列的最大项为，由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 8．已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 【答案】C 【解题思路】先根据条件求解出数列的首项和公比判断A，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式计算判断D，结合等比等差数列的定义判断判断BC. 【解答过程】对于A，因为无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为， 则，解得，A正确； 对于B，当时，，， 因为，， 所以是首项为，公比为的等比数列，B正确； 对于C，当时，，， 因为，所以是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，当时，，D正确. 故选：C. 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，...中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解题思路】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【解答过程】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC. 10．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【解题思路】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【解答过程】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 11．设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，. 则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得 ；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【解答过程】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以 ，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以 ，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题： 12．在等比数列中，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据等比数列性质计算可得． 【解答过程】，． 故答案为：． 13．已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则 . 【答案】 【解题思路】根据韦达定理计算可得，再由等比数列性质可知奇数项同号，得． 【解答过程】分别是方程的两个根， 则，所以， 又， 由知，， 所以， 故答案为： 14．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块． 【答案】 【解题思路】将其转化为等差数列求和问题，运用等差数列通项和前n项和性质求解. 【解答过程】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为{}的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故答案为. 4、 解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15． 记为等差数列的前项和，已知，． (1) 求的通项公式； (2) 求，并求的最小值． 【答案】(1) ；(2) ，的最小值为 【解答过程】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16．已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1) 求数列的通项公式； (2) 若，求的值. 【答案】(1) ；(2) 7. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 17．已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ；(2) . 【解答过程】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 18．已知数列的通项公式为= n. 数列满足，. (1) 求数列的前n项和. (2) 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3) 求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解答过程】（1）由题知，所以， 故. （2）由（1）知， 因为，所以 所以， 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. （3） 由（2）知, 所以. 19. (1) 已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列，求数列的通项公式； (3) 在数列中，，． (ⅰ) 求的通项公式； (ⅰⅰ) 若数列满足，且，，设其前项和为，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅰⅰ）证明见解析. 【解答过程】（1）由题可得，所以. 当时，；                                    当时，. 因为不满足上式，. (2)（ⅰ）因为，即， 所以，，…，将这个等式累加， 得， 又，所以， 因为也满足，所以． （ⅰⅰ）因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则， 所以， 所以 . 道阻且长，行则将至1 学科网（北京）股份有限公司 $