福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期数学第十二周周练（选择性必修一2.1-3.2）

2025-2026学年第一学期高二数学校本作业 高二年级 数学科 主题： 第二、三章 （2.1-3.2) 编号10 主编： 审核 ： 高二数学集备组 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优 辅后 限时训练 线上批改：是 否 √ √ 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则(    ) A. 直线方程的点斜式为 B. 直线方程的截距式为 C. 直线方程的斜截式为 D. 直线方程的一般式为 2. 已知直线与互相垂直，垂足为，则为(    ) A. B. C. D. 3. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是(    ) A. B. C. D. 4. 若椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的周长为 C. 的面积最大值为 D. 存在三条不同的直线使得为直角三角形 5. 设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率(    ) A. B. C. D. 2、 多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 7.已知两直线与，则(    ) A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 8.已知曲线，则下列结论正确的是(    ) A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为 B. 若，则曲线表示双曲线 C. 曲线可能表示一个圆 D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为 3、 填空题 9. 以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为___________． 10. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为______． 11. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，则的方程为____________． 12. 已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为________． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13.求满足下列条件的曲线的方程： 离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程； 与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程． 14.已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点． 求双曲线的标准方程； 求的面积． 15.已知点和点为椭圆上两点． 求椭圆的率心率 若过点的直线交椭圆于另一点，且的面积为，求直线的方程． 答案与解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查根据直线的方向向量求出直线的斜率，以及直线方程的求法，属于基础题． 先求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，再分别写出斜截式、截距式和一般式方程即可得解． 【解答】 解：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率． 因为直线经过点， 所以直线的点斜式为， 斜截式为， 截距式为， 一般式为． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，直线的一般式方程，属于基础题． 先由两直线垂直，求出，把垂足坐标代入，可求，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入可得，进而求得的值． 【解答】 解：直线与互相垂直， ，， 直线，即， 将垂足代入得，， ， 把代入，可得， ． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及几何意义，属于基础题． 根据题意可知双曲线焦点在轴上，列出方程，从而可得答案． 【解答】 解：显然双曲线焦点在轴上，故椭圆的焦点也在轴上，可得．  ，即． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：对于，，故A正确 对于，由椭圆的定义可知的周长为，故B正确 对于，的面积为，故C错误 对于，当点在上下顶点时，取得最大值，易知此时为锐角，故不可能为直角， 若为直角，则有，对应两条不同直线 若为直角，则有，对应一条直线， 综上共有三条不同直线，故D正确． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出，，   的值是解题的关键属于基础题． 根据双曲线和椭圆的定义可得，，中，由余弦定理求出，得出，由的面积公式运算得到结果． 【解答】 解：由曲线：的方程可得 、， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同， 不妨设在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得． ，， 在中，由余弦定理可得 ， ， 的面积为， 故选A． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线过定点问题、截距式方程、两条平行直线间的距离、两条直线平行的判定及应用、两条直线垂直的判定及应用，属于基础题． 根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】 解：对于选项，由直线，当时，， 所以直线过定点，故A正确； 对于选项，由直线，令，得， 所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于选项，若，则，解得，故C正确； 对于选项，若，则，解得， 所以直线，即， 所以与之间的距离为，故D错误． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆，双曲线，圆的概念及标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 先根据的符号以及与的关系可得曲线的类型可分析，，选项，之后联立直线和椭圆的方程，运用韦达定理结合弦长公式可分析选项． 【解答】 解：由题意： 若，根据双曲线的定义可知曲线表示双曲线，选项B正确 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 故曲线不可能表示一个圆，选项C错误 若曲线是椭圆，则， 因为， 所以椭圆的焦点在轴上， 故其长轴长为，选项A错误 若，则曲线为椭圆，方程为，焦点坐标为， 当过焦点的直线斜率为时，此时该直线截椭圆的弦长为； 当过焦点的直线斜率不为时，不妨设该直线过椭圆的右焦点，方程为，与椭圆的两个交点分别为， 由，可得， 则有 ， 当时，上式不等式可取等号，即， 综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为． 选项D正确． 故选BD． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆及双曲线的几何性质、标准方程，属基础题． 根据条件求出双曲线的、、值，即可求出方程． 【解答】 解：由椭圆方程可知所求双曲线的焦点为， 顶点为． 则设双曲线方程为， 所以， 则． 所以所求双曲线方程为． 10.【答案】 【分析】 确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出的值，即可求出双曲线的渐近线方程． 本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 【解答】 解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在轴上，且，即焦点坐标为， 即双曲线的焦点坐标为，则有，且，则， 则双曲线的标准方程为：，则其渐近线方程为：； 故答案为 11.【答案】 【分析】 设，，则有：两式作差得：求解即可． 本题综合考查了双曲线的方程，几何意义，属于中档题． 【解答】 解： 解：设 双曲线的标准方程为， 由题意知，， 设，， 则有： 两式作差得： 又的斜率是， 所以将代入得 ，． 所以双曲线的标准方程是． 故答案为．   【分析】 本题主要考查双曲线的定义、方程以及简单几何性质． 根据定义得到，再结合，建立关系式即可得解． 【解答】 解：，． 双曲线方程为， ，，可得 ， ，   又为双曲线上一点， ，，   因此， 的值为 ． 故答案为． 13.【答案】解：根据题意，椭圆的长轴长为，离心率为， 则，， 解得：，； 则， 若椭圆的焦点在轴上，其方程为， 若椭圆的焦点在轴上，其方程为， 综上可得：椭圆的标准方程为或；       根据题意，椭圆的焦点为和， 设所求双曲线的方程为，且，则有， 又双曲线经过点，则有 ， 联立解得： 故双曲线的方程为：  【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法，涉及椭圆、双曲线的几何性质，属于基础题． 根据题意，由椭圆的几何性质可得、的值，计算可得的值，讨论椭圆焦点的位置，求出椭圆的标准方程，即可得答案； 根据题意，求出椭圆的焦点坐标，进而可以设双曲线的方程为，分析可得和，解得、的值，即可得答案． 14.【答案】解：由题意可得，双曲线的焦点在轴上， 且，，， 解得：，， 所以双曲线的方程：； 由可得，， 由题意设，设交点，， 联立直线与双曲线的方程：， 整理可得：， 易得， ，， 所以 ， 即的面积为．   【解析】本题考查双曲线的标准方程，双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 由题意双曲线的焦点在轴上，求出，，代入双曲线方程即可求解； 联立直线与双曲线的方程，利用根与系数关系，结合弦长公式和三角形面积公式即可求解． 15.【答案】解：由点，在椭圆：上， 得，解得，， 则， 故椭圆的离心率为； 由题得， 设三角形底边上的高为， 由，解得， 又可求得直线的方程：， 设过点与直线平行的直线， 由，解得或， 当时，经检验此时与椭圆相离，故舍去； 当时，直线与直线关于原点对称， 可得与椭圆的交点即为点，关于原点的对称点，记作、， 分别与可求得直线方程为或， 因此，直线即直线的方程为或．  【解析】本题考查了求椭圆的离心率和椭圆中的面积问题，属于较难题． 将点坐标代入椭圆方程，求出和，即可求离心率 求出三角形底边上的高，设过点与直线平行的直线的方程：，利用平行线间的距离公式求出，分情况讨论即可求出直线的方程． 道阻且长，行则将至1 学科网（北京）股份有限公司 $