2026年广东省春季高考数学自测卷（4）

2026年广东省春季高考数学自测卷（4） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则（　　） A． B． C． D． 3．命题“，有实数解”的否定是（　　） A．，有实数解 B．，无实数解 C．，无实数解 D．，有实数解 4．已知，，则（　　） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数中，在上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 8．若，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．已知，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．已知直线，，，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若，，…， 的方差为，则，，…， 的方差为（　　） A． B． C． D． 12．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．若函数是幂函数，则　 　． 14．某高中高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人．现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了人，则　 　． 15．已知函数（）的最小正周期为，则　 ． 16．已知某圆锥的母线长为，高为，则圆锥的体积为　 ． 17．已知函数为奇函数，则　 ． 18．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为　 ． 三、解答题：本大题共4小题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程及演算步骤． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求． 20．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，…，8，其中 为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品． （1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率； （2）从样本的一等品中随机抽取件，求所抽得件产品等级系数都是的概率． 21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2025年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月末）测量一次，通过一年的观察发现，自2025年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系符合函数模型（，），记2025年元旦最初测量时间的值为0，1月底测量时间的值记为1，以此类推 ． （1）求该函数模型的解析式； （2）池塘里该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的倍以上？（参考数据：，） 22．如图，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求二面角的正切值． 2026年广东省春季高考数学自测卷（4） 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合，，则（　B　） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则（　A　） A． B． C． D． 3．命题“，有实数解”的否定是（　C　） A．，有实数解 B．，无实数解 C．，无实数解 D．，有实数解 4．已知，，则（　B　） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（　A　） A． B． C． D． 6．下列函数中，在上单调递减的是（　B　） A． B． C． D． 7．已知，则（　C　） A． B． C． D． 8．若，，，则，，的大小关系是（　A　） A． B． C． D． 9．已知，则的最小值是（　D　） A． B． C． D． 10．已知直线，，，，则“”是“”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若，，…， 的方差为，则，，…， 的方差为（　D　） A． B． C． D． 12．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（　C　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．若函数是幂函数，则　 　． 14．某高中高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人．现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了人，则　 　． 15．已知函数（）的最小正周期为，则　 ． 16．已知某圆锥的母线长为，高为，则圆锥的体积为　 ． 17．已知函数为奇函数，则　 ． 18．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为　 ． 三、解答题：本大题共4小题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程及演算步骤． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求． 解：（1）由正弦定理及题设得：，…………………1分 ∵， ∴，…………………2分 即，…………………3分 ∵，…………………4分 ∴．…………………5分 （2）由余弦定理得：…………………6分 ，…………………8分 解得：或（舍去）．…………………10分 20．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，…，8，其中 为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品． （1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率； （2）从样本的一等品中随机抽取件，求所抽得件产品等级系数都是的概率． 解：（1）由样本数据知，件产品中，一等品有件，二等品有件，三等品有件．…………………2分 ∴估计该厂生产的产品的一等品率为，…………………3分 二等品率为，…………………4分 三等品率为．…………………5分 （2）由样本数据知，样本中一等品有件，其中等级系数为的有件，记为，，，等级系数为的也有件，记为，，．…………………6分 从样本的一等品中随机抽取件，有种，分别是，，，，，，，，，，，，，，．…………………8分 所抽得件产品等级系数都是，有3种，分别是，，．…………………9分 设事件“所抽得件产品等级系数都是”，则． 答：所抽得件产品等级系数都是的概率是．…………………10分 21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2025年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月末）测量一次，通过一年的观察发现，自2025年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系符合函数模型（，），记2025年元旦最初测量时间的值为0，1月底测量时间的值记为1，以此类推 ． （1）求该函数模型的解析式； （2）池塘里该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的倍以上？（参考数据：，） 解：（1）由题意得：，…………………2分 解得：，…………………4分 ∴该函数模型的解析式为．…………………5分 （2）由题意得：，…………………6分 解得：…………………7分 ，………9分 ∴池塘里该水生植物面积应该在月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的倍以上．…………………10分 22．如图，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求二面角的正切值． （1）证明：∵平面，平面， ∴，…………………1分 ∵内接于圆，且为圆的直径， ∴，…………………2分 ∵，平面，平面， ∴平面，…………………5分 ∵平面， ∴．…………………6分 （2）解：取的中点，连接和．…………………7分 ∵点为线段的中点，点为的中点， ∴，，， ∵平面，， ∴平面，， ∵平面，平面， ∴，， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴为二面角的平面角．…………………10分 在中，， ∴， 在中，， ∴二面角的正切值是．…………………12分 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $