广东省德庆县香山中学2024届学业水平考试（春季高考）数学科模拟二

2024届广东学业水平考试（春季高考）数学科模拟二（原卷版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（ ） A．x＜0，x2+2x-m＞0 B．x≤0，x2+2x-m＞0 C．x＜0，x2+2x-m≤0 D．x＜0，x2+2x-m≤0 3.已知复数，则的虚部为（     ） A． B．1 C． D． 4.已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（   ） A．1 B．3 C．16 D．20 6．已知，b=，c=，则（  ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 7. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．设为定义在R上的奇函数，当x＞0时，=log3（1+x），则=（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 10．下列函数与有相同图象的一个函数是（　 　） A．y=　　　　　　　　　 B．y= C．y=(a>0，且a≠1) D．y=ax(a>0且a≠1) 11. 已知函数，若，则的值是（ ） A B. C. D. 12.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为(　　) A．　　　 B．　 　　C．　　 　D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13.函数的最小正周期是_____． 14． 已知向量．若，则 ． 15．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为 . 16.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 ． 17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2. 18.若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝_________． 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，， （1）求b （2）求的值 20. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下： 甲：　82　81　79　78　95　88　93　84　85 乙：　92　95　80　75　83　80　90　85　85 （1）求甲成绩的分位数； （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？ 21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求y的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 22.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点． (1)求证：PA∥平面COD； (2)求三棱锥P­ABC的体积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届广东学业水平考试（春季高考）数学科模拟二（解析版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，.故选：B 2．命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（ ） A．x＜0，x2+2x-m＞0 B．x≤0，x2+2x-m＞0 C．x＜0，x2+2x-m≤0 D．x＜0，x2+2x-m≤0 【答案】C 【解析】解：命题“x＜0，x2+2x-m＞0”是特称命题， 特称命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是“x＜0，x2+2x-m≤0”. 故答案为：C. 3.已知复数，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先化简求出，即可得出答案. 【详解】因为，所以的虚部为.故选：C. 4.已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解. 【详解】点到原点的距离为， 所以，，,故选：A. 5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（   ） A．1 B．3 C．16 D．20 【答案】D 【解析】由题意可得=，所以m=20，选D。 【分析】利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，这个概率也等于抽到高级管理人员数除以高级管理人员总数。 6．已知a=，b=，c=，则（  ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】A 【解析】a= ＜ =0；0＜＜b=＜=1；c=＞=1 ， 所以a＜b＜c. 故答案为：A 7. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面关系和面面关系的性质可判断. 【详解】若，则可能平行或相交，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能平行、异面或相交，故C错误； 若，则可能平行或相交，故D错误.故选：B． 8．设为定义在R上的奇函数，当x＞0时，=log3（1+x），则=（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B． 9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【解析】解：根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab， 至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab， 所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab， 恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故答案为：C. 10．下列函数与有相同图象的一个函数是（　 　） A．y=　　　　　　　　　 B．y= C．y=(a>0，且a≠1) D．y=ax(a>0且a≠1) 【答案】D 【解析】由题意可知A：y=|x|；B：y=x（x≠0）；C：y=x（x＞0）；D：y=x。因为B，C与y=x的定义域不同，A与函数y=x的对应关系不同；只有D与函数y=x的三要素相同. 11. 已知函数，若，则的值是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义求值. 【详解】，．故选：D． 12.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为(　　) A．　　　 B．　 　　C．　　 　D． B　解析：从5条线段中任取3条，共有＝10种不同的取法， 其中能构成一个三角形的有：(2，8，9)，(4，6，8)，(4，6，9)，(4，8，9)，(6，8，9)，共有5种，所以这3条线段能构成一个三角形的概率p＝＝． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13.函数的最小正周期是_____． 【答案】 【详解】解：，，即函数的最小正周期是． 故答案为：． 14．已知向量．若，则 ． 【答案】 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得.故答案为：. 15．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为 . 15.【答案】7 【解析】∵样本数据x1，x2，...，xn的平均数是 = 3， ∴数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数 = 2 +1 = 7 16．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 ． 【答案】0.32 【解析】易得口袋中有23个白球，则有32个的黑球，所以摸出黑球的概率为=0.32 17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2. 【答案】 2600π　解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)． 18.若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝_________． 【答案】 解析：因为α，β为锐角，sin α＝，cos β＝ 所以cos α＝，sin β＝ 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝ 又0<α＋β<π，所以α＋β= 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，， （1）求b （2）求的值 解：（1）由余弦定理，…3分 所以.…………5分 （2）由正弦定理得：.…………10分 20. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下： 甲：　82　81　79　78　95　88　93　84　85 乙：　92　95　80　75　83　80　90　85　85 （1）求甲成绩的分位数； （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？ 【答案】（1）93 （2）派甲参加比较合适，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将甲的数据按照从小到大的顺序排列，再按照百分位数的定义求解即可. （2）利用平均数和方差的公式求解出甲乙的平均数及方差，再根据方差的定义分析结果. 解：（1）将甲的成绩从低到高排列如下：78，79，81，82，84，85，88，93，95，…………1分 因为不是整数，………………2分 所以选择第8个数作为分位数，即93.………………4分 （2）甲成绩的平均数为，………………5分 甲成绩的方差为： …………6分 乙成绩的平均数为，………………7分 乙成绩的方差为： ，………………8分 因为=，＜，………………9分 甲的成绩比较稳定，所以派甲参加比较合适.………………10分 21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求y的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式； （2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值. 【详解】（1）设隔热层建造厚度为cm，则 ……………………（5分） （2），……………………（8分） 当，即时取等号……………………（9分） 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元.……………………（10分） 22.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点． (1)求证：PA∥平面COD； (2)求三棱锥P­ABC的体积． (1)证明：∵O，D分别是AB，PB的中点， ∴OD∥AP. ………………………（2分） 又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD， ∴PA∥平面COD. ………………………（4分） (2)连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB………………………（5分） 又∵平面PAB⊥平面ABC，………………………（6分） ………………………（7分） ∴OP⊥面ABC，………………………（8分） OP＝×2＝.………………………（9分） ∴三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC×OP………………………（10分） ＝××22× ＝.………………………（12分） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$