精品解析：福建省泉州市南安市二十校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第10～12章 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在下表中． 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 在中，，，若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是 （ ） A. 圆周率是一个无限小数 B. 圆周率是一个实数 C. 圆周率可以在数轴上表示出来 D. 圆周率是一个有理数 4. 若，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 5 D. 9 5. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案： 乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E， 使，，最后测出DE的长即为A，B的距离． 明明：加图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使，接看过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 聪聪：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ） A. 乐乐和明明 B. 乐乐和聪聪 C. 明明和聪聪 D. 三人的方案都可行 9. 如图，是内一点，连接，过点的直线分别交于点，已知点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10. 如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：（x+5）（x﹣5）=_____． 12. 已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是______． 13. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 14. 物理学中的小孔成像实验如图所示，一兴趣小组在做“用蜡烛探究小孔成像原理”的实验时，发现小孔存在一位置使得．已知蜡烛成像火焰的高度为，则蜡烛实际火焰的高度为______． 15. 如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为______． 16. 如图，在中，是射线上的一点，连接交于点，若，是等腰直角三角形，，则的度数为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解=______． 18. 在中，，若是等腰三角形，求的长． 19. 如图，在中，于点平分，若，求的度数． 20. 如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． （1）试判断的形状，并说明理由． （2）若，求的度数． 21. 图1是某游乐园的海盗船，两名同学坐在海盗船上的示意图如图2所示，开始状态下，且与地面平行，水平距离米，当同学摆动到最低位置时，，，同学也随之旋转到了的位置，在这个过程中，求的周长． 22. 如图，已知点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为E、F． （1）在直线l上求作一点C，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 23. 阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： （1）材料中的问题1中应填______． （2）补充材料中问题2的剩余解答过程． （3）如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 24. 综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第10～12章 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在下表中． 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可：对于两个数a，b，如果，那么a就叫做b的立方根． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟知立方根的定义是解题的关键． 2. 在中，，，若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 3. 祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是 （ ） A. 圆周率是一个无限小数 B. 圆周率是一个实数 C. 圆周率可以在数轴上表示出来 D. 圆周率是一个有理数 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和的意义是解题的关键． 根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】A．圆周率它是一个无限不循环小数，属于无限小数，该选项说法正确，故本选项不符合题意； B．实数是有理数和无理数的总称，圆周率是无理数，所以圆周率是一个实数，该选项说法正确，故本选项不符合题意； C．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，圆周率是实数，所以圆周率可以在数轴上表示出来，该选项说法正确，故本选项不符合题意； D．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，而圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，该选项说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 5. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴ ∵，则 ∴ 故选：A． 6. 我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选：A． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，根据旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案： 乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E， 使，，最后测出DE的长即为A，B的距离． 明明：加图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使，接看过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 聪聪：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ） A. 乐乐和明明 B. 乐乐和聪聪 C. 明明和聪聪 D. 三人的方案都可行 【答案】D 【解析】 【分析】在三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：在和中， ， ， ，故乐乐的方案可行； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故明明的方案可行； ， ， 在和中， ， ， ，故聪聪的方案可行； 综上可知，三人方案都可行， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9. 如图，是内一点，连接，过点的直线分别交于点，已知点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ∴，， ∴ ∴的周长为 故选：A． 10. 如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：（x+5）（x﹣5）=_____． 【答案】x2﹣25 【解析】 【详解】解：原式=x2﹣25． 故答案为x2﹣25 12. 已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是 故答案为：． 13. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 14. 物理学中的小孔成像实验如图所示，一兴趣小组在做“用蜡烛探究小孔成像原理”的实验时，发现小孔存在一位置使得．已知蜡烛成像火焰的高度为，则蜡烛实际火焰的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】解：在与中 ， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质以及角平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由，是的中点，证出是的平分线，根据角的平分线的性质证出，结合已知即可求得的长． 【详解】连接， ，是的中点， 是的平分线， 于，于， ． ， 解得 故答案为：． 16. 如图，在中，是射线上的一点，连接交于点，若，是等腰直角三角形，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理的应用．作交于点，证明得出，则，根据，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴ 如图，作交于点， ∵，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 18. 在中，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论， 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，4，满足，成立． 若，则，三边为5，，，满足，成立． ∴或． 19. 如图，在中，于点平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义；根据三线合一可得，，进而根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 20. 如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． （1）试判断的形状，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 图1是某游乐园的海盗船，两名同学坐在海盗船上的示意图如图2所示，开始状态下，且与地面平行，水平距离米，当同学摆动到最低位置时，，，同学也随之旋转到了的位置，在这个过程中，求的周长． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定；根据题意得出垂直平分，则，进而根据三线合一可得，即可得出是等边三角形，根据旋转的性质可得的周长等于的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，垂直平分， ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵旋转， ∴的周长的周长米 22. 如图，已知点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为E、F． （1）在直线l上求作一点C，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 【答案】（1） 解：连接，作线段的垂直平分线，点C即为所求． （2） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）做线段的垂直平分线，交直线l于点C，点C即为所求． （2）先证明，进而证明，得到，，进一步可证明． 本题考查了作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；也考查了三角形全等的判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： （1）材料中的问题1中应填______． （2）补充材料中问题2的剩余解答过程． （3）如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】（1） （2） 解：如图3，连接，则 ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键． （1）根据，代入数据，即可求解； （2）连接，利用计算即可； （3）连接，利用面积关系得到，进而计算即可． 【小问1详解】 解：依题意， ∵ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 故答案为：． 24. 综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 25. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $