专题05 函数的基本性质及其综合（14大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

专题05 函数的基本性质及其综合 【苏教版】 【知识清单1 函数的单调性】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识清单2 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【知识清单3 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识清单4 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1.2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析. 【解题思路】（1）由题意可知，函数的图象经过点，代入求解即可. （2）由函数单调性的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，所以， 解得， 所以的解析式为 （2）在上的单调递减， 设，所以，， 所以， 所以，即， 所以在上的单调递减. 【变式1.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【解题思路】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【解答过程】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知， ， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分、、三种情况讨论，当时结合对勾函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】若，则在上单调递增，符合题意； 若，则，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意； 当，则，则， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2.1】（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意由二次函数的单调性和分段函数在间断点处函数值列不等式组，再解不等式即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以 即 ∴. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【解答过程】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 【变式2.3】（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【解答过程】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性比较即可. 【解答过程】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【解答过程】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【解答过程】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B. 【变式3.3】（25-26高一上·四川眉山·月考）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·江苏常州·月考）已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探求函数的性质，再分段求解不等式. 【解答过程】由，得， 当时，，， 又在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递增， 不等式化为或， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数转化已知不等式，利用得出函数单调性，最后利用函数单调性结合函数零点求出不等式的解集． 【解答过程】令，则不等式等价于， ，， 是定义在上的增函数， ，， 是增函数，，， 不等式的解集为． 故选：B． 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【解答过程】（1）因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，=1 (2)证明见解析，在上单调递减 (3) 【解题思路】（1）利用赋值法，令，，由求；再令求； （2）由（1）得到，再设，结合证明；利用函数的单调性定义，任取，且，令，，得到判断； （3）设函数，由，转化为，利用单调性求解. 【解答过程】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）证明：由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． 在上单调递减． 证明：任取，且，令，，由题设可得： ，即． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （3）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减， 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得． 故不等式的解集为． 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【解答过程】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，结合对勾函数的单调性即可求解. 【解答过程】设，所以在上单调递增，则, 所以函数的值域是, 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【解答过程】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数.定义：函数，即表示函数中的较大者.例如，则的最小值为（   ） A．0 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】根据题意，作出函数的图象，根据函数图象即可求解. 【解答过程】令，即，解得或， 令，得， ， 作出的图象（图中的实线部分）， 由图象结合函数解析式可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为2. 故选：D. 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高二下·宁夏石嘴山·月考）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【解答过程】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·月考）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【解答过程】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【变式6-3】（24-25高三上·陕西·月考）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【解答过程】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 【题型7 函数不等式恒、能成立问题】 【例7】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【解答过程】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简函数，令，得，根据对勾函数性质，得，再根据二次函数性质求得函数最值，进而把题中条件不等式转化为，解不等式即可. 【解答过程】函数， 设，则，代入得， 若，根据对勾函数性质，时，取最小值为， 端点和时，的值为，所以的取值范围为， 函数开口向上，对称轴，因此在上单调递增， 计算最小值：时，； 最大值：时，， 因此的最大值为， 因为对任意，都有， 则，解得 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）化简不等式，分两种情况分别求出不等式的解集即可. （2）根据的区间先对不等式进行化简变形为，然后根据的区间和单调性求出的最大值，进而求出结果. 【解答过程】（1）当时，函数，所以不等式化简为. 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得， 化简得，解得或，又，所以； 当时，不等式变为，不等式两边同时乘以得，无解. 综上，不等式的解集为. （2）不等式化简为，其在区间上恒成立， 所以当时，不等式为，变形为. 令，设且， 则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以在时取最大值为. 所以要使得不等式在区间上恒成立，则只需即可，即. 【变式7-3】（25-26高一上·江苏·月考）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【解答过程】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 【题型8 函数奇偶性的定义与判断】 【例8】（25-26高一上·河南南阳·月考）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【解答过程】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误； 对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误； 对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有; 对任意的，有，则； 对任意的,有，则; 所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性定义和对称性进行判断即可. 【解答过程】，所以的图像关于直线对称， 设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的， 因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称， 所以为偶函数． 因为，记， 因，而 即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误. 故选：B. 【变式8.2】（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合函数的奇偶性及单调性进行判断． 【解答过程】对于A项，函数为奇函数，故A项错误； 对于B项，函数为非奇非偶函数，故B项错误； 对于C项，函数是偶函数，但在上单调递增，故C项错误； 对于D项，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为，所以函数为偶函数，且在上单调递减，故D选项符合题意． 故选：D. 【变式8.3】（25-26高一上·山东临沂·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将函数变形得，再结合各选项利用奇函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】因为，则， 而函数的定义域为，且， 即函数为奇函数，故是奇函数， 而不是奇函数， 同理和都不是奇函数； 故选：B. 【题型9 函数奇偶性的应用】 【例9】（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数是奇函数求解解析式. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知函数是奇函数，当时，，且，则a的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由奇函数的性质进行求解． 【解答过程】由函数是奇函数，得， 解得. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知得出函数的对称轴为，再结合单调性得出函数在区间上单调递增，进而比较求解. 【解答过程】因为函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·海南·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为或， ①，解得；②，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 【题型10 函数的对称性与周期性】 【例10】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【解题思路】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B. 【解答过程】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B. 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心. 【解答过程】因为： . 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【解答过程】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C. 【变式10-3】（25-26高三上·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性可推导得到，知A正确；根据周期性可推导得到B正确；利用周期性可求得在上的单调性，由此可得CD正误. 【解答过程】对于A，为偶函数，， 关于直线对称，即， 为奇函数，； ，， 的周期为，A正确； 对于B，， 即是函数的一条对称轴，B正确； 对于C，为定义在上的奇函数，， 当时，； 当时，，， ； 当时，， ， 在上单调递减，C错误； 对于D，由C知：，，，D正确. 故选：C. 【题型11 函数图象的识别与判断】 【例11】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用奇偶性分析图象对称性排除CD项，再根据在区间内的函数值符号可得答案. 【解答过程】由，解得， 因此定义域为，关于原点对称， 由， 因此是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD； 当时，，因此， 即函数在上的图象位于轴上方，故可排除B项； 故选：A. 【变式11-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高一上·天津·月考）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性和函数值的符号即可判断. 【解答过程】依题意，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除B，D选项； 又当时，，所以排除C选项. 故选：A. 【变式11-3】（25-26高一上·重庆江北·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，分析函数的奇偶性及的正负即可判断. 【解答过程】函数的定义域为， ，函数是偶函数，图象关于轴对称，排除D， 而，排除BC，A选项符合题意. 故选：A. 【题型12 抽象函数性质综合】 【例12】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 【变式12.1】（24-25高一下·江西赣州·月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【解题思路】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可. 【解答过程】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 【变式12.2】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 【变式12.3】（25-26高一上·广东河源·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【解答过程】（1）取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 【题型13 函数基本性质的综合应用】 【例13】（25-26高一上·上海·月考）已知函数，则以下4个命题： ①函数是偶函数；            ②函数在上是严格增函数； ③函数的值域为；        ④有四个实数根． 其中错误命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义判断①；定义法判断函数单调性即可判断②；令，利用基本不等式及不等式性质求解值域判断③；直接解方程即可判断④． 【解答过程】对于①：由得， 则函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数，正确； 对于②：由①知，，令， 则， 又，所以，，，， 所以，故， 所以函数在上是严格增函数，正确； 对于③：，，令，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，即函数的值域为，错误； 对于④：即，即， 由可知， 故方程无解，即无根，错误. 所以错误命题的个数为2. 故选：C. 【变式13.1】（25-26高一上·重庆铜梁·月考）某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中错误的是（    ） A． B．， C．的值域为 D．， 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数解析式，结合函数单调性及作差法比较大小，逐项计算判断即可. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，则，都有，故B错误； 对于C，由选项B知，当时，，当时，， 即，，因此函数的值域为，故C正确； 对于D，当时，，，， ，当且仅当时取等号， 因此成立，故D正确. 故选：B. 【变式13.2】（25-26高一上·天津·月考）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值. （2）由（1）得的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证 （3）根据的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为在定义域上为奇函数， 所以，解得， 又，所以，解得. （2）由（1）得，， 则在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增 （3）因为在上单调递增，且为奇函数， 由，得， 所以，解得. 【变式13.3】（25-26高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由，列式求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用奇偶性、单调性解不等式可得对恒成立，即对恒成立，求出的范围即可求解. 【解答过程】（1）由题可得， 经检验为偶函数，所以. （2）在上单调递减， 证明：任取，且，则， 所以 ， 因为，所以，又， 所以，从而，故在上单调递减. （3）由题可知对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以，所以 所以，所以. 【题型14 函数新定义】 【例14】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据下凸函数的定义逐项分析即可. 【解答过程】对于A：， 函数图象为直线，不为下凸函数图象，故A不符合； 对于B： ， 所以，故B不符合； 对于C： ， 因为，所以，所以，故C不符合； 对于D： ， 因为，所以，所以，故D符合； 故选：D. 【变式14.1】（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【解题思路】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【解答过程】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 【变式14.2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是定义在（）上的函数，若存在，使得在区间上是增函数，且在区间上是减函数.则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间. (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说明理由. (2)若（） ①当时，判断是否为上的“含峰函数”？若是，求出峰点；若不是，说明理由. ②若是上的“含峰函数”，写出t的取值范围并指出峰点（不需要证明）. 【答案】(1)是上的“含峰函数”，峰点为； (2)①时，是上的“含峰函数”，峰点为； ②的取值范围是，峰点为. 【解题思路】（1）根据题目条件结合一元二次函数单调性判断函数是否为含峰函数；（2）①把代入后根据三次函数单调性分析判断函数峰点；②根据三次函数单调性判断的取值，再代入验证是否满足含峰函数条件. 【解答过程】（1）由题可得函数是一个开口向下的二次函数，对称轴， 函数在区间上递增，在区间上递减，满足条件， 故是上的“含峰函数”，峰点为； （2）①代入可得：， 设，则， ， 当时，，， 当时，，， 因此在上递增，在上递减， 故在上是含峰函数，峰点为； ②设，则， ， 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，， 当时，，， 当时，，， 因此在上递增，在上递减， 此时是上的“含峰函数”， 峰点为； 综上，的取值范围是，峰点为. 【变式14.3】（25-26高一上·湖北·月考）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）由得，进而根据函数在上单调递增得，再结合即可求得答案； （2）假设函数存在“保值区间”，则必有或，再根据函数的单调性列方程，得到方程组无解即可证明； （3）先根据函数的对称性得，，进而得及与时的图象，再分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）解：设函数的“跟随区间”为，则的值域为 因为， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即是一元二次方程的两个实数根，解得或， 又因为，所以，. 所以函数的“跟随区间”为. （2）证明：函数的定义域为 假设函数存在“保值区间”（），则必有或， 因为在和上均为单调递减函数， 所以，两式作差得：，即 因为，所以，即， 将代入得，此方程无解， 所以函数不存在“保值区间”. （3）解：因为为奇函数， 所以函数的图象关于点对称，即 当时，， 所以当时，，， 所以， 当时，，且单调递增， 因为函数的图象关于点对称， 所以当时，，且单调递增， 所以，在与图象如图所示：        当时，函数，显然不存在“保值区间”， 若函数在存在“保值区间”（）， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以若在存在“保值区间”，则必有 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以在上有两个不同的解， 令，则，当且仅当时等号成立，且，时有两个不同的解； 所以， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以，若在存在“保值区间”，则必有， 由于函数在上单调递减， 所以， 两式作差得，即：， 将代入得， 即，所以， 所以，当，，时，在存在“保值区间” 综上，当实数的取值范围为. 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解题思路】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【解答过程】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】判断函数的奇偶性可排除D，由时可排除C，由时可排除A，从而可得结果. 【解答过程】， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A. 4．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】利用函数的图象逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】先通过奇偶性转化为对称关系，并将不同的对称关系结合，推导出函数具有周期性，最后利用周期简化运算求和. 【解答过程】因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线轴对称； 因为为奇函数，所以，即，所以函数的图象关于中心对称，且. 所以. 所以. 所以函数是周期为的函数. 当时，，所以. 所以，，，， ，. 所以. 所以. 故选：D. 6．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．（25-26高一上·贵州安顺·月考）已知函数是定义域为的奇函数，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，判断的奇偶性和单调性，即可求解. 【解答过程】因为为上的奇函数，则.构造函数， 则，所以为偶函数. 又，都有， 即，所以为上的减函数， 则为上的增函数. 由题知，则， 又，则. 则即为， 所以有或， 解得或. 故选：B. 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【解题思路】A：令结合可求解出；B：令结合可求解出；C：令结合换元法可得的关系，由此可判断出奇偶性；D：根据C中的关系可进行判断. 【解答过程】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据函数的图像与性质分析即可得出答案. 【解答过程】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增； 对于B：为反比例函数，在上单调递减； 对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增， 故选：ACD. 10．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】利用赋值法计算判断AC；结合函数单调性的定义可判断B，由已知函数值求得，然后由已知式把不等式变形后由单调性可解判断D． 【解答过程】对于A，取得， 因为，所以，故A正确； 对于B，设且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取得，所以， 取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D， 令得， 若，则， 因为，所以， 所以，解得， 故满足不等式的取值范围是，故D正确. 故选：ACD． 11．（25-26高一上·河南新乡·期中）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”．已知，以下说法正确的是（   ） A．为“准奇函数” B．函数的图象关于点对称 C． D．函数的最大值为2 【答案】AD 【解题思路】对A，设，判断为奇函数，利用新定义判断；对BCD，利用中心对称的意义及性质判断. 【解答过程】函数的定义域为，设，则. 对于A，由，得为奇函数，则为“准奇函数”，故A正确； 对于B，由为奇函数，得， 则，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，由B知，函数的图象关于点对称， 故，，则，又， 因此 ，故C错误； 对于D，当时，，， 当且仅当，即时，等号成立，当x趋于或时，趋于1，所以当时，， 由B可知，函数的图象关于点对称， 所以当时，，所以函数的最大值为2，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·月考）函数的对称中心为 ． 【答案】 【解题思路】根据定义域可先确定对称中心横坐标，再根据定义确定对称中心即可． 【解答过程】设函数，定义域为， 定义域关于对称， 且， 函数的对称中心为． 故答案为：． 13．（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据题意构造新函数，判定其奇偶性及单调性进行计算即可. 【解答过程】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 整理得， 即， 由是偶函数且在单调递增，在单调递减， 可得，解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】分析可知函数在上的值域为函数在上的值域的子集，求出这两个函数的值域，可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】由题意可知，函数在上的值域为函数在上的值域的子集. 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故当时，， 又因为，，故， 所以函数在上的值域为， 当时，函数在上为增函数，故， 由题意得，所以，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2). 【解题思路】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)，函数图象见解析；单调增区间为：，单调减区间为： 【解题思路】（1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． 【解答过程】（1）函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数； （2）依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的性质及求解，进而验证即可； （2）根据函数单调性的定义求证即可； （3）根据函数的奇偶性及单调性转化问题为解不等式组，进而求解即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故， 又因为，则， 此时，，则， 所以函数为奇函数，满足题意， 故函数的解析式为. （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增． （3）因为函数为奇函数， 由，则， 由（2）知，函数在上单调递增， 则，解得， 所以不等式的解集为. 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【解答过程】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 19．（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析，在上是严格递增函数； (3). 【解题思路】（1）令，得，令，得证明； （2）解法一：可得，根据题意结合单调性的定义证明；解法二：根据题意整理可得，结合单调性的定义证明； （3）由函数单调性，将问题转化为对恒成立，讨论求解. 【解答过程】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以在上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数在上严格递增. （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又在上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质及其综合 【苏教版】 【知识清单1 函数的单调性】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【知识清单2 函数的最值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【知识清单3 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【知识清单4 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1.2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【变式1.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高一上·四川眉山·月考）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·江苏常州·月考）已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·湖南常德·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； (3)求不等式的解集． 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-1】（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式5-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数.定义：函数，即表示函数中的较大者.例如，则的最小值为（   ） A．0 B．7 C．4 D．2 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（24-25高二下·宁夏石嘴山·月考）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【变式6-1】（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·月考）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·陕西·月考）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数不等式恒、能成立问题】 【例7】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·重庆江北·月考）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏·月考）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【题型8 函数奇偶性的定义与判断】 【例8】（25-26高一上·河南南阳·月考）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高一上·广东江门·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式8.2】（25-26高一上·湖北十堰·期中）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式8.3】（25-26高一上·山东临沂·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 函数奇偶性的应用】 【例9】（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·湖北十堰·期中）已知函数是奇函数，当时，，且，则a的值为（       ） A． B． C． D．3 【变式9-2】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·海南·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型10 函数的对称性与周期性】 【例10】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式10-3】（25-26高三上·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【题型11 函数图象的识别与判断】 【例11】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·天津·月考）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高一上·重庆江北·月考）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型12 抽象函数性质综合】 【例12】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【变式12.1】（24-25高一下·江西赣州·月考）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【变式12.2】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【变式12.3】（25-26高一上·广东河源·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【题型13 函数基本性质的综合应用】 【例13】（25-26高一上·上海·月考）已知函数，则以下4个命题： ①函数是偶函数；            ②函数在上是严格增函数； ③函数的值域为；        ④有四个实数根． 其中错误命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式13.1】（25-26高一上·重庆铜梁·月考）某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中错误的是（    ） A． B．， C．的值域为 D．， 【变式13.2】（25-26高一上·天津·月考）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【变式13.3】（25-26高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型14 函数新定义】 【例14】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式14.1】（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【变式14.2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是定义在（）上的函数，若存在，使得在区间上是增函数，且在区间上是减函数.则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间. (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说明理由. (2)若（） ①当时，判断是否为上的“含峰函数”？若是，求出峰点；若不是，说明理由. ②若是上的“含峰函数”，写出t的取值范围并指出峰点（不需要证明）. 【变式14.3】（25-26高一上·湖北·月考）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 2．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 6．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州安顺·月考）已知函数是定义域为的奇函数，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 11．（25-26高一上·河南新乡·期中）对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”．已知，以下说法正确的是（   ） A．为“准奇函数” B．函数的图象关于点对称 C． D．函数的最大值为2 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·月考）函数的对称中心为 ． 13．（25-26高一上·陕西汉中·月考）已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为 . 14．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 16．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 17．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 18．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 19．（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $