第15讲 函数的奇偶性（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第15讲 函数的奇偶性（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数奇偶性的概念及判断 知识点02：利用奇偶性与单调性比较大小 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：函数奇偶性的应用 题型04：抽象函数的奇偶性 题型05：由奇偶性求参数 题型06：由函数奇偶性解不等式 题型07：奇偶函数对称性的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数奇偶性的概念及判断 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数 关于原点对称 温馨提示　(1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称. (3)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0. (4)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|). (5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的实数集. 【例1】判断函数的奇偶性。 【知识点02】利用奇偶性与单调性比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上单调递增,即在关于原点对称的区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上单调递减,即在关于原点对称的区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为N,则f(x)在[-b,-a]上有最大值为N.(以上a,b符号相同.) 【例2】已知偶函数在上单调递增，比较的大小。 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】（25-26高一上·江苏镇江·期中）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）设定义在上的奇函数和偶函数，下列函数中必为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，________ 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【题型03】函数奇偶性的应用 【典例3-1】（25-26高一上·江苏淮安·期末）对于定义在上的函数，“是偶函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）设函数，且，则等于______． 【变式3-2】（多选）已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 【题型04】抽象函数的奇偶性 【典例4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式4-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【变式4-2】（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式4-3】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【题型05】由奇偶性求参数 【典例5-1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【变式5-1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知函数是偶函数，则__________． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 【题型06】由函数奇偶性解不等式 【典例6-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（    ） A．（0，2） B． C． D． 【变式6-2】已知定义在R上的奇函数在上是减函数，若，则实数m的取值范围是________． 【变式6-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 【题型07】奇偶函数对称性的应用 【典例7-1】（24-25高一上·四川巴中·阶段检测）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 【变式7-2】（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 【变式7-3】已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 知识点01函数奇偶性的概念 1. 前提条件（必备） 函数的定义域必须关于原点对称。若定义域不对称，函数直接判定为非奇非偶函数，无需后续验证。 2. 奇偶性核心定义 设函数定义域关于原点对称，对任意，均满足： 偶函数：，图象关于轴对称； 奇函数：，图象关于坐标原点中心对称。 3. 特殊函数性质 函数，定义域关于原点对称时，既是奇函数又是偶函数； 绝大多数函数为非奇非偶函数，需严格依据定义判定。 4. 奇偶性判定标准步骤 第一步：检查定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶； 第二步：代入，计算解析式； 第三步：对比与的关系，确定奇偶类型。 知识点02奇偶函数的单调性规律 1. 奇函数：在关于原点对称的区间上，单调性完全一致； 2. 偶函数：在关于原点对称的区间上，单调性完全相反。 知识点03奇偶性与单调性综合比较大小核心方法 1. 解题核心思路 利用奇偶性化简自变量，将所有自变量统一转化到同一个单调区间内，再利用单调性判断函数值大小。 2. 通用解题步骤 ① 化负为正：借助或，化简负数自变量对应的函数值； ② 统一区间：将所有自变量整理至已知单调区间； ③ 单调性比大小：单调递增则自变量越大、函数值越大；单调递减则自变量越大、函数值越小。 知识点04本节核心易错点汇总 1. 忽略定义域对称性前提，直接代入式子判断奇偶性，导致判定错误； 2. 混淆奇偶函数对称区间单调性：奇函数同单调、偶函数反单调； 3. 比较函数值大小时，未统一单调区间直接比较，结果出错； 4. 奇偶性是函数整体性质，不能对局部区间判定奇偶性； 5. 仅有，不能判定函数为奇函数，必须满足通用定义。 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则（    ） A．0 B． C．8 D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 11．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则__________. 13．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为__________． 14．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递___________（增、减），不等式的解集为___________． 四、解答题 15．已知函数是定义在上的函数，若对于任意的x，y∈，都有 (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明结论. 16．设函数，. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若为奇函数，求． 17．设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 18．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，为偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断并用定义证明在上的单调性； (3)解不等式. 19．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 函数的奇偶性（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数奇偶性的概念及判断 知识点02：利用奇偶性与单调性比较大小 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：函数奇偶性的应用 题型04：抽象函数的奇偶性 题型05：由奇偶性求参数 题型06：由函数奇偶性解不等式 题型07：奇偶函数对称性的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数奇偶性的概念及判断 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数 关于原点对称 温馨提示　(1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称. (3)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0. (4)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|). (5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的实数集. 【例1】判断函数的奇偶性。 解：第一步：判断定义域 函数为整式函数，定义域，定义域关于原点对称，具备判定奇偶性前提。 第二步：代入求解析式 第三步：变形对比原式 可得： 答：该函数为奇函数。 【知识点02】利用奇偶性与单调性比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上单调递增,即在关于原点对称的区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增,则f(x)在[-b,-a]上单调递减,即在关于原点对称的区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为N,则f(x)在[-b,-a]上有最大值为N.(以上a,b符号相同.) 【例2】已知偶函数在上单调递增，比较的大小。 解：第一步：利用偶函数性质化负为正 由偶函数定义，可得： 第二步：统一自变量区间 所有自变量化为非负数：，均在单调递增区间内。 第三步：利用单调性比较大小 因为在单调递增，自变量越大，函数值越大。 由，得： 第四步：还原原式 代入，得最终大小关系。 答： 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】（25-26高一上·江苏镇江·期中）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，定义域为，，所以不恒成立，故A不符合题意； 对于B，定义域为，，，所以不恒成立，故B不符合题意； 对于C，定义域为，， 当时，所以不恒成立，故C不符合题意； 对于D，定义域为，， 则为偶函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误； 对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误； 对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有; 对任意的，有，则； 对任意的,有，则; 所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（多选）设定义在上的奇函数和偶函数，下列函数中必为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】由于，故为偶函数， ，故为奇函数， ，故为偶函数， ，所以为奇函数， 故选：BD 【变式1-3】（多选）设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数， 对于A选项，设，则该函数的定义域为， ， 所以，函数不是奇函数，A错； 对于B选项，令，则该函数的定义域为， ， 所以，函数是偶函数，B对； 对于C选项，令，则该函数的定义域为， ， 所以，函数为奇函数，C错； 对于D选项，令，则该函数的定义域为， ， 所以，是偶函数，D对. 故选：BD. 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】由时，，且是定义在上的奇函数， 则当时，，所以， 所以. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 【变式2-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，________ 【答案】 【分析】设，则，把代入已知解析式后利用偶函数的概念求解即可. 【详解】设，则， 所以， 又因为为偶函数， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 【题型03】函数奇偶性的应用 【典例3-1】（25-26高一上·江苏淮安·期末）对于定义在上的函数，“是偶函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，若函数为偶函数，则， 即“是偶函数”“”， 若，不妨取，则， 由于，此时函数不是偶函数， 即“是偶函数”“”， 因此“是偶函数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）设函数，且，则等于______． 【答案】 【分析】令，根据函数奇偶性，即可求得结果. 【详解】令，则， 定义域为R，定义域关于原点对称， ，则为奇函数， 因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式3-2】（多选）已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性得到，，取，，，代入计算得到答案. 【详解】为奇函数，故，即， 为偶函数，即. 取得到，故，A错误； 取得到，B正确； 取得到，即，C错误； 取得到，即，D正确. 故选：BD 【变式3-3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. （2）当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此. 【题型04】抽象函数的奇偶性 【典例4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式4-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 【变式4-2】（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BCD 【分析】由题意可得，结合为奇函数可得，从而可判断选项A；由，得，在中，令可判断选项B；由，可判断选项C；由，可判断选项D. 【详解】由为奇函数，可得，即， 又因为，所以，即, 所以，所以，故选项A错误； 由，得，由，得， 所以，故选项B正确； 由，，得， 所以为偶函数，故选项C正确； 由，，可得， 所以， 即，故为奇函数，故选项D正确. 故选：BCD 【变式4-3】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 【题型05】由奇偶性求参数 【典例5-1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【答案】D 【分析】利用奇函数在原点处的函数值为0，代入计算得到实数的值. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以. 代入，得，即，解得. 此时，为奇函数，符合题意. 故选：D 【变式5-1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由函数为偶函数可得，从而可求得. 【详解】由函数是偶函数，则，可得， 所以，. 故选：A. 【变式5-2】已知函数是偶函数，则__________． 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2) 函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即， 所以在上单调递增． 【分析】（1）由求出，再由求出，最后再检验. （2）设，对进行适当变形判断符号即可得出函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 则， 经检验，，故是奇函数． 所以． （2）略 【题型06】由函数奇偶性解不等式 【典例6-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求出时，再分段解不等式即得. 【详解】函数是定义在上的奇函数，由当时，， 得当时，，， 当时，，即，解得， 当时，，解得， 当时，无解，所以不等式的解集为. 故选：A 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（    ） A．（0，2） B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，函数为奇偶性及其单调性，结合，即可解不等式. 【详解】因为的图象关于对称， 所以的图象关于对称，即为偶函数， 因为，所以， 因为，且时，， 所以在上单调递减， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增， 故当时，，当时，， 不等式等价为或， 所以不等式的解集为：. 故选：D 【变式6-2】已知定义在R上的奇函数在上是减函数，若，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用函数奇偶性和单调性的关系进行求解判断． 【详解】因为是奇函数，在上是减函数， 所以在上单调递减， 因为， 所以， 即， 所以，解得． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1)时， ； (2) 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； (3). 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； （2）略 （3）在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 【题型07】奇偶函数对称性的应用 【典例7-1】（24-25高一上·四川巴中·阶段检测）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 【变式7-1】函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 【答案】B 【分析】根据题意，求得的图象关于对称，的图象关于对称，结合，分别求得和的值，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可得，所以， 所以函数的图象关于对称， 又由为奇函数，可得， 即，所以函数的图象关于对称， 由，均有，，所以， 因为的图象关于对称，可得， 又因为的图象关于对称，， 可得，所以， 因为，联立方程组，可得， 所以. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接， （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接． 【详解】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接，如下图右边部分： （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接，如下图左边部分： 知识点01函数奇偶性的概念 1. 前提条件（必备） 函数的定义域必须关于原点对称。若定义域不对称，函数直接判定为非奇非偶函数，无需后续验证。 2. 奇偶性核心定义 设函数定义域关于原点对称，对任意，均满足： 偶函数：，图象关于轴对称； 奇函数：，图象关于坐标原点中心对称。 3. 特殊函数性质 函数，定义域关于原点对称时，既是奇函数又是偶函数； 绝大多数函数为非奇非偶函数，需严格依据定义判定。 4. 奇偶性判定标准步骤 第一步：检查定义域是否关于原点对称，不对称直接判非奇非偶； 第二步：代入，计算解析式； 第三步：对比与的关系，确定奇偶类型。 知识点02奇偶函数的单调性规律 1. 奇函数：在关于原点对称的区间上，单调性完全一致； 2. 偶函数：在关于原点对称的区间上，单调性完全相反。 知识点03奇偶性与单调性综合比较大小核心方法 1. 解题核心思路 利用奇偶性化简自变量，将所有自变量统一转化到同一个单调区间内，再利用单调性判断函数值大小。 2. 通用解题步骤 ① 化负为正：借助或，化简负数自变量对应的函数值； ② 统一区间：将所有自变量整理至已知单调区间； ③ 单调性比大小：单调递增则自变量越大、函数值越大；单调递减则自变量越大、函数值越小。 知识点04本节核心易错点汇总 1. 忽略定义域对称性前提，直接代入式子判断奇偶性，导致判定错误； 2. 混淆奇偶函数对称区间单调性：奇函数同单调、偶函数反单调； 3. 比较函数值大小时，未统一单调区间直接比较，结果出错； 4. 奇偶性是函数整体性质，不能对局部区间判定奇偶性； 5. 仅有，不能判定函数为奇函数，必须满足通用定义。 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】现求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则（    ） A．0 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先根据函数为奇函数，求的值，再根据函数的解析式求. 【详解】当时，， 由得： 恒成立， 所以. 此时当时，， 所以. 又 所以时，函数满足，对任意，恒成立.所以为奇函数. 此时. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【详解】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据为奇函数，得到，再由为偶函数，得到，从而推出函数的周期求解. 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 又为偶函数，则，即， 所以，即， 所以，所以其周期为， 所以， ， 故选：C 6．设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式. 【详解】由和定义域可得，为奇函数， 由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且， 显然不满足， 又， 于是由，可得或，解得， 类似的，的解集为， 所以不等式等价为，解得， 或，解得， 综上所述，的解为. 故选：B. 7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，即， 即当时，， 设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得， 所以不等式得解集为. 故选：A 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 二、多选题 9．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 【答案】AD 【分析】通过定义分析奇偶性、举反例判断单调性得出结果. 【详解】选项A：由、均为奇函数，得， 故为奇函数，A正确. 选项B：取，（均为增函数），但在上不是增函数，B错误. 选项C：取，（均为偶函数），但在上不是增函数，C错误. 选项D：由、均为偶函数，得， 故为偶函数，D正确. 故选：AD 11．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】对函数， 由 或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以 . 由 或. 由 或 或. 所以不等式组的解集为. 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）若是奇函数，且当时，，则__________. 【答案】0 【分析】根据奇函数性质以及函数解析式计算可得结果. 【详解】由奇函数可得， 又，所以. 故答案为：0 13．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为__________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递___________（增、减），不等式的解集为___________． 【答案】 减 【分析】根据偶函数及在区间上单调递增可确定函数在上单调递减；结合可确定或时，，时，，再分类讨论解不等式即可． 【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减， 又，所以或时，，时，， 不等式， ，或， ，或， 解得，或， 即不等式的解集为． 故答案为：减； 四、解答题 15．已知函数是定义在上的函数，若对于任意的x，y∈，都有 (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明结论. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明见解析. 【分析】（1）通过合理赋值，即可求得； （2）通过赋值，结合（1）中所求，即可判断和证明. 【详解】（1）令，根据题意可得，即，解得. （2）为奇函数，证明如下： 令，根据题意可得：， 又的定义域关于原点对称，故为奇函数. 16．设函数，. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若为奇函数，求． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)0 【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明； （2）通过计算即可. 【详解】（1）因为定义域为， 且， 所以为偶函数. （2）因为为奇函数， 所以， 即 所以， 解得. 17．设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明如下： 当时,， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 故，则， 所以函数在上单调递减. 【分析】（1）根据奇函数的性质求解当时的解析式，从而得解； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】（1）因为当时，， 设，则，则， 又是定义在上的奇函数， 所以， 故； （2）略 18．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，为偶函数. (1)求实数m的值； (2)判断并用定义证明在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）由函数为偶函数，通过特殊值求解并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性、奇偶性和定义域得到求解即可. 【详解】（1）由， ， 因为为偶函数， 所以，解得， 经验证符合题意， 所以. （2）单调递增； 由（1）当，得， 令， 则， 因为，所以，， 所以， 所以在上单调递增； （3）由题意知为偶函数，且在上单调递增, 等价于； 所以，等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 19．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上是增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. （2）是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3）令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $