精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

文山市第一中学高一年级12月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一个扇形的面积是，它的周长是，则此扇形圆心角的弧度数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 7. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 第三象限角的集合为 C. 终边在轴上的角的集合为 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是5 C. 若，且，则的最小值是4 D. 若，且，则的最小值是4 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 函数（,）的图象恒过定点__________. 13. 已知角的终边经过点，则______． 14. 在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2） 16. 已知角是第三象限角，. （1）求，的值； （2）求的值. 17. 已知函数，且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知是自然对数的底数，. （1）判断函数在上的单调性并证明； （2）解不等式. 19. 国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市第一中学高一年级12月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集， 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集与补运算即可. 【详解】全集， 集合， 则，所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意解即可得答案. 【详解】由函数有意义，等价于，解得， 所以函数的定义域为 故选：A 3. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得二次函数的对称轴，以及函数的最小值，由，即可得到所求的范围． 【详解】，可得对称轴为， 且且为最小值， 又由， 函数的定义域为，值域为， 可得， 即有的取值范围是， 故选：A． 4. 一个扇形的面积是，它的周长是，则此扇形圆心角的弧度数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设该扇形弧长为，半径为，由扇形的周长与面积公式可得，，求解可得答案． 【详解】设扇形的弧长为，半径为，所以，，所以，， 所以扇形的圆心角的弧度数是：， 故选：B 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中间值法比较大小. 【详解】，， ， ， ，， . 故选：B. 6. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 7. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 8. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的对称性得点，在函数的图象上，列方程组求解即可得解. 【详解】函数的图象与的图象关于直线对称， 所以点，在函数的图象上， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 第三象限角的集合为 C. 终边在轴上的角的集合为 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误. 【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角， 所以是第二象限角，故A正确； 对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误； 对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确； 对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角， 例如，则为直角，故D错误； 故选：AC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是5 C. 若，且，则的最小值是4 D. 若，且，则的最小值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC：直接利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为有意义，故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 对于选项B：因为，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是5，故B正确； 对于选项C：若，且， 因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8，故C错误； 对于选项D：若，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 方程有5个不相等的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于方程的实根，本质是函数与图象的公共点横坐标，因此只需分析这两个函数图象的交点数量；先分析两函数的图象特征（利用已知条件），再分区间逐一分析交点（结合图象形态）即可. 【详解】对于选项A：由的图象关于点对称，可知的图象关于原点对称，即是奇函数，A正确； 对于选项B：由，得，故周期为4， 若关于对称，则， 但由，得，（奇函数）， 显然（除非），故B错误； 对于选项C：由，则，故周期为4，C正确； 对于选项D：方程的实根个数，等价于与图象的交点个数， 当时，；结合奇函数性质与周期性，可画出在上的图象， 在时，；时，， 而的值域为，因此只需考虑的区间，逐一分析区间内交点： ：与无交点； ：结合周期性与奇偶性，图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：有交点； 因此总计5个不相等的实根，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 函数（,）的图象恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数图象经过的定点，由函数平移变换得到函数图象经过的定点. 【详解】对数函数经过定点， 将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数， 函数一定过定点. 故答案为： 13. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边上的点可得，再应用诱导公式及同角三角函数的关系化简求值. 【详解】由角的终边经过点，则 . 故答案为： 14. 在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解. 【详解】解：根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称， 得函数图象关于原点对称的图象与，的图象有3个交点， 由，得， 则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意； 则，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算化简可得值； （2）根据对数的运算化简可得值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知角是第三象限角，. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解； （2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算． 【小问1详解】 由题意，又在第三象限，，故解得； 【小问2详解】 ． 17. 已知函数，且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）， 图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象； （2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解. 【小问1详解】 解：因为点在函数的图象上， 所以，解得， 即， 其图象如图所示： 【小问2详解】 解：将化为， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有两个公共点， 在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示）， 由图象，得，即， 即的取值范围是. 18. 已知是自然对数的底数，. （1）判断函数在上的单调性并证明； （2）解不等式. 【答案】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，，且，所以，所以，，， 故，即， 所以在上单调递增. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明； （2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 所以是偶函数， 又由（1）知在上单调递增， 所以， 两边平方可得，解得或， 故不等式的解集为或. 19. 国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）选择函数模型②，. （3）961. 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. 【小问2详解】 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 即， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $