期末提升检测金01卷—2025～2026学年九年级上学期模拟测试卷【广东专版 北师大版】

2025~2026学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 考查范围:九上全册 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形进行解答即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，在偏上的位置有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：B． 2．如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴方程没有实数根， 故选：． 4．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 5．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得，求出解即可． 【详解】设黄球的数量为x，根据题意得 解得． 经检验是方程的解且符合题意 ， 所以袋子中黄球有150． 故选：D． 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知，且．若的周长是6，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的对应角相等、周长的比等于相似比成为解题的关键． 直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】解：∵，且 ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C． 7．在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、中心投影，中心投影得到的阴影与原图形是位似图形，两个位似图形的位似比等于它们的对应边的比，根据、，可得位似比为，因为，所以边的中心投影的长为． 【详解】解：三角板与阴影是位似图形， 它们的位似比为， ， 解得：． 故选： B． 9．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 10．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的基本性质，根据比例关系设出参数是解题关键．根据a与b的比例关系可设，再代入代数式可得答案． 【详解】解：∵， ∴设，则． 故答案为：． 12．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 13．如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线,根据中位线的性质得到CD=BE,表示出A.B的坐标,利用△ADO的面积为1求出k的值即可. 【详解】 解：过点B作BE⊥x轴于点E, ∵D为OB的中点, ∴CD是△OBE的中位线,即CD=BE. 设A(x, ),则B(2x, ),CD=,AD=−, ∵△ADO的面积为1, ∴AD⋅OC=1， (−)⋅x=1，解得k=. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,属于简单题,表示出△ADO的面积是解题关键. 14．如图，矩形的对角线相交于原点O，已知，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，关于原点对称的性质．矩形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，即点与点关于原点对称， 点， 点的坐标是． 故答案为：． 15．如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； 17．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19． “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 【答案】任务1： 任务2：800元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率公式、销售利润公式是解题关键． 任务1：设增长率为，根据题意9月份人数1500人，10月为，11月为，建立方程求解即可． 任务2：设下调团费为元，则团费降低的金额为，总人数为，列方程求解即可． 【详解】任务1：解：设10月、11月的平均增长率为， 根据题意，， ， 解得，（舍去）， 答：10，11两个月报名人数的月均增长率为． 任务2：解：设下调后每人团费为元， 则团费降低的金额为，总人数为， 根据题意，， ， 解得，（因，舍去）， 答：下调后每人的团费为800元． 20．如图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 21．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质得，，利用即可得证； （2）由中点的定义得，结合菱形的性质证明，得，证明，得，可得结论； （3）根据菱形的性质及三角形内角和定理，，继而推出，，，证明，得，继而得到，即，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形且点是菱形的对角线上一点， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵点为的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，． ∴， ∴， 即的值为； （3）∵菱形的边长为，，， ∴， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等角对等边等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 考查范围:九上全册 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知，且．若的周长是6，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．12 D．18 7．在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 9．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则 ． 12．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为 ． 14．如图，矩形的对角线相交于原点O，已知，，则点C的坐标为 ． 15．如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程：； 17．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 18．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19． “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 20．如图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 21．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 23．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $