河南省郑州市高新区第一中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

郑州高新一中2025一2026学年上学期素养测评 九年级数学试卷 命题人：郑州高新一中数学组 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考试时间100分钟，满分120分。考生 首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效。交卷时只 交答题卡。 一。 选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 柴 1.矩形，菱形，正方形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两 条弧是等弧：⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为() 胞 正面 B 4.关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有() ①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大： ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就有一次正面朝上： ③“某种彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.5”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一 数学试卷第3页共8页 郑州高新一中2025一2026学年上学期素养测评 九年级数学试卷 命题人：郑州高新一中数学组 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考试时间100分钟，满分120分。考生 首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效。交卷时只 交答题卡。 一。 选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 柴 1.矩形，菱形，正方形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两 条弧是等弧：⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为() 胞 正面 B 4.关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有() ①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大： ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就有一次正面朝上： ③“某种彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.5”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一 数学试卷第3页共8页 事件发生的频率稳定在0.5附近. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.若x1,X2是方程2x2-6x+3=0的两个根，则2+1的值为() X1 X2 A.2 B.-2 c D 6.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为() A.-2 B.1 C.2 D.9 7.如图.在平面直角坐标系中，点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5)，(0,5)，(0，-1)，(4，-1) 若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为() R A.(0,1) B.(0) c0,) D.(0,3) 8已知点AK.y),Bx,,Cx,y为)都在反比例函数y=生(a是常数)的图象上，且 y1<y2<0<y3,则x1,X2,X3的大小关系为(). A.X2>X1>X3 B.X1>X2>X3 C.X3>X2>X1 D.X3>X1>X2 9.如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过 的路程为x,△ABP的面积为y,把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于() D 6 14x 图① 图② A.8V3 B.3V7 C.5 D.4 数学试卷第4页 共8页 事件发生的频率稳定在0.5附近. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.若x1,X2是方程2x2-6x+3=0的两个根，则2+1的值为() X1 X2 A.2 B.-2 c D 6.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为() A.-2 B.1 C.2 D.9 7.如图.在平面直角坐标系中，点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5)，(0,5)，(0，-1)，(4，-1) 若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为() R A.(0,1) B.(0) c0,) D.(0,3) 8已知点AK.y),Bx,,Cx,y为)都在反比例函数y=生(a是常数)的图象上，且 y1<y2<0<y3,则x1,X2,X3的大小关系为(). A.X2>X1>X3 B.X1>X2>X3 C.X3>X2>X1 D.X3>X1>X2 9.如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过 的路程为x,△ABP的面积为y,把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于() D 6 14x 图① 图② A.8V3 B.3V7 C.5 D.4 数学试卷第4页 共8页 10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x=-?且与x轴的一个交点坐标为(-2,0).有下 列结论：①abc>0,②a=b,③2a+c=0,④关于x的一元二 次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根.其中正确结 论的序号是() A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 1山.如果号系那么的值是 12.已知函数y=(m-3)xm2-7是二次函数，则m的值为， 13.若二次函数y=kx2一6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 14.小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.点C为直线AB上一点， 过点C的一条直线分别交两条平行线于点D,E,若品=号则的值为 3 SAcAe D 第14题图 第15题图 15.在正方形ABCD中，边长为A,点M是平面内一动点，且满足BM=2,N为MD的中点，点M运动过 程中，线段CN长度的最小值是 。,最大值是 2 数学试卷 第3页 共8页 10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x=-?且与x轴的一个交点坐标为(-2,0).有下 列结论：①abc>0,②a=b,③2a+c=0,④关于x的一元二 次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根.其中正确结 论的序号是() A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 1山.如果号系那么的值是 12.已知函数y=(m-3)xm2-7是二次函数，则m的值为， 13.若二次函数y=kx2一6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 14.小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.点C为直线AB上一点， 过点C的一条直线分别交两条平行线于点D,E,若品=号则的值为 3 SAcAe D 第14题图 第15题图 15.在正方形ABCD中，边长为A,点M是平面内一动点，且满足BM=2,N为MD的中点，点M运动过 程中，线段CN长度的最小值是 。,最大值是 2 数学试卷 第3页 共8页 三.解答题（本题共8小题，共75分。) 16.计算（本小题10分） (1)x2+8x-9=0: (2)2c0s30°+√3sin245°-4tan30° 17.(9分)某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间， 为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）： A.音乐；B体育；C美术；D.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随 机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计 图. 人数 ǒ 70 60 50 50 30 20 10 C D B E A B C D E活动小组 25% A 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了 名学生： ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ③扇形统计图中圆心角= 度 (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数. (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年 机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率. 数学试卷第4页 共8页 三.解答题（本题共8小题，共75分。) 16.计算（本小题10分） (1)x2+8x-9=0: (2)2c0s30°+√3sin245°-4tan30° 17.(9分)某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间， 为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）： A.音乐；B体育；C美术；D.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随 机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计 图. 人数 ǒ 70 60 50 50 30 20 10 C D B E A B C D E活动小组 25% A 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了 名学生： ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ③扇形统计图中圆心角= 度 (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数. (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年 机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率. 数学试卷第4页 共8页 18.(9分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4),B(2,n)两点，与 坐标轴分别交于M,N两点. (1)求一次函数的表达式， (2)根据图象直接写出kx+b>4中x的取值范围； (3)求△AOB的面积. 尽 19. (9分)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地 安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了 K 测量，图2为测量示意图（点A,B,C,D均在同一平面内，AB1BC.已知斜坡CD长为20， 斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆 底的距离BC=30,求该风力发电机塔杆AB的高度（结果精确到个位） 胞 (参考数据：sin20°≈0.34，c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73) 20 D 60 B C E ② 数学试卷 第5页 共8页 18.(9分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4),B(2,n)两点，与 坐标轴分别交于M,N两点. (1)求一次函数的表达式， (2)根据图象直接写出kx+b>4中x的取值范围； (3)求△AOB的面积. 尽 19. (9分)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地 安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了 K 测量，图2为测量示意图（点A,B,C,D均在同一平面内，AB1BC.已知斜坡CD长为20， 斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆 底的距离BC=30,求该风力发电机塔杆AB的高度（结果精确到个位） 胞 (参考数据：sin20°≈0.34，c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73) 20 D 60 B C E ② 数学试卷 第5页 共8页 20.(9分)市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌 头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个. (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率： (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个， 当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而 且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 21.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC E F B D C (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 数学试卷第6页 共8页 20.(9分)市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌 头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个. (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率： (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个， 当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而 且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 21.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC E F B D C (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 数学试卷第6页 共8页 22.(9分)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷 水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m;建 立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(区-h)2+k,其中x(m)是水 柱距喷水头的水平距离，y()是水柱距地面的高度， 不 ↑y/m 3.2 桨 x/m (1)求抛物线的解析式： (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动， K 当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离 抱 出 数学试卷 第7页共8页 22.(9分)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷 水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m;建 立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(区-h)2+k,其中x(m)是水 柱距喷水头的水平距离，y()是水柱距地面的高度， 不 ↑y/m 3.2 桨 x/m (1)求抛物线的解析式： (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动， K 当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离 抱 出 数学试卷 第7页共8页 23.(11分)问题发现：如图1，已知正方形ABCD,点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺 时针旋转90°到BF处，得到△BEF,连接CF, D B 图1 图2 图3 (1)填空：① ;②LACF的度数为： (2)类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF=90°，∠ACB=∠EFB=60°， 连接CF,请分别求出E的值及LACF的度数： (3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M,连接BM,CM,若AB=√6，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的 长 数学试卷第8页 共8页 23.(11分)问题发现：如图1，已知正方形ABCD,点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺 时针旋转90°到BF处，得到△BEF,连接CF, D B 图1 图2 图3 (1)填空：① ;②LACF的度数为： (2)类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF=90°，∠ACB=∠EFB=60°， 连接CF,请分别求出E的值及LACF的度数： (3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M,连接BM,CM,若AB=√6，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的 长 数学试卷第8页 共8页 数学试卷第7页 数学试卷第7页 共8页 数学试卷 共8页 数学试卷 第8页 共8页 第8页 共8页 数学答案 一、选择 BCABA ADDBD 二、填空 11号 12.-3 13.k≤3且k≠0 14结 15.2W2-1,25+1 三、解答题 16.解：(1)x2+8x-9=0, x2+8x+16=9+16, (X+42=25, X+4=±5， X1=-9,X2=1 (2)原式-2x受+×（图 4x3 =V3+V3x34 3 17.【小题1】 ①此次调查一共随机抽取的学生人数为50÷25%=200.故答案为200， ②c组的人数为200-30-50-70-20=30.补全条形统计图如下： ↑人数 80 70 70 60 50 50 40 30 30 20 10 0 A D E活动小组 ③扇形统计图中圆心角a=360°×品=54°，故答案为54. 【小题2】 数学答案 一、选择 BCABA ADDBD 二、填空 11号 12.-3 13.k≤3且k≠0 14结 15.2W2-1,25+1 三、解答题 16.解：(1)x2+8x-9=0, x2+8x+16=9+16, (X+42=25, X+4=±5， X1=-9,X2=1 (2)原式-2x受+×（图 4x3 =V3+V3x34 3 17.【小题1】 ①此次调查一共随机抽取的学生人数为50÷25%=200.故答案为200， ②c组的人数为200-30-50-70-20=30.补全条形统计图如下： ↑人数 80 70 70 60 50 50 40 30 30 20 10 0 A D E活动小组 ③扇形统计图中圆心角a=360°×品=54°，故答案为54. 【小题2】 数学答案 3200×弧=120，答：估计该校参加D组阀读的学生人数为120. 【小题3】 画树状图如下： 开始 丙 形尖肉十甲7灯电Z丙 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，：恰好抽中甲、乙两人 的概率为品君 18解：但)”点A在反比例函数y=的图象上，票=4解得m=1。点A的坐标为34以 又点B也在反比例函数y=的图象上登=n解得n=2.点8的坐标为2,2引又”点A, B在一次函数y=以+6的图象上，：佔2解得伦：一次函数的表达式为y= 2x+6; 2)根据图象，得x+b-4>0时，x的取值范围为x<0或1<x<2; (3):直线y=2x+6与x轴的交点为N,点N的坐标为3,0.：SAA0B=SA4ow-S△B0N=3× 3×4-2×3×2=3. 19.解：如图，过点D作DF LAB于点F,作DH L BE于点H. 20° D B 由题意得DC=20米，∠DCH=60°， 在tDCH中，：cos60=器，sn60=20,CH=CDc60=10米，0H=D sin60°=10W3≈17.3（米）.：'∠DfB=∠B=∠DHB=90°， :四边形DFBH为矩形， 数学答案 3200×弧=120，答：估计该校参加D组阀读的学生人数为120. 【小题3】 画树状图如下： 开始 丙 形尖肉十甲7灯电Z丙 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，：恰好抽中甲、乙两人 的概率为品君 18解：但)”点A在反比例函数y=的图象上，票=4解得m=1。点A的坐标为34以 又点B也在反比例函数y=的图象上登=n解得n=2.点8的坐标为2,2引又”点A, B在一次函数y=以+6的图象上，：佔2解得伦：一次函数的表达式为y= 2x+6; 2)根据图象，得x+b-4>0时，x的取值范围为x<0或1<x<2; (3):直线y=2x+6与x轴的交点为N,点N的坐标为3,0.：SAA0B=SA4ow-S△B0N=3× 3×4-2×3×2=3. 19.解：如图，过点D作DF LAB于点F,作DH L BE于点H. 20° D B 由题意得DC=20米，∠DCH=60°， 在tDCH中，：cos60=器，sn60=20,CH=CDc60=10米，0H=D sin60°=10W3≈17.3（米）.：'∠DfB=∠B=∠DHB=90°， :四边形DFBH为矩形， 数学答案 .BH=FD,BF=DH. :BH=BC+CH=30+10=40(米)， .:FD=40米. 在RtAFD中，：5=tan20, :AF≡FD·tan20°≈40×0.36=14.4（米）.：AB=AF+BF≈17.3+14.4=31.7≈32（米）. 答：该风力发电机塔杆AB的高度约为32米. 20.解：(1)设该品牌头盔销售量的月均增长率为x, 依题意，得1501+x2=216, 解得：X1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去)： 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%： (2)设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得(y-30600-10y-401=10000, 解得：1=50，y2=80不合题意，舍去) 答：该品牌头盔的销售价应定为50元. 21.【小题1】 :在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， .:AD L BC,即∠ADC=∠ADB=90°. :'CE∥AD,.:∠ECD=∠ADB=90°. ,”AEL AD,.·∠EAD=90°，，·∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .:四边形ADCE是矩形. 【小题2】 :在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC=4, :8D=CD=28C=2, 由(1)可知：四边形ADCE是矩形，：AE=CD=2,∠AEC=90°， 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3, 由勾股定理得：AC=VAE2+CE=V13】 ”EFLAC,.由三角形的面积公式得：SAc=AC:EF=AE·CE, 数学答案 .BH=FD,BF=DH. :BH=BC+CH=30+10=40(米)， .:FD=40米. 在RtAFD中，：5=tan20, :AF≡FD·tan20°≈40×0.36=14.4（米）.：AB=AF+BF≈17.3+14.4=31.7≈32（米）. 答：该风力发电机塔杆AB的高度约为32米. 20.解：(1)设该品牌头盔销售量的月均增长率为x, 依题意，得1501+x2=216, 解得：X1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去)： 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%： (2)设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得(y-30600-10y-401=10000, 解得：1=50，y2=80不合题意，舍去) 答：该品牌头盔的销售价应定为50元. 21.【小题1】 :在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， .:AD L BC,即∠ADC=∠ADB=90°. :'CE∥AD,.:∠ECD=∠ADB=90°. ,”AEL AD,.·∠EAD=90°，，·∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， .:四边形ADCE是矩形. 【小题2】 :在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，BC=4, :8D=CD=28C=2, 由(1)可知：四边形ADCE是矩形，：AE=CD=2,∠AEC=90°， 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3, 由勾股定理得：AC=VAE2+CE=V13】 ”EFLAC,.由三角形的面积公式得：SAc=AC:EF=AE·CE, 数学答案 .EF=AE-CE=2x3=6V13 AC V13 13 22.【小题1】 解：由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，则抛物线的解析式为y=ax-5P+3.2, 将0,0.7代入得0.7=250+3,2，解得a=-0 y=品k-5+32品+x+0 答：抛物线的解析式为y=一品+x+石 【小题2】 当y=1.6时，0×+X+品=1.6，解得=1，X=9, .:她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m以. 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m. 23.【小题1】 1 90 【小题2】 解：器= ,∠ACF=90°理由如下： :四边形ABCD是矩形， .:∠ABC=90°， :·∠ACB=60°， :83 AB=3, 同理在Rt EBF中，∠EFB=60°， 器 .:CB、BF AB BE' ·∠ABC=∠EBF, .:∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, 数学答案 .EF=AE-CE=2x3=6V13 AC V13 13 22.【小题1】 解：由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，则抛物线的解析式为y=ax-5P+3.2, 将0,0.7代入得0.7=250+3,2，解得a=-0 y=品k-5+32品+x+0 答：抛物线的解析式为y=一品+x+石 【小题2】 当y=1.6时，0×+X+品=1.6，解得=1，X=9, .:她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m以. 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m. 23.【小题1】 1 90 【小题2】 解：器= ,∠ACF=90°理由如下： :四边形ABCD是矩形， .:∠ABC=90°， :·∠ACB=60°， :83 AB=3, 同理在Rt EBF中，∠EFB=60°， 器 .:CB、BF AB BE' ·∠ABC=∠EBF, .:∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, 数学答案 即∠ABE=∠CBF, .:AABE∽4CBF, .CE=CB_V3 AEAB=3 .:∠BCF=∠BAE=30°， .:∠ACF=∠ACB+∠BCF=60°+30°=90°； 【小题3】 解：由2器器号 :∵AB=√6， .CB=2, :·4ABE∽4CBF, .:∠ABE=∠CBF, .:∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°， :M为EF的中点， .BM =TEF, 由(2)知∠ACF=90°， .CM=EF, .BM CM, 又：·4CBM是直角三角形， CM=号8c=1, .:EF=2CM=2, 设CF=X,则AE=√3x, :·∠CAB=30°，BC=V2, .:AC=2BC=2V2, CE =AC-AE=2V2-3x, :∠ECF=90°， CE2 +CF2=EF2, :x2+(2V2-√3x2=22, :x=6严或x=6平不合题意，舍去， 2 2 数学答案 即∠ABE=∠CBF, .:AABE∽4CBF, .CE=CB_V3 AEAB=3 .:∠BCF=∠BAE=30°， .:∠ACF=∠ACB+∠BCF=60°+30°=90°； 【小题3】 解：由2器器号 :∵AB=√6， .CB=2, :·4ABE∽4CBF, .:∠ABE=∠CBF, .:∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°， :M为EF的中点， .BM =TEF, 由(2)知∠ACF=90°， .CM=EF, .BM CM, 又：·4CBM是直角三角形， CM=号8c=1, .:EF=2CM=2, 设CF=X,则AE=√3x, :·∠CAB=30°，BC=V2, .:AC=2BC=2V2, CE =AC-AE=2V2-3x, :∠ECF=90°， CE2 +CF2=EF2, :x2+(2V2-√3x2=22, :x=6严或x=6平不合题意，舍去， 2 2