2026年九年级数学中考总复习：第一章 第三节　因式分解

第3节 因式分解 一、知识梳理 考点一：因式分解的概念 1. 核心特征：因式分解的结果必须是“整式的积”的形式，且每个因式都是整式；分解前后多项式的值保持不变（等价变形）。 2. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆运算。 示例：整式乘法：(a+b)(a-b)=a²-b²；因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)。 3. 【易错警示】① 因式分解的结果不能含有加减运算，如a²+2a+1=(a+1)²是因式分解，而(a+1)²=a²+2a+1是整式乘法；② 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止（在有理数范围内）。 考点二：因式分解的基本方法 1. 提公因式法 （1）公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 （2）公因式确定方法：① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各项都含有的相同字母；③ 指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式6a²b-9ab²+3a的公因式是3a。 （3）提公因式法步骤：① 找出多项式各项的公因式；② 用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式；③ 把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。 （4）【易错警示】提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，注意不要漏项；当多项式的首项系数为负数时，通常先提取“-”号，使括号内首项系数为正数，提取“-”号后，括号内各项要变号。 示例：-2a²+4a=-2a(a-2)（而非-2a(a+2)）。 2. 公式法 利用乘法公式的逆运算进行因式分解，常用公式如下： （1）平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)（适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号相反）。 示例：4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)。 （2）完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²（适用条件：多项式是三项式，其中两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍或-2倍）。 示例：x²+6x+9=x²+2×x×3+3²=(x+3)²；4a²-12ab+9b²=(2a)²-2×2a×3b+(3b)²=(2a-3b)²。 （3）因式分解的一般步骤 先看多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式； 再看提取公因式后的多项式（或原多项式）能否用公式法分解； 检查分解结果是否彻底，若不彻底，继续分解； 最后验证分解结果：将分解后的因式相乘，看是否等于原多项式。 二、同步练习 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+3)(x-3)=x²-9 B. x²-2x+1=x(x-2)+1 C. x²-5x+6=(x-2)(x-3) D. x²+6x+9=(x+3)²+0 2. 多项式-6x³y²+3x²y³-12x²y²的公因式是（ ） A. -3xy B. -3x²y² C. 3x²y² D. -3x²y 3. 因式分解x²-4的结果是（ ） A. (x-2)² B. (x+2)² C. (x+2)(x-2) D. x(x-4) 4. 下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. x²+4x-4 B. x²+6x+9 C. x²-6x-9 D. x²+4xy+2y² 5. 因式分解3a²-6a+3的结果是（ ） A. 3(a²-2a+1) B. 3(a-1)² C. (3a-1)² D. 3(a+1)² 6. 若x²+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（ ） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 7. 把多项式x³-4x分解因式，结果正确的是（ ） A. x(x²-4) B. x(x-2)² C. x(x+2)(x-2) D. (x+2)(x-2) 8. 已知a+b=5，ab=3，则a²b+ab²的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 2 D. 5 9. 因式分解：x²-25=________。 10. 因式分解：2a³-8a=________。 11. 因式分解：m²+4m+4=________。 12. 若a²-a-1=0，则a³-2a²+2025的值为________。 13. 因式分解：(x+y)²-4(x+y)+4。 14. 先因式分解，再求值：(a²+b²)²-4a²b²，其中a=3，b=1。 15. 已知x²-4x-1=0，求代数式(2x-3)²-(x+y)(x-y)-y²的值。 参考答案 1. C 【解析】因式分解的定义是把多项式化成几个整式的积的形式。A选项是整式乘法；B选项结果含加减运算，不是积的形式；C选项符合因式分解定义；D选项结果含加减运算，不是积的形式。 2. B 【解析】公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数（-6、3、-12的最大公约数是3，首项系数为负，提取“-”号），字母取各项都含有的相同字母（x、y），指数取相同字母的最低次幂（x的最低次幂是2，y的最低次幂是2），故公因式是-3x²y²。 3. C 【解析】x²-4是两项式，符合平方差公式的适用条件，x²-4=x²-2²=(x+2)(x-2)。 4. B 【解析】完全平方公式的适用条件是三项式，两项为平方项且符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍或-2倍。A选项-4不是平方项，且第三项符号为负，不符合；B选项x²+6x+9=x²+2×x×3+3²，符合完全平方公式；C选项-9不是平方项，且第三项符号为负，不符合；D选项2y²不是平方项，不符合。 5. B 【解析】先提取公因式3，得3(a²-2a+1)，再利用完全平方公式分解，a²-2a+1=(a-1)²，故3a²-6a+3=3(a-1)²。 6. C 【解析】x²+mx+16是完全平方式，可化为x²+mx+4²，根据完全平方公式，m=±2×x×4÷x=±8。 7. C 【解析】先提取公因式x，得x(x²-4)，再对x²-4利用平方差公式分解，x²-4=(x+2)(x-2)，故x³-4x=x(x+2)(x-2)。 8. B 【解析】提取公因式ab，得a²b+ab²=ab(a+b)，代入a+b=5，ab=3，得3×5=15。 9. (x+5)(x-5) 【解析】利用平方差公式，x²-25=x²-5²=(x+5)(x-5)。 10. 2a(a+2)(a-2) 【解析】先提取公因式2a，得2a(a²-4)，再利用平方差公式分解a²-4=(a+2)(a-2)，故2a³-8a=2a(a+2)(a-2)。 11. (m+2)² 【解析】利用完全平方公式，m²+4m+4=m²+2×m×2+2²=(m+2)²。 12. 2024 【解析】由a²-a-1=0得a²=a+1，将a³-2a²+2025变形：a³=a×a²=a(a+1)=a²+a=(a+1)+a=2a+1，故a³-2a²+2025=(2a+1)-2(a+1)+2025=2a+1-2a-2+2025=2024。 13. 解：将(x+y)看作一个整体，利用完全平方公式， (x+y)²-4(x+y)+4=(x+y)²-2×(x+y)×2+2²=(x+y-2)²。 14. 解：先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解， (a²+b²)²-4a²b²=(a²+b²)²-(2ab)²=(a²+b²+2ab)(a²+b²-2ab)=(a+b)²(a-b)²， 当a=3，b=1时，原式=(3+1)²×(3-1)²=16×4=64。 15. 解：先化简代数式， (2x-3)²-(x+y)(x-y)-y²=4x²-12x+9-(x²-y²)-y²=4x²-12x+9-x²+y²-y²=3x²-12x+9=3(x²-4x)+9， 由x²-4x-1=0得x²-4x=1，代入得3×1+9=12。 1 学科网（北京）股份有限公司 $