2026年九年级数学中考总复习：第一章 第三节　因式分解

第3节   因式分解

 

一、知识梳理

考点一：因式分解的概念

1. 核心特征：因式分解的结果必须是“整式的积”的形式，且每个因式都是整式；分解前后多项式的值保持不变（等价变形）。

2. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆运算。

示例：整式乘法：(a+b)(a-b)=a²-b²；因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)。

3. 【易错警示】① 因式分解的结果不能含有加减运算，如a²+2a+1=(a+1)²是因式分解，而(a+1)²=a²+2a+1是整式乘法；② 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止（在有理数范围内）。

考点二：因式分解的基本方法

1. 提公因式法

（1）公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。

（2）公因式确定方法：① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各项都含有的相同字母；③ 指数：取相同字母的最低次幂。

示例：多项式6a²b-9ab²+3a的公因式是3a。

（3）提公因式法步骤：① 找出多项式各项的公因式；② 用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式；③ 把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。

（4）【易错警示】提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，注意不要漏项；当多项式的首项系数为负数时，通常先提取“-”号，使括号内首项系数为正数，提取“-”号后，括号内各项要变号。

示例：-2a²+4a=-2a(a-2)（而非-2a(a+2)）。

2. 公式法

利用乘法公式的逆运算进行因式分解，常用公式如下：

（1）平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)（适用条件：多项式是两项式，且两项都能写成平方的形式，符号相反）。

示例：4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)。

（2）完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²（适用条件：多项式是三项式，其中两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍或-2倍）。

示例：x²+6x+9=x²+2×x×3+3²=(x+3)²；4a²-12ab+9b²=(2a)²-2×2a×3b+(3b)²=(2a-3b)²。

（3）因式分解的一般步骤

先看多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式；

再看提取公因式后的多项式（或原多项式）能否用公式法分解；

检查分解结果是否彻底，若不彻底，继续分解；

最后验证分解结果：将分解后的因式相乘，看是否等于原多项式。

二、同步练习

1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）

A. (x+3)(x-3)=x²-9  B. x²-2x+1=x(x-2)+1  C. x²-5x+6=(x-2)(x-3)  D. x²+6x+9=(x+3)²+0

2. 多项式-6x³y²+3x²y³-12x²y²的公因式是（  ）

A. -3xy  B. -3x²y²  C. 3x²y²  D. -3x²y

3. 因式分解x²-4的结果是（  ）

A. (x-2)²  B. (x+2)²  C. (x+2)(x-2)  D. x(x-4)

4. 下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（  ）

A. x²+4x-4  B. x²+6x+9  C. x²-6x-9  D. x²+4xy+2y²

5. 因式分解3a²-6a+3的结果是（  ）

A. 3(a²-2a+1)  B. 3(a-1)²  C. (3a-1)²  D. 3(a+1)²

6. 若x²+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（  ）

A. 8  B. -8  C. ±8  D. ±4

7. 把多项式x³-4x分解因式，结果正确的是（  ）

A. x(x²-4)  B. x(x-2)²  C. x(x+2)(x-2)  D. (x+2)(x-2)

8. 已知a+b=5，ab=3，则a²b+ab²的值为（  ）

A. 8  B. 15  C. 2  D. 5

9. 因式分解：x²-25=________。

10. 因式分解：2a³-8a=________。

11. 因式分解：m²+4m+4=________。

12. 若a²-a-1=0，则a³-2a²+2025的值为________。