9.8 随机抽样、用样本估计整体-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

决赛”为事件B,则P(A)=, 3 P(B)=3 1 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和 达人秀决赛互不影响， 所以事件A和事件B相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为 3 4 故甲两个比赛都进入决赛的概率 (2)X的可能取值为0,1,2,3，且 X~B,) 则P(X=0)= c()()- 27 4 P(X=1)= c()广() 64 P(X=2)= c()'() 64 P(X=3)= c()广() 二64 故随机变量X的分布列为 X 0 1 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 所以E(X)=0X 27 +1× 27 +2× 64 64 3 6+3×6 41 例3解：(1)由题意知，X所有可能的取 值为1,2,3,4， CC P(X=1)= 30 CC P(X=2)= 3 C1。 CC 1 P(X=3)= Clo P(X=4)= 二6 所以X的分布列为 X 1 3 1 3 1 1 30 10 2 6 (2)X的期望E(X)=1×30+2× 3 1 14 0+3×2+4×6=5 又E(X)=1× 1 30+4X+9×2 十 42 16×6 5 故方差D(X)=E(X)-(E(X)) 对点训练3解：(1)由题意易知X的可 能取值为0,1,2,3， 则p(X=o)=C =19P(X= 1)= CoCi。 C2o 15,P(x=2)= 38 C1。C1.1 38P(X=3)= 2 C。 19' 则X的分布列为 X 0 1 2 3 2 15 15 P 2 19383819 (2)由题意易知的可能取值为0,1， 2,3,4, 21 则P(=0)= 16 =87P(=1)= C×23 C×22 31 31 87=27,P(g=3)= 24 8 8 31 P(=4)= C 1 31 =81 则专的分布列为 0 2 3 16 32 8 8 P 8181278181 例4AD观察题图可以看出，甲地数学 平均分为90，小于乙地数学的平均分 100,A正确：题图中还可以看出乙地数 据更加集中，故乙地方差更小，B错误； 根据对称性，P(90≤X<94)= P(86<X≤90)<P(82≤X<90), C错误；o2=8时，根据题千数据， P(92Y≤108)≈0.6827，根据对称 性，P(92<Y≤10)≈0.6827，另有 2 P(76Y≤124)≈0.9973，根据对称 性，P10<Y≤124≈0.9973，于是 2 P(92Y<124) 0.9973+0.6827 2 0.84,D正确.故选AD. 对点训练4(1)3 解析：由题意可知，正态曲线的对称轴 为直线x=1,由正态曲线的对称性可 得a+a21=2>a= 5 2 (2)8 解析：由题意可知，正态曲线关于直线 x=10对称，所以P(x>17)= P(x<3)=m,所以m十n=2,因为 m2十n2≥2mn,得2(m2十n2)≥m2+ n+2n,得m2十n≥之(m十n) ×（）=，当且仅当m=n 1 年时等号成立，所以m十的最小值 为8 例50.1359 解析：因为X~N(100,2),即4= 100,0=2,所以P(102≤X≤104)= P(十g≤X≤十2a)=2X 1 [P(u-2G≤X≤h+2G)-P(u- 0X以十6)]≈ 0.9545-0.6827=0.1359.即这名 学生数学成绩在区间[102,104]内的 概率约为0.1359. 对点训练5①② 解析：对于①，因为P(Y>45)= z1-P(21≤Y≤45)]≈2×1- 0.9973)=0.00135,即乘坐线路B, 18:02后到家的概率为0.00135，所以 乘坐线路B,18:00前不一定能到家， 所以①错误：对于②，乘坐线路A在 17:58前到家的概率为P(X<48)= 21-P(40≤X≤48)]+P(40≤X< ×1-0.9545)+0.9545= 48)≈2 0.97725,乘坐线路B在17：58前到家 的概率为PY<41)=2[1 P(25Y41)]+P(25≤Y ×(1-0.9545)+0.9545= 41)≈2 0.97725,所以乘坐线路A和乘坐线路 B在17：58前到家的可能性一样，所以 ②错误；对于③，乘坐线路A在17：54 前到家的概率为P(X<44)=弓，乘 坐线路B在17：54前到家的概率为 PY<3)=21-P(9≤Y< 87J+P(29≤Y<37)≈2×1 0.6827)+0.6827=0.84135>2 所以乘坐线路B比乘坐线路A在 17:54前到家的可能性更大，所以③正 确；对于④，乘坐线路A在17：48前到家 的概率为P(X<38)=1-P(8≤ X≤50)]≈2 1 ×(1-0.9973)= 0.00135<0.01,所以④正确.故不合 理的为①②. 9.8 随机抽样、用样本 估计总体 …》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(1)相等(2)抽签法随机数法 2.(1)简单随机抽样分层随机抽样 (3)各层平均数 3.(2)①极差②组距组数③数据 4.(2)②中间 平均数③最多 考教衔接 C根据频数分布表可知，6十12十 18=36<50,所以亩产量的中位数不 小于1050kg,故A错误；亩产量不低 于1100kg的频数为24十10=34，所 以亩产量低于1100kg的稻田占比为 参考答案503 100-34=66%,故B错误：稻田亩产 100 量的极差最大值小于1200一900= 300(kg),最小值大于1150-950= 200(kg),故C正确；由频数分布表可 得这100块稻田亩产量的平均值的最 小值为10×(6X900+12×950十 18×1000+30×1050+24×1100+ 10×1150)=1042(kg),故D错误.故 选C 基础检测 1.(1)√(2)×(3)×(4)/ 2.39 3.54 解析：前两组的频数为100×(0.05十 0.11)=16,因为后五组的频数和为 64,所以前三组的频数和为36，所以第 三组的频数为36一16=20，又最大频 率为0.34，故第四组的频数为0.34× 100=34,所以a=20十34=54. 4.20 解析：由于数据x1,x2,x3,x1,x5的 方差为5，所以数据2x1-3,2x2-3, 2x3一3,2x1一3,2x5一3的方差为 22×5=20. 5.BCD对于A,由题图知10×(x十 0.015+0.020+0.030+0.025)=1, 解得x=0.010,故A错误；对于B,成 绩在[50,80)内的频率为0.1十0.15十 0.2=0.45<0.6,成绩在[50,90)内 的频率为0.1十0.15十0.2十0.3= 0.75>0.6,因此第60百分位数m位 于区间[80,90)内，m=80 0.6-0.45× 0.3 (90一80)=85，所以估计样本数据的 第60百分位数约为85，故B正确；对于 C,平均数约为x=55×0.1十65× 0.15+75×0.2+85×0.3+95× 0.25=79.5(分)，故C正确；对于D,成 绩低于80分的三组学生的人数之比为 0.1:0.15:0.2=2:3:4,则应抽取成 绩在[60,70)内的学生人数为30× 2+3+4=10,故D正确.故选BCD. 3 》提升·关键能力《… 例1(1)D对于A,平面直角坐标系中 有无数个点，这与要求总体中的个体 数有限不相符：对于B,老师表杨的是 发言积极的，对每一个个体而言，不具 备“等可能性”：对于C,错在总体容量是 无限的.故选D. (2)09 解析：依题意，得到的样本编号依次为 14,05,11,09,…,则第4个样本编号 是09. 11 对点训练11010 解析：在抽样过程中，个体a每一次被 抽中的可能性是相等的，因为总体容 量为10，故个体a“第一次被抽到”的 可能性与“第二次被抽到”的可能性均 为0 504红对构·讲与练·高三数学· 例2(1)D根据比例分配的分层随机抽 样的定义知初中部共抽取60X400 600 200 40(人)，高中部共抽取60×600 20(人)，根据组合公式和分步乘法计 数原理得不同的抽样结果共有C8。· C20种.故选D. (2)B设中年人抽取x人，青少年抽 取y人，由比例分配的分层随机抽样可 知200 .x80 40=36'480三6，解得x=1正 y=6,故中年人比青少年多抽取9人 故选B. 对点训练2BCD从中随机抽取60家商 店，则样本容量为60，B正确；因为三种 类型的商店的数量之比为1：5：9，所 以大、中、小型商店分别抽取4家、 20家、36家，且20-4=16（家），A错 误，C正确；被抽取的60家商店每日的 零售额情况是所抽取的一个样本， D正确.故选BCD. 例3(1)CD对于A,若第一组的平均数 为x,第二组的平均数为y,则y=x十 c,且c≠0，故平均数不相同，故A错 误；对于B,若第一组的中位数为x;,则 第二组的中位数为y:=x,十c,显然 不相同，故B错误；对于C,若第一组的 方差为s1,第二组的方差为s,则s= s,故方差相同，即标准差相同，故C正 确；对于D,由极差的定义知，若第一组 的极差为xmx一xmm,则第二组的极差 为ymx一ymin=（xnas十c）一（xms十 C）=工mx一xmm,故极差相同，故D正 确.故选CD. (2)BD设x2,x3,x1,x5的平均数为 m,x1,x2,…,x6的平均数为n,则n m=1十xg十x3十x1十x；十x6 6 x,十x3十x1十x5= 2(x1十x6)一(x2十x3十x1十x5) 12 因为无法确定2(x1十xB)与x2十x3十 x1十x5的大小关系，所以无法判断， n的大小，故A错误；不妨设x1≤ x2≤x3≤x1≤x5≤x6,可知x2, xx1x5的中位数等于x1,x2, 工6的中位数，均为十，故B正确： 2 因为x1是最小值，x:是最大值，则 x2x,x1x5的波动性不大于x1, x2,…,x6的波动性，即工2x,x1x5 的标准差不大于x1x2,…,x6的标准 差，故C错误；不妨设x1≤x2≤x3≤ x1≤x:≤x6,则x6一x1≥x5一x2, 当且仅当x1=x2x5=x6时，等号成 立，故D正确.故选BD. 对点训练3解：1)x=0X(9.8+ 10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10,y 0×(10.1+10.4+10.1+10.0+ 10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+ 10.5)=10.3,si=10 1 ×(0.22+ 基础版 0.32+0+0.22+0.12十0.22十0十 0.12+0.22+0.32)=0.036,s= 0×(0.2+0.1+0.2+0.32+ 0.22+0+0.32+0.22+0.12+ 0.2)=0.04. (2)依题意，y-x=0.3=2×0.15= 2×√0.15=2√0.0225， /0.036+0.04 =2√0.0076，所 10 以y-x>2 十5，所以新设备生 10 产产品的该项指标的均值较旧设备有 显著提高。 例4C24×25%=6,所以这24户居民 的月均用水量的第25百分位数为 5.5+6.7 =6.1(t).故选C 2 对点训练46 解析：由题知该组数据的极差为17 2=15,中位教为m十12，所以m十12 2 2 3 15×5 =9→m=6,又6×40%= 2.4,所以该组数据的第40百分位数是 该组数据的第三个数，为6. 例5D设[70,80)组的频率为a,则由 各组频率之和为1，可得10×(0.01 0.02+0.03+0.02)+a=0.8+a= 1,解得a=0.2,则[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]各组频率 依次为0.1,0.2,0.2,0.3,0.2，[80， 90)组频率最大，即成绩在[80,90)上 的人数最多，故A正确：成绩低于70分 的学生频率为0.1十0.2=0.3，即不低 于70分的学生频率为1一0.3=0.7， 所以成绩不低于70分的学生所占比例 为70%，故B正确；根据频率分布直方 图，可得50名学生成绩的平均数是 55×0.1+65×0.2+75×0.2+85× 0.3十95×0.2=78（分），由0.1 0.2十0.2=0.5，故50名学生成绩的中 位数为80分，所以50名学生成绩的平 均数小于中位数，故C正确：极差为数 据中最大值与最小值的差，已知50名 学生的成绩都在区间[50,100]内，但 成绩的最大值不一定是100分，最小值 也不一定是50分，故极差小于或等于 50分，但不一定等于50分，故D错误. 故选D. 对点训练5解：(1)由每个小矩形的面积 之和为1，得0.05+0.1十0.2+10a十 0.25+0.1=1,解得a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为 0.05十0.1十0.2十0.3=0.65，落在 [40,90)内的频率为0.05+0.1十 0.2+0.3+0.25=0.9, 显然第75百分位数m∈[80,90)，由 0.65十(1-80)×0.025=0.75，解得 m=84, 所以样本成绩的第75百分位数为84分. (3)由频率分布直方图知，成绩在[50， 60)的人数为100×0.1=10， 成绩在[60,70)的人数为100×0.2= 20,所以：=10×56+20×65= 10+20 62(分)： 由样本方差计算总体方差公式，得总 方差为s2= {10×7+(56 10+20 62)2]+20×[4+(65-62)2]}=23. 聚焦学科素养 题目呈现1ABD2024年第一季度全市 居民人均消费支出为2084十453十 1435+356+791+583+528+163= 6393(元)，故A正确；易知居住及食品 烟酒两项的人均消费支出总和为 2084+1435=3519(元)，占总人均 消竟支出的3519 ×100%≈55.0%> 6393 50%,故B正确：依题意可得2023年第 一季度城乡居民人均消费支出的差额 为79244388」 1.0441.078≈3520（元），2024年 第一季度城乡居民人均消费支出的差 额为7924-4388=3536（元），由于 3520<3536,故C错误；医疗保健与 教育文化娱乐两项人均消费支出总和 占总人均消费支出的528+791 ×100%≈ 6393 20.6%,故D正确.故选ABD 题目呈现2AB亲子阅读占比71.08%， 为最大，A正确：由于71.08%十 52.66%-1=23.74%>20%,B正 确；题图中各类亲子活动占比的中位数 为 27.77%+40.14% =33.955%, 2 C错误：题图中10类亲子活动占比的 极差为71.08%-13.32%=57.76%， D错误.故选AB. 题目呈现3D①由题图可得这13个月 的PMI的最大值为52.6%，最小值为 47.0%,所以极差为52.6%一47.0% 5.6%,故①正确；②由题图可得2023 年1月到2023年3月的PMI分别为 50.1%,52.6%,51.9%,均大于50%， 故②正确：③从2023年1月到2023年 7月的PMI的值从小到大排列为48.8%， 49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%, 52.6%,因为7×75%=5.25，所以这 7个月的PMI的第75百分位数为第六 个数51.9%，故③正确：④2023年7月 的PMI为49.3%，6月的PMI为 49.0%,所以比上月上升0.3个百分点， 故④正确.所以正确的个数为4.故选D. 题目呈现4C由题图可知，2024年母 亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时 的占比为38.7%>3，A说法正确， 2024年父亲周末陪伴孩子日均时长超 过6小时的占比为31.5%+24.2%= 55.7%>2,B说法正确：2024年母亲 周末陪伴孩子日均时长的5个时段占 比的极差为38.7%一2.5%=36.2%， C说法错误；2024年父母周末陪伴孩子 日均时长的10个时段占比的中位数为 21.4%十19.0% =20.2%,D说法正 2 确.故选C. 题目呈现5D2021一2024年该国星级 酒店数量依次为8920,8423,7676， 7337,逐年减少，故A正确：2021—2024 年该国星级酒店营业收入最高为 1907.77亿元，故B正确：2021一2024 年该国星级酒店餐饮收入比重最高的 是2022年，故C正确：2021一2024年该 国星级酒店餐饮收入比重的极差是 41.63%一38.19%=3.44%，故D错 误.故选D. 9.9 成对数据的统计分析 》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(1)有关系(2)增加减小 (3)一条直线 2.(2)正相关负相关(3)强 弱 3.(2)预测值 4.(2)是否独立 基础检测 1.(1)/(2)×(3)X 2.y=c·dr(c,d>0) 解析：根据散点图判断，用y=c· d严(c,d>0)的拟合效果更好. 3.97.5 解析：由已知可得X2=6.109 5.024,所以市政府断言市民收入增减 与旅游需求有关的可信度是97.5%. 4.12 解析：设被调查的男性人数为k,依题 意，得2×2列联表如下： 足球 性别 合计 喜爱 不喜爱 5k 男性 k 6 6 女性 2k 4k 2k 3 3 合计 3k 3k 3k 2 2 4k 6 则X”= 3 6 3k 3k k·2k·2 ·2 ,因为本次调查得出“在犯错误的概 2k 率不超过0.005的前提下认为喜爱足 球与性别有关”的结论，于是X≥ 7.879,即2 ≥7.879，解得k≥11.8185， 而k=61,m∈N,因此km=12. 5.BC对于A,样本相关系数r的绝对 值越大，则成对样本数据的线性相关 程度越强，故A错误：对于B,经验回归 直线一定经过点（x,y),故B正确；对 于C,决定系数R的值越接近1，则经 验回归方程拟合效果越好，故C正确； 对于D,残差平方和越小，表示经验回 归方程拟合效果越好，故D错误.故 选BC. 》提升·关键能力《… 例1D第一个散，点图中的，点是从左下 角区域分布到右上角区域，则是正相 关：第三个散点图中的点是从左上角 区域分布到右下角区域，则是负相关； 第二个散点图中的点的分布没有什么 规律，则是不相关，所以应该是 ①③②.故选D. 对点训练1A由题中散，点图可以看 出，题图1和题图3是正相关，样本相 关系数大于0，题图2和题图4是负相 关，样本相关系数小于0，题图1和题图 2的，点相对更加集中，所以线性相关性 更强，所以r1更接近1，r2更接近一1，由 此可得r2<r1<0<r3<r1.故选A 例2(1)C因为沿海地区气温和海水表 层温度相关，且样本相关系数为正数， 故随着沿海地区气温由低到高时，海 水表层温度呈上升趋势，故选C (2)B残差图越宽，说明模型的拟合 效果越差，故A错误；残差平方和越 小，说明模型的拟合效果越好，故B正 确；决定系数R2越小，说明模型的拟合 效果越差，故C错误：样本相关系数” 的绝对值越大，两个变量的线性相关 性越强，故D错误.故选B. 对点训练2(1)DR越大，则回归模型 的拟合效果越好，因为0.56>0.45> 0.23>一0.79，所以拟合效果最好的是 模型丁.故选D. (2)BD由r越接近1，数据的线性 相关关系越强知，A错误，B正确：由残 差平方和越小，则数据的线性回归模 型拟合效果越好知，C错误；由决定系 数越大，则数据的线性回归模型拟合 效果越好知，D正确.故选BD. 例3解：(1)由统计图的数据，可得x 2士3+4十6+8+10+8-5≈7， y=18+22+31+42+50+56+58- 7 222≈39： 7 又由∑(x,-x)(y,-y)=395, ∑x,-=97, 所以6- ≈4，a=y-bx≈39- 4×7=11, 所以y关于x的经验回归方程为y= 4x+11. (2)由统计图中的数据以及(1)中的经 验回归方程，可得统计表如下： x 2 3 4 6 81013 y 13 22 37 42 50 56 58 19 23 27 35 51 63 残差一 6 -5 所以该组数据残差的平方和为（一6）+ (-1)2+42+72+72+52+(-5)2= 201. 对点训练3解：(1)由表中数据可知， x- 5×(1+2+3+4+5)=3,y= 5×(3+7+9+10+11)=8 ∑(x,-x)2=10,∑0y,-y)2= =1 i=1 40,∑(x,-元)(y,-)=19, i=1 则x= ∑(x,-x)(0y,- =1 (y,-y) N=1 19 =0.95>0.75, √10×2√/10 故研发投入与产品收益的相关程度 较强. 参考答案505246对构·讲与练·高三数学·基础版 正态分布N(100,2).从本市中任选1名高二 间X(单位：分钟)服从正态分布N(44,2),下 学生，则这名学生数学成绩在区间[102,104] 车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间 内的概率约为 Y(单位：分钟)服从正态分布N(33,4),下车 参考数据：若随机变量X~N(μ，o2),则 后步行到家要12分钟.从统计角度分析，下列 P(H-o≤X≤k+o)≈0.6827，P(u 说法不合理的是 (填序号) 第 2o≤X≤h+2o)≈0.9545，P(u-3o≤ 参考数据：若Z~N(,o),则P(一o< X≤4十3o)≈0.9973. Z<4+o)≈0.6827，P(4-2o<Z<4十 章 学生试答： 2o)≈0.9545，P(u-3o<Z<h+3o)≈ 0.9973. ①若乘坐线路B,18:00前一定能到家； ②乘坐线路A比乘坐线路B在17：58前到家 的可能性更大； ③乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家 规律总结 的可能性更大； 由以，0分布区间的特征进行转化，使分布区间 ④若乘坐线路A,则在17：48前到家的可能性 转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意标准 不超过1% 正态分布下对称轴为直线x=0. 》温馨提示 【对点训练5】老张每天17：00下班回家，通常步 行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 学习至此，请完成训练65 A,B两条线路可以选择，乘坐线路A所需时 9.8 随机抽样、用样本估计总体 考试 1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.2.理解统计图表的含义.3.会用统 要求 计图表对总体进行估计，会求n个数据的第力百分位数.4.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离 散程度 回顾 》必备知识 》知识梳理《 一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ,每一个子总体称为层 1.简单随机抽样 (2)适用范围：总体可以分层，且层与层之间有 (1)特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概 明显区别，而层内个体差异较小 率 (3)平均数的计算：各层抽样比乘 (2)常用方法： 和 的和. (3)适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个 3.统计图表 体数量较少，尤其是样本容量较小 (1)常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频 2.分层随机抽样 率分布直方图等， (1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划 (2)作频率分布直方图的步骤 分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于 ①求 个子总体，在每个子总体中独立地进行 ②决定 与 ,再把所有子总体中抽取的样本合在 ③将 分组： 第九章 概率与统计 247 ④列频率分布表； (2)若数据2x1,x2,…,xm的方差为s2,则 ⑤画频率分布直方图. ①数据x1十a,x2十a,…,xn十a的方差为s2; 4.用样本估计总体 ②数据a.x1,ax2,…,a.xn的方差为a2s2 (1)百分位数 考教衔接 一般地，一组数据的第力百分位数是这样一个 【高考这样考】 值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于 (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等 第 或等于这个值，且至少有(100一p)%的数据大 的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻 九 于或等于这个值： 田的亩产量（单位：kg)并整理得下表： 章 (2)平均数、中位数和众数 [900, [950, 1000,1050,1100,L1150 ①平均数7=（(x1十十十t). 亩产量 950)1000)1050)1100)1150)1200) n 频数 6 12 18 30 24 10 ②中位数：将一组数据按从小到大或从大到小 的顺序排列，处在最 的一个数据（当数 根据表中数据，下列结论中正确的是 据个数是奇数时)或最中间两个数据的 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占 (当数据个数是偶数时). 比例超过80% ③众数：一组数据中出现次数 的数据 C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg (即频数最大值所对应的样本数据). 之间 (3)方差或标准差 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至 0方差：s=之(x-x)或 1 1000kg之间 n-1 x号-元2 n= 【教材这样教】 (人教A版必修第二册P225复习参考题9第8题) ②标准差：5= 1 (x-x)2 一名学生通过计步仪器，记录了自己100天每天 (4)总体（样本）方差 走的步数，数据如下： 5678130398666…98588922 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别 12682(部分数据省略) 为Y,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体方差 (1)画出这组数据的频率分布直方图，并分析数据 为s- N2,- 的分布特点； (2)计算这组数据的平均数、中位数和标准差，并 ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的 根据这些数值描述这名学生的运动情况， 值共有(k≤N)个，不妨记为Y,Y2,…,Yk, 衔接解读：试题以某生产问题的频数分布表为 其中Y,出现的频数为f,(i=1,2,…,k),则总体 载体，主要考查对频数分布表的理解和统计数据的 1 分析，计算相关的样本数字特征并理解其包含的统 方差为S2= 21- 计意义，考查学生的数据分析、逻辑推理、数学运算 等核心素养.高考试题是以频数分布表为背景，教材 ○常用结论与知识拓展 的习题则是先绘制频率分布直方图，再研究其样本 1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 的数字特征，而绘制频率分布直方图必须先得到频 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. 数分布表.因此在教学过程中，要注重“基本功”的锤 (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. 炼与夯实，切勿浅尝辄止. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率 分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中 》基础检测《 点的横坐标之和. 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 2.平均数、方差公式的推广 “/”,错误的画“X” (1)若数据x1x2,…,xm的平均数为x,则mx1十a, (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会一样， mx2十a,m.xa十a,,mxm十a的平均数是mx十a. 与先后无关。 () 248亿对构·讲与练·高三数学·基础版 (2)在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被4.（教材改编题）已知数据x1,x2,x3,x4,x5的方 抽到的可能性与层数及分层有关， ( 差为5，则数据2x1-3,2x2-3,2x3一3,2x4 (3)若样本量n=100,则第75百分位数是从小 3,2x5一3的方差为 到大排列的第75个数. () 5.(多选题)（教材改编题）某校组织“校园安全”知 (4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表 识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成 示样本数据落在该区间的频率越大.() 第 绩（满分100分，单位：分）按照[50,60)，[60， 2.(教材改编题)在一次篮球比赛中，某支球队共 70),…,[90,100]分成五组，得到如图所示的频 章 进行了8场比赛，得分（单位：分）分别为29,30， 率分布直方图，则下列说法正确的是 38,25,37,40,42,32,那么这组数据的第75百分 ↑频率 位数为 组距 0.030 3.(教材改编题)为了了解某校高三学生的视力情 0.025 况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情 0.020 况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将 0.015 部分数据丢失，但知道后五组的频数和为64，最 大频率为0.34，设视力在4.6到4.8之间的学生 人数为a,则a的值为 0V5060 708090100成绩/分 频率 A.图中x=0.100 组距 B.估计样本数据的第60百分位数约为85 C.若每组数据以所在区间的中点值为代表，则 这600名学生成绩的平均数约为79.5分 D.若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 1.1 30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60， 0.5 70)内的学生应抽取10人 04.44.54.64.74.84.95.05.15.2视力 提升 关键能力 考点1简单随机抽样与分层随机抽样 666740371464057111056509958668 7683203790 命题角度1简单随机抽样 571603116314908445217573880590 【例1】(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是 5223594310 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数 A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 据，则得到的第4个样本编号是 B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师 幻学生试答： 对全班45名学生中发言积极的3名学生进 行了表扬 C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个数 分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道 规律总结 试跑 1.简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体 (2)某工厂利用随机数表对生产的50个零件 中的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取. 进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号 2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个 分别为01,02，…，50，从中抽取5个样本，下面 体数较少的情况)、随机数法（适用于个体数较多的 提供随机数表的第1行到第2行： 情况). 第九章概率与统计 249 【对点训练1】用简单随机抽样的方法从含有10 A.抽取的中型商店比大型商店多4家 个个体的总体中抽取一个样本量为3的样本， B.样本容量为60 其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与 C.大、中、小型商店分别抽取4家、20家、36家 “第二次被抽到”的可能性分别是 D.被抽取的60家商店每日的零售额情况是所 抽取的一个样本 命题角度2分层随机抽样 考点2样本的数字特征 第 【例2】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学 命题角度1平均数、中位数、众数、方差、标准差、 九 生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随 章 极差 机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部 【例3】(1)（多选题）(2021·新高考I卷)有一组 两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中 样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样 部分别有400名和200名学生，则不同的抽样 结果共有 本数据y1y2,…,ym,其中y;=x,十c(i=1, 2,…,n),c为非零常数，则 () A.C48·C5种 B.C·C0种 A.两组样本数据的样本平均数相同 C.C9,·C0。种 D.C480·C2种 B.两组样本数据的样本中位数相同 (2)电影《孤注一掷》的上映引发了对电信诈骗 问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老 (2)(多选题)(2023·新课标I卷)有一组样本 年人200人，中年人200人，青少年80人，若按 年龄进行比例分配的分层随机抽样，共抽取36 数据x1x2,…,x6,其中x1是最小值，x6是最 大值，则 () 人作为代表，则中年人比青少年多抽取( A.6人 B.9人 A.x2x3x4x5的平均数等于x1x2,…,x6 C.12人 的平均数 D.18人 学生试答： B.x2x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6 的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1x2,…, x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6 的极差 幻学生试答： 规律总结 1.在比例分配的分层随机抽样中，抽样比 样本容量各层样本容量 总体容量一各层个体总量 2.在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层 的样本量为m,平均值为x;第二层的样本量为n,平 均值为y,则样本的平均值为mx十 规律总结 m+n 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只 【对点训练2】（多选题）某市有大、中、小型商店 是总体的平均数、标准差的近似值.实际应用时，需 共1500家，且这三种类型的商店的数量之比 先计算样本数据的平均数，分析平均水平，再计算方 为1：5：9，现在要调查该市商店的每日零售额 差（标准差）分析稳定情况。 情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中 【对点训练3】(2021·全国乙卷)某厂研制了一 随机抽取60家商店，则下列选项正确的有 种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产 品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台 250构·讲与练·高三数学·基础版 新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项学生试答： 指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410. 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本 第 平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s 和s 章 (1)求x,y,s,s2; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较 规律总结 计算一组n个数据的第力百分位数的步骤 旧设备是否有显著提高.（如果y一x≥ 从小到大排列原始数据 十，则认为新设备生产产品的该项指 2 第二步 计算i=nXp% 标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有 若不是整数，而大于的比邻整 数为j,则第p百分位数为第项数 显著提高》 据 第三步 若i是整数，则第p百分位数为第 项与第i+1项数据的平均数 【对点训练4】 组数据按从小到大的顺序排列 为2,4，m,12,16,17,若该组数据的中位数是 ·则该组数据的第40百分 考点3频率分布直方图 【例5】某校组织50名学生参加庆祝中华人民共 和国成立75周年知识竞赛，经统计，这50名学 生的成绩（单位：分）都在区间[50,100]内，按 分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布 直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错 误的是 () 命题角度2百分位数 频率 ↑组距 【例4】通过抽样调查得到某栋居民楼24户居民 0.03 的月均用水量数据（单位：t),将其按从小到 0.02 大排序如下：2.1,3.2,3.2,4.3,4.3,5.5,6.7， 0.01 8.9,9.4,9.5,9.5,9.9,10.1,10.5,11.1,11.2, 12.5,14.8,15.2,15.3,18.4,19.0,20.8,22.4, 05060708090100成绩/分 则估计这24户居民的月均用水量的第25百分 A.成绩在[80,90)上的人数最多 位数为 B.成绩不低于70分的学生所占比例为70% A.4.3t B.5.5t C.50名学生成绩的平均数小于中位数 C.6.1t D.6.7t D.50名学生成绩的极差为50分 第九章概率与统计 251 学生试答： (3)已知落在[50,60)的平均成绩是56分，方 差是7，落在[60,70)的平均成绩为65分，方差 是4，求两组成绩的总平均数之和总方差2. 频率 组距 a 0.02 0.020 第 0.010 九 0.005 章 规律总结 0405060708090100成绩/分 1.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就 是相应的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解 题的关键，也是识图的基础 2.准确理解频率分布直方图的特点，频率分布 直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不 要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形 图混淆 3.频率分布直方图中的计算：其中众数取最高 的小矩形底边中点的横坐标；求中位数，可将频率分 布直方图划分为左、右两个面积相等的部分，分界线 与横轴交点的横坐标即是中位数（如先确定中位数 所在区间，利用“0.5一较低累积频率=(x一区间左 端点)X区间纵坐标”，求得的x便是). 【对点训练5】某市每年定期组织同学们进行禁 毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的 掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作 为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为 不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50， 60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布 直方图 (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； 聚焦学科素养。数学应用背景下的“图表数据分析”问题 【题目呈现1】（多选题）(2024·辽宁大连二 医疗保健528元 ,其他用品及服务163元 模)如图为某市2024年第一季度全市居民人均消 交通通信583元 费支出构成图，已知城镇居民人均消费支出7924 居住2084元 教育文化娱乐791元 元，与上一年同比增长4.4%；农村居民人均消费 生活用品及服务356元 衣着453元 支出4388元，与上一年同比增长7.8%，则关于 食品烟酒1435元 2024年第一季度该市居民人均消费支出，下列说 A.2024年第一季度该市居民人均消费支出 法正确的是 ( 6393元 252红对构·讲与练·高三数学·基础版 B.居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和 (%)50%=与上月比较无变化 54 超过了总人均消费支出的50% 53 52.6 C,城乡居民人均消费支出的差额与上一年同 52 51.9 50.1 50.1 比在缩小 50 的09.4 49 49.0 D.医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支 48 49.2 49.248.8 49.3 4 48.0 ￥47.0 出总和约占总人均消费支出的20.6% 46 九 学生试答： 022年891011122023年234567 7月月月月月月1月月月月月月月 有下列说法： ①从2022年7月到2023年7月这13个月的 PMI的极差为5.6%； ②PMI大于50%表示经济处于扩张活跃的 状态，PMI小于50%表示经济处于低迷萎缩的状 【题目呈现2】（多选题）(2024·湖南邵阳模 态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活 拟)有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子 跃的状态； 陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩 ③从2023年1月到2023年7月这7个月的 子玩在一起、学在一起的方向转变.如图为2024年 PMI的第75百分位数为51.9%； 中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查 ④2023年7月的PM为49.3%，比上月上升 总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是 0.3个百分点 ( 其中正确的有 () 角色扮演 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 亲子阅读 亲子合唱 学生试答： 子运动会 亲子种植 2 子游戏 亲子舞蹈 亲子烘培 亲子研学旅行 亲子演出 【题目呈现4】孩子在成长期间最需要父母 口占比 的关爱与陪伴，如图为2024年中国父母周末陪伴 A.在参与调查的总人数中父母参与过的亲子 孩子日均时长统计图，根据该图，下列说法错误 活动最多的是亲子阅读 的是 () B.在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅 % 2024年中国父母周末陪伴孩子日均时长 读与亲子运动会的父母不少于20% 100 31.5 C.图中各类亲子活动占比的中位数为 80 38.7 40.14% 60 24.2 40 30.9 D.图中10类亲子活动占比的极差为57.70% 21.4 20 19.0 16.9 学生试答： 0 ■、01 8925 父亲 母亲 口1一2小时口2一4小时□4一6小时 ☐6一8小时 ■8小时以上 A.2024年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8 小时修占花大日 B.2024年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6 【题目呈现3】2023年7月31日国家统计局 发布了制造业采购经理指数(PMI),如图所示. 小时的占比大于号 第九章概率与统计 253 C.2024年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个 A.2021一2024年该国星级酒店数量逐年 时段占比的极差为28.8% 减少 D.2024年父母周末陪伴孩子日均时长的10 B.2021一2024年该国星级酒店营业收人最高 个时段占比的中位数为20.2% 不超过2000亿元 学生试答： C.2021一2024年该国星级酒店餐饮收入比重 最高的是2022年 第 D.2021一2024年该国星级酒店餐饮收入比 重的极差是1.54% 章 学生试答： 【题目呈现5】如图为2021一-2024年某国星 级酒店数量、营业收入及餐饮收入比重，根据该 图，下列结论错误的是 ( ) 10000 .41.63% +42009% .41.13% 8423 41.00% 39.3% 40.009% 67 39.00% 38.19% 337 38.0% 1907.71 1221.53 379.4 1177.68 37.00% 》温馨提示 36.00% 2021 2022 2023 2024 学习至此，请完成训练66 ☐星级酒店营业收入亿元 门星级酒店数量/家 一餐饮收入比重/% 9.9 成对数据的统计分析 考试 1.了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单 要求 的实际问题。 回顾>必备知识 》知识梳理《 (2)当r>0时，称成对样本数据 ；当 1.变量的相关关系 r<0时，称成对样本数据 (1)相关关系：两个变量 ,但又没有确 (3)r≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据 切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程 的线性相关程度越 ；当|r|越接近0 度，这种关系称为相关关系. 时，成对样本数据的线性相关程度越 (2)正相关、负相关：从整体上看，当一个变量的值 3.一元线性回归模型 增加时，另一个变量的相应值也呈现 (1)我们将y=bx十a称为Y关于x的经验回 的趋势，就称这两个变量正相关；当一个变量的 值增加时，另一个变量的相应值呈现 的趋势，则称这两个变量负相关. 归方程，其中 (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈 x,-) =1 现正相关或负相关，而且散点落在 附 a =y-bx. 近，我们称这两个变量线性相关。 (2)残差：观测值减去 所得的差称为 2.样本相关系数 残差 ∑(x-x)(y,-y) 4.列联表与独立性检验 (1)r= (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列 空-2-0 联表：