9.7 二项分布、超几何分布与正态分布-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

期望E(X)=0×0.16+10×0.44+ 20×0.34+30×0.06=13. 例4解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不 少于5分，则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二阶段也至少投中1次， .比赛成绩不少于5分的概率P= (1-0.6)(1-0.53)=0.686. (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则 甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概 率为P甲=[1-(1-p)]·q, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所 在队的比赛成绩为15分的概率为 Pz=[1-(1-g)]·p, 0<p<q≤1， .P甲-P2=q3-(g-pq)3-p3十 (p-pq)*=(q-p)(q2+pq+p2)+ (p-q)[(p-q)2+(q-pg)2+(p- q)(g-9)门=（p-q)·(32g2 3p'g-3pg)=3pg(p-q)(pq-p- q)=3g(p-q)[(1-p)(1-q) 1]>0, .P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段 比赛. (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛 成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X=0)=(1-b)3+[1-(1 p)3]·(1-g)3, P(X=5)=[1-(1-p)3].Cq(1-g)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]· C8q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3, .E(X)=15[1-(1-p)3]q 15(p3-3p2十3p)q, 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E(Y)=15(g3-3g2十3q)p. ∴.E(X)-E(Y)=15[pg(p十q)(p- q)-3pq(p-q)]=15pg(p-q)(p+ 9-3), :0<p<q≤1， .p-q<0,p+q-3<0, 则pg(p-q)(p十q-3)>0, .应该由甲参加第一阶段比赛， 对点训练4解：(1)由题意知，X所有的 可能取值为200,300,500，由题表数据 知P(X=200)= 2+16 =0.2, 90 36 P(X=300)= =0.4,P(X= 90 500)= 25十7十4=0.4.因此X的分 90 布列为 X 200 300 500 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量 至多为500瓶，至少为200瓶，因此只 需考虑200≤n≤500， 当300≤n≤500时，若最高气温不低 于25，则Y=6n-4n=2n:若最高气 温位于区间[20,25)，则Y=6×300+ 2(n-300)-4n=1200-2n:若最高 气温低于20，则Y=6×200十2(n 200)-4n=800-2n.因此E(Y)= 2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800 502红对闪·讲与练·高三数学· 2n)×0.2=640-0.4n. 当200≤<300时，若最高气温不低 于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气 温低于20，则Y=6×200十2(n 200)-4n=800-2n.因此E(Y)= 2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2= 160+1.2n.综上，当n=300时，Y的数 学期望达到最大值，最大值为520元. 9.7二项分布、 超几何分布与正态分布 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)两个n重伯努利试验 (2)X~B(n,p) (3)①pp(1-p)②npnp(1-p) 3.(1)XN(,o2) (2)①x=4②x=4 (4)4σ9 考教衔接 BC依题可知，x=2.1,s2=0.01,所 以YN(2.1,0.12),故P(Y>2)= P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+ 0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误； 因为XN(1.8,0.1),所以P(X> 2)=P(X>1.8十2×0.1)，因为 P(X<1.8十0.1)≈0.8413，所以 P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413= 0.1587<0.2,而P(X>2)= P(X>1.8+2×0.1)P(X>1.8+ 0.1)<0.2,B正确，A错误.故选BC. 基础检测 1.(1)/(2)/(3)/(4)× 2.2.51.25 3.4 解析：X服从超几何分布，P(X=)= C。故k=4 4.2- 解析：服从正态分布V(0,1), P(-1<0)=P(0<1)= 1 1 -P(ξ≥1)= 2 5.ABD对于A,B,由超几何分布和二 项分布的概念可知两个选项均正确；对 于D,设该批产品有M件，则E(X)= 3·7-品5n-2C 5 =0 CM 6CC-15(M-D(M-2) =M(M-1)(M-2) ,故D正确：对于C,假设C正确，可 15 得E(X)<E(Y),与D矛盾，故C错 误.故选ABD. …》提升·关键能力《… 例1(1)27 解析：由题意可知，恰好有两次击中目 标的概率为G×(号)》×(1 2)28 基础版 (2)4 解析：设该名运动员通过罚球命中的 次数为X,则XB(5,0.7),则 P(X=k)=C·0.7·0.35-(k=0, 1,2,3,4,5),再设最有可能得m分，其 中0≤m≤5，m∈N,则 P(X=m)≥P(X=m-1):即 P(X=m)≥P(X=m+1), fCg·0.7m·0.3m≥Cg-1. 0.7m-1.0.3-m, C·0.7”·0.3m≥Cg1.解得 0.7m+1·0.34m, 3.214.2,所以m=4,所以该名 运动员通过罚球最有可能得4分， 对点训练18 解析：由题意得抛一枚硬币正面向上 1 的概率为2，所以抛一枚硬币”次，正 面向上的次数为0的概率为（1 2)=() ,正面向上的次数为n的 概率为（合）”，所以顾客发得一学关 的概率为（合）十（位》=品，由题 1 多得<1%=0则2≥10， 因为n∈N,所以n-1≥7，即n≥8， 所以n的最小值为8. 例2解：(1)根据题意有X=0,1,2,3, 则P(X=0)=C×0.5= 1 p(X=1)=C×0.5=8: 3 P(X=2)=C×0.53= 3 8 P(X=3)=CX0.53= 1 8 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 3 8 8 8 8 解法1 所以E(X)=0× 8 +1× 3 1 8 +2×g+3、 二2 解法2因为XB(3,0.5),所以 3 E(X)=3×0.5= 2 (2)根据题意有 PY=1)= C&·C 3n C 4(2n-1) 由(1)可知P(X=1)=C×0.53= 3 8 故应满足|P(Y=1)-P(X=1)= 3n 3 4(2n--8≤0.01， 解得m≥只故n的最小值为20， 对点训练2解：(1)设“甲进入校园歌手 大赛决赛”为事件A,“甲进入达人秀 决赛”为事件B,则P(A)=, 3 P(B)=3 1 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和 达人秀决赛互不影响， 所以事件A和事件B相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为 3 4 故甲两个比赛都进入决赛的概率 (2)X的可能取值为0,1,2,3，且 X~B,) 则P(X=0)= c()()- 27 4 P(X=1)= c()广() 64 P(X=2)= c()'() 64 P(X=3)= c()广() 二64 故随机变量X的分布列为 X 0 1 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 所以E(X)=0X 27 +1× 27 +2× 64 64 3 6+3×6 41 例3解：(1)由题意知，X所有可能的取 值为1,2,3,4， CC P(X=1)= 30 CC P(X=2)= 3 C1。 CC 1 P(X=3)= Clo P(X=4)= 二6 所以X的分布列为 X 1 3 1 3 1 1 30 10 2 6 (2)X的期望E(X)=1×30+2× 3 1 14 0+3×2+4×6=5 又E(X)=1× 1 30+4X+9×2 十 42 16×6 5 故方差D(X)=E(X)-(E(X)) 对点训练3解：(1)由题意易知X的可 能取值为0,1,2,3， 则p(X=o)=C =19P(X= 1)= CoCi。 C2o 15,P(x=2)= 38 C1。C1.1 38P(X=3)= 2 C。 19' 则X的分布列为 X 0 1 2 3 2 15 15 P 2 19383819 (2)由题意易知的可能取值为0,1， 2,3,4, 21 则P(=0)= 16 =87P(=1)= C×23 C×22 31 31 87=27,P(g=3)= 24 8 8 31 P(=4)= C 1 31 =81 则专的分布列为 0 2 3 16 32 8 8 P 8181278181 例4AD观察题图可以看出，甲地数学 平均分为90，小于乙地数学的平均分 100,A正确：题图中还可以看出乙地数 据更加集中，故乙地方差更小，B错误； 根据对称性，P(90≤X<94)= P(86<X≤90)<P(82≤X<90), C错误；o2=8时，根据题千数据， P(92Y≤108)≈0.6827，根据对称 性，P(92<Y≤10)≈0.6827，另有 2 P(76Y≤124)≈0.9973，根据对称 性，P10<Y≤124≈0.9973，于是 2 P(92Y<124) 0.9973+0.6827 2 0.84,D正确.故选AD. 对点训练4(1)3 解析：由题意可知，正态曲线的对称轴 为直线x=1,由正态曲线的对称性可 得a+a21=2>a= 5 2 (2)8 解析：由题意可知，正态曲线关于直线 x=10对称，所以P(x>17)= P(x<3)=m,所以m十n=2,因为 m2十n2≥2mn,得2(m2十n2)≥m2+ n+2n,得m2十n≥之(m十n) ×（）=，当且仅当m=n 1 年时等号成立，所以m十的最小值 为8 例50.1359 解析：因为X~N(100,2),即4= 100,0=2,所以P(102≤X≤104)= P(十g≤X≤十2a)=2X 1 [P(u-2G≤X≤h+2G)-P(u- 0X以十6)]≈ 0.9545-0.6827=0.1359.即这名 学生数学成绩在区间[102,104]内的 概率约为0.1359. 对点训练5①② 解析：对于①，因为P(Y>45)= z1-P(21≤Y≤45)]≈2×1- 0.9973)=0.00135,即乘坐线路B, 18:02后到家的概率为0.00135，所以 乘坐线路B,18:00前不一定能到家， 所以①错误：对于②，乘坐线路A在 17:58前到家的概率为P(X<48)= 21-P(40≤X≤48)]+P(40≤X< ×1-0.9545)+0.9545= 48)≈2 0.97725,乘坐线路B在17：58前到家 的概率为PY<41)=2[1 P(25Y41)]+P(25≤Y ×(1-0.9545)+0.9545= 41)≈2 0.97725,所以乘坐线路A和乘坐线路 B在17：58前到家的可能性一样，所以 ②错误；对于③，乘坐线路A在17：54 前到家的概率为P(X<44)=弓，乘 坐线路B在17：54前到家的概率为 PY<3)=21-P(9≤Y< 87J+P(29≤Y<37)≈2×1 0.6827)+0.6827=0.84135>2 所以乘坐线路B比乘坐线路A在 17:54前到家的可能性更大，所以③正 确；对于④，乘坐线路A在17：48前到家 的概率为P(X<38)=1-P(8≤ X≤50)]≈2 1 ×(1-0.9973)= 0.00135<0.01,所以④正确.故不合 理的为①②. 9.8 随机抽样、用样本 估计总体 …》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(1)相等(2)抽签法随机数法 2.(1)简单随机抽样分层随机抽样 (3)各层平均数 3.(2)①极差②组距组数③数据 4.(2)②中间 平均数③最多 考教衔接 C根据频数分布表可知，6十12十 18=36<50,所以亩产量的中位数不 小于1050kg,故A错误；亩产量不低 于1100kg的频数为24十10=34，所 以亩产量低于1100kg的稻田占比为 参考答案503242亿对沟·讲与练·高三数学·基础版 9.7」 二项分布、超几何分布与正态分布 考试 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均 要求 值，并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用. 九 回顾》必备知识 》知识梳理《 (2)正态曲线的特点 1.二项分布 ①曲线是单峰的，它关于直线 对称. (1)伯努利试验 ②曲线在 处达到峰值1 只包含 可能结果的试验叫做伯努利试 6√/2π 验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所 ③当x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 组成的随机试验称为 (3)3。原则 (2)二项分布 ①P(h-o≤X≤h+o)≈0.6827. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事 ②P(4-2o≤X≤4+2o)≈0.9545. 件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事 ③P(H-3o≤X≤h十3o)≈0.9973. 件A发生的次数，则X的分布列为P(X=) (4)正态分布的均值与方差 C%p(1-p)"t,k=0,1,2,…,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称 若X~N(,o2),则E(X)= 随机变量X服从二项分布，记作 D(X)= (3)两点分布与二项分布的均值、方差 考教衔接 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)= 【高考这样考】 ,D(X)= (多选题)(2024·新课标I卷)随着“一带一路” ②若X~B(n,p),则E(X)= 国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶 D(X)= 叶出口.为了解推动出口后的亩收人（单位：万元） 2.超几何分布 情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件 次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用 入的样本均值x=2.1,样本方差2=0.01.已知该 X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分 种植区以往的亩收入X服从正态分布V(1.8, 布列为P(X=)=CC,A=mm十1，m十 0.1),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 C N(x,s2),则 () 2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N, (若随机变量Z服从正态分布N(,o2),则 m=max{0,n-N+M},r=min{n,M).如果 P(Z<μ+o)≈0.8413) 随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随 A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 机变量X服从超几何分布， C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 3.正态分布 【教材这样教】 (1)定义 (人教A版选择性必修第三册P87习题7.5第2 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x) e 题)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似 ,x∈R,其中∈R,o>0为参 6√J2元 服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高 数，则称随机变量X服从正态分布，记为 二年级的男生，求下列事件的概率： (1)165<X≤175}；(2){X≤165}：(3)1X>175. 第九章 概率与统计 243 衔接解读：试题从实际背景入手，主要考查正态 2.(教材改编题)将一枚质地均匀的硬币连续抛 分布的基本性质，从一般正态分布到标准正态分布 5次，X表示“正面朝上”出现的次数，则 的转化，考查知识获取的能力和逻辑推理的核心素 E(X)= ;D(X)= 养.高考试题从正态分布的本质特征切入，体现均值 3.（教材改编题)在15个村庄中有7个村庄交通不 和方差在正态分布中的重要意义，这一点显得比教 方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10 个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X=k)= 材的习题更加灵活，因此在教学过程中，要更加关注 第 知识背后隐藏的本质特征，方能游刃有余， C,则6 C 九 章 》基础检测《 4.(教材改编题)设随机变量ξ服从正态分布 N(0,1),若P(ξ≥1)=p,则P(-1<ξ≤0)= 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “/”,错误的画“X” 5.(多选题)（教材改编题）某工厂进行产品质量抽 (1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连 测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同 续射击了20次，是n重伯努利试验.( 的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均 (2)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答 有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地 案的题目数X~B(12,0.25). ( 随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放 (3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3 回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件 的倍数的次数，则X服从二项分布；从4名男演 产品中次品数量为X,员工B抽取到的3件产品 员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数 中次品数量为Y,k=0,1,2,3.则下列判断正确 的是 ) Y服从超几何分布 A.随机变量X服从二项分布 (4)当4一定时，正态曲线的形状由σ确定，o越 B.随机变量Y服从超几何分布 小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越离散。 C.P(X=k)<P(Y=k) ( D.E(X)=E(Y) 提升>关键能力 考点1二项分布 命题角度1n重伯努利试验 【例1】(1)若某射手每次射击击中目标的概率均 为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4 规律总结 在求n重伯努利试验中事件恰好发生次的概 次射击中，恰好有两次击中目标的概率为 率时，首先要确定好n和飞的值，再准确利用公式求 概率 (2)罚球是运动员在比赛时得分的方式之一. 【对点训练1】某商场进行抽奖促销活动，抽奖 已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将 规则中规定，抛一枚硬币n次，若正面向上的 罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比 次数为0或n,则获得一等奖.为使顾客获一 赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可 等奖的概率不超过1%，则n的最小值为 得1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分 命题角度2二项分布 学生试答： 【例2】某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命 中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立. 若该同学投篮3次，记其中命中的次数为X. 244沟·讲与练·高三数学·基础版 (1)求X的分布列与期望； (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)已知有大小相同的红球和黄球各n(n=2, (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为 3,…)个，从中随机取3个球，记其中红球的个 X,求随机变量X的分布列和数学期望 数为Y,若用P(X=1)的值近似表示P(Y= E(X). 1),且满足误差的绝对值不超过0.01，求n的 第 最小值， 学生试答： 章 考点2超几何分布 【例3】(2024·山东临沂模拟)某单位组织“学习 强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽 取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中 的7道.试求： (1)抽到他能答对的题目数X的分布列： (2)求X的期望和方差 学生试答： 规律总结· 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两 点：①试验是否为n重伯努利试验；②随机变量是 否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数. 【对点训练2】近期，重庆市育才中学举行了“探 ‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣'FUN 肆到底”育才达人秀，甲、乙、丙三人均依次参 加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概 率均是子，进入达人秀决赛的概率均是了，且 每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛 互不影响. 第九章 概率与统计 245 规律总结 考点3正态分布 1.超几何分布的概率计算公式从古典概型的角 命题角度1正态分布的性质 度加以理解更容易记忆：P(X=k) CCM,即恰 C 【例4】（多选题）甲、乙两地举行数学联考，统计 取了k件次品的概率= 发现：甲地学生的成绩X~N(u1,o)(o1 次品中取了k件×正品中取了n一k件 0),乙地学生的成绩YN(42,o)(o2>0) N件产品中任取n件 如图分别是其正态密度曲线，则 第 2.当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算 九 章 可以近似地用二项分布来代替.也就是说虽然超几 何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当 n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放 90100 回抽样. (附：若随机变量X~N(,o)(o>0),则 3.超几何分布在计算出均值后，可以用”M 进 P(以-o<X≤+o)≈0.6827，P( 行验证， 2o<X≤h+2o)≈0.9545，P(u-3o< X≤4+3o)≈0.9973) 【对点训练3】 某中学从高中三个年级中选派4 A.甲地数学的平均成绩比乙地的低 名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名 B.甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 额分配如下表： C.P(90≤X<94)>P(82≤X<90) 高一年级 高二年级 高三年级 D.若o2=8,则P(92≤Y<124)≈0.84 10名 6名 4名 学生试答 (1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣 传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人 数，求随机变量X的分布列： (2)若将4名教师安排到三个年级（假设每名 教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选 择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师 人数为，求随机变量ξ的分布列. 规律总结 利用正态曲线解题的关键是利用对称性把待 求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时 要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思 想及化归思想的运用： 【对点训练4】(1)(2024·山东东营质量检测)若 X~N(1,o2),且P(X≤a)+P(X≤ 2)=1则a- (2)设随机变量X服从正态分布N(10,o), P(X>17)=m,P(3≤X≤10)=n,则m2十 n2的最小值为 命题角度23原则 【例5】(2025·安徽滁州检测)若本市2024年高 二某次数学测试的成绩X(单位：分)近似服从