8.10 抛物线的标准方程及简单几何性质-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第八章 平面解析几何 207 8.10 抛物线的标准方程及简单几何性质 考试 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质，从中体会数形结合的思想.2.掌 要求 握抛物线的简单应用」 回顾>必备知识 》知识梳理《 示为S△OAB p 2 1+7 （若抛物线方程为x?= 1.抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线( 2y(p>0),直线l:y=k.x十 2,则S△A= 不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做 抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线叫 做抛物线的 》基础检测《 第 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 八 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 标准 y'=-2px x"2py x2=-2py “/”,错误的画“X” 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) (1)平面内与一个定点F和一条定直线1的距 离相等的点的轨迹一定是抛物线。 图形 (2)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象 F O 0 就是抛物线， (3)抛物线y=2px2(p>0)的准线方程为 开口 向左 向上 焦点 (.0) 2 () (4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其 准线 V= 2 2 离心率都相同 () 简 x≥0， y≤0， 单 范围 2.(教材改编题)抛物线x2=2py(p>0)上一点 y∈R y∈R x∈R x∈R 几 对称轴 x轴 y轴 P到焦点的距离为aa>),则点P到准线的 何 性 顶点 原点O(0,0) 距离是 ;点P的纵坐标是 质离心率 e=1 3.(教材改编题)已知抛物线C与双曲线x2一y2 1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的 ⊙常用结论与知识拓展 方程是 1.抛物线中的最值 若P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为 4.(教材改编题)到定点A(a,0)的距离与到定直 线x=一a的距离相等的点的轨迹方程是 焦点，则有PF≥号：盒点弦长度AB以通径2功 为最小值；若A(m,n)为一定点，则|PA十|PF|有 5.(多选题)（教材改编题）已知抛物线C与抛物线 最小值. x2=8y关于x轴对称，则下列说法正确的是 2.抛物线中的焦点三角形 () 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的 A A.抛物线C的焦点坐标是(0，一2) 焦点F?,0)的直线1：y=k2 k卫（其 B.抛物线C关于x轴对称 2 C.抛物线C的准线方程为y=2 中为直线1的斜率)交抛物线于A,B两 D.抛物线C的焦点到准线的距离为8 点，那么焦点三角形OAB的面积可以表 208亿对构·讲与练·高三数学·基础版 提升>关键能力 考点1抛物线的定义及其标准方程 命题角度2 抛物线的标准方程及应用 【例2】(1)(2024·北京卷)抛物线y2=16.x的焦 命题角度1抛物线的定义 点坐标为 【例1】(1)过点F(0,4)且与直线y+4=0相切 的动圆圆心的轨迹方程为 (2)(2023·全国乙卷)已知点A(1,5)在抛物 线C:y2=2px上，则A到C的准线的距离为 (2)已知动点P在y轴及其右侧，且点P到点 F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，则点P的 (3)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C: 轨迹E的方程是 y2=4x的准线为l,P为C上动点，过P作 学生试答： ⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点， 过P作1的垂线，垂足为B,则 () A.1与⊙A相切 第 B.当P,A,B三点共线时，|PQ|=√15 章 C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA=PB|的点P有且仅有2个 规律总结 幻学生试答： 以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略 借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所 满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果 【对点训练1】(1)动点M(x,y)到y轴的距离比 它到定点(2,0)的距离小2，则动点M(x,y) 规律总结 的轨迹方程为 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数 (2)已知点F(0,2),过点P(0,一2)且与y轴 法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类 垂直的直线为l1,l2⊥x轴，交l1于点N,直线 型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p,只需一个有关的已知条件就可以确定抛物线 l垂直平分FN,交I2于点M,求点M的轨迹 的标准方程. 方程. 2.涉及抛物线的焦点和准线时，要把抛物线方 程转化为标准方程后再确定其焦点和准线，否则容 易产生错误的判断 【对点训练2】(1)抛物线C:x2=4ay过点 (一2,1)，则C的准线方程为 (2)(2024·天津卷)圆(x-1)2十y2=25的圆 心与抛物线y2=2p.x(p>0)的焦点F重合， A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离 为 命题角度3抛物线定义的应用 【例3】(1)已知抛物线y2=4x上有一点P到准 线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为 抛物线的焦点，若B(3,2),则|PB+PFI 的最小值为 第八章平面解析几何 209 (3)已知P为抛物线y2=2x(p>0)上一动 (2)已知x轴上一定点A(a,0)(a>0)和抛物 点，Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一动 线y2=2x(p>0)上的一动点M,若 点，F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为 |AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为 d,若|PQ|十d的最小值为3，则p= 学生试答： 学生试答 规律总结 与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往 规律总结 往根据抛物线的定义，将该点到焦点的距离和到 与抛物线有关的最值、范围问题，往往根据抛 准线的距离相互转化，再根据“共线”的几何特征 物线的方程，对变量x,y相互转化，再根据函数的 进行求解 第 性质或基本不等式进行求解. 八 【对点训练3】(1)已知抛物线y2=16x的焦点为 【对点训练4】抛物线有一个重要的性质：从焦点 F,点P在抛物线上，点Q在圆C:(x一6)2+ 发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反 (y一2)2=4上，则|PQ|十|PF|的最小值为 射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为 抛物线在该点处的切线.过抛物线C:x2=8y (2)已知P为抛物线y2=4.x上的动点，F为抛 上的一点P(异于原点O)作C的切线l,过O 物线的焦点，点Q(3,√5)，则△PQF周长的最 作I的平行线交PF(F为C的焦点)于点Q, 小值为 则「OQ「的取值范围为 考点2与抛物线有关的最值、范围问题 【例4】(1)已知抛物线E:x2=4y,圆C:x2十 》温馨提示 (y-3)2=1,P为E上一点，Q为C上一点， 学习至此，请完成训练56 则|PQ|的最小值为 8.11 直线与抛物线的位置关系 考试 1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线 要求 相关的简单几何问题， 回顾 必备知识 》知识梳理《 (2)设直线1：y=kx+m,抛物线C:y2= 2x(p>0),将直线方程与抛物线方程联立，整 直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系 理成关于x的方程k2x2十(2km一2p)x十m2=0. ①若k≠0，则当△>0时，直线与抛物线 当5因 ,有 交点； 当△=0时，直线与抛物线 有 交点； 当△<0时，直线与抛物线 交点.十义，因为A,B在双曲线上，所以 x1十x2 x-=1, 9 两式相减得(x一 - =1, )-yiy 9 ,=0,所以kB·b= -y=9.对于A,可得6=1， x品-x kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程 y=9x-8, 2y2 =1, 消去y得72x2-2X 9 72x+73=0,此时△=(-2×72)2 4X72×73=一288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A错误；对于 9 B,可得k=一2，k4B= 2,则AB: y=- 2- 9 5 ，联立方程 9 5 y=-22-’ 消去y得45.x2+ 9=1, 2×45x+61=0,此时△=(2× 45)2-4×45×61=-4×45×16< 0,所以直线AB与双曲线没有交点， 故B错误；对于C,可得k=3,kAB= 3,则AB:y=3x,由双曲线方程可得 a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线 的渐近线，所以直线AB与双曲线没 有交点，故C错误；对于D,可得k=4, 9 7 kA4=9,则AB:y=4x一4，联立 y=9,7 方程 子一百'消去y得63x十 126x一193=0，此时△=126+4× 63×193>0,故直线AB与双曲线有 两个交点，故D正确.故选D 对点训练41 解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),因为 点A,B底议由袋写 -y2=1上，则 月-= 两式相减得（x1十 x2)(x1-x2）-(y1十y2)(y1-yg）= 0,因为P为AB的中点，所以x1十 x?=8,y1十y2=2,于是得 2一业=1，即直线1的斜率为1，此 x2一x1 时，直线1的方程为y=工一3，由 |y=x-3, x2-4y2=4, 消去y并整理得 3x2-24x+40=0,△=242-4×3X 40=96>0,即直线1与双曲线 y2=1交于两，点，所以直线l的斜率为1 8.10抛物线的标准方程 及简单几何性质 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.相等焦点 准线 2.向右向下 (3）o,) x= y= 2 x0y≥0 基础检测 1.(1)×(2)√(3)×(4)/ 2.aa-2 3.y2=±4V2x 解析：由已知可得双曲线的焦点为 (一√2,0)，(2,0).设抛物线C的方 程为y=±2px(p>0),则号=反， 所以力=2√2，所以抛物线C的方程为 y2=士4W2x. 4.y=0(a=0)或y2=4a.x(a≠0) 5.AC因为抛物线C与抛物线x2=8y 关于x轴对称，所以抛物线C的方程 为x2=一8y,则抛物线C的焦点坐标 是(0，一2)，准线方程为y=2,故A,C 正确；抛物线C关于y轴对称，故B错 误；抛物线C的焦点到准线的距离为 4,故D错误.故选AC …》提升·关键能力《… 例1(1)x2=16y 解析：由题意，得动圆的圆心到直线 y=一4的距离与到点F(0,4)的距离 相等，所以动圆的圆心是以点F(0,4) 为焦，点，直线y=一4为准线的抛物 线，其方程为x2=16y. (2)y2=4x 解析：由题意可得动点P的轨迹是以 点F(1,0)为焦点，直线x=一1为准 线的抛物线，所以点P的轨迹E的方 程是y2=4x. 对点训练1(1)y=0(x<0)或y2 8x(x≥0) 解析：当x≥0时，动点M到y轴的 距离比它到定点(2,0)的距离小2， .动点M到定点(2,0)的距离与它到 定直线x=一2的距离相等，，，动，点M 的轨迹是以(2,0)为焦点，直线x= 一2为准线的抛物线，抛物线的方 程为y2=8x:当x<0时，x轴上点 (0,0)左侧的，点到y轴的距离比它到 点(2,0)的距离小2，，动点M的轨迹 方程为y=0.综上，得动点M的轨迹方 程为y=0(x<0)或y=8x(x≥0). (2)解：如图，由题 y 意得，FM= |MN,即动点 M到点F(0,2)的 O 距离和到直线y= 一2的距离相等， 所以点M的轨迹 是以F(0,2)为焦点，直线y=-2为 准线的抛物线，根据抛物线定义可知 点M的轨迹方程为x2=8y, 例2(1)(4,0) 解析：抛物线的标准方程为y2=16x, 所以其焦点坐标为(4,0) 解析：由题意可得（√5）2=2力×1，则 2p=5,所以抛物线的方程为y2 5x,准线方程为x=一 ，点A到C的 4 准线的矩高为1-（号）=是 (3)ABD对于A,抛物线y2=4x的 准线方程为x=一1，⊙A的圆心(0， 4)到直线x=一1的距离是1，等于圆 的半径，故准线L和⊙A相切，A正确； 对于B,当P,A,B三，点共线时，PA⊥ l,则P的纵坐标yp=4,由yp=4xp, 得xp=4,故P(4,4),此时切线长 PQ=/PA2-r2=/4-12= √15，B正确；对于C,当PB=2时， xp=1,此时y=4xp=4,故P(1, 2)或P(1,-2),当P的坐标为(1,2) 4-2 时A0,4),B(-12),kA=0- 4-2 -2,kAB=0-(-1) =2,不满足 kpakan=-1,当P的坐标为(1，一2) 时，A(0,4),B(-1,-2),kPA= 4-（-2)=-6,kB=0-(-1） 。4-(-2) 0-1 6,不满足kpak Au=-1,于是PA⊥ AB不成立，C错误；对于D,如图， O F 根据抛物线的定义，PB=PF, 这里F(1,0),于是PA=PB|时 P点的存在性问题转化成「PA= PF时P点的存在性问题，A(0,4), F1.0AF的中点为（日2）AP的 中垂线的斜率为 =于是A加 的中垂线方程为y= 2x+15,与y2= 8 4x联立，消去x,可得y2-16y十30= 0,△=162-4×30=136>0，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存 在两个P,点，使得|PA|=PF,D正 确.故选ABD. 对点训练2(1)y=-1 解析：抛物线C:x2=4ay过点(-2， 1),则(-2)2=4a,解得a=1,则抛物 线C的方程为x2=4y,则C的准线方 程为y=一1. 参考答案489 2 析：圆(x一1)2十y2=25的圆心为 F1,0),故号=1，即力=2，由 1(x-1)2十y2=25可得x2+2x- y2=4x, 24=0,解得x=4或x=-一6（舍），故 4(x A(4,士4)，故直线AF:y=± 1),即4x-3y-4=0或4x十3y-4= 0,故原点到直线AF的距离d= 4 5 例3(1)42 解析：由y=4x得抛物线的准线方程 为x=-1,设点P(xoyo),由题意得 x。十1=9，解得x。=8,代入抛物线方 程y2=4x,得y=32,解得y。 士4√2，则点P到x轴的距离为4√2 (2)4 解析：由题意得 F(1,0),如图，过 2=4x 点B作BQ垂直 B3,2) 准线于点Q,交 抛物线于点P, 则P,Q= PF1,则有 PB+PFI≥P,B+P,Q= |BQ=4,即|PB+PF的最小 值为4. (3)2 解析：圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的 圆心C(一2,4)，半径r=1,抛物线 y2=2z(p>0)的焦点坐标为 (20）,准线方程为x=-名，则由 抛物线的定义可知，点P到y轴的距离 d=PF-号，所以PQ+d PQ十PF台如图，当C.QP, F四点共线，且P,Q在线段C℉上时， |PQ+PF|最小，而CF= √（侵+2）+16，PQ+PF- 台=C-=3，所以 2 √（+2）+16-1-=3，解 2 p=2 y2=2pX Q X=- 2 对点训练3（1)8 解析：如图，过点P向准线作垂线，垂 足为A,则|PF=PA,当CP垂直 于抛物线的准线时，CP十PA最 小，此时线段CP与圆C的交点为Q,因 490红对构·讲与练·高三数学· 为准线方程为x=一4，C(6,2),半径 为2，所以PQ十PF的最小值为 AQ=CA-2=10-2=8. +y P O (2)7 解析：当x=3 时，y2=12> 5,所以点Q(3, √5)在抛物线内 M 部，由y2=4x, 得焦点为F(1, 0),准线1的方 程为x=一1， / 如图，过P作 PM⊥l于M,过Q作QN⊥1于N,则 |PF|=|PM,所以△PQF的周长 FQ+PF +PQ=FQ+ |PM|+PQ,由图可知当Q,P,M 三，点共线时，|FQ+PM+PQ 取得最小值，此时PM十PQ|的最 小值为|QN=3十1=4，因为 1FQ=√(3-1)2+(5-0)2= 3,所以FQ+PM+PQ的最小 值为7，即△PQF周长的最小值为7， 例4(1)2√2-1 解析：如图，由题意知C(0,3),圆C的 半径为1，则PQ≥PC一1.设 P(xoyo),则x8=4y,「PC= √x。十(y-3) √y6-2y0十9=√/(y-1)+8,所 以当y。=1时，|PC1mm=2W2,所以 |PQ|mm=2√2-1. 0 (2)(0,p] 解析：设M(xo,yo)(x。≥0)，则y号= 2px0,所以|AM= √(xo-a)2十y6= √(x。-a)十2px。= √x6-(2a-2p)x0+a, 因为AM≥a恒成立，所以x。一 (2a-2p)x。十a2≥a2恒成立，所以 x8-(2a-2p)x。≥0恒成立，当x0= 0时，显然恒成立，当x0>0时，x。≥ 2a一2p恒成立，所以2a一2p≤0，则 a≤p,又a>0,所以0<a≤p,即实 数a的取值范围为(0，p]. 对点训练4(0,4) x6} 解析：设P(ro,8)x。≠0，易求得 koo=k= 会，所以lw议= x, 4 基础版 1m:y=816 十2，联立方程可求得 8x0 o(6#) ,所以|OQ2= 16.x6(16+x6) 16.x。 (x8+16)2 x+16 16 ∈(0,16)，即OQ∈(0,4). 16 1+ 8.11 直线与抛物线的 位置关系 》回顾·必备知识《… 知识梳理 (1)相交 相切 相离 (2)①相交 两个相切 一个 相离无②只有一个 必要不 充分 考教衔接 AC如图，直线y=-√5(x-1)过 点(1,0)，所以 y 抛物线C: y2=2px(p> 0)的焦点为 F(1,0),所以 卫=1，p=2, 2 故A正确：抛 物线C的方程 M 为y2=4x,设 M(x1y1), )=-3(x-1) N(x2,y2),由 y=-B(工一1)·消去y并化简得 y2=4x, 3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0, 1 解得x1=3x?=3所以MN= 3,故B x1十x2十p=3于3+2=6， 错误；设MV的中点为A,M,N,A到 直线l的距离分别为d1,d2,d,因为 d= d+d)=名r+ 1NF)=2 MN,即A到直线L的 距离等于MN的一半，所以以MN为 直径的圆与直线1相切，故C正确；由 上述分析可知y1=一5X(3-1) -23,y2= ×(行-)-25 31 所以|OM|= √32+(-23)2 √2I,ON= )+( 又MN=5,片以△OMN √3 不是等腰三角形，故D错误.故选AC 基础检测 1.3 解析：联立直线l:y=k(x十1)和抛物 线C:y2=4x的方程，消去y,可得 k2(x十1)2=4x,整理可得k2x2+ (2k2一4)x+k2=0,直线1与C有一