4.7 解三角形在实际问题中的应用&微专题三 解三角形中的“角对边模型-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第四章 三角函数、解三角形 101 4.7解三角形在实际问题中的应用 考试 要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量、几何计算有关的实际问题， 回顾>必备知识 》知识梳理《 》基础检测《 1.解三角形中的常用术语 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “/”,错误的画“X” 术语 术语意义 图形表示 (1)东北方向就是北偏东45°的方向.() 名称 (2)从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的 在目标视线与水平视线（两者 俯角为B,则a十3=180°. 仰 目标 角 在同一铅垂平面内)所成的 (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 铅 视线 与 角中，目标视线在水平视线上 垂 仰角水平 线 丈俯角视线 俯 引 方的叫做仰角，目标视线在水 目标 角 视线 (4)方位角与方向角的实质是一样的，均可确定 平视线下方的叫做俯角 观察点与目标点之间的位置关系. 从某点的指北方向线起按顺 2.如图，在高速公路建设中需 时针方向到目标方向线之间 要确定隧道的长度，工程技 位 角 的夹角叫做方位角.方位角日 术人员已测得隧道两端的两 的范围是0°≤0<360° 点A,B到点C的距离AC= BC=1km,且C=120°，则A,B两点间的距离 (1)北偏东a: 为 km. 北 3.如图，在塔底D的正西方A处 正北或正南方向线与目标方 东 方 测得塔顶的仰角为45°，在塔 向 向线所成的锐角，通常表达为 D 角 北（南）偏东（西）a (2)南偏西a: 底D的南偏东60°的B处测得 A 东 第 塔顶的仰角为30°，A,B间的 北 章 东 距离是84m,则塔高CD= m 4.如图，某同学为测量某楼的高度MN,在该楼的 正东方向找到一座建筑物AB,高约为49m,在 坡 坡面与水平面所成的锐二面 地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物 角 角叫坡角(0为坡角)；坡面的 与 顶部A、楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A 垂直高度与水平长度之比叫 坡 处测得楼顶部M的仰角为15°，则此楼的高度 坡比（坡度），即i= h 比 =tan 约为 () 2.解三角形的应用问题的要点 ()从实际问题中抽象出角度、距离、高度等条 件，作为某个三角形的元素 30° (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题 A.69m B.95m C.98m D.99m 的解. 102亿对构·讲与练·高三数学·基础版 提升>关键能力 考点1距离问题 规律总结 距离问题的类型及解法 【例1】(1)如图，A,B两点都在河的对岸（不可 (1)类型：两点均可达，两点间只有一点可达， 到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方 两点均不可达 法，并求出A,B间的距离 (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角 A.--- 形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利 用正、余弦定理求解. 【对点训练1】如图，在某个海北 域，一艘渔船以60海里/时的 (2)如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞 速度，沿方位角为150°的方向 机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B, 航行，行至A处发现一个小岛 M,N在同一个铅垂平面内，请设计一个测量 C在其东偏南15°方向，半小时 方案，包括： 后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B ①指出要测量的数据（用字母表示，并标示在 处离小岛C的距离为 海里。 图中)； ②用文字和公式写出计算M,N间的距离的 考点2高度问题 步骤 【例2】(2025·四川遂宁开学考试)一个大型喷 水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水 柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向 的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进60m到达点B,在点B处测 得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度 学生试答： 是 m. 学生试答： 四章 规律总结 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰 角和俯角都是在同一铅垂面内，目标视线与水平视 线的夹角， 2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示 意图. 3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形， 逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用. 第四章三角函数、解三角形 103 【对点训练2】(2025·河北邢台 【对点训练3】如图所示，有一北， 开学考试)某校高二年级研究 艘缉毒船正在A处巡逻，发 性学习小组为了实地测量某塔 现在北偏东75°方向、距离 1750 的高度，选取与塔底中心O在 为60海里的B处有毒贩正 A 同一个水平面内的两个测量基 驾驶小船以每小时(15√5一15)海里的速度往 点A与B,在A点测得塔顶P的仰角为45°，O 北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每 在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米 小时15√6海里的速度前往缉捕. 处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔 (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩 的高度约为 米.（结果精确到1米.参 抓捕； 考数据：W2≈1.414，√3≈1.732) (2)试确定缉毒船的行驶方向. 考点3角度问题 【例3】如图所示，在坡度一定 45 的山坡A处测得山顶上一 15 建筑物CD的顶端C对于山 坡的斜度为15，向山顶前进A∠ 100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为 45°，若CD=50m,山坡对于地平面的坡角为 0,则cos0= 学生试答： 规律总结 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础 上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关 的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最 后将解得的结果转化为实际问题的解. 第 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方 》温馨提示 章 向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角 学习至此，请完成训练27 微专题三 解三角形中的“角对边”模型 【典例】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 周长L的取值范围； b,c,已知2cosC(a cos B+bcos A)=c. (5)若△ABC为锐角三角形，c=√7，求 (1)求角C; △ABC周长L的取值范围： 2)若(=7，△ABC的面积为求△ABC (6)若△ABC为锐角三角形，c=√7，求 △ABC面积S的取值范围. 的周长； 学生试答： (3)若c=√7，△ABC的面积为S,求△ABC面 积S的最大值； (4)若c=√7，△ABC的周长为L,求△ABC 1042对构·讲与练·高三数学·基础版 (2)已知函数f(x)=2sin5cos专+25· -5,△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,f(A)=√5，且△ABC的外接 圆的半径为√. ①求角A的大小； ②求△ABC面积的最大值. (3)(2024·辽宁部分学校高三适应性测试)在 锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,从条件I: A十合甘条件 Ⅱ：2 cos A-bcos C=ccos B这两个条件中 规律总结 选择一个作为已知条件， 1.本题是一道很好的“母题”，基本上涵盖了解 ①求角A的大小； 三角形的所有重要知识和方法，我们可以从这样几 ②若a=2,求△ABC周长的取值范围. 个角度来再次认识这道题：①正、余弦定理的应用， 不同的角度切入，殊途同归，阐明了解三角形的基本 方向就是“正、余弦定理”这两大工具；②基本不等 式的应用，注意等号成立的条件；③在一个三角形 中，如果知道一边和一边的对角，就能求该三角形的 面积和周长的范围；④目标函数的确定，如本题中 的面积和周长函数的表示，是函数思想的重要体现； ⑤三角函数求最值中，“角的范围”是重中之重. 2.与三角形面积有关的问题主要有两种：一是 求三角形的面积；二是给出三角形的面积，求其他 量，解奥野主要应用三角形面泉公式S0bs血C, 第 此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值 有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来 章 求解 3.求与三角形中边角有关的量的取值范围时， 主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三 角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边 角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可.注意 题目中的隐含条件，如A十B十C=π，0<A,B, C<π，|b-c<a<b十c,三角形中大边对大 角等 【对点训练】(1)(2024·山东济南模拟)锐角 三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, 》温馨提示 b,c,且满足(sinA+sinB)(a- b)= 学习至此，请完成训练28 sinC(√3a-c),若b=1,求a2+c2的取值 范围.B)=sin Acos B+sin Bcos A √2+√6 4 b 由正弦定理可得 sin B sc即 2 b 解 π 7π in sin 6 4 sin 12 得b=2√2，c=√6+√2， 故△ABC的周长为2+√6+3√2 (2)①由余弦定理及已知可得cosC= a2+b2-c2√2ab ,因为C∈ 2ab 2ab (0,π)，所以sinC>0, 从而sinC=√1-cosC= 又因为sinC=√2cosB, 所以cOsB= 2, 因为B∈(0，π)，所以B 3 ②由①可得B=号c0sC = C 2 (0,π)，从而C=元，A=元 π 4 3 5 5π 12 故sinA=sin 12 sm(+）-9 12 2 √6+√2 4 由正弦定理有 a b 5 sin 12 sin3 sin 从而a= 5+E.2e +1 4 2 6= √3 2c= √6 2c, 由三角形的面积公式可知，△ABC的 面积可表示为 S△ABC= 2 3+√5 C 22 8 由已知△ABC的面积为3十√5，可得 3+√3 8 2=3十5， 所以c=2√2. 对点训练4解：(1)由题意得2sinB· cos B= bcos B,因为A为钝角，所 以B为锐角， 则cosB≠0，所以2snB=56.所以 b 2 7 sin B sin A sinA,解得 7 √5 sin A 2 因为A为钝角，所以A= 3 (2)选择①：b=7,则sinB= = 14 、 。×7=B,因为A=三，所以B为 2 3 领角，所以B=号 此时A十B=π，不合题意，舍弃： 选择②，c0sB=18,因为B为三角形内 14 14 代入2sinB= 得2X 14 解得b=3, sinC=sin(A+B)=sin(答+B）= sn学asB+ca经snB-9×只 2×14 (←)×9-源 14 所以S△Ac=2 absin C= 41 选择⊙c血A=9则有(×号 5解得c=5 则由正弦定理得a sin A=sin C,即 7 sinC·解得sinC=5F, 5 14 2 因为C为三角形内角，所以cosC= (=所以mB 1-() sino C-o号 s2sin C-3x 11 3 2×4 ()×源- 14 1 所以SaAc=乞acsin B=立X7X 5×35-15vg 14 4 例52√5百米4√2平方百米 解析：c0sB三3，D=2B .'.cos D cos 2B =2cos2B-1 子：AD=1百农，CD=8百米， ∴由余弦定理得AC2=AD十CD2 2 ADCDs D=1+9-6×(专) 12,AC>0,.AC=2√3百米.若 BC=√6百米，在△ABC中，由余弦定 理得c05B=AB十612=5，解 26 X AB 3 得AB=32百米（负值舍去）.：cosB= 9m月 1 1 AB X BC X sin B3 √6 =32(平方百米).：c0sD= 1 3 31 工-2 simD=1- 3 SAC= 2×ADCXsin D=2X1X3X 1 22 =2(平方百米)“花卉种植区城 总面积为32+√2=4√2（平方百米）. 对点训练5解：(1)△ABC中，由正弦定 理得、AC AB sin/CBA=sin/BCA→ 2sin sin∠BCA= √2I √7 7 ∴.cos∠BCA= √1-( 7 7 (2)由(1)知cos∠BCA= 2W7 7 .cOS∠BAD=cOs(∠BAC+ 2红） 3 -cOs∠BCA= 2W7 71 .BD=BA2+AD2-2·BA· ADcos∠BAD=4+28-2X2X2W7× （2 =48,.BD=4√3」 7 4.7 解三角形在实际问题 中的应用 …》回顾·必备知识《… 基础检测 1.(1)√/(2)×(3)×(4)/ 2.3 解析：在△ABC中，易得A=30°，由正弦 定理AB BC sin A 1× =√5(km). 2 3.127 解析：设塔高CD=xm,则AD=xm, DB=√3xm.由题意得∠ADB= 90°+60°=150°，在△ABD中，利用余 弦定理得842=x2十(3x)2-2√5· xc0s150°，解得x=12√7（负值已舍 去)，故塔高CD=12√7m. 4.C在R△ABC中，AC= AB sin∠ACB≈ 49 1 =98(m),在△MAC中，可知 ∠MCA=180°-(30°+45°)= 105°，∠MAC=45°，∠AMC=180° (105°十45°)=30°，由正弦定理得 AC MC sin∠AMC=sin∠MAC,可得MC- 参考答案441 ACsin.∠MAC 98X2 2 =982(m), sin∠AMC 1 在Rt△MNC中，MN=MCsin∠MCN= 98Ex2 =98(m),所以此楼的高度 2 约为98m.故选C …》提升·关键能力《 例1解：(1)如图，在A,B两点的对岸选 定两点C,D,测得CD=a,并且在C, D两点分别测得∠BCA=a,∠ACD= B,∠CDB=Y,∠BDA=6. B D 在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得 asin(y-6) AC= sin[180°-(3+y+6)万 asin(Y十8) sin(B+Y+8) BC= asin y sin180°-(a+B+y)] asin y sin(a+8+y) 于是，在△ABC中，由余弦定理可得 A,B两点间的距离AB= √JAC2+BC2-2AC·BCcos a= a2sin2 (y+a) a2 sim2y 22 siniy+d)sin Ycos √2g+7+i2w+g+7)sn9+7+0sm。+B+7万 (2)方案一：①需要测量的数据有A点 到M,N点的俯角a1,B1;B点到M,N 点的俯角a2,B2;A,B间的距离d(如 图所示). d a ay B M ②第一步：计算AM,由正弦定理得 AM= dsin a2 sin(a1十a2)i 第二步：计算AN,由正弦定理得 AN= dsinβ2 sin(B:-B) 第三步：计算MN,由余弦定理得 MN √AM+AN-2AM·ANcos(a1-B). 方案二：①需要测量的数据有A点到 M,N点的俯角a1,B;B点到M,N点 的俯角a2,82;A,B间的距离d(如图 所示) ②第一步：计算BM,由正弦定理得 dsin a BM= sin(a+a2) 第二步：计算BN,由正弦定理得 BN- dsin B sin(B2-B 第三步：计算MN,由余弦定理得MN= √/BM+BN+2BM·BNcos(a2十B2) 442红对沟·讲与练·高三数学· 对点训练110√6 解析：由题意及方位角可得，∠CAB= 45°，∠ABC=75°，∠ACB=60°，因为 渔船以60海里/时的速度航行，所以 AB=30海里，由正弦定理可得 AB BC sin60三sim45,即B化 ,解得 2 2 BC=10√6海里. 例230 解析：如图所示，设水柱CD的高度为 h,在Rt△ACD中，∠DAC=45°， ∴AC=h,:∠BAE=30°，∴∠CAB= 60°，又B,A,C在同一水平面上， ,△BCD是以C为直角顶，点的直角三 角形，在Rt△BCD中，∠CBD=30°， ∴.BC=√5h,在△ABC中，由余弦定 理可得BC2=AC2+AB2一2AC· ABc0s60°，∴.（√3h)2=h2+602-2X 60h×2,即h2十30h-1800=0,解 得h=30m,.水柱的高度是30m. D B C 对点训练226 解析：△AOB中，∠OAB=30°，∠ABO 45°，AB=36米，所以∠AOB=105° 在△AOB中，由正弦定理，可得 AB AO sin∠AOB sin∠ABO,代入值求得 A0=36Xsin45° 36×sin45° sin105=sim(60°+45= 36(√3-1)≈26（米）.由于△AOP为 等腰直角三角形，则PO=OA≈26 米，则此塔的高度约为26米。 例3√3-1 解析：由题知，∠CAD=15°，∠CBD 45°，所以∠ACB=30°，∠ABC= 135°.在△ABC中，由正弦定理得 AB AC sin30=sin135,又AB=100m,所 以AC=100√2m.在△ADC中， ∠ADC=90°十0，CD=50m,由正弦 AC CD 定理 sin(8+90)= sin15,所以 cos 0=sin(0-+90)=AC.sin 15 CD 5-1. 对点训练3解：(1)设缉毒船经过t小时 恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知∠ABC=180°一75°+ 15°=120°，AB=60海里，AC=15√6t 海里，B℃=(15W3-15)t海里， 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2 2AB·BCcos.∠ABC, 即(156t)2=602+[(15√3-15)t]- 2x60×155-150:×(2), 整理可得(t一2)汇(W3+1)t十4]=0， 解得t=2, 基础版 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩 抓捕. (2)由(1)可知∠ABC=120°，AB= 60海里，AC=30√6海里，BC= (30√3-30)海里， AC AB 由正弦定理n∠ABC=sin乙ACB可 得sin∠ACB= AB·sin∠ABC= AC √2 30√6 ，且∠ACB为锐角， 则∠ACB=45°，可得∠BAC= 180°-120°-45°=15°， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东75° 15°=60°. 微专题三解三角形中的 “角对边”模型 典例解：(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)= sin C, 整理得2 cos Csin(A+B)=sinC, △ABC的内角为A,B,C, '.sinC≠0，且sin(A十B)=sinC, ∴.cosC=2' 又0<C<π，∴C= 31 (2)由余弦定理c2=a十b2-2 abeos C, 1 得7=a2+b2-2ab×2=a+b ab =(a+b)2-3ab, 1 由S△Ac=2 absin C,得ab= 33 2,b=6,(a+b)2-18=7, .a+b=5..△ABC的周长为a十 b+c=5+7. (3):c=万，C=牙，由余弦定理 3 、得cos C -a十b二c三，即ab= 2ab a2+b2-7≥2ab-7(当且仅当a=b 时等号成立)，解得ab≤7. 又△ABC面积S=2 absin C,则S- 2absin 么 7√3 3 4 故△ABC面积S的最大值为75 4 (4)解法1由余弦定理得cosC= a2+b2-c2 2ab 2,即a2+62-7= b,a+6-7=3b<3(0安）)、 1 六4a十b)≤7，当且仅当a=b时 等号成立，又a十b>c=√7，解得 √7<a十b≤2W7,故△ABC的周长 L=a+b+c∈(2√7,3√7]. 解法2由正弦定理得 sin A= b 3 2 则a= 2wW2 sin A,= 2w21 sin B, 3 3 .△ABC的周长L=a+b十c= 2@(sinA+sinB)十7，又A+ 3 B十C=,则L=2[mA中 3 n(-A)]+7=2(如A osA+2mA)+万- 3 2 2停A+是血A)+ 2厅（分A+nA）+厅 2W7sin(A+）+7, :A+B=号则A∈(0，)A sm(a+君)e(分]· 则L=2W7sin(A+6）+万∈(27 37],.△ABC的周长L的取值范围 为(2√7,3√7. (5)由(4)的解法2可知， L=27sim(A+6)+F, ,△ABC为锐角三角形，且A十B= 号：A∈（后，）…A+若e (得)m(A+）悟1 ∴.L∈（√21+√7,3√7]，.△ABC周 长L的取值范围为（√2I十√7,3√7]. b (6)由正弦定理得 sin B C T 2 2√21 sin sin A, √ 3 则a= 3 2 b= 22I sin B,..S absin C 3 2 2√2I 221 2 sin A X B X 3 3 sin 7 7 2 sinA·sinB= sin A sm( E-A)=后nA(停sA+ 名A)=后（号AsA+ sin 2A sin 2A 2s2A+）= sin(2A 2√3 -)+ 75 12 :△ABC为锐角三角形，且A十B 行Ae(后)2ae(管小 sm(2A-)e(分]， ..SE 亿5,75，△ABC面积S 64 的取值范围为（亿5,7] 64 对点训练解：(I)(sinA十sinB)(a-b)= sinC(W3a-c),由正弦定理得a2十c2 b2=√5ac,由余弦定理得cosB= -9而Be(o） 2ac 所以B= 合，由正弦定莲知白用 a sinA=snC=2,所以a2+c2= C 4sin2A 4sin'C =2(1-cos 2A)+ 2(1-c0s2C)=4-20s2A十 o2(g-A]=4+25s(2A 子)，因为在锐角三角形ABC中，有 0<A<受0<晋-A<受，得号< A<所以<2A-子<此 时<sm(A-号）≤1，则7< a2十c2≤4十2W5. (2)0因为fx)=2sin受os专十 2osinco 1)-√5=sinx十√5cosx= 2m(+5）,又A)=6. 所以mA+骨)=9 因为A∈0，x),所以A=号 @由正被定理得品A=25,即 a=25, sin 3 所以a=25×9-8 由余弦定理得9=b2+c2一2bc· cos3 =b2+c2-bc22bc-bc bc, 当且仅当b=c时，等号成立， 所以bc9. 因为Sar=是kc·sin子=尽c, 3 4 又bc的最大值为9， 所以△ABC面积的最大值为9y 4 (3)①选条件I: 因为5sinA-cosA-1 √3sinA+cosA Γ2 所以2（√5sinA-cosA)=√5sinA+ cosA,所以√3sinA=3cosA. 又因为A∈(0，受）所以cosA≠0， 所以tanA=√尽，所以A=T 3 选条件Ⅱ： 因为2 acos A-bcos C=ccos B, 由正弦定理可得2 sin Acos A sin Bcos C=sin Ccos B, 即2 sin Acos A=sin Bcos C十 sin Ccos B sin(B+C)=sin A, 又因为sinA≠0，所以cosA=2 因为A∈(0，），所以A= 3 ②由正弦定理得 b sin A= sin B sin C= 2=4E sin 3 3 则6=43 3 sin B,c3 3sin C, 又A十B+C=π，A= 子则c 三-B,且△ABC为锐角三角形，所以 c=号-B∈(，)Be(0,2) 则B∈() 所以a+6+c=2+45(snB+ 3 sin C)= S血B+(答-] &=(2B+sB)+2 4sin(B+5)+2,因为B∈(，受) 所以B+石∈（受，）， 则n(B+吾)∈（停1又6+> a=2, 所以a+b+c∈(2+23,6]，即 △ABC周长的取值范围为(2+2√3,6]. 第五章 平面向量、复数 5.1平面向量的概念 及线性运算 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.大小方向 大小AB0 1个单位长度 相同或相反非零 相同长度相反 2.入a相同相反(4)a Aa+ua Aa+ib 基础检测 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.7 2 7 参考答案443