4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性质及应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第四章三角函数、解三角形 091 素养解读 A.f(x)是周期函数，g(x)不是周期函数，且 以三角函数为载体，以函数为背景的函数性质 2π是f(x)的周期之 一 研究问题的解题策略： B.f(x)不是周期函数，g(x)是周期函数，且π (1)若条件允许，将其转化为“y=Asin(ωz+ 是g(x)的周期之 9)”型函数，通常将含有绝对值的函数通过去绝对 C.f(x)的值域为[-1，√2] 值符号写出分段函数形式. D.当x≥0时，g(x)=f(-2)恒成立 (2)若不能转化为“y=Asin(wx十p)”型函数， 则可以直接从周期性、对称性、零点等定义出发，推 2.(多选题)已知函数f(x)=|sinx十|cosx|+ 演结论是否成立.需要提醒的是，若要证明结论不成 |sin2x|,则下列选项正确的是 ( ) 立，则可以直接利用“特殊值”“举反例”等手段否定 A.函数f(x)的最小正周期为受 结论. (3)数形结合的思想有时也很奏效. B.函数∫(x)的图象为中心对称图形 C.函数f(x)的图象关于直线x=T对称 》素养检测《 D.函数f(x)的值域为[1,1+√2] 1.(多选题)已知函数f(x)=cos|x十|sinx 和g(.x)=sin|x|+|cosx|,下列说法正确 》温暮提示 的是 学习至此，请完成训练24 4.5 函数y=Asin(wx十p)的图象、性质及应用 考试 1.了解y=Asin(ωx十9)的实际意义与参数w,9,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会 要求 用三角函数解决简单的实际问题，可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 回顾>必备知识 》知识梳理《 w.x+9 x 1.函数y=Asin(ωx+p) y=Asin(ar+) 0 A 0 -A 0 (1)匀速圆周运动的数学模型 第 如图，点P从P。(1=0)开始，逆时针绕圆周匀速 描点，在同一平面直角坐标系中描出各点； 连线，用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期 章 运动（角速度为ω），则点P距离水面的高度H 内的图象； 与时间t的函数关系式为 成图，利用函数的周期性，通过左、右平移得到 定义域内的简图， ②由y=sinx的图象通过图象变换得到y= Asin(w.x+p)(A>0,w>0)图象的方法： 水面 方法一 方法二 步 画出y=sinx的图象 画出=sinx的图象 向左(P>0)或平移 (2)函数y=Asin(wx+p)的图象 个 向右(9<0)单位长度 横坐标变为 原来的倍 步 ①用五点法画y=Asin(wx+p)(A>0,w> 得到y=sin(x+p)的图象 得到y=-sin @x的图象☐ 横坐标变为 原来的 倍 向左(P>0)或平移 个 0,x∈R)的简图： 步 向右(9<0)单位长度 列表，先由ax十9=0，受x,2x分别求山 得到=sin(ωx+9)的图象 得到y=sin(wx+pP)的图象 3 纵坐标变为原来的 倍 纵坐标变为 原来的倍 的值，再由wx十9的值求出y的值，列出下表； 得到=Asin(ox+9)的图象 得到y=Asin(wx+p)的图象 092红对构·讲与练·高三数学·基础版 2.三角函数的应用 (2)将函数y=sinx的图象向右平移个单位 (1)如果某种变换着的现象具有 ,那么 就可以考虑借助三角函数来描述， 长度得到函数y=cosx的图象， () (2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函 (3)将y=sin2x的图象向右平移个单位长 数y=Asin(wx十p),x∈[0，+∞)表示，其中 A>0,w>0.描述简谐运动的物理量，大都与 度，得到y=sim2x一)的图象。 这个解析式中的常数有关： (4)“五点法”作函数y=2sin女十)在-个周 振幅 周期 频率 相位 初相 期上的简图时，第一个点为(0人， T 2.(教材改编题)函数f(x)=3sim(2x十牙)的初 考教衔接 相为 【高考这样考】 3.(教材改编题)将函数f(x)=tan2x的图象向 (2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时，曲线y= 左平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的 sinx与y=2sin3x-若)的交点个数为( 图象，若g(）=1,则1的最小值是 A.3 B.4 C.6 D.8 4.(教材改编题)某城市一年中12个月的平均气 【教材这样教】 温y(单位：℃)与月份的关系可近似地用三角 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y= 2sin3x-)的简图。 函数y=Aos若(-6)+Bx=1,2,12) 来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃， 衔接解读：三角函数的图象是研究三角函数性 12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的 质最直观的手段，只要能作出三角函数的图象，三角 平均气温为 ℃. 函数的其他性质则“一目了然”，然而“作图题”在高 5.（多选题)（教材改编题）函数∫(x)= 考中鲜有考查，高考试题以此形式考查三角函数的 作图（或图象变换规律），无疑是对“机械式刷题”和 第 Asim(ax十g(其中A>0,a>0,9l≤》 “解题套路”的有效反击，更让人意想不到的是，试题 章 的部分图象如图所示，则 偏偏来源于教材的例题，函数解析式完全相同，因此 只要是对三角函数图象的变换规律有较为深刻的理 解，则该题简直就能“秒杀”.引导教学过程中要专注 培养在“知识的形成过程”中学生的理性思维和逻辑 思维能力，而不是“短平快”的“结果型”的方法总结 和结论应用 》基础检测《 A.f(0)=-1 B.函数f(x)的最小正周期是2π 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“X” C.函数f(x)的图象关于直线x= 3对称 (1)将函数y=sin wx的图象向左平移p(p> 0)个单位长度，得到函数y=sin(wx+9)的 D,将函数f(x)的图象向左平移个单位长 图象。 度后，所得的函数图象关于原点对称 第四章 三角函数、解三角形 093 提升>关键能力 考点1函数y=Asin(wx十p)的图象变换 2.“异名”函数图象的平移变换问题的关键是 借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数， 【例1】(1)（多选题）要得到函数y=3sin2x十 可将“已知函数名称”化为“所求函数名称”，也可将 )的图象黄 “所求函数名称”转化为“已知函数名称” A.将函数y=3sin十）图象上所有点的横 【对点训练】将函数g(x)=cos十》 坐标缩短到原来的（纵坐标不变） (ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来 的2，纵坐标变为原来的2倍，得到5数了z) R将函数y=3m十)图象上所有点的横 坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 的图象，若f(x)在0,2)上只有一个极大值 C.将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移 点，则w的最大值为 音个单位长度 考点2函数y=Asin(wx十9)的图象 D.将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移 命题角度1 作给定区间内的图象 器个单位长度 【例2】 已知函数f(x)=2sin(2x+君）： (1)作出f(x)在[0，π]上的图象（先列表格， (2)已知直线x=无是函数f(x)=2sin(2.x+ 8 再画图)； )9<)的图象的一条对称轴，为了得 (2)将函数y=f(x)的图象向左平移8个单 到函数y=f(x)的图象，可把函数y 位长度后，得到y=g(x)的图象，求g(x)的 2cos(2x- 》的图象 单调递减区间. 学生试答： A.向左平移”个单位长度 24 R向右平移资个单位长度 四章 C向左平移名个单位长度 D.向右平移 :个单位长度 幻学生试答 规律总结 1.注意平移变换时，若自变量x的系数不为1， 要先将系数提出；对称变换要注意翻折的方向：三角 函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统 一，再进行变换. 094沟·讲与练·高三数学·基础版 规律总结 命题角度2由图象确定y=Asin(wx十g)的解 根据“五点法”作给定区间内的函数y 析式 Asin(awx十9)图象的步骤：①根据所给出的x所在 【例3】(1)（多选题）如图是函数y=sin(wx十p) 的区间，确定wx十9所在的区间；②在ωx十9所在 的部分图象，则函数的解析式可能为() 的区间内，找出“特征点（五点）”，并根据ωx十p所 在特征点的位置，确定出x的值；③根据(x,f(x)) 进行描点，并用光滑曲线连接起来即可. 【对点训练2】 已知函数fe)=cos2x+》. (1)填写下表，并在如图所示的坐标系中画出 A.y=sin(e+5） B.y-sin(-2.) f(x)在[0，元]上的图象； Cy=o2x+若 D.y-cos2.) 2x+ 7π 3 3 3 (2)已知函数f(x)= 2 0 2sin(wx+p)(w>0)的部分 图象如图所示 f(a) -1 ①函数∫(x)的最小正周期为 2 ②将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单 : ---{----- 位长度，得到函数g(x）的图象，若函数g(x) 为偶函数，则t的最小值是 2 学生试答： (2)将∫(x)的图象向下平移1个单位长度，再 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍 (纵坐标不变)，最后向左平移π个单位长度， 得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心 规律总结 已知f(x)=Asin(wx+g)(A>0,w>0)的 部分图象求其解析式，常用如下两种方法：①升降 第 学点法，由w红，即可求出@，由图象的授值，即可 求出A,求9时，若能求出离原点最近的右侧图象上 升（或下降）的“零点”横坐标x0,则令wx。十9= 0(或ωx。十9=π)，即可求出9；②最值代入法，将最 值点相应的坐标代入解析式，再结合图象解出A,ω 和9· 【对点训练3】已知函数f(x)=Asin(w.x十 9)(A>0,w>0,|9|<π)的部分图象如图 所示，则以下说法正确的是 第四章三角函数、解三角形 095 A.函数fx)的初相是牙 考点3函数y=Asin(wx十p)+b模型的实际 B.函数f(x)的最大值是2 应用 【例5】（多选题）受潮汐影响，某港口5月份每一 C函数1x)在（吾-）上单调递增 天水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的关 D.函数f(x)的图象是由函数g(x)=√2sinx 系都符合函数y=Asin(wx十9)+h(A>0, 的图象向右平移答个单位长度，横坐标神 w>0,- <9<，A∈R).根据该港口的 长到原来的3倍得到的 安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 命题角度3函数y=Asin(w.x+p)的零点 2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货 【例4】(1)（多选题）(2024·新课标Ⅱ卷)对于函 物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5 数f(x)=sin2x和gx)=sim2x-）,下 月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸 货)，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速 列说法中正确的有 度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停 A.f(x)与g(x)有相同的零点 靠码头和驶离码头所需时间).下表为该港口5 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 月某天的时刻与水深关系： C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 水深/米1074710747 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x) 以下选项正确的有 ( ) a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2a.x,当x∈ A.水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的函 (-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一 个交点，则a= ( 数关系式为y=3sin(后x+)+7,x∈ [0,24) A.-1 B.2 C.1 D.2 B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以 学生试答： 及12：00到16：00之间进入港口 C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口 D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为 16:00 学生试答： 第 规律总结 四 研究y=Asin(wx十p)(A>0,w≠0)的性质 时，一般将ω十9视为一个整体，利用换元法和数 形结合思想解题.与三角函数相关的方程根的问题 (零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交 规律总结 点问题，再借助图象分析. 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦型、余 【对点训练4】(1)(2023·新课标I卷)已知函数 弦型还是正切型函数模型. f(x)=cos wx-1(w>0)在区间[0,2π]有且 (2)寻找数据，建立函数解析式进行解题. 仅有3个零点，则ω的取值范围是 (3)将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根 (2)(2023·全国甲卷改编)函数y=f(x)的图 据实际作答。 象由函数y=o2x+）的图象向左平移写 解题思路如下： 际间圈效据攻集，分折巨角西教根到 个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线 简化、抽象 罐 数学推导 2 x一专的交点个数为 检验 实际问题的解 三角函数模型的解 096红对构·讲与练·高三数学·基础版 【对点训练5】筒车（如图1）是我国古代发明的 (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一 一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农 个盛水筒倾倒到水槽的水量约为0.01立方米， 业生产中得到使用，如图2，现有一个半径为 求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精 4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1 确到0.1小时) 圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，若以 盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初始时刻， 设经过t秒后盛水筒P到水面的距离为 f(1)(单位：米)（在水面下则f(t)为负数），筒 车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最 高处时把水倾倒到水槽上， A 图1 图2 (1)求函数∫(1)的解析式； (2)求第一筒水倾倒的时刻t和相邻两个盛水 》温馨提示 筒倾倒的时间差； 学习至此，请完成训练25 4.6 正弦定理、余弦定理 考试1，掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量 要求问题」 回顾>必备知识 》知识梳理《 续表 章 项目 正弦定理 余弦定理 1.正弦定理、余弦定理 (1)a= ,6 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a, ,C= b,c,R为△ABC外接圆的半径，则 (2)sin A= 项目 正弦定理 余弦定理 2R'sin B= 常见 cos A= b cos B= 三角形中任何一边的 变形 2R'sin C= 2R cosC=」 在一个三角形中，各边 平方，等于其他两边 a :b:c= 文字 和它所对角的 减去这两边 asin B=bsin A, 语言 的比相等 与它们夹角的余弦的 bsin C=csin B, asin C-csin A 积的 2.三角形常用面积公式 公式 (1)S=1 0·h.(h。表示边a上的高). 2 absin C=1】 (2)S=1 2acsin B= bcsin A. 2π十]上单调递减，其中友∈7，假 2 设f(x)的图象有对称中心，则在 口，于上也有一个对称中心，而在 [0,]上画数图象的最高点是 (经1十)最低点是(0.1.因此对 π 3π 1一cos4 N 2 亚()=（亚 2 )广-年-E+2通 4 >1十 2 f(x)图象的对称中心，所以f(x)的 图象没有对称中心，B错误；对于C, cos x+sinsin 2x= f(x),所以函数f(x)的图象关于直 线x=子对称，C正确：对于D,由选 项A知，f(x)的最小正周期是空，而 在[0，]上f)的值城是1,1+ √]，所以函数f(x)的值域为[1,1十 √E],D正确.故选ACD. 4.5 函数y=Asin(wx+p) 的图象、性质及应用 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 L.(1)H=rsin(wt十p)+h (2)①0 一9 2 29 π一2 2π-9 @②g| 119AA 2.(1)周期性(2)A 2π w十99 考教衔接 C因为函数y=sinx的最小正周期 为T=2x,函数y=2sin(3x-君）的 最小正周期为T=,所以在[0,2J 3 上函数y=2sin(3x-君)有三个周 期的图象，在坐标系中结合五点法画 出两函数图象，如图所示， 1,=2sin(3x-g) y=sin x 0 2T 2T x 3 -2- 由图可知，两函数图象有6个交点.故 选C. 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2 3 解析：函数f(x)=tan2x的图象向左 平移t个单位长度，得到函数g(x)= 1am(2x+2)的圈象，又g(2）=1,所 以1=tan(十2)，所以元+21=5 4 +π(k∈Z), k∈，解得1=晋十赞 又t>0,所以当k=0时，得tm=8 4.20.5 解折：由避海得A≥0n图A 解件份=2片以y=50s看： 6 6+23,令x=10,得y=5coc[后× 00-6)1+23=5ms2号+23=20.5 故10月份的平均气温为20.5℃. 5.AC由题图可知，A= fx)-f(x)==2-（-2=2, 2 2 函数∫(x)的最小正周期T满足3T 4 器一（音）=票，则T=w 祭-经=2所以fx)=2sin(2x+ pf(若)=2sm[2×(若) 9]=2(9-）=-2,可得 sin(-）=-1，因为-受≤g≤ =一受可得=一所以 fx)=2sin(2x-若），则f0) 2sin(8）--1,f(g）=2sin(2x -g）=2sin号 =2=f(x)mx,所 以函数f:）的图象关于直线工=哥 对称，将函数f(x)的图象向左平移刀 6 个单位长度以后，得到函数y= 2[2(+）】=2(2x )的图象，所得画数国泉不关于原 点对称.故选AC. 》提升·关键能力《… 例1(1)AD对于A,将y=3sinx十 晋）图象上所有点的楼坐标编短到原 来的。（纵坐标不变)，得到y三 3n(2x十号）的周象A正确：对于 B,将y=3sin(女十后)图象上所有点 的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不 文)，得到y=8n(分十高)的因 象，B错误；对于C,将y=3sin2x图象 上所有点向左平移晋个单位长度，得 到y=3in(2x+）的图象，C错误： 对于D,将y=3sin2x图象上所有点 向左平移工个单位长度，得到y= 10 3sim(2x十）的图象，D正确.故 选AD. 2)B依题意，直线x=百是画数 fx)=2sin(2x+g)(g<受）的 图象的一条对琳轴，则（行） 2sim(2×否+9）=±2，脚2×苔 9=之十kπ(k∈Z),解得g=kπ十 π 牙∈刀，周为9<受，所以g= 年，所以画数fx)=2sim(2x+): 将y=2cos(2x-石）=2sim(2z 受-若）=2sin(2x+号)的图象向 右平移员个单位长度得到》 2ain[2(x-)+号]=2sin(2x中 买)的图象，故选B 对点训练13 解析：由题可知f(x)=2cos(2wz十 )w∈N),当0<x<时， 是<2ar+是<ax十是，若fx)在 (0,)上只有一个极大值点 参考答案437 则由y=2cosx的图象（如图）可得 2x<wx十是≤，解得 3 2 <u≤ 47 ,因为u∈N“,所以w的最大值 12 为3. 例2解：(1)列表如下： 元 x 0 6 设 13π 2x+ 6 不2 π 2π 6 f(x) 1 2 0 作出f(x)在[0，π]上的图象，如图 所示. 2 (2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后，得到y=g(x) 的图象， 即Rc)=2sm[2(e+)+] = 2sinx)=2sin(2x 由2次x十受<2x十吾<2x十 3 2 k∈7，得2k元十晋<2x≤2次x 6 k∈Z, 即k元十 即g(x)的单调递减区间为kπ 12 kπ十 ] k∈Z). 对点训练2解：(1)填表如下： 2x+ 7元 3 2π 3 2 π 2 0 12 经 1 1 1 1 f(x) 0 2 2 4 描点、连线，作出f(x)在[0，π]上的图 象如图所示. 11214 1412 (2)f(x)的图象向下平移1个单位长 度得到y=子os2x十誓）-1的图 438 红对构·讲与练·高三数学·基 象，将所得图象上所有点的横坐标扩 大为原来的4倍（纵坐标不变），得到 y=. 0(2x十）-1的图象，再 1 1 3/ 向左平移π个单位长度得到g(x)= 2x+x)+ 1「1 2cos π 3 -1= ：+）-1的图象，令 1 是x+否=xk∈0，得x=2次x 1 号k∈Z,所以函数gx)图象的对 称中心为(2-经，-1)∈. 例3(1)C由函数图象可知，2 T 答-晋=子即T=所以。 =2红=2，所以A错误；当0=2. T π x- 2 12 时，y=一1，所以 2X晋+9=+2任,解得 9=2k元+2经(k∈ZD,即画数的解析 3 式为y=sim(2x+2经+2kx)= 3 n(2++）=(2x+若小 所以C正确；当w=一2时，y= sin(-2x十p),同理可得y=sin-2x十 吾），所以B正确：而c(2x 君）=-m(号-2z),所以D错说 故选BC (2)①3π ② 2 解析：①由题图可知，T 3一0 学脚T=经 ②号-登，即。=青fu) 4 2sin(行x十p）,又f)的图象这点 (0,1),f(0)=2sin9=1,即 sin=- ，又点(0,1)在函数的增区 上fx)=2(告+ 2)=2snm(告x+君）ke7将 f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长 度可得g)=f-0)=2[号u +]-2(告x+)的国 x十受∈即1=-- π 3π k∈Zt>0∴tm=2 础版 对点训练3C由题国可知号T= 晋侣=吾T=餐。=3因 为（侣0）为画载因象的一个对称中 心，且在=登附近：随x的增大画 7π 数值由负变正，所以3X2十9= 2k,k∈Z,所以0=-7匹+2k元，k∈ 4 Z,因为9<，所以负=19=至， 因为函数图象过点（受-，所以 -1=Asin(3×交+元）=-Acos牙， 2T4 解得A=√瓦，所以f(x)= V巨sin(3x十)，所以函教的初相为 子，最大位为E,故A,B错误：当x∈ （石，-)时，3x+开∈（-开 0)，由于函数y=sinx在 (牙0)上单调递增，所以画数 x)在（晋一登）上单调递增，故 C正确；g(x)=√2sinx的图象向右 平移个单位长度，横坐标伸长到原 来的3倍得到y=巨sim(行t-号) 的图象，显然不满足，故D错误，故 选C. 例4(1)BC对于A,令f(x)=sin2x= 0,解得x=经∈乙即为x)的零 点，令g(x)=sin(2z-T）=0,解 得x=经+否∈即为R)的 零点，显然f(x),g(x)零点不同，A错 误；对于B,显然f(x)mx=g(x)mx= 1B正确；对于C,根据周期公式， fx),g(x)的最小正周期均为受 π，C正确；对于D,根据正弦函数的性 质，f(x)的图象的对称轴满足2x= +受x-经+k∈，g) 的阔泉的对称轴满足2江一子=x十 x=经+k∈,显然f g(x)的图象的对称轴不同，D错误.故 选BC. (2)D令f(x)=g(x),即a(x十 1)2-1=cosx+2ax,可得ax2十a一 1=cosx,令F(x)=ax2十a-1, G(x)=c0sx,原题意等价于当xE (一1,1)时，曲线y=F(x)与y= G(x)恰有一个交点，注意到F(x), G(x)均为偶函数，可知该交，点只能在 y轴上，可得F(0)=G(0),即a-1= 1,解得a=2,若a=2,令F(x)= G(x),可得2x2十1-cosx=0,因为 x∈(-1,1)，则2x2≥0,1-c0sx≥ 0,当且仅当x=0时，等号成立，可得 2x2十1-cosx≥0，当且仅当x=0 时，等号成立，则方程2x2十1 cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线 y=F(x)与y=G(x)恰有一个交 点，所以a=2符合题意.综上所述， a=2.故选D. 对点训练4(1)[2,3) 解析：因为0≤x≤2π，所以0仙x≤ 2wπ，令f(x)=c0sw.x一1=0，则 cOS wx=1有3个根，令t=wx,则 cost=1有3个根，其中t∈[0,2wπ， 结合余弦函数y=cOst的图象和性质 可得4π≤2wπ<6π，故2≤w<3. =c0s1 (2)3 解析：把函数y=c0s(2x十）的图 象向左平移工个单位长度后得到函数 6 f)=os(e+)+] cos(2x十）=-sin2x的图象.作 出函教f(x)的图象和直线y=之1 1 合如因所示，观馨阔象知，关有3个 交点 J=-sin2x○ 0 例5ABD依题意A=3,h=10十4 2 7,石=14-2，解得m=名显然画数 y=3sin(行x十9）+7的图象过点 (2,10,即sim(答+9）=1，又 受<<受，因此=晋，所以画 鼓关系式为y=3sin(合x十君)+7. x∈[0,24)，故A正确；依题意， 3sm(倍x十晋）+7≥6+2.5，整 0x<24, 理得si(x十君)≥有 1 0≤x<24 +2x≤吾+≤ 6 0≤x<24, 12k≤x≤4+12k·k∈ k∈Z,即0≤x<24, Z,解得0≤x≤4或12≤x≤16，所 以该船可以在0时到4时以及12时到 16时进入港口，故B正确；该船卸完货 后符合安全条例的最小水深为5.5米， 19时水深为y=3sn(后×19+）- 7=（-3y5+7）米<5.5米，故C错 2 误：该船0时进港即可以开始卸货，设 自0时起卸货x小时后，该船符合安全 条例的最小水深为y=-0.3x十6十 2.5,函数y=-0.3x十6+2.5与y= 3n(名x十若）+7的因象交于点(6， 7),即卸货5小时后，在5时该船必须 暂时驶离港口，此时该船的吃水深度 为4.5米，下次水深为7米的时刻为11 时，故该船在11时可返回港口继续卸 货，5小时后完成卸货，此时为16时，综 上，该船在0时进港开始卸货，5时暂时 驶离港口，11时返回港口继续卸货，16 时完成卸货任务，故D正确.故选ABD 对点训练5解：(1)由已知可得∠AOx 6 “盛水筒运动的角速度。=红= 60 需（弧度/秒 秒后盛水筒转过的角度为0 此时可得以OP为终边的一个角为 6 f)=4sim(30f-石）+2(：∈ [0,+∞)). (2)当第一筒水到达最高位置时第一 次取得最大值，此时品-名=受得 t=20, 相邻两个盛水筒候倒的时间差为登÷ =5（秒）. 30 (3)完成该稻田的浇灌需倾倒100 0.01 10000(筒)水， 所需时间为20+(10000一1)×5= 50015(秒)，约为13.9小时. 4.6 正弦定理、余弦定理 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.正弦 平方的和 两倍 sin A b sin B=sin C a+e-2bc. C cos A b2 =a2+c2-2accos B c2= a2+62-2abcos C 2Rsin A 2R. sin B 2Rsin C sin A:sin B:sin C b2十c2-a3 c2+a2-b2 2bc 2ca a2+b2-c 2ab 基础检测 1.(1)/(2)/(3)X(4)/ 2./19 解析：由余弦定理，得c2=a2十b2 2abcos C 52 22-2 X 5 x 2X cas号=19c=V. 3.45°或135 解析：由正弦定理，得sinC= csin B=2sin30°=2 b 之，因为c>6, B=30°，所以30°<C<180°，于是 C=45°或C=135°. 4.3+456 3+43 10 5 5 4 3 解析：cosA=5心sinA=亏， sin C sin(A++B)=sin Acos B+ cos A sin B= 、1 ×+× 3+4√3 由正孩定理得a=sinA 10 sin B B× 3 6 bsin C 3 sin B v5×3+45 10 3+4W3 3 5 2 5.ABD对于A,若A>B,则a>b,由 正弦定理可得口 b snA=snB所以 sinA>sinB,故A正确：对于B, bsin A=4sin30°=2，则bsin A< a<b,所以△ABC有两解，故B正确； 对于C,当△ABC为钝角三角形，且C 为纯角时，c0sC=a十b一C <0, 2ab 可得a十b2<c2,若C不为纯角，则得 不到a2+b2<c2,故C错误；对于D, 由余弦定理与基本不等式可得4= a2=b2+c2-2bccos A =b2 +c2- bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4，当且仅 当b=c=2时，等号成立，所以 Sae=2 -besin A=尽c≤5，故D 4 正确.故选ABD. …》提升·关键能力《… 例1(1)C因为B=60,b2=9。 ac,所 以由正弦定理得sin Asin C= 专面B二言由会孩定理可得 a2+c2-ac-号ac,即a2+c2 9 ac,根据正孩定理得sin'A十 13 sin'C=13si 13 军sin Asin C=2,所以 (sin A+sin C)2=sinA sin'C+ 7 2 sin Asin C=年，因为A,C为△ABC 的内角，所以sinA十sinC>0,则 sinA+sinC三之，故选G 参考答案439