微专题二 导数的综合应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

间[1,2]上的“拉格朗日中值”：满足 g(2)-g(1)=g'()×(2-1),所以 g'(ξ)=g(2)-g(1)=1n2+2-1= 2+1所以g()=号十1=1n2 1,即日-h2所以 1 In 2' 2.ln(e-1) 解析：由g(x)=e可得g'(x)=e, 所以g'()=e,由“拉格朗日中值”的 定义可知g'()=g(1)-g(0) e 1-0 1,即e=e-1,所以=ln(e-1). 微专题二 导数的综合应用 典例1解：(1)f(x)=x3-2x2十ax十 blnx,则f'(x)=3x2-4x十a十 x>0, 因为曲线y=f(x)在点(1，f(1)处 的切线方程为y=一x+e, 所以f(1)=e-1,f'(1)=-1, 所以-1十a=e-1,-1十a十 b=-1, 所以a=e,b=一e (2)证明：由(1)可知f(x)=x3 2x2十ex-elnx,要证明f(x)>-x, 则令g(x)=x3-2.x2十(e十1)x elnx,x>0,即证明g(x)>0恒成立， g'(x)=3x2-4x+(e+1)- x 3x3-4.x2十(e十1)x-e x (x-1)(3.x2-x十e) 对于y=3x2-x十e,因为A=1 12e<0,故3x2-x+e>0恒成立， 由g'(x)=0得x=1,且0<x<1 时，g'(x)<0,g(x)单调递减， x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(1)=e, 所以g(x)>0恒成立，即f(x)>-x. 对点训练1解：(1)函数f(x)=1n工 x k的定义域为(0，十∞)，f(x) 、0与k≥之，令gx）三n x 依题意，Hx∈(0，+∞)，k≥g(x)恒 成立， 求导得g(x)=1h二，由g(x)> 0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x≥ e, 则函数g(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十o∞)上单调递减，g(x)m ge)=是所以k≥日 1 (2)证明：由(1)知，血2 1,即 血x≤二·z,当且仅当x=e时取 等号， 1 则当n∈N,n>1时，ln2 1 1 n<1 ,In 因此h之+n (+号+…+) 所以原不等式成立。 典例2解：(1)易知函数f(x)的定义域 为(0，十∞)， 根据题意可得∫'(x)=十a= 1+a工，令f'(x)=0,得x=- 1 当x∈(0，-二）时，f(x)>0,即 f(x)在(o,- 日）上单调递培。 当x∈（ 名+）时f)<0 即)在（日中）上单调递减， 所以rx=人日) n(）+1=2,解得a=- (2)由(1)知f(x)=1nx-二+2， 因为x≥1，所以1nx-二+2≤x可 e 化为b≥血工-1+2 设ga)=-上+2≥1 所以g'(x)=1-n2- 2 =lnx-1,则g'(x)<0在[1，十∞) x2 上恒成立， 即可得g(x)在[1，十∞)上单调递减， 所以b≥g(x)m=g(1)=2-1,因 e 此6份取值范用是-二十四) 对点训练2解：由题意知，f(x),g(x)分 别在(1e],[1,2]上，f(x)mn>g(x）m· 由x2f'(x)十xf(x)=elnx,得 f'(x)=cln z-zf(z) 2 令t(x)=elnx-xf(x),则t'(x)= -fx)-xf'(x)=￡-fx) x x.cln a -xf(r)(1-In x) x x 因为x∈(1，e],所以1-lnx∈[0， 1),则t'(x)≥0，t(x)在(1，e]上单调 递增， t(x）mmx=t(e)=elne-ef(e)=0,即 t(x)≤0. 所以f'(x)≤0且不恒为0，f(x)在 (1,e]上单调递减，f(x)mim=f(e)=1. g(x)图象的对称轴方程是x=a. 时，g(x)m=g(2)=4a< 当a≤2 f(x)n=1,解得a< 1.当a22 3 时，g(x)mm=g(1)=2a十3< f(x)im=1,无解. 综上，a的取值范围为(0，） 典例3(1)1-1<a<1 e 解析：由f)=十片在区问1 e)上恒为正可得，函，数f(x)=lnx 十a在区间(1，e)上为增函教，依题 2 意，函数在区间(1，e)上存在零，点，则 由函数零，点存在定理可得，f(1)=a 1<0,且f(e)=a+1-1>0,解得 e 是-1<a<1 (2)解：f(x)=ae-x-a(0<a≤ 1),令f'(x)=ae-1=0,得 x =-In a, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)单 调递减， 当x>-lna时，f(x)>0,f(x)单 调递增， .'.f(z)>f(-In a)=1+In a-a. 当a=1时，1+lna-a=0, ∴.f(x)≥0，则f(x)在(-∞，十∞) 上有且仅有1个零点. 当0<a<1时，令r(a)=1十lna a(0<a<1),则r'(a)=1-1= a 1一a之0· .r(a)在(0,1)上单调递增， .r(a)<r(1)=0,即f(-lna)<0, 又f(0)=0, .f(x)在(-∞，-lna)上有1个零 点，又f(-2na)=1+2na-a, 令(a)= 1+21na-a(0<a<1), 则x'(a)=-（a-1)2 <0, ·(a)在(0,1)上单调递减， ,(a)>(1)=0, .f(-2lna)>0, f(x)在(-lna,-2lna)上有1个 零点· 综上所述，当a=1时，f(x)有1个 零点； 当0<a<1时，f(x)有2个零点 对点训练3（仁，+） 解析：函数f(x)=e一a(x十2)的定 义域为R,求导得f'(x)=e一a ①当a≤0时，f(x)>0恒成立，函 数f(x)在R上单调递增，f(x)至多 有一个零，点，不合题意.②当a>0时， 由f'(x)=0,解得x=Ina,当x∈ (-oo,lna)时，f'(x)<0,当x∈ (lna,十∞)时，f'(x)>0,故函数 f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在 (lna,十o∞)上单调递增，则f(x)血= f(lna)=a-a(lna十2)=-a· (lna+1).当a∈0， 11时，lna≤ e 一1，则f(x)mm≥0，则f(x)至多有一 个零点，不合题高：当a∈（日，十） 时，lna>-1,则f(x)min<0,而 f(-2)=e2>0,则f(x)在(-o∞，lna) 上有唯一零点，因为y=e一x一2，当 参考答案427 x>0时，y=e-1>0,故函数y= e-x-2在(0，十o∞)上单调递增，当 x>2时，e-x-2>0,即e>x十 2,故当x>2ln(2a)≥4时，f(x) e专·e-a(x+2)>e,· (5+2）-a(x+2)=2a>0,则 f(x)在(lna,十o∞)上有唯一零点，因 此喜aE(仁，十四)时，x)有两个 不同零点.综上，若f(x)有两个零点， 则实我a的取位龙因为（日十）小 典例4解：f'(x)=e十(x-a)e 2x=(x十1-a)e-2x, 由f(x)在[0，十∞)上是增函数，得 '(x)≥0在[0，十∞)上恒成立， 即(x十1-a)e-2x≥0，x∈ [0,十∞)，分离参数得1-a≥2 e x,x∈[0，+o∞)， 设g(x)= g-xx∈[0，+o∞)，则 e g(x)=2-2x-1=2-2z-e e e 令g'(x)=0,即2-2x-e=0, 设h(x)=2-2x-e,易得h(x)在 [0,十∞)上单调递减，由于h(0)= 1>0a(） =1-e<0, 因而方程2-2z-c=0在(0,2）上 有解，设为xo, 则e0=2-2x0,且当x∈[0，xo)时， g'(x)>0,当x∈(x0,十o∞)时， g'(x)<0, 所以g(x)的最大值为g(xo)= 2x0 x01一x0 0=1-x0 x 因而1一a≥1-x0 ,即a1十 1 又x,∈(o,2),则x。-1 （1,-）,所以3+ x。1十x0 1∈（分），所以a≤}又a∈z 所以a的最大值为0. 对点训练4证明：设g(x)=xe lnx-x-1,x>0,则g'(x)=(x十 e-》 设h(x)=e 元x>0,则h'(x) 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增， 又h(2)=E-2<0,h1)=e 1>0, 428红对构·讲与练·高三数学· 所以函数A(x)在（号，1）上存在唯 零点w使h。)=e- =0, 即g'(x。)=0,则在区间(0，xo)上， g'(x)<0,g(x)单调递减， 在区间(xo,十∞)上，g'(x)>0, g(x)单调递增， 所以g(x)的最小值为g(xo)= xoe"-In zo-xo-1, 由h(xo)=eo-1 =0,得xoe0 1,且x。=-lnxo, 所以g(xo)=0, 所以g(x)=xe-lnx-x-1≥0， 即xe≥lnx+x十1. 第四章三角函数、 解三角形 4.1任意角和弧度制、 三角函数的概念 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)逆时针 顺时针零角 正角、 负角和零角(2)角的终边坐标轴 (3){33=a+k·360°，k∈Z} 2.(1)1弧度 正数负数0 1 (2)π(3)a·r 2a1.r 3.(1)yx 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.二 3。=-∈ 解析：直线y=一尽x的领斜角是2 31 所以终边落在直线y=一√5x上的角 的取值集合为{aa=kπ一开 3 k∈Z. 4.1或4 解析：设扇形所在圆的半径为，则扇 形的孤长1=αr,于是得 12r+ar=6, 以扇形的圆心角α的弧度数是1或4. 5.ABC对于A,-5要=-2x十号，是 3 第一象限角，故A正确：对于B,设该扇 形的半径为r,则牙·r=π，解得r= 3 35=××8=经故B正 3 2 -3 确；对于C,c0sa= √(-3)2+4 -号故C正确：对于D,若取a=30, 则a是锐角，但2a=60°不是钝角，故 D错误.故选ABC 基础版 …》提升·关键能力《 例1第二、四象限第一、二象限或y轴 的非负半轴上 解析：α的终边在第三象限，，2kπ十 Ta<2k元土2xk∈k元 受<号<红+子6∈7， 3 2π<2a<4kπ十3π，k∈Z,当k为偶 数时，？的终边在第二象限，当飞为奇 数时，号的终边在第四象限，而2的 终边在第一、二象限或y轴的非负半 轴上. 对点训练1ABC对于A,一75° 285°一360°，285°是第四象限角，则 一75°是第四象限角，A正确；对于B, 225°是第三象限角，B正确；对于C, 475°=115°+360°，115°是第二象限 角，则475°是第二象限角，C正确；对于 D,-225°=135°-360°，135°是第二象 限角，则一225°是第二象限角，D错误.故 选ABC. 例2(1)AD与800°角终边相同的角的 集合为{aa=k·360°十80°，k∈Z}, 当k=0时，a=80°，当k=1时，a= 440°.故选AD. (2){a|90°+k·180°a120°+k· 180°，k∈Z} 解析：因为终边落在y轴上的角为 90°十k·180°，k∈Z,终边落在题图中 直线上的角为120°十m·360°=120°+ 2m·180°，m∈Z和300°+n·360°= 120°+180°+2n·180°=120°+(2n 1)·180°，n∈Z,即终边落在直线上的 角为120°十k·180°，k∈Z,所以终边 落在阴影部分（包括边界）的角α的集 合为{a90°+k·180°≤a≤120°十k 180°，k∈Z}. 对点训练21)PB=3+2k,k∈Z 解析：因为将90°角的终边按顺时针方 向旋转30°后所得的角为90°十 (一30°)=60°，则a= ，故终边与a 3 相同的角的集合为A={BB=交十 3 2kπ，k∈Z. (2)a+3=2kπ，k∈Z 解析：角α的终边与角B的终边关于 x抽对称，.角Q的终边与一B的终边 相同，∴a=一B十2k元，k∈Z,即a十 B=2kπ，k∈Z. 例31)习 解析：设圆心角为a,则a= l⑦ OD 2π π 贯片以O-赢解得QA 3 3 1m,所以OD=2m,a= 3,所以此 1 扇环形砖雕的面积为2·l分·OD第三章一元函数的导数及其应用 073 微专题二 导数的综合应用 命题角度1证明不等式 【典例1】设函数f(x)=x3-2x2十a.x十blnx, (2)求证n+n号+…+n< 曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 +号++》a>1∈. y=-x+e. (1)求a,b的值； (2)求证：f(x)>-x. 习学生试答： 命题角度2不等式恒成立、能成立问题 【典例2】已知函数f(x)=lnx+a.x十2(a< 0),f(x)的最大值为2. 第 (1)求a的值； 三章 (2)若f(x)≤bx在[1，+∞)上恒成立，求b 的取值范围。 幻学生试答： 规律总结 1.证明f(x)>g（x),可以构造函数h(x)= f(x)-g(x),然后利用h(x)的最小值大于0证明 不等式 2.若直接求导比较复杂或无从下手，可将待证 式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递 规律总结 的中间量，达到证明的目的 1.利用导数解决不等式的恒成立或能成立问题 【对点训练1】已知函数f(x)=1n工-k. 的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而 求出参数的取值范围；②分离参数，构造函数，直接 (1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值 把问题转化为函数的最值问题.有些不易分离参数 范围； 的也可采用“同构”技巧 074红对沟·讲与练·高三数学·基础版 2.转化策略：a≥f(x)恒成立台a≥f(x)max; 2.根据函数零点的情况求参数值或取值范围的 a≤f(x)恒成立台a≤f(x)mma≥f(x)能成立台 基本方法：①利用函数零点存在定理构建不等式求 a≥f(x)mma≤f(x)能成立台a≤f(x)mx: 解；②分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求 解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问 【对点训练2】已知函数f(x)满足x2f'(x)+ 题，从而构建不等式求解 xf(x)=elnx,且f(e)=l,函数g(x)= -x2+2a.x十4.若对任意x1∈(1，e],存在 【对点训练3】已知函数f(x)=e一a(x+2), x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2),求a的取值 若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是 范围 命题角度4隐零点问题 【典例4】已知函数f(x)=(x一a)e一x2.若 a∈Z,函数f(x)在[0，十∞)上是增函数，求 a的最大值. 学生试答： 命题角度3函数的零点问题 第 【典例3】(1)(2025·重庆名校方案联盟联考)若 章 函数f(x)=lnx +a在区间1e)上存在 规律总结 零点，则实数a的取值范围为 隐零点问题常用策略 (2)已知函数f(x)=ae-x-a(0<a≤1)， (1)依据函数式的结构特征和函数单调性，大 讨论函数∫(x)零点的个数 胆“试根”，再由单调性说明“此根”的唯一性。 学生试答： (2)先“虚设零点，设而不求”，通过形式化的 “变量代换”或推理，达到化简并求解的目的 (3)“多次求导”，合理变形，直至能够求解。 【对点训练4】求证：xe≥lnx+x+1. 规律总结 1.函数零点个数的讨论问题实质是研究函数图 象的变化趋势，通过变化趋势看是否与x轴存在公 共点，以此确定零点个数.在利用函数零点存在定理 时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借 温馨提示 助e≥x十1，lnx≤x一1等结构放缩，必要时可 学习至此，请完成训练20 构造函数证明所取点的符号.