3.3 导数中的函数构造问题-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

第三章一元函数的导数及其应用 进 3.泰勒展开式将各种类型的函数（指数函数、对数函 【对点训练3】(1)(2024·云南昆明模拟)已知函 数、正弦函数、余弦函数等)与多项式函数联系起 数f(x)=asin x十cosx,若存在x1,x2∈ 来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他 函数，我们主要用其比较大小。 (任》且≠x使得fx)=fx.则 实数a的取值范围是 () 【典例】 已知a= 31 6=cos =4sn7,则 1 A.(-∞，1] ( B.[5,+o∞) A.c>6>a B.b>a>c C.(1,3) C.a>b>c D.a>c>b D.[1,W3] 听课记录 (2)已知函数f(x)=x一sinx,则不等式 f(x+1)+f(1-2x)>0的解集是 温馨提示) 学习至此，请完成课时作业18 3.3导数中的函数构造问题 考试要求 会根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式等问题. 061 关键能力提升 互动探究·考，点精讲 考点1通过导数的运算法则构造函数 命题角度2 利用f(x)与e构造函数 命题角度1利用f(x)与x”构造函数 【例2】（多选）已知f(x)是定义在(-∞，十∞) 【例1】设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的 上的函数，导函数f'(x)满足f'(x)<f(x) 导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf'(x) 对于x∈R恒成立，则 () f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 A.f(2)<ef(0) ( B.f(2)>e2f(0) A.(-∞，-1)U(0,1) C.e2f(-1)>f(1) B.(-1,0)U(1,+∞) D.e2f(-1)<f(1) C.(-∞，-1)U(-1,0) 听课记录 D.(0,1)U(1,+∞) 听课记录 红内·讲与练·高三数学 命题角度3利用f(x)与sinx,cosx构造函数 (3)若F(x)=f(x)cosx,则F'(x)= 【例3】 已知定义在(o,)上的函数f(x), f'(x)cos x-f(x)sin x. f'(x)是f(x)的导函数，且恒有cosx· (4)若F()=f）,则F'(r)= cOs 2 f'(x)+sinx·f(x)<0成立，则有( f'(x)cos a+f(x)sin z A.f()>巨f() cosz 【对点训练1】(1)已知f(x)是函数f(x)(x∈ Bf()>f() R)的导函数，且Hx∈R,f'(x)>2x, f(2)=5,则不等式f(.x)>x2十1的解集为 c.f(）>f() () A.(-0∞，2) B.(2,+∞) D.f()<(任 C.(-∞，√2) D.(√2，+∞) 听课记录 (2)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义 域均为R,f(0)=0且f(x)十f'(x)>0,则不 等式f(.x2+4x-5)>0的解集为() A.(-∞，-5)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(5,+∞) C.(-5,1) D.(-1,5) 062 (3)设f(x)是定义在(-π，0)U(0,x)上的奇 函数，其导函数为'(x),且当x∈(0，π)时， 规律总结 f'(x)sinx一f(x)cosx<0,则关于x的不 1.利用f(x）与x”构造函数 等式fx)<2r(后)snx的解集为 (1)如果题目中出现nf(x)十xf'(x)的形式， 可构造函数F(x)=x”f(x). 考点2通过变量构造具体函数 (2)如果题目中出现xf'(x)一nf(x)的形式， 【例4】 已知x,y为正实数，lnx+lny 可构造函数F()=f(x) 2 则 2.利用f(x)与e构造函数 A.x >y B.x<y (1)对于f'(x)+nf(x)>0(或<0)，构造函 C.x+y>1 D.x+y<1 数F(x)=erf(x). 听课记录 (2)对于f'(x)-nf(x)>0(或<0)，构造函 数F(x)=f(x) e 3.利用f(x)与sinx,cosx构造函数 (1)若F(x)=f(x)sinx,则F'(x) f'(x )sin x+f(x )cos z. 规律总结 (2)若F(x)=fx）,则F'(x)= sin x 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形 f'(z)sin z-f(x)cos x 使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造 sin'x 函数，并利用函数的单调性求解。 第三章 一元函数的导数及其应用 讲 【对点训练2】(2024·陕西安康模拟)若0< x1<x2<1,则 A.e:+In x>e+In x2 B.e:+In z<e +In x2 规律总结 C.2e>e 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔 D.2e<e 细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数， 考点3通过数值构造具体函数 使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数 的单调性比较大小. 【例5】(2024·湖南益阳三模)若a=21n1.1,b 0.21,c=tan0.21,则 ( 【对点训练3】 6 已知aln5h了 A.b<c<a B.a<c<b () C.c<a<b D.a<b<c A.a>b>c B.a>c>b 听课记录 C.c>b>a D.c>a>b 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业19 063 3.4导数与函数的极值、最值 考试要求 1.理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值。 3.掌握利用导数研究函数最值的方法，会求闭区间上函数的最大值和最小值. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。一 0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x) 的 ,f(a)叫做函数y=f(x)的 1.函数的极值 ;b叫做函数y=f(x)的 ,f(b)叫 (1)函数极值的定义：如图，函数y=f(x)在点 做函数y=f(x)的 极小值点、极大 x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 值点统称为 ,极小值和极大值统称 他点处的函数值都小，f'(a)=0;而且在点x= 为 a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似 地，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点处的函数值都大， f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>依题意，a2十2a-1=a-1十a十b,所 以b-a2=0. (2)由题意知函数f(x)=ae一x十 a,其定义域为R,求导得f'(x)= ae-1. 当a0时，f'(x)<0,f(x)在R上 单调递减； 当a>0时，由f'(x)=ae-1=0, 得x=-lna, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)在 (-o∞，一lna)上单调递减， 当x>-lna时，f(x)>0,f(x)在 (-lna,十∞)上单调递增. 所以当a0时，f(x)在R上单调递 减；当a>0时，f(x)在(-o∞，-lna) 上单调递减，在（一lna,+∞）上单调 递增 1 例3D 因为函数f(x)=2sin2x acos x在(0，π)上单调递增，所以 f'(x)=cos2x十asin x≥0在(0，π) 上恒成立，即1-2sinx十asin x≥0 在(0，π)上恒成立，令t=sinx,x∈ (0,π)，则t∈(0,1]，所以a≥2t- 1 在(0,1]上恒成立.又因为y=2t 在(0,1]上单调递增，所以当t=1时， ymw=1,故a≥1.故选D. 例4(1)A由f(x)=x sin x,x∈R, 得f'(x)=sinx十x cos x,当0< x<时，f'(x)>0,所以f(x)在 (0,受）上单调递增，因为受> 1> 牙>0，所以f()>f1) 7 ()故选A (2)B g(x)=f(x)-1=sin x- x,则g'(x)=c0sx-1≤0，所以函数 g(x)在R上单调递减，因为g(一x)= sinx十x=一g(x),所以函数 g(x)为奇函数，由f(m2)十f(3m十 2)>2,得f(m2)-1>-f(3m+2)+ 1=-[f(3m+2)-1],即g(m2)> -g(3m十2)=g(-3m-2),所以 m2<-3m-2,解得-2<m<-1,所 以不等式f(m)十f(3m十2)>2的解 集为（一2，一1）.故选B. 【考教衔接】 泰勒展开式 典例A 由题意知a= 31 ,由泰勒展开 32 式，得cosx≈1 2! ,s1nx≈ 2 一，所以b=c0s 1 3 ≈1 1 1 1 31 1 1 2 16 24 256 32 24 256 c=4s子≈4×(-× 十 高×)-1-×高 1 11 195,1、 1 256=96+120×256,所以a<b<c. 故选A. 对点训练31C存在：∈（年， ),且x≠x:使得f)= f红，等价于函载f八x)在（至，行】 上不是单调函数，易知f(x)=acosx一 sinx,若函数f(x)为单调递增函数， 则f'(x)≥0恒成立，即acos z-sinx≥ 0,所以a≥ sin工=tanx在x∈ cos x (牙，)上恒成立，则a≥5；同理， 若函数∫(x)为单调递减函数，则 f(x)≤0恒成立，得a≤1.故若函数 fx)在（至·）上不单洞，则1< a<√3.故选C. (2)(-∞，2) 解析：因为函数f(x)=x一sinx,所 f(-x)=-x+sinx=-f(x), 即函数f(x)是定义在R上的奇函数， 又'(x)=1一cosx≥0，则函数 f(x)为增函数，则不等式f(x十1)十 f(1-2x)>0等价于f(x+1)> -f(1-2x)=f(2x-1),即x+1> 2x一1，解得x<2,所以原不等式的解 集为(-0∞，2). 3.3导数中的函数构造问题 …关键能力提升… 例1B设F(x)=fx), x一x≠0，则 F'(x)='x）f).周为当 x>0时，xf'(x)一f(x)<0,所以当 x>0时，F(x)<0,即F(x)在 (0,十∞)上单调递减.由于f(x)是奇 函数，所以F(-x)=二x》= fx）=F(x),又F(x)的定义城为 (一∞，0)U(0,十∞)，关于原点对称， 所以F(x)是偶函数，所以F(x)在 (一0∞，0)上单调递增.又f(1)= 一f(一1)=0，所以当x<-1或x> 1时，F(x)=f<0:当-1<x< 0或0<x<1时，F(x)=>0, 所以当一1<x<0或x>1时， f(x)<0,即不等式f(x)<0的解集 为(-1,0)U(1,十∞).故选B. -453- 例2AC拘造Fr)=f四，则F'() e e'f'()-e'f(z)f'(x)-f(a) e e 又导函数f'(x)满足f'(x)<f(x), 则F'(x)<0,F(x)在R上是减函数， 故>02>四>12所 e-1 el 以f(2)<ef(0),ef(-1)>f(1). 故选AC. 例3c◆e)=e(e）周 g(x)=osx·fx)+sinx·f(x) cos'x 因为cosx·f(x)十sinx·f(x)0, 所以g'(x)<0,则g(x)= fx）在 cos x (0,)上单调递减，所以 () os3 () (） () 即 1 f() () 故巨f()> 2 2 f()()>().故 选C. 对点训练1(1)B设g(x)=f(x) x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以 g(x)在R上单调递增.又f(2)=5, 所以g(2)=f(2)-22=1,不等式 f(x)>x2+1,即f(x)-x2>1,即 g(x)>g(2),所以x>2,即不等式 f(x)>x2十1的解集为(2，十∞).故 选B. (2)A设g(x)=ef(x),则g'(x)= e[f(x)十f'(x)]>0,故g(x)在R 上单调递增.又g(0)=e°f(0)=0,故 f(x2十4x-5)>0可转化为 e2+1-5f(x2十4x-5)>0,即g(x2+ 4x-5)>g(0).由g(x)在R上单调 递增可得x2十4x-5>0,解得x< -5或x>1,即不等式f(x2十4x 5)>0的解集为(-∞，-5)U (1,十o∞).故选A. 3(若)U(g 舒折：令g)=2∈（一 0)U(0,π)，则g'(x)= f(x)sinx-fx)cos工，：当x∈ sin'x (0,π)时，f'(x)sinx-f(x)cosx 0,∴在(0，π)上，g(x)<0,函数 g(x)在(0，π)上单调递减.y= 参考答案“☑。 f(x),y=sinx均是奇函数，函数 g（x)是偶函数，函数g(x)在(-π， 0)上单调递增.当x∈(0，π)时，sinx> 0,则不等式f(x)<2f(石）sinx可 化为x)< () sin x ,即g(x)< π sin6 (）8<x<:当x∈(-， 6 0)时，sinx<0,则不等式f(x)< 2f()snx可化为f sin x sin 6 () sim(←） 即gx)>g(-) 一否<x<0.踪上，可得不等我的 解集为（吾0U(后小 例4C南h中ny=子-，将 ag+=hy+}-h}-号 构造函数f(x)=lnx十x,x>0,则 fx)=+1>0:可知f)=lnx+ x在(0，十∞)上递增.结合lnx十x= x>0,y>0,由基本不等式可知x十 y≥2√y=2,当且仅当x=y=1 时等号成立，所以x十y>1,故选C. 对点训练2C设f(x)=e一lnx, x>0,则f'(x)=e-1 ，令() x>0,则W(x)=e+ 1 > 0恒成立，即'(x)=c-1在定义 x 线0，+∞)上单调递增，且了（日）- 。-e<0了)=e-1>0,因在 区间（日，上必然存在唯一x使得 f'(x0)=0,,当x∈(0，x。)时f(x) 单调递减，当x∈(x。,1)时f(x)单 调递增，故A,B均错误；令g(x)= ，则g)=D,当0< e x x<1时，g'(x)<0,∴g(x)在区间 (0,1)上为减函数，：0<x1<x2< 1、 -,即x2e1>x1e2,故 C正确，D错误.故选C. 红对勾·讲与练·高三数学 例5Da=2ln1.1=ln1.12=ln(1+ 0.21).设h(x)=tanx-x,0<x< 受，则A(x) cosx·cosx-（-sinx)sinx-1= cosx 1 -1>0,所以h(x)=tanx-x cos'x 在(0，受)上单调递增，所以A() tan x-xh(0)=0,E tan x >x, 0<x<交，令f(x)=x-lh(1十力 0<x<受，则f)=1-1十王 1 2” >0,所以f(x)=x-ln(1十x) 1+x 在(0，受)上单调递增，所以f(x) x-ln(1十x)>f(0)=0,即x> 1(1十z)x∈(0，受)，所以1anx> x>ln(1+x),x (0,)从而当 x=0.21时，tan0.21>0.21>ln1.21, 即a<b<c.故选D. 对点训练3A设f(x)=lnx-x十1， x∈(0,1)，则f'(x)=1二工>0，所 以f(x)单调递增，又f(1)=0,所以 f(x)<0,即lnx<x-1,所以 n<一所以-h>合 5 5 n号>名，所以a>h.设hx） 1 (1-x)e,x∈(0,1)，则h'(x)= 一xe<0,所以h(x)单调递减，所以 1一，故 h(x)<h(0)=1,即e<1-x e<1 =<日所 7 .1 1 1- 7 以b>c,所以a>b>c.故选A. 3.4 导数与函数的极值、最值 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)极小值点极小值极大值点 极大值极值点极值 (2)必要条件f'(xo)=0 (3)极大值极小值 2.(1)②最小值最大值单调递减 3.(1)20(2)20 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.A由题中导函数f'(x)的图象知，在 x=一2处，f(-2)=0,且其两侧导 数符号为左正右负，所以x=一2是 f(x)的极大值点；在x=一1处， (一1)=0，且其两侧导数符号为左 -454- 负右正，所以x=一1是∫(x)的极小 值点；在x=2处，了(2)=0，且其两侧 导数符号为左正右负，所以x=2是 f(x)的极大值，点.综上，f(x)的极小 值点的个数为1.故选A 134 3.21 -10 解析：f′(x)=3x2-12=3(x 31,所以 厂1 2)(x十2)，因为xE f'(x)0,故f(x)在 31上单调 1 递减，所以)的最大值为f(号） 号或小值为f0)=-10 4.(-∞，0)U(0,+∞) 解析：f'(x)=(x一c)2十2x(x一 c)=3x2-4cx十c2.由题意知f'(x) 有变号零点，∴△=16c2-12c2= 4c2>0,解得c≠0，即c∈(-∞，0)U (0,十∞). 关键能力提升… 例1ABD对于A,由题中图象知，当 x∈(-1,3)时，f'(x)>0,此时y= f(x)单调递增，故A正确；对于B,当 x∈(3,5)时，f(x)<0,此时y= f(x)单调递减，故B正确；对于C, x=0的附近左右两侧导函数符号不 变，故C错误；对于D,当x∈(3,5)时， f'(x)<0,当x∈(5，十o∞)时， f'(x)>0,则函数y=f(x)在x=5 处取得极小值，故D正确.故选ABD. 例2解：：f'(x)= -2x2+(a+4)x-2a e -2x十a)(x-2),令f'(x)=0,解 得x1=2,x:=2 ①若a<4,可得当x<号或x>2 时，(x)<0,当 a <x<2时， f(x)>0, 所以fx)在(0，)，2，+∞)上 单调递减，在(22）上单调递增。 所以fx)的极小值为f(号)= f(x)的极大值为f(2)= 8-a e21 ②若a=4,则f'(x)≤0，所以函数 f(x)在R上单调递减，无极值. 国若a>4,当x<2或x>号时， fx)<0,当2<x<号时， f(x)>0,