3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第三章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 考试 1.了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数.2.能够用导数公式和导数的运算 要求 法则求简单函数的导数，能求简单复合函数的导数 a 回顾>必备知识 》知识梳理《 续表 原函数 1.导数的概念及其意义 导函数 (1)导数的概念：如果当△x→0时，平均变化率 f(x)=a(a>0,且a≠1) f'(x)= 无限趋近于一个确定的值：即有极限，则 f(x)=e f'(x)= △x f(x)=logx(a>0,且a≠1)f'(x)= 称y=f(x)在x=xo处 ,并把这个确 定的值叫做y=f(x)在x=x。处的导数（也称 f(x)=In x f'(x)= 为 ),记作 或y'|x=,即 (2)导数的四则运算法则 三章 f'(xo)=lim △y =lim f(x。+△x)-f(xo) 项目 运算法则 4z→0△.x4x→0 △x 和差 [f(x)士g(x)]'= (2)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x。 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点 [f(x)g(x)]'= 积 P(xo,f(x。)处的 也就是说，曲 特别地，[cf(x)]'= 线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处的切线的斜 f(x)7' 率是 .相应的切线方程为 g(x) (g(x)≠0)》 (3)导函数的概念：当x=xo时，f'(xo)是一个 (3)简单复合函数的导数 唯一确定的数，这样，当x变化时，y=f'(x)就 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如 是x的函数，我们称它为y=f(x)的 果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那 (简称 ).y=f(x)的导函数有时也记 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的 f(x+△x)-f(x) 复合函数，记作y= 它的导数与函数 作y',即f'(.x)=y'=lim △x y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 2.导数的运算 ,即y对x的导数等于y对u (1)基本初等函数的导数公式 的导数与u对x的导数的乘积. 原函数 导函数 ○常用结论与知识拓展 f(x)=c(c为常数) f'(x) 1.区分在某点处的切线与过某点的切线 f(x)=x“(a∈R,且a≠0) f'(x)= (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且 仅有一条 f(a)=sin z f'(x)= (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少 f(z)=cos z (x) 有一条. 第三章 一元函数的导数及其应用 061 2.几类重要的切线方程 》基础检测《 (1)直线y=x一1是曲线y=lnx的切线，直线 1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 y=x是曲线y=ln(x十1)的切线…直线y=x十 “/”,错误的画“X” n是曲线y=ln(x+n十1)的切线，如图1. (1)f(xo)与[f(x)]'表示的意义是不相同的. y=e/y=ex y=x+l VEX y=x-1 (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. Cy=In(x+1) y=Inx () 01 (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线 图1 的切线 () 图2 (2)直线y=x+1与y=ex是曲线y=e的切线， (4)函数f(x)=sin(-2x)的导数是f'(x)= 如图2. cos(-2.x). () 2.(教材改编题)做直线运动的物体的路程、关于 (3)直线y=x是曲线y=sinx与y=tanx的切 线，如图3. 时间t的方程为s=1一3，则1=5时的瞬时速 4 y Y=x2-x y=xlnx 度的大小为 y=x-1 3.(教材改编题)设f(x)=ln(3-2x)十cos2x, y=tanx Y=r =1- 则'(0)= y=sinx 4.(教材改编题)已知f(x)=x3-3x2十1，则曲 线y=f(x)在点(1，一1)处的切线方程为 图3 图4 5.(多选题)（教材改编题）曲线f(x)=x3一x十3 第 (4)直线y=x-1是曲线y=x2一x,y=xlnx 在点P处的切线平行于直线y=2x一1，则点P 三 及y=1一】的切线，如图4. 章 的坐标可能为 ( 由以上曲线的切线方程可得重要不等式，如 A.(1,3) B.(0,3) lnx≤x-1,x+1e等. C.(2,9) D.(-1,3) 提升>关键能力 考点1导数的运算 【例1】求下列函数的导数： (1)y =2x2+In x +cos x; (2)y=x3e; (3)y=ln(3.x-1); (4)y-2+sin cos 2 (5)y =cos x 学生试答： 规律总结 求函数的导数时一般对函数式先化简再求导， 常用求导技巧有①连乘积形式：先展开化为多项式 的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特 征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求 导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式 062亿对构·讲与练·高三数学·基础版 形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形 学生试答： 式：先利用公式化简函数，再求导；⑥复合函数：确 定复合关系，由外向内，层层求导；⑦对于含有 f'(x。)的函数求导问题，可先将f'(xo)视为常数， 求导后用“赋值法”即可. 【对点训练1】(1)求下列函数的导数： ①y=lnwW1+x2； ②y=lhx 规律总结 x十1 -ln(x+1); 1.曲线y=f(x)的切线方程的求法：①以曲线 ③y=cos(2x+1) 上的已知点(x。,f(x。)为切点时，先求出函数 x f(x)的导数f'(x)和切线的斜率f'(x。),进而写 ④y=(x+1)(x+2)(x+3) 出切线方程y一f(x)=f'(x。)(x一xo),化简即得 (2)己知函数f(x)=e+2f'(0)x+1,则 最终结果；②若已知点(x1y,)不在曲线上，则设出 f'(2)的值为 切点(xo,yo),则切线方程为y一y。=f'(x)(x x),且yo=f(x0),再将(x1y1)代入该切线方程， 得切点(x。yo),进而确定切线方程. 2.求曲线的切线方程时，要注意判断已知点是 否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个 公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与 曲线的公共点不一定只有一个. 第三章 【对点训练2】(1)曲线y= 2+2在点1， 处的切线方程为 (2)过点(1,4)且与曲线y=f(x)=x3十x十 2相切的直线方程为 (3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐 标原点的两条切线的方程为 命题角度2已知曲线的切线条数求参数范围 【例3】(1)若过点(a,b)可以作曲线y=e的两 条切线，则 () 考点2导数的几何意义 A.e<a B.e“<b 命题角度1曲线的切线的斜率和方程 C.0<a<e" D.0<6<e 【例2】(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x) (2)(2022·新高考I卷)若曲线y=(x十a)e 。+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 1+x4 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 幻学生试答： ( 1 1 2 A.6 B. 3 C.2 0.3 (2②)曲线y=十在点1，)处的切线方程 e 为 第三章 一元函数的导数及其应用 063 规律总结 已知曲线的切线条数求参数范围时，需要明确 曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就 可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是 说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为 关于相应函数零点个数的问题. 规律总结 【对点训练3】(1)若过点(a,b)可以作曲线y 处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲 lnx十1的两条切线，则 线、切线、切点的关系列出参数的方程（组）并解出 A.b<In a B.6>In a+1 参数，建立方程（组）的依据主要是①切点处的导数 C.a<0 D.b>e“ 是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. (2)(2025·山东联合测评)若过点(1，m)可以 【对点训练4】(1)(2024·陕西咸阳模拟)已知直 作曲线y=(x十1)e的三条切线，则实数m的 线y=kx十t既是曲线y=e的切线，也是曲线 取值范围是 y=一er的切线，则k= 命题角度3两条曲线的公切线 (2)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和 【例4】(1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十 圆x十y=日都相切，则实数a的值为 1)十a的切线，则a= (2)若曲线y=x2与曲线y=te'(t≠0)恰有 两条公切线，则t的取值范围为 》温馨提示 幻学生试答： 学习至此，请完成训练17 第 3.2 导数与函数的单调性 考试 1.理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.2.对于多项式函数，能求不超过三 要求 次的多项式函数的单调区间. 回顾 >必备知识 》知识梳理《 ○常用结论与知识拓展 1.函数的单调性与导数的关系 1.在某区间内，f'(x)>0(f'(x)<0)是函数 一般地，函数∫(x)的单调性与导函数f'(x)的 f(x)在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件.可 正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b) 导函数f(x)在(a,b)上单调递增（减）的充要条件是 内，如果 ,那么函数y=f(x)在区间 对Hx∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 (a,b)内单调递增；如果 ,那么函数 f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零 y=f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数y=f(x)单调性的步骤 2.构造函数解抽象不等式 第1步，确定函数的定义域； (1)对于不等式f'(x)>(k≠0)，构造函数 第2步，求出导数f'(x)的零点； g(x)=f(x)-kx+b. 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分 (2)对于不等式xf'(x)十f(x)>0,构造函数 为若干个区间，列表给出∫'(x)在各个区间上 g(x)=xf(x);对于不等式xf'(x)一f(a)>0,构造 的正负，由此得出函数y=∫(x)在各个区间上 的单调性 函数gx)=fC》(x≠0). xx)-3x+81 10 2=10x+2,即y= -0++0≤<8， 1 0x+2,8<x≤14 (2)当0≤x≤8时，y= 20x2+ 2 1 5 20 所以当x=4时，yx=亏 18 当8<x≤14时，y= 1 10x+2, 所以当x=14时，yan=1 51 因为> > 5 ,所以当x=4时，ymx 只所以当精加工藏菜4吃时，意利剂 18 最大，最大总利润为写万元 例42028年 解析：设2024年后的第n年研发资金 开始超过200万元，则130(1+ 12%)”≥200，即(1+12%)”≥13，所 以n≥g21g1.3≈3.8，所以2024 1g1.12 年后的第4年研发资金开始超过200 万元，即该公司全年投入的研发资金 开始超过200万元的年份是2028年. 对点训练4(1)A设至多x年后卖出 这辆轿车，则20(1-8%)≥15，故 0.92≥0.75，x≤1g0.92 1g0.75 1g75-21.875-2 0.125 1g92-2≈1.964-2=0.036 3.5,故这个人至多3年后卖出这辆轿 车，才不会以低于15万元的价格成交， 故选A. (2)A由题意，经过一个半衰期(8 天)后，制留的质量y=a×弓，经过两 个半衰期(16天)后，剩留的质量y= ax(号) ,经过三个半衰期(24天) 后，剩留的质量y=a×(分) …经过 x天后，剩留的质量y=aX 份) x∈N”.故选A. 第三章 一元函数的导数 及其应用 3.1导数的概念及其 意义、导数的运算 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)可导瞬时变化率f'(x。) (2)切线的斜率f'(x。)y一f(x。)= f'(x0)(x-x。) (3)导函数导数 2.(1)0 az"-1 cos x -sin 1 aIn a e 1 xIn a x 4202对构·讲与练·高三数学· (2)f'(x)士g'(x)f'(x)g(x)十 f(x)g'(z)cf'(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) Lg(x)72 (3)f(g(x))y,=y。·u 基础检测 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 2.125 解析：物体运动的路程、关于时间t的 方程为5三二3，则’=，将t 5代入，得t=5时的瞬时速度的大小 为53=125. 2 3.一3 解析：因为∫'(x)=一3-2z 2 2 2sin2x,所以f'(0)= 31 4.3x十y-2=0 解析：因为f(x)=x3一3x2十1，所以 f(x)=3x2-6x.当x=1时， ∫(1)=3-6=-3，所以曲线y= x3-3x2十1在点(1，-1)处的切线方 程为y十1=-3(x-1),即3x十y 2=0. 5.AD设切点P(xo,x8-x0十3).因为 曲线∫(x)在，点P处的切线的斜率 k=f(x)=3x8 -1=2,所以 x。=士1，所以点P的坐标为(1,3)或 (一1,3)，经检验均符合题意.故选AD. …》提升·关键能力《… 例1解：(1)y'=4x+1 -sin x. (2)y'=(x3)'e+x3(e)'=3xe+ xe=(x3十3x2)e. 3 (3)y'=3x-了 0y=2r+nas=2+n, 1 1 则y'=2ln2+2cosx (5)y'=-a sin-cos工 22 x sin x+cos x 对点训练1(1)解：①y=ln√1十x= 2n1十，则y=号 1 2x ②y'=1+Inx)x+1)-xlnz (x+1)2 In x+1=(x+1)21 ③y=-2xsim2x+1）-os2x+1D_ 1 2x sin(2x+1)+cos(2x+1) 22 ④y'=(x十2)(x+3)十(x+1)(x十 3)十(x十1)(x十2)=3.x2+ 12x+11. (2)e2-2 解析：根据题意，f(x）=e十2f'(0)x十 1→f(x)=e+2f(0)→f(0)=e°+ 2f'(0)→f'(0)=-1→f'(x)=e*- 2→f'(2)=e2-2. 基础版 例2(1)Af'(x)= (e'+2cos x)(1+22)-(e'+2sin r).2x (1+x2)2 则f'(0)= c0+2cos01+0)-(e+2sn0)X0=3, (1+0)2 即该切线方程为y一1=3x,即y= 3x十1，令x=0,得y=1,令y=0, 得x=一 号，故该切线与两坐标轴所 国成的三角彩的面积S=子×1× e e (2)y=4x十4 解析：因为y= 十1：所以y'= e e(x十1)-e xe (x+1)2 (x+1)2y1=1= 子所以南线y=5在点（受）处 x+1 的切线方程为y一三=ú一10，中 e y= e 对点训练2(1)5x-y十2=0 解析：因为y=2x十2)-(2x-1D (x十2) 口十2)，所以y'1.1=5,所以切线 5 方程为y十3=5(x十1)，即5x一y十 2=0. (2)4x-y=0或7x-4y十9=0 解析：设切点为(xo,yo),则过点(1,4) 的曲线y=f(x)的切线为l:y-yo= (3x。+1)(x-x。）, (3x8+1)(1-x)=4-y·解 有 y。=x8十xo十2， 。=一2所以1的 1 。=1或 得=4 11 y。=8' 方程为4z-y=0或7x-4y十9=0. 1 (3)y=-xy=- e 解析：y=lnx,当x>0时，y= lnx,设切，点为(x。,lnxo),由y'= 上得y。。所以切方为 o y-In zo=xo (x一x),又切线过坐 标原点，所以一Inx。= 1(-xo),解 xo 得x。=e,所以切线方程为y一1= (x-e),即y=。x;当x<0时， e y=ln(-x),设切，点为(x1,ln(-x1), 由y=，得y1=,所以切 x 线方程为y一ln(一x1)= 1(x-x1) 1 又切线过坐标原，点，所以-ln(一x1)= 上（一)，解得1=一e,所以切线方程 为y-1=1（x十e),即y=-1. 一e e 例3(1)D在曲线y=e上任取一点 P(t,e),对函数y=e求导得y'= e”,所以曲线y=e”在点P处的切线 方程为y-e=e(x-t),即y= ex十(1-t)e,由题意可知，点(a,b) 在直线y=e'x十(1-t)e上，可得 b=ae+(1-t)e'=(a+1-t)e'; f(t)=(a十1-t)e,则f'(t)=(a t)e.当t<a时，f'(t)>0,此时函数 f(t)单调递增，当t>a时，f'(t)<0, 此时函数f(t)单 调递减，所以， f(t)m=f(a)= y=b e“.由题意可知，直 线y=b与曲线 aa+l t y=f(t)有两个交 点，则b<f(t)x= e“,当t<a十1时， y=f)） f(t)>0,当t a十1时，f(t)<0, 作出函数∫(t)的图象如图所示，由图 可知，当0<be“时，直线y=b与 曲线y=f(t)有两个交，点.故选D. (2)(-∞，-4)U(0,+∞) 解析：y=(x十a)e,.y'=(x十 1十a)e,设切点为(xo,yo),则y0= (x。十a)e,切线的斜率k=(x。十 1十a)e0,切线方程为y -(x。十 a)e"o=(xo+1+a)e(x-zo), 切线过坐标原点，.-(x。十a)e0= (x。十1十a)e(-xo),整理得x十 ax。一a=0,,切线有两条，∴△= a”十4a>0,解得a<-4或a>0,∴.a 的取值范围是（一∞，一4）U (0,十0o). 对点训练3(1)B因为y=lnx十1，所 以y=】,设切点坐标为(xonc。十 1),则切线斛率=1，则切线方程为 y-lnx。-1=上(x-。),整理得 y=】x十lnr。,又因为切线过点a, 工0 b),则b=a+lnxo,设f(x)= z十二，函数定义城是(0，十) 直线y=b与曲线f(x)=lnx十 有两个不同的交点.f(x)= 1 x =2，当a≤0时f)>0版 成立，∫(x)在定义域内单调递增，不 合题意；当a>0时，令f'(x)<0,解 得0<x<a,令f'(x)>0,解得x> a,可知f(x)在(0，a)内单调递减，在 (a,十∞)内单调递增，则f(x)≥ f(a)=lna+1,且当x趋近于0 或十∞时，f(x)趋近于十∞，作出 f(x)的图象如图， fx)=lnx+号 v=b In a+l 结合图象可知b>na十1.综上所述， b>lna十1，a>0.故选B. (2)(-6e3,0) 解析：依题意，设切，点坐标为(t,(t+ 1)e),由y=(x+1)e,求导得y'= (x十2)e,则曲线y=(x十1)e在点 (t,(t十1)e)处的切线方程为y一(t十 1)e=(t十2)e(x-t),由切线过点 (1,m),得m=(t+1)e+(t+ 2)e(1-t)=(-t+3)e,令g(t)= (-t2十3)e,依题意，直线y=m与函 数y=g(t)的图象有3个公共点， g'(t)=(-t2-2t+3)e=-(t+ 3)(t-1)e,当t<-3或t>1时， g(t)<0,当-3<t<1时，g(t)> 0,则函数g(t)在(-∞，一3)， (1,十∞)上单调递减，在（一3,1）上单 调递增，当t=一3时，函数g(t)取得 极小值g(-3)=-6e,而当t<一√3 时，恒有g(t)<g(-5)=0,又 g(2)=-e<-6e3,因此当-6e3< m<0时，直线y=m与函数y=g(t) 的图象有3个公共点，所以实数的取 值范围是（一6e3,0). 例4(1)ln2 解析：由y=e十x得y'=e十1， y'x=0=e°十1=2，故曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线方程为y= 2x十1.由y=ln(x十1)十a得y'= x十，设切线与曲线y=ln(x十1)十 1 a相切的点为(xo,ln(x。十1)十a),由 1 两曲线有公切线得y'= xo十1 =2, 1 1 解得x。=一2，则切点为（a十 ,线方程为y=2(:十) 1n2 1 a十ln =2x十1十a-n2,根据两切 线重合，得a-ln2=0,解得a=ln2. 解析：设曲线y=te的切点为M(m, te"),曲线y=x2的切点为N(n,n2), 则曲线y=te在，点M(m,te”)处的切 线方程为y-tem=tem(x-m),即 y=te"(x-m)十te",同理，曲线y= x2在点N(n,n)处的切线方程为 y=2nx-n2,根据曲线y=te与曲 线y=x2有两条公切线，则 te 2n, lte-mtem= n,所以te mte"=-（ e" 2）化简可得t=m-4 两曲线有两条公切线转化为t=m一4 e 有两个解，构造函教fx)=红一4，则 fx)=8-虹，当x<2时f'Gx)>0, f(x)单调递增，当x>2时，f(x)<0, f(x)单调递减，故f(x)在x=2时有极 大值即为最大值，f(2)= ,当x e 时，f(x)→-∞，当x→十∞时， )→0，就：的取位范周为0，) 对点训练4(1)e 解析：设曲线y=e与曲线y=一e的 切点分别为(x1,e1),(2,-e2),易知 函数y=e,y=一e的导画数分别为 y’=e,y’=e,由题意可知 1k=e1=e2, kx1十t=e1,可得 kx2十t=-e, x1=一x2， x1e1+t=e1, 则 z:e":+t=-e x1e1+t=e1, -x1e1+t=-e1 解得三1·所 t=0, 以k=e1=e (2)2或0 解析：依题意，设直线l的方程为y= x十b,即x-y十b=0,由直线和圆x2+ 1 y=豆相切可得， b √+(-1) 号解得6=±1，当b=1时，直线 y=x十1和曲线y=ln(.x十a)相切， y'= 1,设切点为(m,n),根据导 x十a 1 数的几何意义，得 ,=1,又切点 m-a 同时在直线和曲线上，即 /n=m+1, n=0, In =In(m+a), 解得{m=-1,即 a=2, b=1时，a=2.当b=-1时，直线 y=x一1和曲线y=ln(x十a)相切， 1 )=十a设切点为(s,),根据导数 的几何意义，得 1=1,又切点同时 十a 在直线和曲线上，即亿=：一1， 解 t In(s+a), t=0, 得{s=1,即b=-1时，a=0.综上 a=0, 所述，a=2或a=0. 3.2导数与函数的单调性 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.f'(x)>0f'(x)<0 基础检测 1.(1)X(2)/(3)/(4)/ 2.(0,1) 解析：函数y= nx十]的定义城为 x (0,+∞)，y (In z +1)'z-(In z+1)z' x 1-(1nx+1) -In x ,由y'>0得 x2 参考答案421