2.10 函数模型的应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

056沟·讲与练·高三数学·基础版 x2,x,x4,且满足x1<x2<x3<x4,下列说 >》素养检测☒《 法正确的是 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥ A.x1x4∈(-6ln2,0] 2 sin 2x,0≤x≤1， B.x1十x2十x3十x4的取值范围为[一8，一8+ 0时，f(x) 则函数 2ln2) 2) +1,x>1, C.t的取值范围为[1,4) g(x)=f(f(x))- 子的零点个数为 D.x2x3的最大值为4 e,x0, 2.(多选题)已知函数f(x)= 》温馨提示 x2-4x,x<0, 学习至此，请完成训练15 方程[f(x)]一tf(x)=0有四个实数根x1, 第 2.10 函数模型的应用 章 考试 1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.清楚对数函数、一元一次函数、 要求 指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义. 回顾>必备知识 》知识梳理《 续表 y=a y=logax 1.六种常见的函数模型 项目 y=x” (a>1) (a>1) (n>0) 函数模型 函数解析式 随n值变 一次函数模型 增长速度 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 化而不同 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常 二次函数模型 随x值增大，随x值增大， 数，a≠0) 随n值变 图象的变化图象与 图象与 化而不同 指数型函数 f(x)=ba2十c(a,b,c为常数，a≥ 接近平行 接近平行 模型 0,且a≠1，b≠0) 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 对数型函数 f(x)=blog。x+c(a,b,c为常数， 实际问题 化归 函数模型 模型 a>0,且a≠1，b≠0) 运算推理 f(x)=a.x”+b(a,b,n为常数，a卡 幂函数型模型 实际问题的解 解释说明 函数模型的解 0,n≠0) 》基础检测《 双勾函数模型 y=x+a(a为常数，a>0) 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 2.三种函数模型性质比较 “√”，错误的画“X”. (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加 y=ax y=logx y=x” 项目 (a>1) (a>1) 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售， (n>0) 则每件还能获利. () 在(0，十∞) 上的单调性 (2)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大. () 第二章函数的概念与基本初等函数057 (3)“指数爆炸”是指数型函数y=b·a”十 4.(教材改编题)某单位为鼓励职工节约用水，作 c(b≠0，a>0,a≠1)增长速度越来越快的形 出以下规定：每位职工每月用水不超过10m 象比喻 ( ) 的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的， (4)在(0，十∞)上，随着x的增大，y=ar(a> 超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元， 1)的增长速度会超过并远远大于y=x“(a> 则该职工这个月实际用水为 m3. 0)的增长速度， ( 5.(多选题)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位： 2.(教材改编题)下表是在弹性限度内，弹簧伸长 m)与时间t(单位：月)的关系为y=a'.下列说 长度x(单位：cm)与拉力F(单位：N)的相关数据： 法中正确的是 2 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 A.浮萍面积每月的增长率为1 2 3 4 5 B.第5个月时，浮萍面积就会超过 10 能反映这一变化现象的函数为 30m 6 3.(教材改编题)用清水洗衣服，若每次能洗去污 C.浮萍每月增加的面积都相等 4 D.若浮萍蔓延到2m2,3m2,6m 2 垢的子，要使有留的污垢不超过1%，则至少要 012347 所经过的时间分别是t1,t2,13, 第 洗的次数是 .（参考数据：lg2≈0.301) 则t1十t2=t8 章 提升>关键能力 考点1用函数图象刻画变化过程 【对点训练1】(1)某林区的森林面积每年比上一 年平均增长12%，要增长到原来的x倍，需经过 【例1】(2025·广东广州检测)如图，一高为H且 y年，则函数y=f(x)的图象大致为( 装满水的鱼缸，其底部装有 一排水小孔，当小孔打开时， H 水从孔中匀速放出，水流完 所用时间为T.若鱼缸水深 为h时，放水时间为t,则函数h=f(t)的图象 大致是 th h D A 幻学生试答： (2)(多选题)(2025·福建厦门高三质检)某医 药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患 者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫 升血液中的含药量y(单位：微克)与时间1（单 位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲 规律总结 线.据进一步测定，当每毫升血液中的含药量 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数 W微克 模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象。 4 M1,4) (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快 慢等特点，结合图象的变化趋势，验证函数模型是否 吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的 情况. t/小时 058 红对构·讲与练·高三数学·基础版 A.a=3 【对点训练2】我国某生命科学研究所的生物研 B.注射一次治疗该病的有效时长为6小时 究小组成员通过大量的实验和数据统计得出 睡眠中的恒温动物的脉搏率∫（单位时间内心 C.注射该药物g小时后每毫升血液中的含药 跳的次数，单位：次·minl)与其自身体重 量为0.4微克 年位：e)黄足了一疗侯子0)的两效被 D,注射一次治疗该病的有效时长为52小时 型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg,脉 考点2已知或选择函数模型解决实际问题 搏率为205次·min1,若经测量一匹马的脉搏 【例2】(1)已知某种食品的保鲜时间与储存温度 率为41次·min1,则这匹马的体重为 有关，满足函数关系y=e红+(y为保鲜时间， 考点3构建函数模型解决实际问题 单位：小时，x为储存温度，单位：℃)，若该食 命题角度1构建二次函数、分段函数、双勾函数 品在冰箱中0℃的保鲜时间是144小时，在 模型 20℃的保鲜时间是48小时，则该食品在40℃ 第 【例3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行 的保鲜时间是 自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产 (2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西 品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件， 红柿的种植成本Q(单位：元/100kg)与上市 需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不 时间（单位：天）的数据如下表： 时间t 60 100 180 足8万件时，w(x)=了2+，在年产品不小 种植成本Q 116 84 116 于8万件时，W(x)=6x+100 38，每件产品 根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西 售价为5元.通过市场分析，小王生产的产品当 红柿的种植成本Q与上市时间的变化关系： 年能全部售完 Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·b,Q=a· (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的 logt. 函数解析式.（注：年利润=年销售收入一固定 利用你选取的函数回答： 成本一流动成本) ①西红柿种植成本最低时的上市天数是 (2)当年产量为多少万件时，小王在这一产品 的生产中所获年利润最大？最大年利润是 ②最低种植成本是 元/100kg 多少？ 学生试答： 幻学生试答： 规律总结 已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 (1)已知函数模型的实际问题，根据待定系数 法确定模型，再利用模型求解实际问题」 (2)选择函数模型的问题可结合函数图象、函 数值的增长特点（增减、增长快慢）等选用合适的函 数模型 第二章 函数的概念与基本初等函数 059 规律总结 命题角度2构建指数型函数、对数型函数模型 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个 【例4】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资 函数解析式给出，而是由几个不同的函数解析式构 金投入.若该公司2024年全年投入研发资金 成，因此需要构建分段函数模型 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比 2.分段函数的最值是各段最大值（或最小值） 上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资 中的最大者（或最小者）. 金开始超过200万元的年份是 3.二次函数是常用的函数模型，建立二次函数 (参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11， 模型可以求出函数的值域或最值，解决实际中的优 lg2≈0.30) 化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方 学生试答： 法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系： 若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在 离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在 给定的区间内，最值都在区间的端点处取得， 【对点训练3】某农业合作社生产了一种绿色蔬 菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获 规律总结 第 利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获 1.增长率问题，在实际问题中常可以用指数型 章 利0.6万元，但需另外支付一定的加工费.总的 函数模型y=N(1十p)(其中N是基础数，p为增 加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量 长率，x为时间)或幂函数型模型y=a(1十x)”(其 x(单位：吨)有如下关系： 中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式表示. 2.涉及与对数函数有关的函数模型问题，应结 20x,0≤x≤8， 合函数解析式以及对数函数的运算性质和对数函数 设该农业合作社将 3.x+8 的性质求解. ,8x14. 10 【对点训练4】(1)某人拥有一辆价值20万元的 x吨蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直 轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个 接销售，所得总利润（扣除加工费）为y(单位： 人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15 万元) 万元的价格成交（参考数据：1g75≈1.875， (1)写出y关于x的函数解析式 lg92≈1.964) () (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求 A.3年 B.4年 C.5年 D.6年 出最大总利润. (2)人工放射性核素碘-131可发射3射线治疗 甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为a 的碘-131经过x天后剩留的质量为y,则y关 于x的函数解析式是 () A.y=a× ,x∈N B.y=aX ,x∈N C.y=aX (品》 ,x∈N D.y=aX0.57,x∈N )温馨提示 学习至此，请完成训练16如图所示，显然有2个零，点，故A正确， C错误；如图所示，若<0，则由 0）=2=4=1+号或：=9，当1中 2<0,即k∈(-2,0)时，只有2个零 点·当1士冬=0，即k=一2时，有3个 零点，当1十是>0，即k∈（一0，-2） 时，有4个零，点，故B,D正确.故选ABD. y=f(x) 素养检测1.2 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示， -4-3-2-101234x g(x)=f(f(x)》-三的零点即为方 程f(f(x))- 3 4 =0的解，令t f(x),则f()5=0,当t≥1时.无 解，当0<1<1时，2sin受1=子解 得t=3,结合图象可知函数g(x)有 1 2个零点. 2.BC[f(x)]-tf(x)=0→ f(x)[f(x)-t]=0→f(x)=0或 f(x)=t,作出y=f(x)的图象，如 图所示： ---=4 _....y=l -=1 x=-20 2x 当f(x)=0时，x1=一4，有一个实 根；当t=1时，有三个实数根，所以共 四个实根，满足题意；当t=4时， f(x)=t只有两个实数根，所以共三 个实根，不满足题意，此时与y=e的 图象的交点坐标为(2ln2,4).要使原 方程有四个实根，等价于f(x)=t有 三个实根，等价于y=f(x)的图象与 直线y=t有三个交点，故t∈[1,4)， x1∈[0,2ln2),所以x1x1∈(-8ln2, 0],故A错误，C正确；又因为x2十 x3=一4，所以x1十x2十x3十x1= 一8十x1的取值范围为[-8，一8十 2n2),B正确；因为x2十x3=-4, x2<x3<0,所以x2x8=(-x2)· (-x3)< 「二（x2十xa)72 =4,故D 2 错误.故选BC. 2.10函数模型的应用 》回顾·必备知识《 知识梳理 2.单调递增单调递增单调递增 越来越快 越来越慢y轴x轴 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.x=14.4F-0.2(答案不唯一) 解析：根据点的分布特征，可以考虑用 函数x=kF十b(k≠0)作为刻画弹簧 伸长长度与拉力关系的函数模型.取 两组数据(1,14.2)，(4,57.5)，则 +b=14.2:解得6心-0.2： k≈14.4，所 4k+b=57.5, 以x=14.4F一0.2.将已知数据代入 上述解析式，或作出函数图象（图略）， 可以发现该函数模型与已知数据拟合 程度较好.（答案不唯一） 3.4 解析：设至少要洗x次，则1 )广厂≤所以x≥2≈832， 1 因此至少要洗4次. 4.13 解析：设该职工一个月用水xm时， 缴纳的水费为y元，由题意得 /1.x(0<x10), y={10m+(x-10)·2mx>10 则10m+(x-10)·2m=16m,解得 x=13. 5.ABD把(1,2)代入y=a‘,可得函数 解析式为y=2,因为212 =1,所 2 以每月的增长率为1，A正确；当t=5 时，y=32>30,B正确；第2个月增加 2m,第3个月增加4m,C错误；由 21=2,22=3,23=6,得21·22= 23,故t十t2=t3D正确.故选ABD. …》提升·关键能力《… 例1B水位由高变低，排除C,D:半缸 前下降速度先快后慢，半缸后下降速 度先慢后快，故选B. 对点训练1(1)D依题意，(1十0.12) x,则y=log.12x,x≥1，即f(x)= l0g1.12x,x≥1，显然选项A,B,C不符 合题意，D符合题意.故选D. (2)AD当t=1时，y=4,即 =4,k·1=4,解得a=3, /4t,0t1, k=4,所以y= 故A 1,t≥1， 正确；药物刚好起效的时间，4t= 0.125,即t= 2,药物刚好失效的时 间.（分）=0,125，解得1=6，故药 一 1 53引（小时）药 物有效时长为6一32=532 物的有效时长不到6小时，故B错误， D正确；注射该药物日小时后每毫升 血液中的含药量为4×日=0.5（微 克)，故C错误.故选AD. 例2(1)16小时 144=e, 解析：依题意，48=e,解得 1144=e, 3 =ew,则当x=40时y e0+6=(e2at)2·e= (3×144=16. 1 (2)①120②80 解析：由题意知，种植成本与上市时间 的变化关系应该用二次函数Q=at2十 bt十c,即Q=a(t-120)2+m描述， 将表中数据代入可得 1a(60-120)2+m=116解得 a(100-120)2十m=84, a=0.01,所以Q=0.01(t-120)+ lm=80, 80,故当上市天数为120时，种植成本 取到最低值80元/100kg. 对点训练2250kg 解析：根据题意f= (欣≠0)，当 W3 W=2时，f=205,则k=205×2, 当f=41时，则w-205X2 -=5X 41 2,解得W=250, 例3解：(1)因为每件商品售价为5元， 则x万件商品销售收入为5.x万元， 依题意得当0<x<8时，L(x)= 5x- (+）-3=-4 4x-3; 当x≥8时，L(x)=5x-（6x十 100-38)-3=35-(+92） 所以L(x)= 上3+4x-3.0<z<8 5-(+19）x≥8 (2)当0<x<8时，L(x)= -x-6+9 当x=6时，L(x)取得最大值，为9. 当x≥8时，L(x)=35-（x十 )≤西- x =35-20= 15:当且仅当x-四即x=10时，夺 号成立，即x=10时，L(x)取得最大 值，为15. 因为9<15，所以当年产量为10万件 时，小王在这一产品的生产中所获年 利润最大，最大年利润为15万元. 对点训练3解：(1)由题意知，当0≤ x≤8时，y=0.6x十0.2(14-x) 1 ,14 当8<x≤14时，y=0.6x十0.2(14 参考答案419 x)-3x+81 10 2=10x+2,即y= -0++0≤<8， 1 0x+2,8<x≤14 (2)当0≤x≤8时，y= 20x2+ 2 1 5 20 所以当x=4时，yx=亏 18 当8<x≤14时，y= 1 10x+2, 所以当x=14时，yan=1 51 因为> > 5 ,所以当x=4时，ymx 只所以当精加工藏菜4吃时，意利剂 18 最大，最大总利润为写万元 例42028年 解析：设2024年后的第n年研发资金 开始超过200万元，则130(1+ 12%)”≥200，即(1+12%)”≥13，所 以n≥g21g1.3≈3.8，所以2024 1g1.12 年后的第4年研发资金开始超过200 万元，即该公司全年投入的研发资金 开始超过200万元的年份是2028年. 对点训练4(1)A设至多x年后卖出 这辆轿车，则20(1-8%)≥15，故 0.92≥0.75，x≤1g0.92 1g0.75 1g75-21.875-2 0.125 1g92-2≈1.964-2=0.036 3.5,故这个人至多3年后卖出这辆轿 车，才不会以低于15万元的价格成交， 故选A. (2)A由题意，经过一个半衰期(8 天)后，制留的质量y=a×弓，经过两 个半衰期(16天)后，剩留的质量y= ax(号) ,经过三个半衰期(24天) 后，剩留的质量y=a×(分) …经过 x天后，剩留的质量y=aX 份) x∈N”.故选A. 第三章 一元函数的导数 及其应用 3.1导数的概念及其 意义、导数的运算 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)可导瞬时变化率f'(x。) (2)切线的斜率f'(x。)y一f(x。)= f'(x0)(x-x。) (3)导函数导数 2.(1)0 az"-1 cos x -sin 1 aIn a e 1 xIn a x 4202对构·讲与练·高三数学· (2)f'(x)士g'(x)f'(x)g(x)十 f(x)g'(z)cf'(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) Lg(x)72 (3)f(g(x))y,=y。·u 基础检测 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 2.125 解析：物体运动的路程、关于时间t的 方程为5三二3，则’=，将t 5代入，得t=5时的瞬时速度的大小 为53=125. 2 3.一3 解析：因为∫'(x)=一3-2z 2 2 2sin2x,所以f'(0)= 31 4.3x十y-2=0 解析：因为f(x)=x3一3x2十1，所以 f(x)=3x2-6x.当x=1时， ∫(1)=3-6=-3，所以曲线y= x3-3x2十1在点(1，-1)处的切线方 程为y十1=-3(x-1),即3x十y 2=0. 5.AD设切点P(xo,x8-x0十3).因为 曲线∫(x)在，点P处的切线的斜率 k=f(x)=3x8 -1=2,所以 x。=士1，所以点P的坐标为(1,3)或 (一1,3)，经检验均符合题意.故选AD. …》提升·关键能力《… 例1解：(1)y'=4x+1 -sin x. (2)y'=(x3)'e+x3(e)'=3xe+ xe=(x3十3x2)e. 3 (3)y'=3x-了 0y=2r+nas=2+n, 1 1 则y'=2ln2+2cosx (5)y'=-a sin-cos工 22 x sin x+cos x 对点训练1(1)解：①y=ln√1十x= 2n1十，则y=号 1 2x ②y'=1+Inx)x+1)-xlnz (x+1)2 In x+1=(x+1)21 ③y=-2xsim2x+1）-os2x+1D_ 1 2x sin(2x+1)+cos(2x+1) 22 ④y'=(x十2)(x+3)十(x+1)(x十 3)十(x十1)(x十2)=3.x2+ 12x+11. (2)e2-2 解析：根据题意，f(x）=e十2f'(0)x十 1→f(x)=e+2f(0)→f(0)=e°+ 2f'(0)→f'(0)=-1→f'(x)=e*- 2→f'(2)=e2-2. 基础版 例2(1)Af'(x)= (e'+2cos x)(1+22)-(e'+2sin r).2x (1+x2)2 则f'(0)= c0+2cos01+0)-(e+2sn0)X0=3, (1+0)2 即该切线方程为y一1=3x,即y= 3x十1，令x=0,得y=1,令y=0, 得x=一 号，故该切线与两坐标轴所 国成的三角彩的面积S=子×1× e e (2)y=4x十4 解析：因为y= 十1：所以y'= e e(x十1)-e xe (x+1)2 (x+1)2y1=1= 子所以南线y=5在点（受）处 x+1 的切线方程为y一三=ú一10，中 e y= e 对点训练2(1)5x-y十2=0 解析：因为y=2x十2)-(2x-1D (x十2) 口十2)，所以y'1.1=5,所以切线 5 方程为y十3=5(x十1)，即5x一y十 2=0. (2)4x-y=0或7x-4y十9=0 解析：设切点为(xo,yo),则过点(1,4) 的曲线y=f(x)的切线为l:y-yo= (3x。+1)(x-x。）, (3x8+1)(1-x)=4-y·解 有 y。=x8十xo十2， 。=一2所以1的 1 。=1或 得=4 11 y。=8' 方程为4z-y=0或7x-4y十9=0. 1 (3)y=-xy=- e 解析：y=lnx,当x>0时，y= lnx,设切，点为(x。,lnxo),由y'= 上得y。。所以切方为 o y-In zo=xo (x一x),又切线过坐 标原点，所以一Inx。= 1(-xo),解 xo 得x。=e,所以切线方程为y一1= (x-e),即y=。x;当x<0时， e y=ln(-x),设切，点为(x1,ln(-x1), 由y=，得y1=,所以切 x 线方程为y一ln(一x1)= 1(x-x1) 1 又切线过坐标原，点，所以-ln(一x1)= 上（一)，解得1=一e,所以切线方程 为y-1=1（x十e),即y=-1. 一e e