2.4 二次函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

0342对构·讲与练·高三数学·基础版 学生试答： 【对点训练3】(1)（多选题）(2024·山东济南模 拟)定义在R上的偶函数∫(x)满足f(x 2)=-f(x),且f(.x)在0,1]上是增函数，则 () A.f(x)的图象关于直线x=一1对称 B.f(x+4)=f(x) c2)>》 D.3f)=0 规律总结 (2)(多选题)(2025·山东德州开学考试)设函 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单 数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x一1)为 调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对 奇函数，f(x十1)为偶函数，当x∈[-1,1] 第 称性. 时，f(x)=1-x|,则 () 章 (2)函数周期性与奇偶性的综合.此类问题多 A.f(2025)=0 考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将 B.f(x)在[2,4]上单调递增 所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义 C.y=f(x-5)为奇函数 域内求解 D.方程f(x)=lgx仅有5个不同实数解 (3)函数单调性、奇偶性与周期性的综合.解决 此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 》温馨提示 间，然后利用奇偶性和单调性求解. 学习至此，请完成训练9 2.4 二次函数 考试 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单 要求 问题. 回顾》必备知识 》知识梳理《 续表 定义域 R 1.二次函数解析式 一般式：f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)； 值域 顶点式：f(x)=a(x-h)2十k(a≠0)； 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 在（∞， 2.二次函数的图象和性质 2a 在（， 2a 上 单调性单调递减；在 b f(x)=a.x2十 f(x)=a.x2+ 解析式 2a 单调递增；在一2 bx+c(a0) bx+c(a<0) +∞ 上单调递增 上单调递减 图象 对称性 函数的图象关于直线 对称 第二章函数的概念与基本初等函数035 》基础检测《 4.(教材改编题)若函数f(x)=x2-4ax一3在区 间（一4，十∞）上单调递增，则实数a的取值范 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 围是 “√”，错误的画“X” (1)二次函数y=ax2+bx十c不可能是偶函数 5.(多选题)如图，二次函数y=ax2+bx十c(a≠ 0)的图象与x轴的一个交点为（一1,0），对称轴 () 为直线x=2.下列结论中正确的是 (2)已知二次函数f(x)=x2+2x,x∈[-2， 3],则f(.x)的值域是[-1,15]. (3》函数y=一十x十1的最小值为〈 (4)根据二次函数的两个零点就可以确定函数 的解析式. () 2.(教材改编题)已知函数f(x)=a.x2+x十5的 A.abc0 图象在x轴上方，则a的取值范围是 B.a+2c<-b 3.(教材改编题)当m一2≤x≤m时，二次函数 C.c-3a=0 第 y=x2-2x-3的最大值为5，则m的值是 D.若直线y=m与y=|a.x2+bx+c|的图象 章 相交，其交点个数为2或3或4 提升>关键能力 考点1二次函数的解析式 【对点训练1】(1)已知二次函数f(x)的两个零 点分别是0和5，图象开口向上，且f(x)在区 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， f(一1)=一1，且f(x)的最大值为8，试确定该 间[一1,4]上的最大值为12，则函数f(x)的 二次函数的解析式。 解析式为 学生试答： (2)已知函数∫(x)为二次函数，f(x)的图象 过点(0,2)，对称轴为直线x=一 ,函数f(x) 在R上的最小值为子，则fx)的解析式为 考点2二次函数的图象 【例2】二次函数y=x2十(m- 3)x十2m的图象与x轴的两 个交点的横坐标分别为x1,可式2无 x2,且0<x1<2<x2,如图所示，则m的取 值范围是 规律总结 学生试答： 求二次函数解析式的策略 三点坐标→宜选用一般式 顶点坐标 对称轴 宜选用项点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标→宜选用零点式 036 红构·讲与练·高三数学·基础版 规律总结 (2)函数f(x)=一x2+2|x|十1的单调递增 识别二次函数图象应学会“三看” 区间为 一看 看二次项系数的符号，它确定了二次函 考点4二次函数的最值 符号 数图象的开口方向 命题角度1不含参数的二次函数的最值 二看 看顶点，它确定了二次函数图象的具体 【例4】若-1≤x≤4，则函数y=x2-4x+3 顶点 位置 的最大值为 三看 看函数图象上的一些特殊点，如函数图 学生试答： 特殊点 象与y轴的交点、与x轴的交点等 【对点训练2】 已知函数f(x)= a.x2十bx十c的图象如图所 示，则下列结论错误的是 ( 第 A.b>0 【对点训练4】 函数f(x)=-2cos2x-2sinx+ B.c>0 3(x∈R)的最小值是 章 c停+x=侵- 命题角度2含有参数的二次函数的最值 【例5】已知函数f(x)=x2-2ax-3,a∈R. D.不等式(ax+b)(bx十c)(cx十a)<0的解 (1)当a= 3 x∈[-2,3]时，求函数f(x) 集是（日号U8+) 的值域。 考点3二次函数的单调性 (2)是否存在实数a,使得函数f(.x)在[-1， 3]上的最小值为1？若存在，求出实数a的值； 【例3】(1)已知条件p:函数f(x)=x2+mx十 若不存在，请说明理由. 1在区间分，十∞)上单调递增，条件g:m≥ 学生试答： 专则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若函数f(x)=2x2+(x一a)|x一a|在 区间[-3,0]上是单调函数，则实数a的取值 范围是 学生试答： 规律总结。 。 规律总结 解决“二次函数在给定区间上的最值”问题， 二次函数的单调性问题主要依据二次函数图 般先用配方法化为f(x)=a(x一h)2十(a≠0)的 象的对称轴进行分类讨论求解. 形式，根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结 【对点训练3】(1)已知函数f(x)=k.x2-2x+ 合图象求解： 4k在区间[2,4幻上单调递减，则实数k的取值 (1)对称轴和区间都固定时，根据单调性和图 范围是 象直接求解 第二章函数的概念与基本初等函数 037 (2)若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点 学生试答： 横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这 时要讨论区间与对称轴的位置关系，再根据函数单 调性求最值. 【对点训练5】已知二次函数f(x)的最小值为 1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调，求 实数m的取值范围； (3)若x∈[t,t十2]，试求y=f(x)的 最小值 第 规律总结 章 在解决二次函数模型的应用问题时，注意所建 立的函数模型中自变量的取值范围一定要符合实际 意义，确定好定义域，然后在该定义域内解决问题 【对点训练6】巴拿马运河起着连接美洲南北陆 路的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设 运河上的船只航行速度为（单位：海里/时）， 船只的密集度为x(单位：艘/海里)，当运河上 的船只密集度为50艘/海里时，河道拥堵，此 时航行速度为0海里/时；当船只密集度不超 考点5二次函数模型的应用 过5艘/海里时，船只的速度为45海里/时，数据 【例6】民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡 统计表明：当5≤x≤50时，船只的速度是船 村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业 只密集度x的一次函数. 经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施 (1)当0≤x≤50时，求函数v(x)的解析式. 乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业 (2)当船只密集度x为多大时，单位时间内通 合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工 过的船只数量∫(x)=xo(x)可以达到最大 该品牌服装每年需投人固定成本30万元，每代 值？求出最大值 加工x万件该品牌服装，需另投入f(x)万元， 号x2+2x,0<x≤10 且f(x)= 根 14+450 -115,10<x≤50. 据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服 装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费. (1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加 工费的年利润y(单位：万元)关于年代加工量 x(单位：万件)的函数解析式. (2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业 >温馨提示 合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最 学习至此，请完成训练10 大？并求出年利润的最大值。4,设x∈[3,4]，则(x-4)∈[-1,0]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x 4)2十1= -x2十8x一15，故D正确. 故选ACD. (2)BC函数y=f(x一1)的图象由 y=f(x)的图象向右平移1个单位长 度得到，且其对称轴为直线x=一2， 所以函数y=f(x)的图象的对称轴为 直线x=-3,即f(-3十x)=f(-3 x)或f(x)=f(-6-x),又f(x)十 f(一x)=6,所以函数f(x)的图象关 于点(0,3)对称，所以f(x)=6 f(-x)=6-f(-6+x)=6-[6 f(6-x)]=f(6-x)=f(-6-(6 x))=f(x-12),所以函数f(x)为 周期函数，且周期为12，故A错误；因 为f(x)=f(6一x),所以函数f(x) 的图象关于直线x=3对称，把函数图 象向左平移3个单位长度，得函数y f(x十3)的图象，该图象关于y轴对 称，所以f(x十3)为偶函数，故B正 确；f(2024)=f(168×12十8)= f(8)=f(6-8)=f(-2)=6 f(2)=6-5=1,故C正确；f(8) 1,f(11)=f(-1)=6-f(1)=6 4=2,f(8)<f(11),故D错误.故选 BC. 对点训练3(1)BCD因为f(x)为偶函 数，f(x一2)=一f(x),所以f(x 2)十f(x)=0,所以f(-2十x)十 f(-x)=0,所以∫(x)的图象关于点 (一1,0)对称，A错误；又f(x+ 4)=一f(x十2)=f(x),所以f(x+ 4)=f(x),B正确；因为f(x)在L0, 上是增通数，所以(） ()>)=() f().C正确：因为fx-2)+ f(x)=0→f(1)+f(3)=0,f(2)十 f(4)=0→f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)=0,所以∑f(n)=0,D正确. n=】 故选BCD (2)ACD因为f(x一1)为奇函数，所 以f(x一1)十f(-x一1)=0，根据图 象变换，则f(x)的图象关于点（一1， 0)中心对称，又因为f(x十1)为偶函 数，所以f(x十1)=f(一x十1)，根据 图象变换，则f(x)的图象关于直线 x=1对称，又当x∈[一1,1]时， f(x)=1一x,将函数f(x)图象的 对称中心（一1,0）和对称轴直线x=1 进行多次变换可得到如图所示的 图象， 由图象可知，函数f(x)是周期为8的 周期函数，所以函数f(x)图象的对称 轴为直线x=4k十1(k∈Z),对称中 心为(4k一1,0)(k∈Z).对于A, f(2025)=f(1)=0,故A正确：对于 B,当x∈[2,4]时，由图象可知f(x) 单调递减，故B错误；对于C,由图象 知，f(x)的图象的对称中心为(4k 410红对闪·讲与练·高三数学· 1,0)(k∈Z),当k=-1时，其对称中 心为（一5,0），又将函数f(x)的图象 往右平移5个单位长度可得f(x一5) 的图象，所以f(x一5)的图象的对称 中心为(0.0)，所以y=f(x-5)为奇 函数，故C正确；对于D,如图所示，因 为f(8)=f(0)=1,lg8<1g10=1, f(10)=1g10=1,又两函数图象均过 点(1,0)，再根据图象，可知函数y= f(x)与函数y=1gx的图象有5个交 点，故D正确.故选ACD. y=lgx O/136√/7911x =x) 2.4 二次函数 》回顾·必备知识《 知识梳理 4ac-b 2. Aa -∞， 4ac-b2 x = b Aa 2a 基础检测 1.(1)× (2)/(3)×(4)× 2.(分+） 1a>0,即 解析：由题意知么<0， /a>0, l1-20a<0 解得a>20 3.0或4 解析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 因为抛物线的对称轴为直线x=1,开 口向上，则其最大值只能在x=m一2 或x=m时取得，当x=m一2时，函 数取得最大值，则y=(m一2)2 2(m-2)-3=5,解得m=0或m= 6,当=0时，一2≤x≤0，此时函数 在x=一2处取得最大值5，符合题意； 当m=6时，4≤x≤6，此时函数在 x=6处取得最大值21，显然不合题 意，舍去.当x=m时，函数取得最大 值，则二次函数y=x一2x一3的最 大值为m2一2m一3=5，解得m=4或 m=一2，当m=4时，2≤x≤4，此时 函数在x=4处取得最大值5，符合题 意；当m=一2时，一4≤x≤-2，此时 函数在x=一4处取得最大值21，显然 不符合题意，舍去，综上所述，的值为 0或4. 4.(-0,-2] 解析：因为函数f(x)=x2一4ax-3 图象的对称轴为直线x=2a,图象开 口向上，所以函数在L2a,十o∞)上单调 递增，因为函数f(x)在区间（一4，十∞） 上单调递增，所以2a≤-4，解得a≤ -2, 5.ABD对于A,图象开口向上，故a> 0,对称轴方程为x=一2a =2,故b= 一4a<0,由于图象与y轴交于y轴负 半轴，故c<0,故abc>0,A正确；对 于B,由于图象与x轴的一个交点为 (1,0),故另一个交点为(5,0)，故当 x=1时，y=a十b十c<0,又c<0, 故a+b十2c<0,即a+2c<-b,B正 基础版 确；对于C,由于图象与x轴的一个交 点为(-1,0)，故a一b十c=0,又 b=-4a,故a十4a十c=0,即c= -5a,c-3a=-8a<0,C错误：对于 D,y=|a.x2十bx十c|的图象如下， 2 =7m -10 5 显然，直线y=m与y=ax2+bx十 c的图象的交点个数为2或3或4，D 正确.故选ABD. …》提升·关键能力《… 例1解：设f(x)=a.x2十br十c(a≠0)， /4a+2b+c=-1, 由题意得a一6士c=-1,解得 4ac-b2 =8, Aa a=-4, b=4,所以所求二次函数的解析 c=7, 式为f(x)=-4x2十4x十7. 对点训练1(1)f(x)=2x2-10x 解析：设f(x)=ax(x-5)(a>0), 5 其图象的对称轴为直线工二之，又 f(x)在区间[一1,4]上的最大值为 12,所以f(-1)=6a=12,解得a= 2,所以f(x)=2x(x-5)= 2x2-10x. 112 2f)=(+是)°+子 解析：因为f(x)的图象的对称轴为直 2,画数f(x)在R上的最小 线x=- 7 值为年，所以可设fx)=ax十 )+子a>≥0，将02)代入f 1）+2=2,解得a= 得a·(0十2）+4 112,7 1,故f(x)=(+2）+4 解析：由题图可得f(2)<0,即4十 m-3)×2+2m<0,解得m<2y .1 又f(0)=2m>0,所以0<m<2: 对点训练2A由题图知抛物线开口向 上，所以a>0,因为-么=1十2=3， C=1×2=2,所以b=-3a<0, c=2a>0,又对称轴为直线x=2: 3 剥f(受+z）=f(倍-)，所以A 错误，B,C正确；不等式(ax十b)(bx十 c)(cx十a)0可化为(ax-3a)(- 3ax十2a)(2ax十a)<0,即(x- 3)(3x-2)(2x十1)≥0，解得-2< 工<号或x>3,所以不等式的解集是 (,号)U,十0)D正璃.故 选A. 例3(1)A函数f(x)=x2+mx十1的 单调递增区间是[受，十，题 此受≤}解得m≥1，显然-1， +)年[台十)片以p是g的 充分不必要条件.故选A (2)(-∞，-9]U{0}U[3,十∞) 解析：f(x)= 3x2ax十ax≥a'若a=0,则 x2+2ax-a',x<a. 当x<0时，f(x)=x2在[一3,0]上 单调递减，符合题意；若a>0,则 f(x)在(-，-a)上单调递减，在 [-a,a)上单调递增，若f(x)在[-3， 0]上是单调函数，则-a≤-3，解得 a≥3：若a<0,则fx)在(a,号）上 单明说减，在[合十)上举谓论婚， 若f(x)在[一3,0]上是单调函数，则 号<-3，所以a≤-9.综上所速，实数 a的取值范围是(-∞，一9]U{0}U [3,+o∞). 对点训练3(1)(-∞，」 17 解析：当k=0时，f(x)=一2x在区 间[2,4幻上单调递减，符合题意；当k> 0时，函数图象的对称轴为直线x= 1 ，因为f(x)在区间[2,4]上单调递 、减·所以≥4，得k≤4，所以0 .1 k≤4；当k<0时，函数f(x)在区间 [2,4幻上单调递减，符合题意.综上，实 教k的取值范国为（∞，」： 17 (2)(-∞，-1]和[0,1] 解析：因为f(x)= x+2x+1x≥0>fx)= {-x2-2x+1,x<0 -(x-1)2+2,x≥0， -(x+1)2十2，x<0, 画出函数图象如图所示： y 2 -101 可知函数∫(x)的单调递增区间为 (-∞，-1]和[0,1]. 例48 解析：·函数y=x2-4x十3的图象 开口向上，对称轴为直线x=2,一1≤ x≤4，当x=-1时，函数y=x2 4x十3有最大值，最大值为（一1）一 4×(-1)+3=8. 对点训练4之 解析：f(x)=一2(1-sinx)一2sinx十 3 =2sin'x -2sin x+1 =2(sin x- 时，画数 (正)取得最小值} 例5解：(1)当a=- 是时a)= x2十3x-3,x∈[-2,3]， :函数f(x)的图象开口向上，对称轴 3 为直线x=一 2, f()min= ()=号- 42 3=- fx)=f(3)=15. 21 .当a= 21∈[-2,3]时，函数 3 f(x)的值域为 (2)不存在.理由如下：函数f(x)的图 象开口向上，对称轴为直线x=a, 当a≤-1时，f(x)mm=f(-1)=1, 即2a-2=1,解得a三号>-1，不符) 合题意； 当a≥3时，f(x)mn=f(3)=1,即 6-6a=1,解得a= 5 <3,不符合 6 题意； 当-1<a<3时，f(x)mm=f(a)= 1,即-a2-3=1,无解. ∴.不存在实数a,使得函数f(x)在 [-1,3]上的最小值为1. 对点训练5解：(1)由已知f(0)= f(2)=3,可得函数图象的对称轴为 直线x=1, 则函数f(x)图象的顶点坐标为 (1,1) 设f(x)=a(x-1)2+1,a>0,由 f(0)=3,得a=2, 故f(x)=2x2-4x+3. (2)因为函数f(x)图象的对称轴为直 线x=1,f(x)在区间[2m,m十1]上 不单调， 所以对称轴在区间[2m,m十1]内，即 2m<1<m+1, 解得0<m<宁 (3)当t≥1时，函数f(x)在[t,t十2] 上单调递增，f(x)m=f(t)=2t2 4t+3; 当t<1<t+2,即-1<t<1时， f(x）im=1; 当t+21,即t≤-1时，函数f(x) 在[t,t十2]上单调递减， f(x)min =f(t+2)=2t2+4t+3. 综上所述， /2t2-4t+3,t≥1， f(x）min= 1,-1<t1, 2t2+4t+3,t≤-1. 例6解：(1)当0<x≤10时，y=12x一 (分x2+2x）-30=-2x+10x 1 30;当10<x≤50时，y=12.x （(14x+450-115）-30=-2z x 450+85.故y= 222+10x-30,0<x≤10， 1 -2x-450+85,10<x≤50. (2)当0<x≤10时，函数y= 2x”+10z-30为二次函数，其图 象的对称轴为直线x=10, 所以y=一 +10x-30在0.10 上单调递增，故ymx=一 2×102+ 10×10-30=20; 当10<x≤50时，y=-2x-450+ 85=- 2z+9）+85≤ 2√2x·+85=25,当且仅当 x 2x 450,即x=15时，等号成立. 即当x=15时，ym .=25. 因为20<25，所以当年代加工量为15 万件时，该农民专业合作社为这一品 牌服装代加工费的年利润最大，最大 值为25万元. 对点训练6解：(1)由题意知当0≤x≤ 5时，0(x)=45, 当5≤x≤50时，设v(x)=ax十 b(a≠0)， 则08解符么二 45,0x≤5， 故(x=-x+50,5<x≤50. (2)由(1)可得f(x)=x(x)= 45x,0x5, -x2+50x,5<x≤50， 当0≤x≤5时，f(x)=45x,此时 f(x)mx=45×5=225; 当5<x≤50时，f(x)=-x2十 50x=-(x-25)2+625, 当x=25时，f(x)取到最大值625， 由于225<625，故当船只密集度为 25艘/海里时，通过的船只数量 f(x)=x(x)可以达到最大值，最大 值为625艘. 2.5幂函数及其拓展 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)y=x(2)[0,十∞)(-o∞， 0)U(0,十∞)[0，十∞)[0，十∞) (一∞，0)U(0,十∞)奇偶奇 非奇非偶奇（一∞，0](0，十∞） [0,十∞)(-∞，0)和(0，十∞)(1,1) (3)②(1,1)(0,0)③(1,1) 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.x(答案不唯一) 参考答案411