微专题一 函数性质的综合应用-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

(-x)3=-2x3, 于是等式左右两边x3的系数不相等， 原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的a,b,使得直线x= b为曲线y=f(x)的对称轴. 刷22 x),故y=f(x)与y=g(x)的图象 关于直线x=1对称.故选B. (2)证明：设y=f(x)的图象上一点 C(x。,lnxo), 则其关于直线x十y-1=0对称的点 坐标为C'(1-lnxo,1-xo), 而g(1-nx。)=1-x。,故C在y= g(x)的图象上， 故y=f(x)与y=g(x)的图象关于 直线x十y一1=0对称. 对点训练5(1)C设函数y=3与y= 32x的图象关于直线x=a对称，因为 函数y=3的图象关于直线x=a对 称图象的函数解析式为y=32,所 以32=32x,解得a=1.故选C. (2)C设g(x)图象上任意一点为(x, y),(x,y)关于(1,1)的对称点为(a,b), (a+工=1， 则 2 b十y=1, 8二) 2 (a,b)在f(x)=x2-mx的图象上， 则a2-ma=b,将(*)代入得到(2 x)2-m(2一x)=2-y,整理得 y=-x2+(4-m)x-2+2m,即 g(x）=-x2+(4-m)x-2+2m.由 于g(x)的图象与直线y=4x一6相 切，则联立方程组，得到一x2十(4 m)x一2十21=4x-6,整理得到 x2十m.x-4-2m=0,则△=m2 4(-4-2m)=0,即m2+8m+16= 0,解得m=一4.故选C. 聚焦学科素养 题目呈现 「13 35/ 解析：根据题意，由“局部奇函数”的定 1 义可知，若函数f(x)= x-3 十m是 (一2,2)上的“局部奇函数”，则方程 f(-x)=一f(x)在x∈(-2,2)上 有解，即--3十m=一x一3一m -6 有解，变形可得 x2-g=2m,即 -3 x2-9 =m在x∈(-2,2)上有解.设 -3 g(x）=xg∈（-2,2)，易知 g(x)为偶函数且在[0,2)上单调递增， 所以可得8)[号，》：所以 -3 x2-9 =m有部时m∈[合）： 素养检测(1，√2] 解析：根据题意得f(x)=log(x十 m),x∈[-1,1]，必有x十m>0在区 间[-1,1]上恒成立，故m>1.若 f(x)=log2(x十m)是[-1,1]上的 “1阶局部奇函数”，则f(一x)= -f(x)在区间[-1,1]上有解，即 log:(x十m)十log2(-x十m)=0在区 间[一1,1]上有解，变形可得x2 m2一1，若其在区间[一1,1]上有解，必 有0≤m2一1≤1，则有1≤m2, 又由m>1,则有1<m≤√2，即m的 取值范围为(1，W2]. 微专题一 函数性质的综合应用 典例1(1)[1,3] 解析：由函数f(x)是奇函数，可知 f(-1)=一f(1)=1,则-1≤f(x 2)1,即f(1)f(x-2)f(-1).又 f(x)在（一∞，十o∞）上单调递减，则 有-1≤x-2≤1，解得1≤x≤3. (2)B:对任意x1x2∈(0，十o), x1≠x2 f(x)-fx》>0函数 1一x2 ∫(x)在(0，十∞)上单调递增，又函数 f(x)为偶函数，f(x)在（一∞，0）上 单调递成又受 =log3=l0g√27< 1og7=1og√/49，-1<-0.8<0， fg7)>受)>f(-0.8),即 c<a<b.故选B. 对点训练1(1)（一3，一1）U(一1,1) 解析：当x>0时，f(x)=x2十log2x, 故其在(0，十∞)上单调递增.又因为函 数的定义域为{xx≠0}，f(一x)= (-x)+logz-z =z2+logzx= f(x),故其为偶函数，综上可得f(x) 在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞) 上单调递增，且图象关于y轴对称， f(x+1)-f(2)<0,即f(x+1) f2,所以x1<2-3< x十1≠0 x<1且x≠一1，即不等式的解集为 (-3,-1)U(-1,1). (2)(-1,1) 解析：由∫(x)为偶函数且在[0，十∞) 上单调递减，故f(x)在（一∞，0）上单 调递增，又f(1)=2,故当f(x)>2 时，可得x∈(-1,1)，又f(一x)= f(x),故f(x)十f(-x)>4等价于 f(x)>2,故x的取值范围为（一1,1）. 典例2(1)-2 解析：由题意知f(1十x)=f(1一x), (-x)=-f(x),即f(x+2)= -f(x),所以f(x十2)十2)= -f(x十2)=f(x),即f(x十4)= f(x),所以函数f(x)的周期为4，所以 f()=f(答-8)=() -f）=-g[(-6)x (）+] =-2 (2)BCD对于A,因为f(2x十2)为 奇函数，所以f(一2x十2)=一f(2x十 2),令t=2x,得f(-t十2)=-f(t十 2),则f(t)=-f(4-t),因为f(x 1)为偶函数，所以f(一x一1)= f(x-1),令x=m-5,得f(4 m)=f(m-6),所以f(x）= -f(x-6),所以f(x-6)= -f(x-12),故f(x)=f(x-12), 所以函数f(x)的周期为12，故A不正 确；对于B,因为g(x)的图象关于直线 x=2对称，所以g(2十x)=g(2一 x),所以g(x)=g(4一x),又g(x) 是奇函数，所以g(一x)=一g(x)= 一g(4-x),所以g(x)= 一g(4+ x)=g(x十8)，所以函数g(x)的周 期为8，故B正确；对于C,由A得 f(x)=-f(x-6),得f(x)= 一f(x十6)，令x=0,则f(0)= -f(6)=2,所以f(6)= 一2，因为 g(x)为R上的奇函数，所以g(0)= 0,则由g(x)=g(4一x),得g(4)= g(0)=0,所以f(18)十g(68)= f(12+6)+g(8×8+4)=f(6)+ g(4)=一2，故C正确；对于D,因为当 0≤x≤2时，g(x)=ln(x十1)，所以 当10≤x12时，0≤12一x≤2，所 以g(x）=g(x-8)=g(4-(x 8)=g(12-x)=ln(13-x),所以当 10x12时，g(x)=1n(13-x), 故D正确.故选BCD. 对点训练20)弓 解析：因为f(x)是定义域为R的奇函 数，所以f(-x)=一f(x).又f(1十 x)=f(-x),所以f(2+x)=f(1+ (1+x)=f(-(1+x))=-f(1+ x)=一f(一x)=f(x),所以函数f(x) 是以2为周期的周潮函数，（号） (停-2)=1(3)= (2)C因为函数f(x)定义域为R f(2x一1)为奇函数，所以f(2x 1)=一f(一2x-1),所以函数f(x) 的图象关于点（一1,0）中心对称，且 f(一1)=0.因为f(x一2)为偶函数， 所以f(x一2)=f(一x一2)，所以函 数f(x)的图象关于直线x=一2对 称，又因为f(x)=一f(-2一x) -f(-2+x)=-[-f(-4十x)],所 以函数f(x)的周期为4，因为当x∈ [0,1]时，f(x)=x1 一1，所以 f(2023)=f(4×506-1)= f(-1)=0,f(2024)=f(4×506)= f(0)=-1,所以f(2023) f(2024)=1.故选C. 典例3(1)ACD对于A,因为函数 f(x)为R上的偶函数，所以f(一1)= f(1)=-12十1=0，故A正确；对于 B,由题意可得，f(x一1)=一f(一x一 1),f(-x)=f(x),所以f((x-1) 1)=-f(-(x-1)-1)=-f(-x)= 一f(x),即f(x-2)=一f(x),所以 f((x-2)-2)=-f(x-2)= -[一f(x)]=f(x),所以f(x 4)=f(x),即函数f(x)的最小正周 期为4，故B错误：对于C,根据题意作 出该函数的图象如图所示，由图可知， 函数f(x)在（一4，一2）上单调递减， 故C正确： -210 2/345 对于D,因为函数f(x)为R上的偶函 数，x∈[0,1]时，f(x)=一x2+1, 所以x∈[-1,0]时，f(x)=一x2+ 1,又因为函数f(x)的最小正周期为 参考答案409 4,设x∈[3,4]，则(x-4)∈[-1,0]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x 4)2十1= -x2十8x一15，故D正确. 故选ACD. (2)BC函数y=f(x一1)的图象由 y=f(x)的图象向右平移1个单位长 度得到，且其对称轴为直线x=一2， 所以函数y=f(x)的图象的对称轴为 直线x=-3,即f(-3十x)=f(-3 x)或f(x)=f(-6-x),又f(x)十 f(一x)=6,所以函数f(x)的图象关 于点(0,3)对称，所以f(x)=6 f(-x)=6-f(-6+x)=6-[6 f(6-x)]=f(6-x)=f(-6-(6 x))=f(x-12),所以函数f(x)为 周期函数，且周期为12，故A错误；因 为f(x)=f(6一x),所以函数f(x) 的图象关于直线x=3对称，把函数图 象向左平移3个单位长度，得函数y f(x十3)的图象，该图象关于y轴对 称，所以f(x十3)为偶函数，故B正 确；f(2024)=f(168×12十8)= f(8)=f(6-8)=f(-2)=6 f(2)=6-5=1,故C正确；f(8) 1,f(11)=f(-1)=6-f(1)=6 4=2,f(8)<f(11),故D错误.故选 BC. 对点训练3(1)BCD因为f(x)为偶函 数，f(x一2)=一f(x),所以f(x 2)十f(x)=0,所以f(-2十x)十 f(-x)=0,所以∫(x)的图象关于点 (一1,0)对称，A错误；又f(x+ 4)=一f(x十2)=f(x),所以f(x+ 4)=f(x),B正确；因为f(x)在L0, 上是增通数，所以(） ()>)=() f().C正确：因为fx-2)+ f(x)=0→f(1)+f(3)=0,f(2)十 f(4)=0→f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)=0,所以∑f(n)=0,D正确. n=】 故选BCD (2)ACD因为f(x一1)为奇函数，所 以f(x一1)十f(-x一1)=0，根据图 象变换，则f(x)的图象关于点（一1， 0)中心对称，又因为f(x十1)为偶函 数，所以f(x十1)=f(一x十1)，根据 图象变换，则f(x)的图象关于直线 x=1对称，又当x∈[一1,1]时， f(x)=1一x,将函数f(x)图象的 对称中心（一1,0）和对称轴直线x=1 进行多次变换可得到如图所示的 图象， 由图象可知，函数f(x)是周期为8的 周期函数，所以函数f(x)图象的对称 轴为直线x=4k十1(k∈Z),对称中 心为(4k一1,0)(k∈Z).对于A, f(2025)=f(1)=0,故A正确：对于 B,当x∈[2,4]时，由图象可知f(x) 单调递减，故B错误；对于C,由图象 知，f(x)的图象的对称中心为(4k 410红对闪·讲与练·高三数学· 1,0)(k∈Z),当k=-1时，其对称中 心为（一5,0），又将函数f(x)的图象 往右平移5个单位长度可得f(x一5) 的图象，所以f(x一5)的图象的对称 中心为(0.0)，所以y=f(x-5)为奇 函数，故C正确；对于D,如图所示，因 为f(8)=f(0)=1,lg8<1g10=1, f(10)=1g10=1,又两函数图象均过 点(1,0)，再根据图象，可知函数y= f(x)与函数y=1gx的图象有5个交 点，故D正确.故选ACD. y=lgx O/136√/7911x =x) 2.4 二次函数 》回顾·必备知识《 知识梳理 4ac-b 2. Aa -∞， 4ac-b2 x = b Aa 2a 基础检测 1.(1)× (2)/(3)×(4)× 2.(分+） 1a>0,即 解析：由题意知么<0， /a>0, l1-20a<0 解得a>20 3.0或4 解析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 因为抛物线的对称轴为直线x=1,开 口向上，则其最大值只能在x=m一2 或x=m时取得，当x=m一2时，函 数取得最大值，则y=(m一2)2 2(m-2)-3=5,解得m=0或m= 6,当=0时，一2≤x≤0，此时函数 在x=一2处取得最大值5，符合题意； 当m=6时，4≤x≤6，此时函数在 x=6处取得最大值21，显然不合题 意，舍去.当x=m时，函数取得最大 值，则二次函数y=x一2x一3的最 大值为m2一2m一3=5，解得m=4或 m=一2，当m=4时，2≤x≤4，此时 函数在x=4处取得最大值5，符合题 意；当m=一2时，一4≤x≤-2，此时 函数在x=一4处取得最大值21，显然 不符合题意，舍去，综上所述，的值为 0或4. 4.(-0,-2] 解析：因为函数f(x)=x2一4ax-3 图象的对称轴为直线x=2a,图象开 口向上，所以函数在L2a,十o∞)上单调 递增，因为函数f(x)在区间（一4，十∞） 上单调递增，所以2a≤-4，解得a≤ -2, 5.ABD对于A,图象开口向上，故a> 0,对称轴方程为x=一2a =2,故b= 一4a<0,由于图象与y轴交于y轴负 半轴，故c<0,故abc>0,A正确；对 于B,由于图象与x轴的一个交点为 (1,0),故另一个交点为(5,0)，故当 x=1时，y=a十b十c<0,又c<0, 故a+b十2c<0,即a+2c<-b,B正 基础版 确；对于C,由于图象与x轴的一个交 点为(-1,0)，故a一b十c=0,又 b=-4a,故a十4a十c=0,即c= -5a,c-3a=-8a<0,C错误：对于 D,y=|a.x2十bx十c|的图象如下， 2 =7m -10 5 显然，直线y=m与y=ax2+bx十 c的图象的交点个数为2或3或4，D 正确.故选ABD. …》提升·关键能力《… 例1解：设f(x)=a.x2十br十c(a≠0)， /4a+2b+c=-1, 由题意得a一6士c=-1,解得 4ac-b2 =8, Aa a=-4, b=4,所以所求二次函数的解析 c=7, 式为f(x)=-4x2十4x十7. 对点训练1(1)f(x)=2x2-10x 解析：设f(x)=ax(x-5)(a>0), 5 其图象的对称轴为直线工二之，又 f(x)在区间[一1,4]上的最大值为 12,所以f(-1)=6a=12,解得a= 2,所以f(x)=2x(x-5)= 2x2-10x. 112 2f)=(+是)°+子 解析：因为f(x)的图象的对称轴为直 2,画数f(x)在R上的最小 线x=- 7 值为年，所以可设fx)=ax十 )+子a>≥0，将02)代入f 1）+2=2,解得a= 得a·(0十2）+4 112,7 1,故f(x)=(+2）+4 解析：由题图可得f(2)<0,即4十 m-3)×2+2m<0,解得m<2y .1 又f(0)=2m>0,所以0<m<2: 对点训练2A由题图知抛物线开口向 上，所以a>0,因为-么=1十2=3， C=1×2=2,所以b=-3a<0, c=2a>0,又对称轴为直线x=2: 3 剥f(受+z）=f(倍-)，所以A 错误，B,C正确；不等式(ax十b)(bx十 c)(cx十a)0可化为(ax-3a)(- 3ax十2a)(2ax十a)<0,即(x- 3)(3x-2)(2x十1)≥0，解得-2<0322对构·讲与练·高三数学·基础版 【对点训练5】(1)函数y=3与y=32的图象 () A关下直线：-子对称 1 B.关于直线x=2对称 C.关于直线x=1对称 D.关于直线x=2对称 规律总结 (2)已知函数g(x)的图象与f(x)=x2-m.x 有关两个函数的对称性问题的解题策略 的图象关于点(1,1)对称，且g(x)的图象与 (1)判断两个函数的图象是否是同一函数图象 直线y=4x一6相切，则实数m=() 变换得到. A.2 B.-1 (2)可以设点，再根据“中心对称”或“轴对称” C.-4 D.4 第 的对称规律进行求解即可· 章 聚焦学科素养。数学探究背景下的“局部奇（偶）函数”问题 若函数f(x)的定义域内存在实数x,满足 素养解读 一x也在定义域内，且f(一x)=一f(x),则称函 有关局部奇（偶）函数的问题的解题策略：根据 数f(x)为“局部奇函数”；满足f(一x)=f(x), 函数的奇偶性的特征，将其转化为相应方程在给定 则称函数∫(x)为“局部偶函数” 区间内有解的问题即可 【题目呈现】定义：对于函数f(x),若定义 域内存在实数x。,满足一x。也在定义域内，且 》素养检测《 f(一x)=一f(x。),则称f(x)为“局部奇函数”， 已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数 x,一x也在定义域内，使得∫（一x)= 若f(x)=3十mx∈（-2,2)是定义域内的 一k∫(x),其中k为正整数，则称函数y= “局部奇函数”，则实数m的取值范围是 f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”，若 学生试答： f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1阶局 部奇函数”，则实数m的取值范围是 》温馨提示 学习至此，请完成训练8 微专题一 函数性质的综合应用 命题角度1函数的单调性与奇偶性 (2)(2024·河北沧州高三联考)已知∫(x) 【典例1】(1)函数f(x)在(-∞，十∞)上单调 是偶函数，且对任意x1,x2∈(0，十∞)，x1≠ f(x1)-f(x2 递减，且为奇函数，若f(1)=一1，则满足 C2 x1一x2 2>0,设a=f()b 一1≤f(x一2)≤1的x的取值范围是 f(log37),c=f(-0.83),则 A,6<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 第二章 函数的概念与基本初等函数 033 幻学生试答： 规律总结 1.若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y f(x)的图象关于直线x=a对称，若y=f(十a) 是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 对称. 2.函数图象的对称与周期关系常见结论 ·规律总结 (1)若函数y=f(x)图象的两条对称轴方程分别 1.求解与奇、偶函数有关的不等式问题，要考虑 为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|; 奇、偶函数关于原点对称的定义域两侧的单调性，利 (2)若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为 用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间 点(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b; 上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相 (3)若函数y=f(x)图象的一条对称轴方程为 反，转化到同一单调区间上求解. x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期 2.求解与偶函数有关的不等式问题，为避免出 为T=4a-b. 现错误以及分类讨论，可利用偶函数的性质f(x) 【对点训练2】(1)(2021·全国甲卷文改编)设 第 f(一x)=f(|x|)将问题转化为偶函数在[0，十∞) f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)= 上的单调性求解。 【对点训练1】(1)已知函数f(x)=x2+logx, -x.若(）=3则(） 则不等式f(x十1)一f(2)<0的解集为 (2)(2024·山东济宁一模)设函数f(x)的定 义域为R,(2x一1)为奇函数，f(x一2)为偶 (2)已知定义在R上的偶函数f(x)在 函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x2一1，则 [0,+∞)上单调递减，且f(1)=2,则满足 ( f(x)十f(一x)>4的实数x的取值范围为 f(2023)-f(2024)= A.-1 B.0 命题角度2函数的奇偶性（对称性）与周期性 C.1 D.2 【典例2】(1)(2024·河北石家庄质量检测（二）) 命题角度3 函数的单调性、奇偶性与周期性的综 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1十 合问题 x)=f(1一x),当-1≤x<0时，f(x) 【典例3】(1)（多选题）定义在R上的偶函数 1og(-6x+2,则f得）的值为 f(x)满足f(x一1)的图象关于坐标原点对 称，且x∈[0,1]时，f(x)=-x2+1,则下列 (2)(多选题)已知函数f(x),g(x)的定义域 说法正确的有 ( 均为R,函数f(2x+2)为奇函数，f(x一1)为 A.f(-1)=0 偶函数，g(x)为奇函数，g(x)的图象关于直 B.f(x)的最小正周期为2 线x=2对称，则下列说法正确的是 ( C.f(.x)在(-4，一2)上单调递减 A.函数f(.x)的一个周期为6 B.函数g(x)的一个周期为8 D.x∈[3,4]时，f(x)=-x2+8.x-15 C.若f(0)=2,则f(18)+g(68)=-2 (2)(多选题)(2024·山东滨州高三期末)已知 D.若当0≤x≤2时，g(x)=ln(x+1),则当 函数y=∫(x一1)的图象关于直线x=一2对 10≤x≤12时，g(x)=ln(13-x) 称，且对Hx∈R,有f(x)+f(-x)=6.当 习学生试答： x∈(0,3]时，∫(x)=x十3，则下列说法正确 的是 () A.10是f(x)的周期 B.f(x十3)为偶函数 C.f(2024)=1 D.f(x)在[6,12]上单调递减 0342对构·讲与练·高三数学·基础版 学生试答： 【对点训练3】(1)（多选题）(2024·山东济南模 拟)定义在R上的偶函数∫(x)满足f(x 2)=-f(x),且f(.x)在0,1]上是增函数，则 () A.f(x)的图象关于直线x=一1对称 B.f(x+4)=f(x) c2)>》 D.3f)=0 规律总结 (2)(多选题)(2025·山东德州开学考试)设函 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单 数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x一1)为 调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对 奇函数，f(x十1)为偶函数，当x∈[-1,1] 第 称性. 时，f(x)=1-x|,则 () 章 (2)函数周期性与奇偶性的综合.此类问题多 A.f(2025)=0 考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将 B.f(x)在[2,4]上单调递增 所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义 C.y=f(x-5)为奇函数 域内求解 D.方程f(x)=lgx仅有5个不同实数解 (3)函数单调性、奇偶性与周期性的综合.解决 此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 》温馨提示 间，然后利用奇偶性和单调性求解. 学习至此，请完成训练9 2.4 二次函数 考试 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单 要求 问题. 回顾》必备知识 》知识梳理《 续表 定义域 R 1.二次函数解析式 一般式：f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)； 值域 顶点式：f(x)=a(x-h)2十k(a≠0)； 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 在（∞， 2.二次函数的图象和性质 2a 在（， 2a 上 单调性单调递减；在 b f(x)=a.x2十 f(x)=a.x2+ 解析式 2a 单调递增；在一2 bx+c(a0) bx+c(a<0) +∞ 上单调递增 上单调递减 图象 对称性 函数的图象关于直线 对称