2.1 函数的概念及其表示-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第二章 函数的概念与基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 考试 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.能根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列 要求 表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.3.了解简单的分段函数，并能简单应用 回顾>必备知识 第 》知识梳理《 》基础检测《 章 1.函数的概念 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 (1)函数的定义 “/”,错误的画“X” 般地，设A,B是 ,如果对于集 (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个 合A中的 ,按照某种确定的对应 函数 () 关系∫，在集合B中都有 和它 (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两 对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B 个函数是同一个函数 () 的一个函数，记作y=f(x),x∈A (3)函数f(x)的图象与直线x=1最多有一个 提醒直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图 交点. () 象有0个或1个交点. (4)若f(x)的定义域是[2,4]，则f(g(x)的 (2)函数的三要素 定义域也是[2,4]. ( 函数由 和对应关系三个要 2.(教材改编题)已知函数f(x)= 素构成.在函数y=(x),x∈A中， f(x-1),x>0, 范围（即数集A)称为函数的 则f(2025)= -ln(x+e)+2,x≤0， 的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域. 2.函数的表示法 3.(教材改编题)己知函数f(x)的定义域是（一1， 解析法 图象法 列表法 3),则函数y=f(x+1)-lg(x-1)的定义域 用解析式表示用图象表示两 列出表格来表 是 两个变量之间 个变量之间的 示两个变量之 的对应关系 对应关系 间的对应关系 4.(教材改编题)已知 1 十1则f(x)的 3.分段函数 解析式为 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取 5.(多选题)下列各组函数不是同一个函数的是 值区间，有着不同的 ,这样的函数叫 做 注意关于分段函数的3个注意点 A.f(x)=√2-4与g(x)=x-2.√x+2 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个 1,x≥0， 函数. (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是 C.f(x)=x十2与g(t)=下+2 各段值域的并集. (3)各段函数的定义域不可以相交. D.fa)=1与gx)=+1 x-1 第二章 函数的概念与基本初等函数 021 提升>≥关键能力 考点1函数的定义域 【对点训练1】(1)函数y= Ig x 的定义域为 /4-x2 3x2 【例1】 (1)函数f(x)= 十1g(3.x+1)的 √1-x (2)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[0， 定义域为 (2)已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1]，则 1],则y f(2x+1) 1og2(.x+1) 的定义域为 函数g(x)= f(2.x+1) x+2 的定义域为 考点2求函数的解析式 学生试答： 【例2】(1)已知函数f(.x)满足∫(2x+1)= 4x2+3,则f(x)= (2)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满 第 足f(f(.x)=16.x+5,则f(x)= (3)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈ 章 R均满足2f(x)-f(-x)=3.x十1，则f(x)= 学生试答 规律总结 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以 函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出 不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使 实际问题有意义. 几种常见函数的定义域： (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不 为零的实数集合 (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被 开方式非负的实数集合. 规律总结 (3)f(x)为对数式时，定义域为使真数为正数、 求函数解析式的常用方法 底数为正数且不为1的实数集合. (1)待定系数法，若已知函数的类型，可用待定 (4)若f(x)=x°，则定义域为{x|x≠0. 系数法。 (⑤)f(x)为指数式时，定义域为使底数大于0 (2)换元法，已知复合函数f(g(x)的解析式， 且不等于1的实数集合. 可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 2.求抽象函数定义域的方法 (3)配凑法，由已知条件f(g(x)=F(x),可 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复 将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代 合函数f(g(x)的定义域可由不等式a≤g(x)≤ g(x),得出f(x)的解析式. b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为[a,b], (④)构造法，已知关于f(x)与f(）或 则f(a)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. f(一x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外 3.定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若 个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集 【对点训练2】若f(x)满足2f(x)+f(-x)= 符号“U”连接. 3x,则f(x)= 022红对构·讲与练·高三数学·基础版 考点3分段函数 规律总结 命题角度1分段函数求值问题 已知函数值或函数值的取值范围求自变量的 【例3】(1)(2024·上海卷)已知函数f(x)= 值或取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合 Ex>0'则f(3)= 相应段的自变量的取值范围.尤其要注意，当分段函 1,x0, 数的自变量取值范围不确定时，应分类讨论 x2+6,x≤0， (2)已知函数f(x)= 2x-1,x>0, 【对点训练4】(1)设函数f(x)= f(x)=15,则x的值为 -x-1,x≤0， 则(4)= 若 学生试答： x,x>0, f(x)>1,则x。的取值范围是 x2-4x+6,x≥0， (2)设函数f(x)= 则不 x+6,x<0, 第 等式f(x)>f(1)的解集是 章 考点4求函数的值域 规律总结 【例5】 求下列函数的值域： 关于分段函数求值问题的解题思路 4x-2 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪 (1Dy= 2x+19 一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 (2)y=x十√2x-1; f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函 (3)y= x2+7x+10 x>-1). x+1 数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切 习学生试答： 记要代入检验， 【对点训练3】(1)已知函数f(x)= 1og2x,x>0, 3r,x≤0， 则() x2+1,x<1, (2)已知函数f(x)= 若 2x,x≥1， f(a)=10,则实数a的值是 命题角度2分段函数与方程、不等式问题 2,x<0, 【例4】(1)已知f(x)= 若 a+3x,x≥0， f(f(1))=f(-1),则实数a的值为 x2+2x,x≤0， (2)已知函数f(x)= 则不 ln(x+1),x>0, 等式f(x)≥0的解集为 学生试答： 第二章 函数的概念与基本初等函数 023 规律总结 【对点训练5】求下列函数的值域： 求值域的方法 2r-1 (1)y= (1)分离常数法或反解法，形如y= af(z)+b 2+1 cf(x)+d (2)y=2x+√1-x. (ac≠0，f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用 分离常数法或反解法（即用y表示f(x),然后借助 f(x)的取值范围求y的取值范围). (2)换元法，形如y=ax±b士√cx士d(ac≠ 0)的函数，通过换元将它们转化为有理函数，通过 求有理函数的值域间接求原函数的值域.若函数的 解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次 式，可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值 范围.对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的 函数，再用相应的方法求值域. (3)基本不等式法，先对解析式变形，使之具备 第 “一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出 值域. 章 (4)单调性法，先确定函数的单调性，再由单调 性求值域 聚焦学科素养。数学探究背景下的“同域函数”与“同族函数”问题 【题目呈现】(1)（多选题）对于函数f(x), 若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈ 》索养检测《 A}=A,则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为 1.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同， 但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”， 函数∫(x)的一个“同域区间”，下列四个函数中， 例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈ 存在“同域区间”的是 Af)=6a号 [一2，一1]就是“同族函数”.下列可用来构造 “同族函数”的有 () B.f(x)=x2-1 A.y=x|-2025 B.y=a C.f(x)=x2-11 x2-2025 C.y=x2-x D.y= D.f (x)=log2 (x -1) (2)若一系列函数的解析式和值域相同，但其 2.(2025·山东德州高三期中)如果一个函数的定 定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，请写出 义域与值域均为[m,n],则称该函数为[m,n] 上的“同域函数”，[m,n]称为“同域区间”.已知 一个与函数y=x2,x∈[0,2]为“同族函数”的函 数： 函数f(x)=√ax2-2√ax十b+1在区间[1,3] 学生试答： 上是“同域函数” (1)函数f(x)的解析式是 (2)若函数g(x)=k-f(x)- (k≥0)在 2 x≤0时存在“同域区间”，则实数的取值范围 是 》温馨提示 学习至此，请完成训练6)z+k)<0化为(z+号)厂<0， 所以2x2+(5+2k)x+5k<0的解集 为空集，不符合题意；当二k>-号，即 <时，得-<<-,所以 2x2十(5+2k)x+5k<0的解集为 (号k)因为不等式组 x2-x-2>0, 的解集中 12x2+(5+2k)x十5k<0 所含整数解只有一2，所以一2<一k≤ 3,解得一3≤k<2. 例7(-∞，-2]U(W3,十∞) 解析：原不等式可化为一(x十1)a十 x2十x-2>0,令g(a)=-(x十 1)a+z 十x-2,由题知g(a)>0对 Va∈(0,1]恒成立，则有 g(0)=x +x-2≥0'得 g(1)=x2-3>0, x≥1或x -2, 解得x≤一2 x>或x<-, 或工>√，所以x的取值范固是 (-∞，-2]U(W3,+∞). 对点训练7(-∞，1)U(3,十∞) 解析：x2十(a-4)x十4-2a=(x- 2)a十x2-4x十4，令g(a)=(x 2)a十x2-4x十4，故只需 g(-1)>0, g(1)>0, {厂(x-2)+x2-4x+4>0. x-2十x2-4x十4>0， x2-5x十6>0解得x<1或 x2-3x+2>0, x>3. 例8 解析：当x∈(0,2]时，不等式可化为 3a ax十30<2.当a=0时，不等式为 0<2,满足题意；当a>0时，不等式化 为十3< 2 2 ,则2>x十 3 ≥ 2=2，当仅= 时取等号，要使x十 2<2 3 有解，只 >(+2）即可，即名 min 2,a< 号，故0 3:当a <0 2> 在(0,2]上恒成立.综 a 上所述，实数a的取值范围是 () 对点训练8（一o,6) 解析：由题意，mx2-mx一1<5-1， 即m(x2-x十1)<6，由x2-x十1= (-）)+是>0，则原不等式可转 化为存在x∈[1,3]，使m< 2十成立，因为画教y 6 6 6 ·在[1， x2-x+1 .3 3]上的最大值为6，所以只需m<6即 可，故m的取值范围是(-∞，6). …聚焦学科素养 题目呈现解：令f(x)=x2十(m 3)x十m. (1)若方程x2十(m-3)x十m=0有 1△=(1-3)2-4m≥0， 两个正根，则{3一m>0, m>0, 解得0<m1. (2)若方程x2+(m-3)x十m=0的 一个根大于1，一个根小于1，则 f(1)=2m-2<0,解得m<1. (3)若方程x2+(m-3)x十m=0的 一个根在(-2,0)内，另一个根在(0， 1f(-2)=-m+10>0, 4)内，则f(0)=m<0, f(4)=5m+4>0, 4 解得-5<m<0. (4)若方程x2十(m-3)x十m=0的 一个根小于2，一个根大于4，则 f(2)=3m-2<0解得m<-5 4 lf(4)=5m十40， (5)若方程x2十(m-3)x十m=0的 两个根都在(0,2)内，则 「f(2)=3m-2>0, f(0)=m>0, 10<- m-3 <2, 2 4=(m-3)2-4m≥0， 解得号<m<1. 素养检测解：(1)设函数f(x)=x2+ 2mx十2m十1，其图象与x轴交点的横 坐标分别在区间（一1,0）和(1,2)内， 画出示意图（如图1），得 f(0)=2m十1<0， f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m十5>0， m<-2' m∈R, 5 1. <m< 1 m<- 2， 6 2“ 5 m 61 4 1012x 图1 图2 (2)根据抛物线与x轴交点的横坐标 在区间(0,1)内（如图2），列不等式组， f(0)>0, 得f1)>0, 4≥0， 0<-m<1, m>1 .m>- 1 2, m≥1+√2或m≤1-√2， -1<m<0, 1 .一2 <m≤1-√2. 第二章 函数的概念与 基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域值域自变量的取值 定义域函数值 3.对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 2.1 解析：因为f(x)= f(x-1),x>0, {-ln(x十e)十2，x≤0， 所以f(2025)=f(2024)=f(2023)= f(2022)=…=f(0)=-1n(0+e)+ 2=-1+2=1,所以f(2025)=1. 3.(1,2) 解析：因为函数f(x)的定义域是 (一1,3)，所以由题意可得 -1<x十1<3，解得1<x<2. x-1>0, 4.f(x)= +行x≠0且x≠-1) 解：因为/（）-令= 1 x 则t≠0，且t≠一1，x= 1 ，所以 f(t)= 111t十1(t≠0且t干 -1D,所以fx)=x千x≠0且 x≠-1). 5.ABD对于A,由x2一4≥0，得x -2或x≥2，所以f(x)的定义域为 (-∞，-2]U[2,十∞)，由 红-2≥0得x≥2，所以g(x)的定 x+2≥0， 义域为[2，十∞)，所以两函数的定义 域不相同，所以两函数不是同一个函 数，故A符合题意；对于B,f(x)的定 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，g(x)的 定义域为【，所以两函数的定义域不相 同，所以两函数不是同一个函数，故 B符合题意；对于C,f(x)的定义域为 R,g(t)的定义域为R,g(t)=√F+ 2=t十2，所以两函数的定义域相同， 对应关系也相同，所以这两个函数是 同一个函数，故C不符合题意：对于D, f(x)的定义域为（一o∞，1）U(1, 十∞)，g(x)的定义域为R,所以两函 数的定义域不相同，所以两函数不是同 一个函数，故D符合题意.故选ABD. 参考答案403 …》提升·关键能力《 例1a(名) 1-x>0,解得 解析：根据题意知3x十1>0， x<1, 1 x>- ,即-3<x<1心函数 31 1)的定又城为（子） 2[号-U(-2.o 解析：，f(x)的定义域为[-8,1]， 01长1得得-号< 工≤0，且x≠2，g(x)的定义域为 「9， -2,-2)U(-2,0]. 对点训练1(1)(0,2) 解析：由密得任0.解得0< x<2,故定义域为(0,2). (2)(-1,0) 解析：由题意知0≤x≤1，.一1≤ -1≤2x十1≤1， 2x-1≤1，.x十1>0， 解 x十1≠1， 得-1<x<0. 例2(1)x2-2x十4 t-1 解析：令t=2x十1，则x= 2 所以)=4(2 ）十3=t2-2t+ 4,故f(x)=x2-2x+4. (2)4x+1 解析：：f(x)为单调递增的一次函 数，∴.设f(x)=ax十b(a>0),故 f(f(x))=a(ax+b)+b=a'x+ 6+6=16r+5位心6解号 a=4, a=-4, 6=11 b=-5(不合题意，舍 3 去)，因此f(x)=4x十1. (3)x+1 解析：由2f(x)一f(-x)=3x十1，可 得2f(-x)-f(x)=-3.x十1①， 又4f(x)-2f(-x)=6x十2②，①+ ②得3f(x)=3x十3，解得∫(x)= x十1， 对点训练23x 解析：因为2f(x)十f(-x)=3.x①， 所以将x用-x替换，得2f(-x)十 f(x)=-3x②，由①②得f(x)=3.x. 例3(1)√ 解析：因为f(x)= √丘，x>0,所以 1,x0, f(3)=√3. (2)8或一3 解析：当x0时，由f(x)=15,得 x2十6=15，解得x=-3或x=3 (舍去).当x>0时，由f(x)=15,得 2x-1=15,解得x=8.综上，x=8 或x=-3. 对点训练3(1) 1 解析：函数f(x)= flog,>0, 3,x≤0， 404红对构·讲与练·高三数学· f(）=log=-2. fr((4)）=f-2)=3=日 (2)5或-3 解析：若a<1,则f(a)=a2+1=10, ∴.a=-3(a=3舍去)；若a≥1，则 f(a)=2a=10,∴.a=5.综上，可得 a=5或a=-3. 例41》-号或-4 解析：由题意，f(1)=a+3,f(-1)= 2,即f(a+3)=2当a十3≥0，即 a≥-3时，f(a十3)=a十3(a十3)= ,解得a= 1 17 4a+9= ,满足题 意；当a十3<0，即a<-3时，f(a十 ,解得a=一4，满足题 1 3)=2+3= 意.所以a=一8 或a=一4. (2)(-∞，-2]U[0,十∞) 解析：因为f(x) z2+2xx≤0，则不等式f(x)≥ ln(x+1),x>0, |x0, 0等价于+2x≥0或 {x>0, ln(x十1)≥0，解得x≤-2或x=0 或x>0,所以不等式的解集为 (-o∞，-2]U[0,+∞). 对点训练4(1)2(-∞，-2)U(1,+∞) 解析：由题可知f(4)=√4=2.若 f(xo)>1,则{r。≤0， x。-1>1或 江。≥0，解得x。<-2或x。之1， √>1， 即若f(x。)>1,则x。的取值范围是 (-0∞，-2)U(1,十0∞). (2)(-3,1)U(3,十∞) 解析：因为f(x)= x2-4x十6，x≥0·所以f1)= lx+6,x<0, 1-4+6=3,不等式f(x)>f(1)等 价于≥0， x2-4x十6>3 x<0,。解 3或x+6之3， 得0≤x<1或x>3或-3<x 0,所以不等式f(x)>f(1)的解集为 (-3,1)U(3,+∞) 4红一2的定义域为 例5解：1)函数y=2x十1 {≠}因为y= 4x-2 4 红十2一42二2，所以值域为 2x+1 {yy≠2. (2)解法1函数y=x十√2x-I的 、定义域为「2，∞令 2t≥0，则x=十1 2,所以 1+4=号+1'4≥0. 2 2 1 因为函数y=2:十1)在区间 [0,+o∞)上单调递增，所以y∈ 「1 基础版 解法2函数y=x十√2x一1的定 义域为 [合十)小：因为函数y x十√/2x-I在区间 2,+∞)上单 1 调递增，所以函数y=x十√2x-1 的值域为 1 2,+∞) (3)设t=x十1，由x>-1,可得t> 0,且x=t-1, 故y=+7x十10 x十1 (t-1)2+7(t-1)+10 =t+4+5, t t .4 因为≥4所以t大 +5≥9， 当且仅当t=2,即x=1时，等号 成立 所以函数y= x2+7x+10 x>-1) x+1 的值域为[9，十∞). 对点训练5解：(1)y= 2一1=1 2+1 2十定义域为R 2 1 当x∈R时，2+1>1,2+∈(0， 2 1D,-2中7∈（←2,0，所以y=1- 2十7∈（←1,1).故值域为(-1,1). 2 (2)函数定义域为(-∞，1].令t √1-x,则t≥0且x=1-t2.此时 y=21-+4=-2-号） 号当：=时y取到最大值号故 函数值域为(，] 聚焦学科素养… 题目呈现(1)ABCA项，f(x)= cos受，当x∈[0.时，fx)∈[0， 1],所以该函数存在“同域区间”：B项， f(x)=x2-1,当x∈[-1,0]时， f(x)∈[-1,0]，所以该函数存在“同 域区间”：C项，f(x)=x2一1，当 x∈[0,1]时，f(x)∈[0,1]，所以该 函数存在“同域区间”；D项，f(x)= l0g2(x一1)，判断该函数是否存在“同 域区间”，即判断该函数的图象和函数 y=工的图象是否有两个交点，根据这 两个函数的图象特征可知，这两个函 数图象不存在交点，所以该函数不存 在“同域区间”.故选ABC. (2)y=x2,x∈[-2,1]（答案不唯一） 解析：函数y=x2,x∈[0,2]的值域 为[0,4]，因此其“同族函数”的函数解 析式可以是y=x2,x∈[-2，t](0≤ t≤2)，也可以是y=x2,x∈[m,2] (一2≤m<0)中的任意一个， 素养检测1.ACD函数y=x一 2025与y= x2-2025 是偶函数， x 所以可构造“同族函数”，函数y=x立 在定义域[0，十∞)上为增函数，不能 构造“同族函数”，函数y=x 一x, ∈，]与数y=-x 21的值城相同，所以是“同族函 1 数”.故选ACD. 1 3 2.1)f(x)=2x-x+含 (2)0,1-2) 2 解析：(1)易知a≠0，因为f(x)= Vax'-2ax+b+1=a(x-1)2- √a十b十1，所以函数f(x)=√ax2 2√ax十b十1在[1,3]上单调递增，又 函教是“同城品数，得)二1即 f(3)=3, f1)=反-2a十b+1=1,解得 f(3)=9√a-6a+b+1=3, 1 a= '所以x) 1 3 1 2x-x+2 b2' (2)由(1)得g(x)=k一 1 6√2x-1)'-2(k≥0)，所以 g(x)在（一∞，0]上单调递增，设[c, d]是函数g(x)的“同域区间”，得 g(c)=c, g(d)=d, k一 1 即 2c2-c=c, 得x2-2(2k d-d-d. k一N21 1)x十2k2=0在(-∞，0]上的根为c 和d,则满足 4=[-2(2k-1)]-4X2k2>0, c十d=2(2k-1)<0, c·d=2k2≥0， k≥0， 即 >1+ 或k<1-2 2” 解得 k≥0， 0≤k<1- 2 2.2函数的单调性与最值 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2)单调递增单 调递增f(x1)>f(x2)单调递减 单调递减上升的下降的 (2)单调递增单调递减区间I 2.f(x)<M f(x)=M f(x)>M f(x)=M 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.(3,十∞) 解析：，函数y=∫(x)在R上是增函 数，且f(2m)>f(-m十9)，∴.由函数 单调性的定义可知2m>-m十9，解得 m>3,.实数m的取值范围是 (3,十∞). 3.(-1,2),(5,十0∞)(-∞，-1)， (2,5) 解析：y=一x2十4x十5= -x2+4x+5,x∈[-1,5]， x2-4x-5,x∈(-∞，-1)U (5,十0∞)， 画出函数图象如图： 9 -1025x 可得单调递增区间为（一1,2）， (5,十∞)，单调递减区间为（一∞， -1),(2,5). 4.B因为y= 1 z-在区间[2,3]上单 调递浅，所以=3子=子故 1 选B. 5.BC对于A,函数f(x)=一x在定义 域R上单调递减，A不符合题意：对于 B,函数f(x)=x2在(0，十∞)上单调 递增，B符合题意；对于C,函数 f(x)=3x在定义域R上单调递增，C 特合题高：对于D画教)=上在 (0,十○)上单调递减，D不符合题意， 故选BC. …》提升·关键能力《… 例1(1)D解法1（图象法）如图，在 坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项 中函数的大致图象，即可快速直观判 断D符合题意.故选D. y ,y=x2 y=x y x y=-x 解法2（排除法）取x1=一1，x2 0,对于A,f(x1)=1,f(x2)=0,所 以A不符合题意；对于B,f(x1)= 3 ，f(x2)=1,所以B不符合题意；对 于C,f(x1)=1,f(x2)=0,所以C不 符合题意.故选D (2)1,2] x-2x,x≥2， 解析：f(x)=仁x2+2x,x<2, 画 出f(x)的大致图象（如图所示），由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2. 对点训练1(1)C对于A,函数的定义域 为(-oo,0)U(0,+oo),f(-1)=-1, f(1)=1,f(-1)<f(1),所以f(x) 不是减函数，故A不正确；对于B, f(x)= 1一x江≤1函数图象如图， x-1,x>1, y 3 -2-101234x 所以函数f(x)=|1一x|不是减函 数，故B不正确：对于C,f(x)=1一2 的定义域为R,因为y=2是增函数， 所以y=一2是减函数，所以∫(x)= 1一2是减函数，故C正确：对于D,函 数∫(x)=log2(x一1)的定义域为 (1,十∞)，令t=x-1,因为t=x 1是增函数，y=log2t是增函数，所以 f(x)=1og2(x-1)在(1，十∞)上是 增函数，故D不正确.故选C (2)(-∞，-1]和[0,1 解析：f(x)= -x2+2x+1x≥0台 -x2-2x+1,x<0 f(x)= 1-(x-1)2+2,x≥0， 画 {-(x十1)2十2，x<0. 出函数图象如图所示，可知函数f(x) 的单调递增区间为（一∞，一1]和 [0,1]. 3 3-2-10123x 例2证明：设x1,x2是区间（一∞，0）上 的任意两个实数，且x1<x2,则 f(x1)- fx)=（2x1-1） x17 (2x,- ）=2-+( x1<x2<0,所以x1-x2<0,2十 1 ->0,因此f(x1)一f(x2)<0, x1x 即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞， 0)上是增函数. 对点训练2证明：设x1,x2是区间 [-1,十∞)上的任意两个实数，且 x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x+ 4x1-(2x号十4x2)=2(x1十 x2)(x1-x2)十4(x1-x2)=2(x1- x2)(x1十x2十2)， 因为一1≤x1<x2,所以x1一x2< 0,x1十x2十2>0， 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)=2x2十4x在区间 [-1,十∞)上是增函数， 例3(1)(-1,1) 解析：由函数有意义得一x2十2x十 3>0,解得一1<x<3.函数 y=一x2十2x十3图象的对称轴为直 线x=1,.y=-x十2x十3在(-1， 1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 参考答案405