5.2 平面向量基本定理及坐标表示-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第五章 平面向量、复数 109 所以点P,A1,B,三点共线，即点P在平行于 AB的直线A1B1上. A片别 B(子别 (特别地，当k=1时，点P在直线AB上，当 c(别 n(方》 k=0时，OP=入OA-λOB=入BA,即点P在过点 学生试答： O且与直线AB平行的直线上) 综上，点P在直线AB上或者在平行于AB的 直线上 等和线有如下6个性质： (1)当等和线A,B,恰为直线AB时，k=1. (2)当等和线A,B,在点O和直线AB之间 素养解读 时，k∈(0,1). 注意等和线定理的形式，解题时一般要先找到 (3)当直线AB在点O和等和线A1B,之间 =1时的等和线，以此来求其他的等和线. 时，k∈(1，+∞). (4)当等和线A1B1过点O时，k=0. 》素养检测《 (5)若两等和线关于点O对称，则它们对应的 如图，△BCD与△ABC的面积 定值k互为相反数。 之比为2，点P是区域ABDC内 (6)定值k与点O到等和线的距离有关， 的任一点（含边界），且AP I &-OA:_OB 入AB十AC,则入十4的取值范 OA OB 围是 【题目呈现】如图，OM∥ A.[0,1] B.[0,2] AB,点P在由射线OM、线段 C.[0,3] D.(0,3) OB及AB的延长线围成的阴影M 区域内（不含边界），且OP= )温馨提示 xOA十yOB,则实数对(x,y)可以是 学习至此，请完成训练29 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 考试 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向 要求 量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件 回顾》必备知识 》知识梳理《 (2)平面向量的坐标运算 1.平面向量基本定理 ①平面向量线性运算的坐标表示 第 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那 假设平面上两个向量a,b满足a=(x1y1),b= 章 么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 我们把{e1, (x2y2),则a士b= ,入a= 实数入1，入2，使 e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 (入∈R),ua士b= (u, v∈R) 2.平面向量的正交分解及坐标运算 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两 ②向量模的坐标计算公式 个 的向量，叫做把向量作 若向量a=(xy),则|a= 110构·讲与练·高三数学·基础版 ③向量坐标的求法 (2)若a,b不共线，且入1a十以1b=入2a十42b,则 a.若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为 入1=入241=42 () 向量的坐标 (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后， b.设A(x1y1),B(x2y2), 平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一 则AB= 表示。 () |AB|= (4)若a=(x1y1),b=(x2y2),则a∥b的充 ④平面向量共线的坐标表示 设a=(x1y1),b=(x2y2),其中b≠0，则a∥ 要条件是= () x2 y2 b台9x1y2-x2y1=0. 2.(教材改编题)已知点A(一1,1)，B(1,2),C(一2， 3.平面向量基本定理的推论 1),D(3,4),则2AB+CD= (1)设a=入1e1十入2e2,b=入3e1十入4e2(入1，入2， 3.(教材改编题)已知a=(x,一1)，b=(2,1),若 入3，入4∈R),且e1,e2不共线，若a=b,则入1=入 (a-2b)∥b,则x= 且入2=入4 (2)若a与b不共线，且Aa十b=0,则入=4=0. 4.(教材改编题)如图，已知□ABCD的三个顶点 A,B,C的坐标分别是(-2,1)，(-1,3)，(3,4)， ○常用结论与知识拓展 已知△ABC的顶点A(x1y1),B(x2y2),C(x3, 则顶点D的坐标为 y),则线段AB的中点坐标为（十，当十y 2 B △ABC的重心坐标为 x1+x2+xgy1+y2十y3 3 4 》基础检测《 -2-101234 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 5.(多选题)（教材改编题）已知向量OA=(1,2), “√”，错误的画“X” OB=(2,3),OC=(m+2,3-m),若点A,B,C (1)平面内的任何一个向量都可以由同一平面 能构成三角形，则实数m可以是 内的任意两个向量表示。 A.0 B.1 C.-1 D.-2 提升>关键能力 规律总结 考点1平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算 【例1】(1)已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若 常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向 4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为 线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过 程中，常利用“向量相等，坐标相同”这一原则，通过 (2)己知a=(1,-3),b=(t,1),若(a十b)∥ 列方程（组）进行求解. (2a-b),则t= 五 【对点训练1】(1)已知向量a=(1,2),b=(2, 学生试答： -2),c=(1,入).若c∥(2a+b),则入= (2)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一 点，且A(1,1),C(2,3),1BC|=2AC|,则向 量OB的坐标是 第五章平面向量、复数 111 考点2平面向量基本定理及应用 A.x-y的最小值为一1 命题角度1平面向量基本定理 Bx+y的最大值为1+令 【例2】（多选题)已知向量a=(1,一2)，若存在实 数入，以，使得a=入e1十e2,则e1,e2可以是 C.x+2y的最小值为2 ( D.x+2y的最大值为) A.e1=(1,1),e2=(2,2) B.e1=(0,0),e2=(-2,4) 学生试答： C.e1=(1,1),e2=(1,2) D.e1=(-1,2),e2=(2,-4) 学生试答： 规律总结· 平面向量线性运算中的“系数”的“和、差、积、 商、平方和”等问题的解题策略：①逐个求解法，即 规律总结 根据平面向量基本定理，将向量通过不同的途径用 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利 已知基底表示出来，建立相应的二元一次方程组，通 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减 过解方程组，把系数分别求出来，进而求得结果； 或数乘运算， ②整体代入法，观察题目提供的向量表达式的系数 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是 和所求“系数”的基本特征，运用“整体代入”思想， 先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示 整体求解；③坐标法，通过坐标，将系数用相应坐标 成向量的形式，再通过向量的运算来解决， 表示出来，借助函数或基本不等式进行求解. 【对点训练2】（多选题）已知e1,e2是平面内所 【对点训练3】(1)已知单位向量OA,OB满足 有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作 OA.OB=0.若点C在∠AOB内，且∠AOC= 为基底的一个是 ( 60°，O元=mOA+nOi(m,n∈R),则= A.e1+e2和e1-2e2 B.2e1-e2和2e2-4e1 (2)(2024·北京顺义区模拟)已知边长为4的 C.e1-2e2和e1 正方形ABCD,点P在正方形内（含边界），满 D.e1十e2和2e2十e1 足AP=xAB十AD,若点P在线段BD上，则 命题角度2平面向量线性运算中的“系数”问题 x2十2y2的最小值为 第 【例3】（多选题）(2024·重庆沙坪坝区模拟)已 章 知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中 》温馨提示 点，动点P满足AP=xAB+yAC,有x十y≥ 学习至此，请完成训练30 1,且PD=1,则3}耐+号成 解析：如图，O元=OA+AC=OA+ 号店=成+号0-成)= +诚 A 4.C对于A,因为向量OBO心的起点 为O,而向量AO的起，点为A,所以A错 误；对于B,因为相反向量是方向相反， 长度相等的向量，而向量OB,OC,AO 方向两两都不相反，所以B错误；对于 C,向量OB,OC,AO的模均为圆O的 半径，所以C正确：对于D,因为相等向 量是方向相同，长度相等的向量，而向 量Oi,O心，A0方向不同，所以D错误. 故选C. 5.CD如图，对于A,BC=AC-AB,故 A错误；对于B,CD=CA+AD=CA+ 号-耐+号成-耐)=i+ 号，数B错溪：对于C,店 2AC)=是(+号) 号访+心，故C正确：对于D. AC=A店+B元=3Di+BC=3(C第 C元)-C第=2C-3C元，故D正确.故 选CD. …》提升·关键能力《… 例1(1)ABD对于A,B,因为a=0, 所以a=0且与任意向量平行，所以 a∥b,故A,B正确；对于C,若b=0, 由a∥b,b∥c得不出a∥c,故C错 误；对于D,因为a=b,b=c,所以 a=c,故D正确.故选ABD. 对点训练1A方，D元 解析：，四边形ABCD和ABDE都是 平行四边形，∴AB∥ED,AB=ED, AB∥DC,AB=DC,.AB=ED, AB=DC.∴ED=DC.故与向量ED 相等的向量为AB,DC 例2BD如图，连D 接AC,对于A,D, 因为在正方形 ABCD中，E为 AB的中点，F为 CE的中点，所以 A京= 应).花-成市花-成，所 以A市=是(A店+A市+2A) 444红对构·讲与练·高三数学· 子+}市，故A错误，D正璃：对 于B,A市+C市=A京+F2=A龙= 号，故B正璃：财于C号十 Ai=A它+Ai=EB+BC=E元，故C 错误.故选BD. 对点训练2B对于A,由题意得D为 BE的中点，所以A市=+证， 故A正确：对于B,A它=AC+C克 A心+成-花+子-ò) 号店+号花，故B错送：对于C,取 DE的中点G,连接AG(图略)，由 BC=6,D,E是BC的三等分点得G是 BC的中，点，且DE=2,所以AD· 应-（花-）·（花十 成)-脑成：=，所以 A衣=5，A店A心=(AG-B心 (d+2)-恋-}胶=5 9=一4，故C正确；对于D,由G是BC 的中，点得AB+AC=2AG,两边平方得 AB2+2AB.AC+AC2=4AG,所以 AB+AC=20十8=28，故D正确. 故选B. 例3 3 解析：花=市+成=子市， :市=号A花A市=2（丽十 市)=号(+号C)=合店十 是花又市=w疗+衣m 3 2n=星 对点训练3A由题意，知=吉矿 号+=成+号×成= 号成+花-)=-十 合记，又A=AA访+花，所以 6A= 选A. 解析：因为c与d共线，所以A(2入十 》-1=0,解得及=-1或2=分若 入=-1，则c=-a十b,d=a-b,所 以d=一c,所以c与d方向相反，故舍 1 去：若入=7，则c20十bd=a中 2b,所以d=2c,所以c与d方向相同， 故入=合为所求 基础版 对点训练42 解析：由e1,e2是两个不共线的单位向 量，a=e1-e2,b=-2e1十ke2,a与 b共线，可设b=ta,即一2e1十ke2= 公0圆长二二解得k=2 例52 解析：由题意DB=CCD=一e1十 2e2,且AB=e1-ke2,因为A,B,D三 点共线，所以存在实数入，使得DB= λAB,所以-e1+2e2=入(e1-ke2), 中仁.部特长=2 对点训练5证明：由题意可得 市==（合+花） 5 号i+ad. 因为AM=AA言，AN=AC, 所以AB= 是i花=， 所以A户= + 由M,P,N三点共线，可得 1 1,即+ 1 =5(定值). 聚焦学科素养 ””“””““” 题目呈现B 由OM∥AB,设AB= AOM,且λ>0，故OP=xOA+yOB= x (OB-AB)+yOB =(x+y)OB- 0,由题因可知仁及>因为 A>0,所以口y>0故A,C错误： x<0, x=1 5’ 当 7 时，x十y>1,点P在 y=5 AB的右上方，不满足题意，故D错误. 故选B. 素养检测C过点D作BC的平行线，延 长AC,AB分别交该平行线于点C', B(困略)因为32.所以9 CC ，所以AC 1 AC=3.又点P是区战 ABDC内的任一点（含边界），所以当，点 P位于点D时，入十H取得最大值，为3， 当点P位于点A时，入十以取得最小值， 为0，所以入十4的取值范围是[0,3]. 故选C. 5.2平面向量基本定理 及坐标表示 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.a=入1e1十入2e2基底 2.(1)互相垂直正交分解 (2)①(x1士x2y1士y2) (λx1,入y1) （ux1士Ux2uy1士Uy2） ②√x+y ③(x2-x1y2-y1) W√(x2-x1)十(y2-y1) 基础检测 1.(1)× (2)/ (3)/ (4)× 2.(9,7) 解析：依题意得AB=(2,1),Ci=(5. 5),所以2AB+CD=2(2,1)十(5， 5)=(9,7). 3.-2 解析：依题意a一2b=(x一4，一3)，又 (a一2b)∥b,所以x-4十6=0，解得 x=-2. 4.(2,2) 解析：设顶点D的坐标为(x,y).因为 AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2), D心=(3-x,4-y),又A言=D元，所 以(1,2)=(3-x,4-y),即 (1=3 2=4-y, 解得 江=2·所以顶点D =2. 的坐标为(2,2). 5.BCD 因为0A=(1,2).0B=(2,3), O元=(m+2,3-m),则AB =(1,1), BC=(m,一m),若点A,B,C能构成 三角形，即A,B,C不共线，则AB,BC 不共线，可得一m≠，即m≠0，结合 选项可知A错误，B,C,D正确.故 选BCD …》提升·关键能力《… 例1(1)(4，-6) 解析：向量a=(1,一3)，b=(一2,4)， 若4a+(3b一2a)+c=0,则c= -4a-(3b-2a)=-2a-3b= -2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). (2)- 1 3 解析：a=(1,一3)，b=(t,1),则a十 b=(1十t,-2),2a-b=(2-t, -7),由(a+b)∥(2a-b),得-7(1十 t)+2(2-t)=0,解得t=一3 1 对点训练1①号 解析：由题可得2a十b=(4,2),c∥ (2a+b),c=(1,λ)，.4入一2=0，即 i- 1 2 (2)(4,7) 解析：由点C是线段AB上一点，且 BC|=2AC|,得BC=-2AC.设 点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1, 2),即 2-x=一2，解得 =4所 3-y y= 以向量OB的坐标是(4,7). 例2BCD 对于A,由a=入e1十e2,得 (1,-2)=1(1,1)+4(2,2),所以 /1=λ 十；无解，所以不存在实 1-2=λ十2μ， 数入，，使得a=Ae1十e2,所以A错 误；对于B,由a=Ae1十e2,得(1， -2)=1(0,0)十4(-2,4)，所以 /1= 2以·解得 \-2 =4 解得4三一之·入∈R,所 以存在实数入，使得a=Ae1十e2, 所以B正确；对于C,由a=Ae1十e2, 得(1，-2)=1(1,1)+u(1,2),所以 1=入 解得 -2=λ十2μ， 。所以 存在实数入，，使得a=Ae1十e2,所 以C正确；对于D,由a=Ae1十ue2,得 (1,-2)=入(-1,2)十(2，-4)，所以 1=一入十24”此方程组有无数个 -2=2λ-4p, 解，所以存在实数入，，使得a=入e1十 He2,所以D正确.故选BCD. 对点训练2ACD因为2e2-4e1= -2(2e1-e2),所以2e1-e2和2e2 4e1共线，B不能作为基底；设e1十 e?=A(e1-2e2)=Ae1-2ae2,则 已a无，战。和如 不共线，A能作为基底；同理可知e1一 2e2和e1不共线，e1十e2和2e2十e1也 不共线，C,D均能作为基底.故 选ACD. 例3ABD以点D为原点，边BC所在直 线为x轴建立平面直角坐标系（如图 所示)，则D(0,0),A(0,3),B(一1， 0),C(1,0). 因为PD=1,所以，点P在以D(0,0) 为圆心、1为半径的圆上，设P(cos日， sin0),其中0∈(0,2r],则AP=(cos0, sin6-3),AB=(-1,-3),AC= (1,-),又因为AP=xAB+yAC, cos8=-x十y, 所以 sin0-√5=-√3x-√3y, x一y= -c0s8, 即 +y=- 3sin0+1, 1 3 x= 2 -sin 0- 解得 6 2c0s0, 15 1 y=2-6 sin 0+2cos0, 又因为x十y≥1，所以sin0≤0，即 π≤9≤2π.对于A,因为π≤日≤2π， 所以-1≤cos9≤1，则x一y= -c0s0≥一1，即x一y的最小值为 一1，即A正确；对于B,因为π≤0≤ 2π，所以一1sin80,则x十y= 19m9≤1+9甲十y的最大 位为1-怎即B三确：对于CD,国为 1 sin cos 0. 且元≤0≤2π，所以x十2y=2 5 复m0+as?=o(g+） 是，因为≤0≤2x,所以智≤0+ 晋<行所以-是<o0+吾）< 1,所以1≤x+2y≤号，即x十2y的 最小值为1，莱大值为，即C错误，D 正确.故选ABD, 对点训练3（1) 3 解析：解法1由题意得OA⊥O店，以 O为原点，OA,OB的方向分别为x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系（图 略)，则0A=(1,0),OB=(0,1), O元=(m,n),又∠AOC=60°，则 n m =tan60°=，即”=5 n 3 解法2设O心=r(r≠0)，则O心= +0i=n+0im, ,则” ER→m三2m二5 n √3 3 解析：建立平面直 角坐标系如图所 示，根据题意可得， A(0,0),B(4,0) C(4,4),D(0,4), 设P(m,n),则m, n∈[0,4]，因为 A A户=xAB+ yAD,所以(m,n)=x(4,0)十y(0, 4),所以m=4x·易知线段BD方程 n=4y, 为x十y=4,x∈[0,4]，因为点P在 线段BD上，所以m+n=4,所以m十 n=4x+4y=4,即x+y=1,x∈ [0,1],y∈[0,1]，则x2十2y2=x2+ 2(1-x)2=3x2-4x十2= 3(- 2)2 3 )=号时取 最小货，为 5.3 平面向量的数量积 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)夹角 (2)反向垂直 (3)a|川bcos0数量积 a·b= a b cos 2.(1)投影投影向量(2)a cos e 3.(1)ac0s0(2)a·b=0 (3)a11b1-ab|1a12 a·a(4)a|b 4.(1)b·a(2)a·(入b) (3)a·c十b·c 5.(1)x1x2十y1ygxi十y1 Wx+y(2)x1x2十y1y2=0 (3)√xi+yi√x十y (4) x1x2十y1yg Wx十y√x+y 考教衔接 D因为b⊥(b一4a),所以b·(b 4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+ x2-4x=0,故x=2.故选D. 参考答案445