1.5 一元二次方程、不等式-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第一章集合、常用逻辑用语与不等式015 ·规律总结 公司所要支付的总费用最少？最少费用为 基本不等式的实际应用问题的解题技巧 多少？ (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利 用基本不等式求得函数的最值 (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围， (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 第 取不到，可利用函数的单调性求解， 章 【对点训练5】已知快递公司要从A地往B地送 货，A,B两地的距离为100km,按交通法规， A,B两地之间的公路车速x(单位：km/h)应 限制在60~120（含端点值），假设汽车的燃油 费用为(2+需)元，可机的工资为0元小 (设汽车匀速行驶)，燃油费用与司机工资都由 快递公司承担. (1)试建立行车总费用y(单位：元)关于车速 》温馨提示 x(单位：km/h)的函数解析式. 学习至此，请完成训练4 (2)若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递 1.5 一元二次方程、不等式 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数.2.能借助二次函数求 考试 要求 解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系 回顾 必备知识 》知识梳理《 续表 判别式 1.一元二次不等式 4>0 4=0 40 △=b2-4ac 般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数 ax2+bx+c≥ 的最高次数是2的不等式，称为一元二次不 x 0(a>0)的解集 2a R 等式 2.三个“二次”间的关系 ax2+bx+c< 判别式 0(a>0)的解集 4>0 A=0 △<0 △=b2-4ac 注意当A<0时，不等式a.x2+bx十c>0(a≠ 2 二次函数y= y O)的解集是R还是☑，要注意区别. ax?bx +c 3.分式不等式与整式不等式 (a>0)的图象 Ox=2天 0 Dr>0(<0)台f(x)g(x)>0(<0. 有两个相等的 g(x) 方程a.x2+bx+ 有两个不相等 c=0(a>0) 的实数根x1, 实数根x1 没有实数根 g≥0（≤0）台fx)g)≥0（≤0）且 (2)f(x) 的根 x2(x1<x2) x2= 2a g(x)≠0. 016红对构·讲与练·高三数学·基础版 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 2(长材改篇题)不等式子≤1的解集是 (-∞，-a)U(a,十∞)；|x<a(a>0)的 解集为(-a,a).记忆口诀：大于取两边，小于取 3.(教材改编题)已知集合A={x|x2-x-6< 中间. 0},集合B={x|川x-2<2},则A∩ B= 第 》基础检测《 4.(教材改编题)若关于x的不等式x2-a.x一a> 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 章 0的解集为（一∞，+∞），则实数a的取值范围 “/”,错误的画“X” 是 ；若关于x的不等式x2一ax (1)若方程a.x2十bx十c=0无实数根，则不等式 a≤一3的解集不是空集，则实数a的取值范围 ax2+bx十c>0的解集为R. 是 (2)若一元二次不等式a.x2+bx+c>0的解集 5.(多选题)若“x2+3x一4<0”是“x2一(2k+ 为(x1x2),则a<0. 3)x十k2+3k>0”的充分不必要条件，则实数 (3)若a.x2+bx+c>0恒成立，则a>0且△= k可以是 b2-4ac<0. A.-8 B.-5 4)不等式二方≥6等价T:-ar-b≥0 C.1 D.4 提升>关键能力 考点1一元二次不等式的解法 规律总结 解一元二次不等式的一般方法和步骤 命题角度1不含参数的一元二次不等式的解法 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的 【例1】解下列不等式： 标准形式. (1)-3.x2+6x≤2； (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判 (2)9x2-6.x+1>0: 断方程有没有实根（无实根时，不等式的解集为R (3)x2<6x-10 或心). (4)-1<x2+2x-1≤2. (3)求：若有实根，求出对应的一元二次方程的根. 学生试答： (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不 等式的解集. 【对点训练1】不等式一x2十2.x十3<0的解集 为 命题角度2已知一元二次不等式的解集确定参 数或相关不等式的解集 【例2】已知关于x的二次不等式x2一ax十3≤ 0的解集为[1,3]，则不等式x2-3x一a>0的 解集为 幻学生试答： 第一章集合、常用逻辑用语与不等式017 ,规律总结 【对点训练3】解关于x的不等式x2一(a+ 已知一元二次不等式的解集确定参数或 a2)x+a3>0(a∈R). 相关不等式解集的方法 (1)代入法，不等式解集的“端点”即为相应二 次方程的两个根，代入方程即可求得参数或相关不 等式的解集 (2)整体法，即根据根与系数的关系，通过“整 第 体变形”得出参数或相关不等式的解集。 章 【对点训练2】已知关于x的不等式a.x2+bx十 c>0(a≠0)的解集是{.x|一1<x<2),则 不等式cx2+bx+a<0的解集是 命题角度3含参数的一元二次不等式的解法 【例3】解关于x的不等式a.x2-2≥2x-a.x (a∈R). 幻学生试答： 考点2一元二次不等式恒（能）成立问题 命题角度1 在R上的恒成立问题 【例4】已知关于x的不等式kx2一6kx十k十8≥ 0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 习学生试答： 规律总结 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件 要结合其对应的函数图象决定。 (1)不等式a.x2十bx十c>0对任意实数x恒 a=b=0, 成立台《 /a>0, 或 规律总结 0 △<0. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (2)不等式a.x2+bx十c<0对任意实数x恒 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小 成立台 a=b=0,a<0, 或 于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式 4<0. 或二次项系数为正的一元二次不等式. 【对点训练4】当x∈R时，不等式kx2一kx十 (2)判断一元二次不等式所对应的方程实数根 1>0恒成立，则k的取值范围是 的个数，即讨论判别式△与0的关系 命题角度2 在给定区间上的恒成立问题 (3)确定方程无实数根或有两个相同实数根 【例5】设a∈R,若当1≤x≤2时，关于x的不 时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实数根 等式x2-a.x十1≥0恒成立，则实数a的取值 时，要讨论两实数根的大小关系，从而确定解集， 范围是 018亿对构·讲与练·高三数学·基础版 学生试答： 规律总结 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元 第 的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变 规律总结 章 在给定区间上的恒成立问题，常可用分离参数 量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的 的方法转化为函数值域问题，很多时候都可以减少 是转化为一次函数f(x)=a.x十b(a≠0)在[m,n] 不必要的讨论，其中f(x)≤a恒成立台a≥ f(m)>0, 上恒成立问题，若f(.x)>0恒成立台 即直 f()max,f(x)≥a恒成立台a≤f(x)min… f(n)>0, 线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知， 【对点训练5】函数f(.x)=x-4√x+m,当0≤ 两点之间的所有点的函数值均大于零，同理，若 x≤9时，f(x)≥1恒成立，则实数m的取值 f(m)<0, 范围为 f(x)<0恒成立曰 f(n)0. 命题角度3有关一元二次不等式整数解的问题 【例6】若关于x的不等式x2-(2a十1)x十 【对点训练7】对任意的a∈[-1,1]，x2十(a 2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是 4)x十4一2a>0恒成立，则x的取值范围是 学生试答： 命题角度5 不等式能成立或有解问题 【例8】已知关于x的不等式ax2-2x十3a<0 在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是 习学生试答： ·规律总结 解有关一元二次不等式整数解的问题的关键 是弄清整数解到底是哪几个整数，再根据这几个整 数解确定相应一元二次方程的根的分布情况，从而 确定参数的范围· 规律总结 【对点训练6】若不等式组 一元二次不等式在给定区间上的有解间题，常 x2-x-2>0, 的解集中所含整 用分离参数的方法，通过分离参数后利用：a> 2.x2+(5+2k)x+5k<0 f(x)在区间[m,n]上有解，则a>f(x)mim,a< 数解只有一2，则k的取值范围是 f(x)在区间[m,n]上有解，则a<f(x)mx(对于 命题角度4 给定参数范围的恒成立问题 a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)，有时也转化为 【例7】若不等式x2十x-a>a.x十2对Ha∈(0， 求解最值问题 1]恒成立，则实数x的取值范围是 学生试答： 【对点训练8】已知函数f(x)=m.x2-m.x一1， 若存在x∈[1,3]，使f(x)<5一m成立，则 实数的取值范围为 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 019 聚焦)学科素养。数学应用背景下的“一元二次方程根的分布”问题 一 元二次方程根的分布一般要考虑以下 (4)一个根小于2，一个根大于4； 几点： (5)两个根都在(0,2)内. (1)对应二次函数图象的开口方向。 幻学生试答： (2)一元二次方程的根的判别式. 第 -------------------------------------- (3)对应二次函数图象的对称轴与区间的 章 关系. (4)对应二次函数在区间端点处函数值的 符号. 只要能准确把握以上四点，这类问题就能够 顺利解决。 设函数(x)=a.x2+bx十c=0(a≠0).一 元二次方程根的分布情况如下表： 两根都在 两根有且仅有一 一根在(m,n)内， 分布情况 (,n)内 根在(m,n)内另一根在(p,g)内 大致图象 (a>0) o f(m)>0, 》素养检测《 △≥0， fm)<0:或 已知关于x的方程x2+2m.x十2m十1=0. 得出的 f(m)>0, f(p)<0, f(m)f(n)0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（一1,0） 结论 f(n)>0, f(g)>0 内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围； m<-a<n f(m)f(n)<0. (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值 f(p)f(g)<0 范围 大致图象 (a<0) o mk np f(m)0, A≥0， f(n)>0, 或 得出的 f(m)<0, f(p)>0. f(m)f(n)0 结论 f(n)0, f(q)<0 m< b 0 <n f(m)f(n)<0 f(p)f(q)<0 【题目呈现】 已知关于x的方程x2+(m一 3)x十m=0.分别求满足下列条件的m的取值 范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1： 》温馨提示 (3)一个根在(-2,0)内，另一个根在(0， 学习至此，请完成训练5 4)内：,即m=6时，等号成立，所以 8-m m+ m一8的最大值为4. 4 (2)2 8 解析：由题意可知a十2a十=a十 1 2 4 1 1 a十2 2 2a号x4-12 a十2 1 且仅当a十= 4 3 ,即a= a十2 8 时，等号成立，所以a十2a十的最小 7 值为2 例3(1)22+2 解析：因为a,b为正实数且a十b=3, 么+2a+26 所以b十60 b十 a b a 22+2≥2。 b.2g+2=22+2. ·b 当且收李名-会即a=8E- b=3(2-√2)时，等号成立，所以么十 方的最小值为22十2 (2)16 解析：因为a>b≥0，所以a十b>0, a-b>0,又2a+b= 吕a+6)+ 2(a-b,则2a+b= 1 「3 L2(a+b)+ a-b)16 1 2 ]a+6+。=6 ）=10+ 3(a-b)3(a+b) a十b a-6≥10+ B(a=b).3(a于=16，当且仅 2n a+b a-b 当3(a-b)=3a+b) a十b &-6,即a=8,6 0时，等号成立，所以2a十b的最小值 为16. 对点训练3(1)6 解析：：正数x,y满足x十2y=3, (1+ y 1 y (10+2V5)=÷×0中 8)=6,当且仅当16y=二，即x x y 4y=2时取等号，则xy x+8y 8≤日米最大值为行 1 .十 (2)16 解析：因为a十b十c=1,a,b,c>0,所 以1 9 =[a+6+c)(1+ 9 ）=10+6+c+9a -≥10+ a b+c 9a b+c =16,当且仅当 b十c= ,即a= a b+c 4b+c=3 4 时取等号，所以 十6是的小值 为16. 例49 解析：因为a,b为正数，所以ab=2a十 1 b+3≥22a·2b+3=2√ab中 3当且权当2a=b时取等号，所以 (ab)-2√ab-3≥0，所以 (√ab-3)(√ab+1)≥0，所以 √ab≥3或√Jab≤-1（舍去），所以 3 ab≥9，当且仅当a=2b=6时，等 号成立，所以ab的最小值为9. 对点训练4(1)BC由x2十y2-xy= 1得，(x十y)2-1=3xy≤ 3(2),解得-2≤x十y≤2，当 且仅当x=y=-1时，x十y=-2, 当且仅当x=y=1时，x十y=2,故 A错误，B正确；由x2十y2一xy=1 得，(x)1xy≤？2，解 得x2十y2≤2，当且仅当x=y=士1 时取等号，故C正确；当工=5，y 3y 时满足等式，但是x2十y≥1不 3 成立，故D错误.故选BC. (2)12 解析：因为ab=a十2b十6，所以a· 2b=2(a+2b)+12,因为a>0,b> 0,所以a·2b≤ ,所以 2(a+2b)+12≤ (a+2b)2-8(a+2b)-48=(a+2b 12)(a十2b十4)≥0.所以a十2b≥12 或a十2b≤-4(a>0,b>0,故舍去)， 故a十2b的最小值为12，当且仅当a= 2b=6时，等号成立. 例5解：(1)由题意可得A=6000,B= 120,C=2500,所以年存储成本费 T(x)=60x+1500000 当x=300时，T(300)=60×300十 15000000 300 =68000. 所以该化工厂每次订购300吨甲醇时， 年存储成本费为68000元. (2)因为年存储成本费T(x)=60x十 15000000 ,x>0, x 所以T(x)>≥2，√60x×1500000 60000, 当且仅当60x=15000000 即x= 500时取等号」 所以每次订购500吨甲醇，可使该化工厂 年存储成本费最少，最少费用为60000元 对点训练5解：(1)由车速为xkm/h,知 行驶时间为100，依题意可得y 7x+70）=74+1120 4 x x∈[60,120]. (2)y= z10≥2 /7x,11200 4 x 280.当且仅当号=120，即x=80 时取等号，所以以80km/h的车速行 驶，快递公司所要支付的总费用最少， 最少费用为280元. 1.5 元二次方程、不等式 》回顾·必备知识《… 知识梳理 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1 x<x2}☑0 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.{xx<-1或x≥1} +1s1得2 2 解析：由 +1-1≤0，即 2-≤0，得二1 x十1≥0，得x 1=0或(x-1)(x十1)>0，得x=1 或x-1或x>1,即x<-1或x 1,所以原不等式的解集为{xx<-1 或x≥1. 3.{x0x3} 解析：由x2-x一6<0，即(x 3)(x十2)<0，解得-2<x<3,所以 A={xx2-x-6<0}=x-2< x<3}.由x-21<2,即-2<x 22,解得0<x<4,所以B={x x-2<2}={x0<x<4},所 以A∩B={x|0<x<3. 4.(-4,0)(-∞，-6]U[2,十∞) 解析：不等式x2一ax一a>0的解集 为(-∞，十0∞)，则(-a)2-4X (-a)<0,解得-4<a<0;不等式 x2一ax-a≤-3的解集不是空集，即 x2-a.x-a十3≤0有解，故(-a)2 4(-a+3)=a2+4a-12≥0，解得 a≥2或a-6. 5.ACD由x2+3x-4<0,解得-4< x<1,由x2-(2k十3)x+k2+3k> 0,得(x-k)[x一(k十3)]>0，解得 x<k或x>k十3.由题意知(-4,1) (-∞，k)U(k十3，十∞)，所以k≥1 或k十3-4，即k∈(-∞，一7]U [1,十∞).故选ACD. 》提升·关键能力《 例1解：(1)原不等式等价于3x”-6x十 2≥0.：4=12>0，.方程3x2 6x十2=0有两个不相等的实数根，解 3-3 得x1= 一，画出函 3 ,x2=3+ 3 数y=3x2-6x十2的大致图象，如图 1所示，由图可得原不等式的解集为 参考答案401 女<35或x≥3士姬 0 3 图1 图2 (2).△=0，.方程9x2-6.x+1=0 有两个相等的实数根，解得x1=x?= 子，画出函数y=9x”一6x十1的大致 图象，如图2所示，由图可得原不等式 11 的解集为xx≠3}： (3)原不等式可化为x2-6x+10<0, △=-4<0，.方程x2-6x十 10=0无实数根，画出函数y=x 6x十10的大致图象，如图3所示，由图 可得原不等式的解集为必. 03x 图3 )原不等式等价于仁十红二1之， 即任290@ 由①得x(x十2)>0，所以x<-2或 x>0. 由②得(x十3)(x一1)≤0，所以 一3x1. 画出数轴，如图4所示， -3-2-101x 图4 可得原不等式的解集为{x一3≤ x<-2或0<x≤1}. 对点训练1（一∞，一1）U(3,十∞) 解析：由-x2十2x+3<0,得x 2x-3>0,即(x+1)(x-3)>0,解 得x<一1或x>3,故原不等式的解 集为(-∞，-1)U(3,十∞). 例2{x|x<-1或x>4 解析：由题意可知x2一a.x十3=0的两 根分别为x1=1,x2=3,由根与系数 的关系可得a=4,所以不等式x2 3x-a>0即为x2-3x-4>0,即 (x一4)(x十1)>0，解得x<-1或 x>4,所以原不等式的解集为{x x<-1或x>4}. 对点训练2{x -1<x<2 1 解析：因为ax2十bx十c>0(a≠0)的 解集是{x一1<x<2},所以一1,2 是方程ax2十br十c=0的两实数根， 且a<0,由根与系数的关系，得 -1+2= b a所以 b=一a,所 -1×2= c lc =-2a, 以不等式cx2+bx十a0台一2ax2 ax十a<0,即2x2十x-1<0,解得 402红对闪·讲与练·高三数学· -1<x≤号：所以不等式cx”十b虹中 a<0的解集为女-1<x<》: 例3解：原不等式可化为ax2十(a 2)x-2≥0，即(ax-2)(x十1)≥0. ①当a=0时，原不等式化为x十1≤ 0,解得x≤-1. ②当a>0时，原不等式化为(x 2)(红+D≥0，解得x≥ 或 -1. ③当a<0时，原不等式化为(x一 2)x+1D≤0 当21，即a<2时，解得-13 x≤ 当2=-1，即a=-2时，解得x=一1； a 当2<-1，即-2<a<0时，解得 2≤x≤-1： 综上所述，当a=0时，不等式的解集 为{xx≤-1}： 当a>0时，不等式的解集为 {<-1或x≥名}： a 当一2<a<0时，不等式的解集为 {z2≤x≤-1： 当a=一2时，不等式的解集为{一1； 当a<一2时，不等式的解集为 21≤x≤/. 对点训练3解：将不等式x2一(a+ a)x十a>0变形为(x-a)(x a)>0. 当a<0时，a<a2,∴.原不等式的解 集为{xx<a或x>a2; 当a=0时，a=a2=0,.原不等式的 解集为{xx≠0； 当0<a<1时，a>a,∴.原不等式的 解集为{x|x<a2或x>a: 当a=1时，a=a2=1,.原不等式的 解集为{x|x≠1； 当a>1时，a<a2,∴.原不等式的解 集为{xx<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等 式的解集为{xx<a或x>a2}; 当a=0时，原不等式的解集为{x x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为 {xx<a2或x>a; 当a=1时，原不等式的解集为{x x≠1}. 例4「0,1] 解析：当k=0时，不等式kx2一6kx十 k十8≥0可化为8≥0，符合题意，当 卡0时，要满足关于x的不等式 kx2一6kx十k十8≥0对任意x∈R恒 k>0, 成立，只需{△=36k-4k(h+8)≤0， 基础版 解得0<k≤1.综上所述，k的取值范 围是[0,1]. 对点训练4[0,4) 解析：当k=0时，不等式为1>0，恒成 立，当k≠0时，若原不等式恒成立，则 k>0, 4=k2-4h<0,解得0<k<4.综 上所述，k∈[0,4). 例5(-∞，2] 解析：因为1x≤2，关于x的不等式 x2-a.x十1≥0恒成立，所以x-a十 ≥0恒成立，故a≤x十恒成五 令z)=x十1x∈1,2]，故a≤ f(x)m即可，而x+L x 2,2×王=2当且仅当x=1,即 x=1时取等号，故∫(x)min=2,即 a≤2. 对点训练5[5，十∞) 解析：令t=√元，则由0≤x≤9，得 t∈[0,3].由题意，设g(t)=t2-4t十 m≥1在[0,3]上恒成立，故有 g(t)m≥1，g(t)=t2-4t十m,函数 图象开口向上，对称轴为直线t=2, 2∈[0,3]，所以g(t)m=g(2)= -4十≥1，解得m≥5，即实数m的 取值范围是[5，十∞). 6o1<或<a≤ 解析：令x2-(2a十1)x十2a=0,解得 x=1或x=2a.当2a>1,即a>2 时，不等式x2-(2a+1)x+2a<0的 解集为{x1<x<2a,则3<2a≤ 4每得 <a≤2：当2a=1,即a= 2时，不等式z2-(2a+1)x十2a< 1 0无解，所以a=之不特合题意：当 2a<1,即a<2时，不等式x2 (2a+1)x+2a0的解集为{x2a x<1},则-2≤2a<-1,解得-1≤ 1 a<- 之综上，a的取值范围是 {1≤a<-子号<a<2小 对点训练6[-3,2) 解析：由x2一x一2>0，得(x 2)(x+1)>0,得x<-1或x>2,所 以x2一x一2>0的解集为(-∞， -1)U(2,+∞).由2x2+(5+ 2)x+5k<0,得(x+号）z+k)< 0,当-k<- 含即> 5 时，得 2,所以2x2+(5+ 5 一k<x<一 2)x十5k<0的解集为(-6，-号)】： 此解集中不含一2，不符合题意；当 -=号申长=号时，(2中 )z+k)<0化为(z+号)厂<0， 所以2x2+(5+2k)x+5k<0的解集 为空集，不符合题意；当二k>-号，即 <时，得-<<-,所以 2x2十(5+2k)x+5k<0的解集为 (号k)因为不等式组 x2-x-2>0, 的解集中 12x2+(5+2k)x十5k<0 所含整数解只有一2，所以一2<一k≤ 3,解得一3≤k<2. 例7(-∞，-2]U(W3,十∞) 解析：原不等式可化为一(x十1)a十 x2十x-2>0,令g(a)=-(x十 1)a+z 十x-2,由题知g(a)>0对 Va∈(0,1]恒成立，则有 g(0)=x +x-2≥0'得 g(1)=x2-3>0, x≥1或x -2, 解得x≤一2 x>或x<-, 或工>√，所以x的取值范固是 (-∞，-2]U(W3,+∞). 对点训练7(-∞，1)U(3,十∞) 解析：x2十(a-4)x十4-2a=(x- 2)a十x2-4x十4，令g(a)=(x 2)a十x2-4x十4，故只需 g(-1)>0, g(1)>0, {厂(x-2)+x2-4x+4>0. x-2十x2-4x十4>0， x2-5x十6>0解得x<1或 x2-3x+2>0, x>3. 例8 解析：当x∈(0,2]时，不等式可化为 3a ax十30<2.当a=0时，不等式为 0<2,满足题意；当a>0时，不等式化 为十3< 2 2 ,则2>x十 3 ≥ 2=2，当仅= 时取等号，要使x十 2<2 3 有解，只 >(+2）即可，即名 min 2,a< 号，故0 3:当a <0 2> 在(0,2]上恒成立.综 a 上所述，实数a的取值范围是 () 对点训练8（一o,6) 解析：由题意，mx2-mx一1<5-1， 即m(x2-x十1)<6，由x2-x十1= (-）)+是>0，则原不等式可转 化为存在x∈[1,3]，使m< 2十成立，因为画教y 6 6 6 ·在[1， x2-x+1 .3 3]上的最大值为6，所以只需m<6即 可，故m的取值范围是(-∞，6). …聚焦学科素养 题目呈现解：令f(x)=x2十(m 3)x十m. (1)若方程x2十(m-3)x十m=0有 1△=(1-3)2-4m≥0， 两个正根，则{3一m>0, m>0, 解得0<m1. (2)若方程x2+(m-3)x十m=0的 一个根大于1，一个根小于1，则 f(1)=2m-2<0,解得m<1. (3)若方程x2+(m-3)x十m=0的 一个根在(-2,0)内，另一个根在(0， 1f(-2)=-m+10>0, 4)内，则f(0)=m<0, f(4)=5m+4>0, 4 解得-5<m<0. (4)若方程x2十(m-3)x十m=0的 一个根小于2，一个根大于4，则 f(2)=3m-2<0解得m<-5 4 lf(4)=5m十40， (5)若方程x2十(m-3)x十m=0的 两个根都在(0,2)内，则 「f(2)=3m-2>0, f(0)=m>0, 10<- m-3 <2, 2 4=(m-3)2-4m≥0， 解得号<m<1. 素养检测解：(1)设函数f(x)=x2+ 2mx十2m十1，其图象与x轴交点的横 坐标分别在区间（一1,0）和(1,2)内， 画出示意图（如图1），得 f(0)=2m十1<0， f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m十5>0， m<-2' m∈R, 5 1. <m< 1 m<- 2， 6 2“ 5 m 61 4 1012x 图1 图2 (2)根据抛物线与x轴交点的横坐标 在区间(0,1)内（如图2），列不等式组， f(0)>0, 得f1)>0, 4≥0， 0<-m<1, m>1 .m>- 1 2, m≥1+√2或m≤1-√2， -1<m<0, 1 .一2 <m≤1-√2. 第二章 函数的概念与 基本初等函数 2.1 函数的概念及其表示 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域值域自变量的取值 定义域函数值 3.对应关系 分段函数 基础检测 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 2.1 解析：因为f(x)= f(x-1),x>0, {-ln(x十e)十2，x≤0， 所以f(2025)=f(2024)=f(2023)= f(2022)=…=f(0)=-1n(0+e)+ 2=-1+2=1,所以f(2025)=1. 3.(1,2) 解析：因为函数f(x)的定义域是 (一1,3)，所以由题意可得 -1<x十1<3，解得1<x<2. x-1>0, 4.f(x)= +行x≠0且x≠-1) 解：因为/（）-令= 1 x 则t≠0，且t≠一1，x= 1 ，所以 f(t)= 111t十1(t≠0且t干 -1D,所以fx)=x千x≠0且 x≠-1). 5.ABD对于A,由x2一4≥0，得x -2或x≥2，所以f(x)的定义域为 (-∞，-2]U[2,十∞)，由 红-2≥0得x≥2，所以g(x)的定 x+2≥0， 义域为[2，十∞)，所以两函数的定义 域不相同，所以两函数不是同一个函 数，故A符合题意；对于B,f(x)的定 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，g(x)的 定义域为【，所以两函数的定义域不相 同，所以两函数不是同一个函数，故 B符合题意；对于C,f(x)的定义域为 R,g(t)的定义域为R,g(t)=√F+ 2=t十2，所以两函数的定义域相同， 对应关系也相同，所以这两个函数是 同一个函数，故C不符合题意：对于D, f(x)的定义域为（一o∞，1）U(1, 十∞)，g(x)的定义域为R,所以两函 数的定义域不相同，所以两函数不是同 一个函数，故D符合题意.故选ABD. 参考答案403