1.3 等式性质与不等式性质-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

2号 解析：因为对Hx∈R,3x2-2√2x+ a≥0，所以△=(2√2)2-12a≤0，解 得a≥ 了，所以实数a的最小值是 对点训练5(1)(-∞，0] 解析：命题“3x∈[1,4]，日十x>4” 是假命题，即命题“1x∈[1,4们，日十 x4”是真命题，也即a≤一x2十4x 在[1,4]上恒成立，令f(x)=-x2十 4x=-(x-2)2+4,因为x∈[1,4]， 所以当x=4时函数取最小值，即 f(x)mim=f(4)=0,所以a≤0，故a 的取值范围是（一∞，0]. (2)BCD V∈[1,3]，x2-a≤0，则 a≥x2对Hx∈[1,3]都成立，又x2 9,所以a≥9，观察选项可得命题 “廿x∈[1,3]x一a≤0”是真命题的充 分不必要条件可以是B,C,D.故选BCD 聚焦学科素养… 题目呈现(1)A因为1×3>0,1十3≠ 2,又四个命题三真一假，故甲、乙必有 一个是假，由甲为假易知，符合题意， 由乙为假推出矛盾.故选A. (2)乙 解析：四人供词中，乙、丁意见一致，或 同真或同假，若同真，即丙是罪犯，而 四人有两人说的是真话，甲、丙说的是 假话，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之 中”是假话，即乙、丙、丁不是罪犯，相 互矛盾：若同假，即不是丙偷的，则甲、 丙说的是真话，甲说：“罪犯在乙、丙、 丁三人之中”，丙说：“甲、乙两人中有 一人是罪犯”是真话，可知罪犯是乙， 素养检测1.丙 解析：由题意可知甲和丙互相矛盾，故 两个命题必然一真一假；又因为只有 一个假命题，所以乙和丁都为真命题： 根据乙和丁可知I=(a,十oo)日 (1,十∞)，故丙为假命题. 2.甲、丙或甲、乙 解析：，“甲预测说：我不会获奖，丙获 奖”，而“丙预测说：甲的预测是对的”， ·甲和丙的预测要么同时与结果相 符，要么同时与结果不符，若甲和丙的 预测同时与结果相符，则获奖者为乙、 丙或丙、丁，丁或乙中有一人的预测也 与结果相符，这与“四人的预测中有两 人的预测与结果相符，另外两人的预 测与结果不符”相矛盾.若甲和丙的预 测同时与结果不符，则乙、丁的预测成 立，，甲获奖，丁不获奖：丙获奖，乙不 获奖或乙获奖，丙不获奖，即获奖的两 人为甲、丙或甲、乙 1.3 等式性质与不等式性质 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)①> ②=③< (2)①>②=③ 2.(1)b=a(2)a=c(3)a±c=b± c（4)ac=c(5)&=b 3.b<a b>aa>c a<c ac> bc ac <bc a+c>b+d ac>bd 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.M>N 解析：.M-N=(2x2+7x+6) (x+1)(x十4)=(2x2+7x十6) (x2+5x+4)=x2+2x+2=(x+ 1)2+1>0,∴.M>N. 3.12(答案不唯一) 解析：因为命题“若a,b,均为正数， 则士m<么”是真命题，所以 'a十m a a b十m= (b-a)m>0,因为a,b,m a十ma(a十m) 均为正数，所以0a<b,不妨取a= 1,b=2.(答案不唯一) 4.(-7,12) 解析：-3<b<5,.一6<2b< 10,又-1<a2,.-7<a+2b 12. 5.ABD对于A,a>b>0,c<0, .b-a<0,ab>0,C 一b k-ac=cba>0,即÷>6， c ab ab 故A正确：对于B,a>b>0,c<0, ∴ac<bc,故B正确；对于C,取a=2, b=1,c=-3,则a=2<b-c=4, 故C错误；对于D,,a>b>0,c<0, .b-a<0,.a(b-c)-b(a-c)= ab-ac-ab+bc =c(b-a)>, a(b-c)>b(a-c),故D正确.故 选ABD. …》提升·关键能力《… 例1解：①最低限速50km/h,v≥50： ②限制质量10t,M10; ③限制高度3.5m,h≤3.5； ④限制宽度3m,x3; ⑤通行时间7：30一10：00,7.5 t≤10. 对点训练1解：设购买A型汽车和B型 汽车分别为x辆、y辆， 40x+90y≤1000， 根据题意可得r≥5， y≥6， x,y∈N" 例2BCD对于A,取a=2,b=1, c=-3,d=-4,则ab=2,cd=12, 所以ab<cd,A错误；对于B,若ac2> bc2,有c2>0,则a>b,B正确；对于 C,若a>b>0,则a2>b2>0,则 a<护，又c<0,由不等式的性质可 得后>后，C正商：对于，若0>6且 1> ,11=Q一b<0,所以 方，则方 ab ab<0,D正确.故选BCD. 对点训练2BCD对于A,若a=-2, =-1则日=名>方=-1故 1 1 A错误：对于B,可知c2>0,不等式 三b两侧同乘c2,有a>b,故B正 确；对于C,利用作差法知日十m b+m a b-a)m,由b>a>0,m>0, bb(b+m) 知(b-a)m>0,b(b十m)>0,即 a十ma (b-a)m 6+m-6=6(b+m) >0,故C正 确；对于D,由c<d知一c>一d,又 a>b,所以a-c>b-d,故D正确. 故选BCD. 例3AC因为-1≤x十y≤3,4≤ 2x一y9,所以33x12,所以 1x4,故A正确； 国为2红2多2所以 -2≤-8y<1,解得-号<)≤号 故B错误；因为4x十y=2(x十y)十 (2x-y),4≤2x-y≤9，-2≤ 2(x十y)≤6，所以2≤4x十y≤15， 1 故C正确：因为x一y=一3十 y)+ 2(25二y),二1≤3（x+ 3 18 y)≤33 名(2x-y)≤6，所以 19 3≤x-y≤3 ,故D错误.故选AC. 对点训练3(1) 「1,37 L3’4」 解析：2≤x≤3，.6≤3x9,又 6≤y≤9，.12≤2y≤18， 1 .11 1 么4 18≤2≤≤2 3 (2)AD对于A,因为-5≤a一b≤ 4,2≤2a十b8,所以-5十2(a- b)十(2a十b)4十8，即-3≤3a 12,即一1≤a≤4，故A正确；对于B, 由-5a-b4,可得-82b 2a≤10，又22a十b≤8，则-8十 2(2b-2a)+(2a+b)10+8, 即-6≤3b18,即-2b≤6，故B 错误：对于D,设2a一5b=x(a-b)十 y(2a+b)=(x+2y)a+(-x+y)b, 则2三工工1解得工二4'，因 y=-1, 为-20≤4(a-b)≤16，-8≤ -(2a十b)≤-2，所以-282a 5b≤14，故D正确；对于C,若ab的最 大值为24，则由一1≤a≤4，一2 b≤6，得a=4,b=6,此时2a十b= 14>8,故C错误.故选AD. 例4(1)B对于①，因为a>b>-c> 0(a,b,c∈R),所以c0,b十c>0, b-a<0,所以a+c b+c -6 ab +bc -ab-ac= (b-a)c (b+c)b b+c)6>0,故 Q十C>a①正确：对于②，c<0 b-c b-a<0,故b =c6-a2>0. ab 故C>6,②错误；对于③a一b习 0,a十b-c>0,b-c>0,a-c>0, =aiac-bitls (b-c)(a-c) (a-b)(a+b-巴>0，故6二c a > (b-c)(a-c) b 6③正确：对于①十 a'ci+ 参考答案399 a262 =a+b+c,1+1+1 a'bc2'a26+c b2c2+a'c2+a2 a'b2c2 -,因为2a1+2b+ 2c1-2b2c2-2a2c2-2a2b2=(b2 c2)2+(a2-c2)2+(a2-b2)2>0,所 以a+b+c6e2+ac2+a8 ab'c a'b'c 0,故Q b2 c2 1 1 +a+a6>+ 十 ,国货故选B (2)解：因为a≥1，所以M= √a+I-√a>0,N=√a √a-1>0. m的-9 a+√a-I a+I+√a 因为√a十I+√a>√a+√a-I> 0,所以兴<1，即M<N。 对点训练4(1)p≤q 解析：p一q= 。+Q -a-b= a b b2-a2 -=(b2-a2)· ab b-a'6+a),:a<0.b<0a+ ab b<0,ab>0,又(b-a)2≥0，.p≤q. (2)解：解法1（作差法） a2-b2 a-b a+b a+b (a+b)(a2-b2)-(a2+b2)(a-b) (a2+b2)(a+b) (a-b)[(a十b)2-(a2+b)] (a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) 因为a>b>0,所以a十b>0,a b>0,2ab>0,a2+b2>0. 所以2ab(a-b) （a+6)a+b)>0, 所以名>台 解法2（作商法）因为a>b>0,所 以0-62 a2b≥0,2≥0,2ab>0, a+b a2-b2 所以Q+6 (a+b)2 a-b a2+b2 a+b a2+b2+2ab 2ab a2+b2 =1十 +6>1, 所以Q62 8>8-台 1.4 基本不等式 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)a>0,b>0(2)a=b 2.(1)2ab(2)2 400红对·讲与练·高三数学· 3.a+b 2 41)2P(2)s 4 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.④ 解析：因为a,b∈(0,1)，所以a2<a, b2<b,a<a,b<√b,所以a2十 b2<a十b,ab<√ab,当a≠b时，由 基本不等式可知a十也>√品所以 2 a+b>2√ab,由上可知，a+b> 2Jab>2ab,a+b>a2+b2,所以四 个式子中a十b最大. 3.25m 解析：设矩形的一边长为xm,其邻边 长为ym,则x十y=10,xy>0,所 以矩形场地的面积S=xy≤ (专)=25，南且仅当x=y=5 时取等号 8 4.6 解析：因为a,b为正实数，且a十b= 106:所以品（日合）=1，所以a- 9b= 10a+96)(1 1 a (0+ a ÷,当且仅当9b a 台即a=96,即a=号b=后时 2 2 等号成立.所以a十9b的最小值为 8 5.AD对于A,C,因为a>0,b>0,所 以a十b=4≥2√ab,即√ab≤2，当 且仅当a=b=2时，等号成立，故0< 6<:则店≥成A正病，C错送： 对于B,代入a=b=2,后十方 1 2 1 -日<2，故B错误；对于D, 2+1=2 a2+b2≥a+b -=8,当且仅当a= 2 b=2时，等号成立，故D正确.故 选AD. 》提升·关键能力《… 例11)6 1 解析：因为a>0,b>0,4a十b=1,所 以1=4a+b≥2√4ab=4√ab,当且 仅当=6=a=6=号 1 时，等号成主，所以v历<即ab≤ 1 ,则ab的最大值为6 (2)2√2 解析6≥2日 1 a 十b= 基础版 名-62，当且仅当片-号且6 2 即a=6=巨时取等号.故 层+6的最小值为2E。 对点训练1(1)2 解析：x)=2十1】三2x× 1 2,当且仅当(=甲x=士1时取 等号，所以函数f()=x2二的最 小值为2. (2)16 解析：因为x,y满足x十y=8,且x, y都是正数，所以w≤（任） 16,当且仅当x=y=4时，等号成立， 所以xy的最大值为16. 1 例2ABD对于A,因为x<豆，所以 2x-1<0,则1-2x>0,所以2x十 1 1 2x-=(2x-1)+2z+1 [(1-2x)+1-2x 1 十1≤ -2√1-2x)· -2元+1=-1（当 1 且仅当x=0时，等号成立)，此时2x十 2一有最大值一1，故A正确；对于 1 B,因为x>一2，所以x十2>0，所以 x十6 x十2十4 =√x十2十 Vx+2 Va+2 中≥2√+2. 4 4 x+2 千2即 4 4,当且仅当十2= x=2时取等号，故B正确；对于C, y=4x(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤ 2.(2x+3-2x19 2 = ,当且仅当 2江=3一2x,即x=子时取等号，所 3 9 以当x=手时，ym=之，故C错误： 对于D,因为x<1,所以x一1<0， 则-(x-1)>0,x-1 x2-x+9 (z-1)2+(x-1)+9=- x-1 -(x 1+(9】+1≤-2+1 5,当且仅当-(x-1)=-9 x=一2时，等号成立，故D正确.故选 ABD. 对点训练2(1)4 解析：因为<8，则m一8<0，可得 ）=(8-m)十8-m 4 8≥28-m·g8=-4,即 m十m-8≤4，当且仅当8-m=第一章集合、常用逻辑用语与不等式009 丙：区间I内存在小于1的数； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中 丁：区间I内每个数的平方都大于它本身. 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测 若只有一个假命题，则该命题是 与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知 2.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公 有两人获奖，则获奖者可能是 布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； )温馨提示 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 第 学习至此，请完成训练2 丙预测说：甲的预测是对的； 章 1.3 等式性质与不等式性质 考试 1.掌握等式性质，理解不等式的概念.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式 要求 性质的简单应用. 回顾>必备知识 》知识梳理《 续表 性质内容 1.比较实数a,b的大小 性质 注意 (1)作差法 可加性 a>b台a+c>b+d 可逆 ①a-b>0台a b; a>b,c>0→ 可乘性 c的符号 ②a-b=0台→a b; a>b,c<0→ ③a-b<0台→ab. a>b,c>d→ 同向可加性 同向 (2)作商法 0号>1a∈k6>0)=a b(a∈R, 同向同正 a>b>0,c>d>0→ 同向， 可乘性 同正 b>0); a>b>0,n∈N,n≥ 4=1a∈R,b≠0)a 可乘方性 同正 6 b(a∈R,b≠0)； 2→a”>b" a>b>0,n∈N,n≥2→ ③a<1(a∈R,b>0)a b(a∈R, 可开方性 同正 a>6 b>0) ○常用结论与知识拓展 2.等式的基本性质 1.不等式的两类常用性质 (1)对称性：a=b台 (1)倒数性质 (2)传递性：a=b,b=c→ ①a>6,b>0P}<6: (3)可加（减）性：a=b台 a (4)可乘性：a=b→ ②u<0<6<石： (5)可除性：a=b,c≠0台 ③a>b>0,d>c>0=a> b 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 @0<a<x<b或a<b<09 a abe ;a<b台 (2)分数性质 对称性 可逆 若a>b>0,m>0,则 a>b,b>c→ 传递性 同向 ①真分发性成白日<会<是价加>0 a<b,b<c→ 即真分数越加越大，越减越小； 010 红对构·讲与练·高三数学·基础版 ②假分数性质：号<号<分二-m> 2.(教材改编题)若M=2x2+7x+6,N=(x+ 1)(x+4),则M与N的大小关系是 0),即假分数越加越小，越减越大. 3.(教材改编题)能够说明“若a,b,m均为正数， 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y< b-c. 则十+m<么”是真命题的一组数a,b可以为 a+m 》基础检测《 a ,b= 第 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画4.（教材改编题）已知一1<a<2,一3<b<5, 章 “√”，错误的画“X” 则a+2b的取值范围是 (1)a>b台ac2>bc2. ) 5.(多选题)已知a>b>0,c<0,则下列四个不 (2)a=b台ac=bc. 等式中，一定成立的是 () (3)若a<b<0,则。<万 11 a A后> B.ac <bc b (4)若a>b,c>d,则ac>bd. C.a>b-c D.a(b-c)>b(a-c) 提升>关键能力 考点1实际问题情境下不等关系的建立 B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关 【例1】生活中，我们经常在路上或桥上看到下列 系的不等式（组） 标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用 个数学式子表示下列关系吗？ 50 10t 3 7:30-10:00 ④ ⑤ 学生试答： 考点2不等式的性质 【例2】（多选题）下列命题是真命题的为() A.若a>b>0>c>d,则ab>cd B.若ac2>bc2,则a>b C若a>6>0且c<0,则后>后 规律总结 D.若a>b且1>1， ，则ab<0 解决有关不等关系的实际问题时，应抓住关键 习学生试答： 字（词），例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而 建立相应的不等式（组）模型. 【对点训练1】某汽车公司因发展需要，需购进一 批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购 买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和 第一章集合、常用逻辑用语与不等式011 规律总结 【对点训练3】(1)已知2≤x≤3,6≤y≤9，则 判断不等式正误的常用方法 3工的取值范围是 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不 2 等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提 (2)(多选题)已知-5≤a-b≤4,2≤2a+ 条件. b≤8，则 ( (2)利用特殊值法排除错误答案. A.-1≤a≤4 第 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的 B.0≤b≤4 性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函 C.ab的最大值为24 章 数、幂函数等函数的单调性来比较 D.-28≤2a-5b≤14 【对点训练2】（多选题）下列说法中，正确的是 考点4利用作差法与作商法比较大小 ( 【例4】(1)已知a>b>-c>0(a,b,c∈R),则 A.若a>bb>0.则后<万 .1 下列说法正确的个数为 () B若导>媚a> 6+c C若6>a≥0m≥9则g阳>号 b @≤6 C D.若a>b,c<d,则a-c>b-d ③、a b-ca-ci 考点3求代数式的取值范围 ④Q2 111 【例3】（多选题）已知实数x,y满足一1≤x十 69大6 a6≥++ y≤3,4≤2x一y≤9，则 ( A.1 B.2 A.1≤x≤4 B.-2≤y≤1 C.3 D.4 1 23 C.2≤4x+y≤15D.3≤x-y (2)已知a≥1，试比较M=a+1-√a和 N=√a-√a-I的大小. 学生试答： 幻学生试答： 规律总结 利用待定系数法求代数式的取值范围的步骤 已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)< N2,求g(a,b)的取值范围. (1)g(a,b)=pf(a,b)+qf2(a,b). (2)根据恒等变形求得待定系数p,q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b) 的取值范围.同向不等式的两边可以相加，但这种转 化不是等价变形，如果多次使用这种转化，就有可能 扩大代数式的取值范围. 012红对沟·讲与练·高三数学·基础版 规律总结 比较大小的常用方法 散a≥6>0，比丝若与治的 大小 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 结论 (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的 第 大小关系：④得出结论 章 (3)单调性法：构造函数，利用函数的单调性比 较大小 【对点训练4】(1)若a<0,b<0,则p= 》温馨提示 与q=a十b的大小关系为 学习至此，请完成训练3 1.4 基本不等式 考试 1.掌握基本不等式b≤a十b(ab>0)及其推导过程.2.能用基本不等式解决简单的最大值或最 2 要求 小值问题. 回顾>必备知识 》知识梳理《 数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等式 1.基本不等式Vab≤a十b 2 a'+62 2 链11 2 (1)基本不等式成立的条件： a+b (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等4.利用基本不等式求最值问题 号成立 已知x>0,y>0. 2.几个重要的不等式 (I)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y (1)a2+b2≥ (a,b∈R). 时，x十y有最小值，是 (简记：积定 (a,b同号). 和最小) 8ab≤）a,6∈R. (2)如果和x十y是定值S,那么当且仅当x=y 时，xy有最大值，是 (简记：和定积 最大) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 》基础检测K区《 3.“四个平均数” 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 术平均数；数√ab称为a,b的几何平均数； “/”,错误的画“X”. 2一和 1+1 十b分别叫做ab的调和平均 ①)两个不等式a+6≥2a6宁时而成 a b 立的条件是相同的.