1.4 基本不等式-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

012红对沟·讲与练·高三数学·基础版 规律总结 比较大小的常用方法 散a≥6>0，比丝若与治的 大小 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 结论 (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的 第 大小关系：④得出结论 章 (3)单调性法：构造函数，利用函数的单调性比 较大小 【对点训练4】(1)若a<0,b<0,则p= 》温馨提示 与q=a十b的大小关系为 学习至此，请完成训练3 1.4 基本不等式 考试 1.掌握基本不等式b≤a十b(ab>0)及其推导过程.2.能用基本不等式解决简单的最大值或最 2 要求 小值问题. 回顾>必备知识 》知识梳理《 数和平方平均数.“四个平均数”可构成不等式 1.基本不等式Vab≤a十b 2 a'+62 2 链11 2 (1)基本不等式成立的条件： a+b (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等4.利用基本不等式求最值问题 号成立 已知x>0,y>0. 2.几个重要的不等式 (I)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y (1)a2+b2≥ (a,b∈R). 时，x十y有最小值，是 (简记：积定 (a,b同号). 和最小) 8ab≤）a,6∈R. (2)如果和x十y是定值S,那么当且仅当x=y 时，xy有最大值，是 (简记：和定积 最大) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 》基础检测K区《 3.“四个平均数” 给定两个正数a,b,数 称为a,b的算 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 术平均数；数√ab称为a,b的几何平均数； “/”,错误的画“X”. 2一和 1+1 十b分别叫做ab的调和平均 ①)两个不等式a+6≥2a6宁时而成 a b 立的条件是相同的. 第一章集合、常用逻辑用语与不等式013 (2)已知ab<0,则2+号≥2 3.(教材改编题)若把总长为20m的篱笆围成一 个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 (3)“x>0且y>0”是“2+义≥2”的充分不 y 4.(教材改编题)设a,b为正实数，且a十b=10ab, 必要条件 ( 则a十9b的最小值为 (4)若x>0,y>0,且x十y=xy,则xy的最 5.(多选题)若a>0,b>0,且a十b=4,则下列 小值为4. 第 不等式恒成立的是 2.(教材改编题)已知a,b∈(0,1)且a≠b,下列 1 1 章 A 各式中最大的是 (填序号) ab≥4 6≥2 ①a2+b2;②2√ab;③2ab:④a+b. C.ab≥2 D.a2+b2≥8 提升>关键能力 考点1利用基本不等式求最值 C.若0<x< 2,则函数y=4x(3-2x)的最 命题角度1直接利用基本不等式求最值 大值为9 【例1】(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,则ab 的最大值为 D.若x<1,则2-x+9 的最大值为一5 x-1 (2)(2021·天津卷)若a>0,b>0,则1 学生试答： 是十b的最小值为 学生试答： 规律总结 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通 过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定 规律总结 值”或“积为定值”的形式如：凑成x+4(a>0), 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二 定，三相等.基本不等式具有“积式”与“和式”的互 十2的形式等)，然后利用基本不等式求解最值. 化功能，为了达到求最值的目的，有时需多次使用基 本不等式，但不要忽视每次等号成立的条件应是相 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件， 同的. 【对点训练2】(1)已知m<8,则m十4。 n一8的最 【对点训练1】(1)函数f(x)=x2+马 的最小值 大值为 为 (2)(2025·广东惠州调研)若a>0,则a十 (2)设x,y满足x十y=8,且x,y都是正数， 8 2a+1 的最小值为 则xy的最大值为 命题角度3常值代换法求最值 命题角度2利用配凑法求最值 【例2】（多选题）(2025·湖南岳阳模拟)下列说 【例3】 (1)已知ab为正实数且a十b=3,则白十 法正确的有 A.若x<3则2x十2x一的最大值为-1 号的最小值为 B.若x>-2,则x+6≥4 (2)已知a>b≥0且6 a+b十 =1,则 √x十2 2a+b的最小值为 0142对构·讲与练·高三数学·基础版 学生试答： 规律总结 利用消元法、换元法求最值的技巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常 是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常 数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.有 时也常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利 第 用基本不等式求解. 规律总结 【对点训练4】(1)（多选题）(2022·新高考Ⅱ卷) 章 常值代换法：当式子中含有两个变量，且条件 若xy满足x2十y2一xy=1,则() 和所求的式子分别为整式和分式时，当整式或分式 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 有一个为定值时，即①已知a>0,b>0,x>0, C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 y>0,若ax+by=1,则有2+=(ax十b)(凸 (2)若a>0,b>0,且ab=a+2b十6，则a+ 2b的最小值为 )=a+6+g+华≥a+6+2而=(6 y 考点2利用基本不等式解决实际问题 6)2;②已知a>0,b>0,x>0,y>0,若4 【例5】经济订货批量模型，是目前大多数工厂、 企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单 合-1，则有x+y=(c+(任+9)=a十6 位时间的需求量为某常数，经过某段时间后， 存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到 ay+ba+b+2ab=(a+). y 货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于 整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体 由上可知，背造a:+)(织+号)a,6m 如下：年存储成本费T(单位：元)关于每次订 ”为常数且同号)的结特，利用(a十by):(贸 货量x(单位：单位)的函数关系为T(x)= ）=am+bm+6m+anE≥am+bm十 Bx+AC,其中A为年需求量，B为每单位物 十x 2 y 资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需 2√abmn(当且仅当my=an工时，等号成立)求解 用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存 y 储费为120元/年，每次订货费为2500元. 最值是非常奏效的。 (1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存 【对点训练3】(1)已知正数x,y满足x十2y=3, 储成本费. 则义。的最大值为 (2)每次订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存 x+8v 储成本费最少？最少费用为多少？ (2)已知a十b+c=1,其中a,b,c>0,则十 学生试答： 6中。的最小值为 9 命题角度4 利用消元法、换元法求最值 1 【例4】若正数ab满足ab=2a十2b+3,则ab 的最小值为 学生试答： 第一章集合、常用逻辑用语与不等式015 ·规律总结 公司所要支付的总费用最少？最少费用为 基本不等式的实际应用问题的解题技巧 多少？ (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利 用基本不等式求得函数的最值 (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围， (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 第 取不到，可利用函数的单调性求解， 章 【对点训练5】已知快递公司要从A地往B地送 货，A,B两地的距离为100km,按交通法规， A,B两地之间的公路车速x(单位：km/h)应 限制在60~120（含端点值），假设汽车的燃油 费用为(2+需)元，可机的工资为0元小 (设汽车匀速行驶)，燃油费用与司机工资都由 快递公司承担. (1)试建立行车总费用y(单位：元)关于车速 》温馨提示 x(单位：km/h)的函数解析式. 学习至此，请完成训练4 (2)若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递 1.5 一元二次方程、不等式 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数.2.能借助二次函数求 考试 要求 解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系 回顾 必备知识 》知识梳理《 续表 判别式 1.一元二次不等式 4>0 4=0 40 △=b2-4ac 般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数 ax2+bx+c≥ 的最高次数是2的不等式，称为一元二次不 x 0(a>0)的解集 2a R 等式 2.三个“二次”间的关系 ax2+bx+c< 判别式 0(a>0)的解集 4>0 A=0 △<0 △=b2-4ac 注意当A<0时，不等式a.x2+bx十c>0(a≠ 2 二次函数y= y O)的解集是R还是☑，要注意区别. ax?bx +c 3.分式不等式与整式不等式 (a>0)的图象 Ox=2天 0 Dr>0(<0)台f(x)g(x)>0(<0. 有两个相等的 g(x) 方程a.x2+bx+ 有两个不相等 c=0(a>0) 的实数根x1, 实数根x1 没有实数根 g≥0（≤0）台fx)g)≥0（≤0）且 (2)f(x) 的根 x2(x1<x2) x2= 2a g(x)≠0.a262 =a+b+c,1+1+1 a'bc2'a26+c b2c2+a'c2+a2 a'b2c2 -,因为2a1+2b+ 2c1-2b2c2-2a2c2-2a2b2=(b2 c2)2+(a2-c2)2+(a2-b2)2>0,所 以a+b+c6e2+ac2+a8 ab'c a'b'c 0,故Q b2 c2 1 1 +a+a6>+ 十 ,国货故选B (2)解：因为a≥1，所以M= √a+I-√a>0,N=√a √a-1>0. m的-9 a+√a-I a+I+√a 因为√a十I+√a>√a+√a-I> 0,所以兴<1，即M<N。 对点训练4(1)p≤q 解析：p一q= 。+Q -a-b= a b b2-a2 -=(b2-a2)· ab b-a'6+a),:a<0.b<0a+ ab b<0,ab>0,又(b-a)2≥0，.p≤q. (2)解：解法1（作差法） a2-b2 a-b a+b a+b (a+b)(a2-b2)-(a2+b2)(a-b) (a2+b2)(a+b) (a-b)[(a十b)2-(a2+b)] (a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) 因为a>b>0,所以a十b>0,a b>0,2ab>0,a2+b2>0. 所以2ab(a-b) （a+6)a+b)>0, 所以名>台 解法2（作商法）因为a>b>0,所 以0-62 a2b≥0,2≥0,2ab>0, a+b a2-b2 所以Q+6 (a+b)2 a-b a2+b2 a+b a2+b2+2ab 2ab a2+b2 =1十 +6>1, 所以Q62 8>8-台 1.4 基本不等式 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)a>0,b>0(2)a=b 2.(1)2ab(2)2 400红对·讲与练·高三数学· 3.a+b 2 41)2P(2)s 4 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.④ 解析：因为a,b∈(0,1)，所以a2<a, b2<b,a<a,b<√b,所以a2十 b2<a十b,ab<√ab,当a≠b时，由 基本不等式可知a十也>√品所以 2 a+b>2√ab,由上可知，a+b> 2Jab>2ab,a+b>a2+b2,所以四 个式子中a十b最大. 3.25m 解析：设矩形的一边长为xm,其邻边 长为ym,则x十y=10,xy>0,所 以矩形场地的面积S=xy≤ (专)=25，南且仅当x=y=5 时取等号 8 4.6 解析：因为a,b为正实数，且a十b= 106:所以品（日合）=1，所以a- 9b= 10a+96)(1 1 a (0+ a ÷,当且仅当9b a 台即a=96,即a=号b=后时 2 2 等号成立.所以a十9b的最小值为 8 5.AD对于A,C,因为a>0,b>0,所 以a十b=4≥2√ab,即√ab≤2，当 且仅当a=b=2时，等号成立，故0< 6<:则店≥成A正病，C错送： 对于B,代入a=b=2,后十方 1 2 1 -日<2，故B错误；对于D, 2+1=2 a2+b2≥a+b -=8,当且仅当a= 2 b=2时，等号成立，故D正确.故 选AD. 》提升·关键能力《… 例11)6 1 解析：因为a>0,b>0,4a十b=1,所 以1=4a+b≥2√4ab=4√ab,当且 仅当=6=a=6=号 1 时，等号成主，所以v历<即ab≤ 1 ,则ab的最大值为6 (2)2√2 解析6≥2日 1 a 十b= 基础版 名-62，当且仅当片-号且6 2 即a=6=巨时取等号.故 层+6的最小值为2E。 对点训练1(1)2 解析：x)=2十1】三2x× 1 2,当且仅当(=甲x=士1时取 等号，所以函数f()=x2二的最 小值为2. (2)16 解析：因为x,y满足x十y=8,且x, y都是正数，所以w≤（任） 16,当且仅当x=y=4时，等号成立， 所以xy的最大值为16. 1 例2ABD对于A,因为x<豆，所以 2x-1<0,则1-2x>0,所以2x十 1 1 2x-=(2x-1)+2z+1 [(1-2x)+1-2x 1 十1≤ -2√1-2x)· -2元+1=-1（当 1 且仅当x=0时，等号成立)，此时2x十 2一有最大值一1，故A正确；对于 1 B,因为x>一2，所以x十2>0，所以 x十6 x十2十4 =√x十2十 Vx+2 Va+2 中≥2√+2. 4 4 x+2 千2即 4 4,当且仅当十2= x=2时取等号，故B正确；对于C, y=4x(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤ 2.(2x+3-2x19 2 = ,当且仅当 2江=3一2x,即x=子时取等号，所 3 9 以当x=手时，ym=之，故C错误： 对于D,因为x<1,所以x一1<0， 则-(x-1)>0,x-1 x2-x+9 (z-1)2+(x-1)+9=- x-1 -(x 1+(9】+1≤-2+1 5,当且仅当-(x-1)=-9 x=一2时，等号成立，故D正确.故选 ABD. 对点训练2(1)4 解析：因为<8，则m一8<0，可得 ）=(8-m)十8-m 4 8≥28-m·g8=-4,即 m十m-8≤4，当且仅当8-m= ,即m=6时，等号成立，所以 8-m m+ m一8的最大值为4. 4 (2)2 8 解析：由题意可知a十2a十=a十 1 2 4 1 1 a十2 2 2a号x4-12 a十2 1 且仅当a十= 4 3 ,即a= a十2 8 时，等号成立，所以a十2a十的最小 7 值为2 例3(1)22+2 解析：因为a,b为正实数且a十b=3, 么+2a+26 所以b十60 b十 a b a 22+2≥2。 b.2g+2=22+2. ·b 当且收李名-会即a=8E- b=3(2-√2)时，等号成立，所以么十 方的最小值为22十2 (2)16 解析：因为a>b≥0，所以a十b>0, a-b>0,又2a+b= 吕a+6)+ 2(a-b,则2a+b= 1 「3 L2(a+b)+ a-b)16 1 2 ]a+6+。=6 ）=10+ 3(a-b)3(a+b) a十b a-6≥10+ B(a=b).3(a于=16，当且仅 2n a+b a-b 当3(a-b)=3a+b) a十b &-6,即a=8,6 0时，等号成立，所以2a十b的最小值 为16. 对点训练3(1)6 解析：：正数x,y满足x十2y=3, (1+ y 1 y (10+2V5)=÷×0中 8)=6,当且仅当16y=二，即x x y 4y=2时取等号，则xy x+8y 8≤日米最大值为行 1 .十 (2)16 解析：因为a十b十c=1,a,b,c>0,所 以1 9 =[a+6+c)(1+ 9 ）=10+6+c+9a -≥10+ a b+c 9a b+c =16,当且仅当 b十c= ,即a= a b+c 4b+c=3 4 时取等号，所以 十6是的小值 为16. 例49 解析：因为a,b为正数，所以ab=2a十 1 b+3≥22a·2b+3=2√ab中 3当且权当2a=b时取等号，所以 (ab)-2√ab-3≥0，所以 (√ab-3)(√ab+1)≥0，所以 √ab≥3或√Jab≤-1（舍去），所以 3 ab≥9，当且仅当a=2b=6时，等 号成立，所以ab的最小值为9. 对点训练4(1)BC由x2十y2-xy= 1得，(x十y)2-1=3xy≤ 3(2),解得-2≤x十y≤2，当 且仅当x=y=-1时，x十y=-2, 当且仅当x=y=1时，x十y=2,故 A错误，B正确；由x2十y2一xy=1 得，(x)1xy≤？2，解 得x2十y2≤2，当且仅当x=y=士1 时取等号，故C正确；当工=5，y 3y 时满足等式，但是x2十y≥1不 3 成立，故D错误.故选BC. (2)12 解析：因为ab=a十2b十6，所以a· 2b=2(a+2b)+12,因为a>0,b> 0,所以a·2b≤ ,所以 2(a+2b)+12≤ (a+2b)2-8(a+2b)-48=(a+2b 12)(a十2b十4)≥0.所以a十2b≥12 或a十2b≤-4(a>0,b>0,故舍去)， 故a十2b的最小值为12，当且仅当a= 2b=6时，等号成立. 例5解：(1)由题意可得A=6000,B= 120,C=2500,所以年存储成本费 T(x)=60x+1500000 当x=300时，T(300)=60×300十 15000000 300 =68000. 所以该化工厂每次订购300吨甲醇时， 年存储成本费为68000元. (2)因为年存储成本费T(x)=60x十 15000000 ,x>0, x 所以T(x)>≥2，√60x×1500000 60000, 当且仅当60x=15000000 即x= 500时取等号」 所以每次订购500吨甲醇，可使该化工厂 年存储成本费最少，最少费用为60000元 对点训练5解：(1)由车速为xkm/h,知 行驶时间为100，依题意可得y 7x+70）=74+1120 4 x x∈[60,120]. (2)y= z10≥2 /7x,11200 4 x 280.当且仅当号=120，即x=80 时取等号，所以以80km/h的车速行 驶，快递公司所要支付的总费用最少， 最少费用为280元. 1.5 元二次方程、不等式 》回顾·必备知识《… 知识梳理 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1 x<x2}☑0 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 2.{xx<-1或x≥1} +1s1得2 2 解析：由 +1-1≤0，即 2-≤0，得二1 x十1≥0，得x 1=0或(x-1)(x十1)>0，得x=1 或x-1或x>1,即x<-1或x 1,所以原不等式的解集为{xx<-1 或x≥1. 3.{x0x3} 解析：由x2-x一6<0，即(x 3)(x十2)<0，解得-2<x<3,所以 A={xx2-x-6<0}=x-2< x<3}.由x-21<2,即-2<x 22,解得0<x<4,所以B={x x-2<2}={x0<x<4},所 以A∩B={x|0<x<3. 4.(-4,0)(-∞，-6]U[2,十∞) 解析：不等式x2一ax一a>0的解集 为(-∞，十0∞)，则(-a)2-4X (-a)<0,解得-4<a<0;不等式 x2一ax-a≤-3的解集不是空集，即 x2-a.x-a十3≤0有解，故(-a)2 4(-a+3)=a2+4a-12≥0，解得 a≥2或a-6. 5.ACD由x2+3x-4<0,解得-4< x<1,由x2-(2k十3)x+k2+3k> 0,得(x-k)[x一(k十3)]>0，解得 x<k或x>k十3.由题意知(-4,1) (-∞，k)U(k十3，十∞)，所以k≥1 或k十3-4，即k∈(-∞，一7]U [1,十∞).故选ACD. 》提升·关键能力《 例1解：(1)原不等式等价于3x”-6x十 2≥0.：4=12>0，.方程3x2 6x十2=0有两个不相等的实数根，解 3-3 得x1= 一，画出函 3 ,x2=3+ 3 数y=3x2-6x十2的大致图象，如图 1所示，由图可得原不等式的解集为 参考答案401