1.1 集合-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第 1.1 集合 章 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含 考试 义，能识别给定集合的子集，3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解 要求 在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.4.能用自然语言、图形语言、符号语言刻 画集合，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 回顾》必备知识》 》知识梳理《 3.集合的基本运算 1.集合的概念 项目 并集 交集 补集 (1)集合中元素的三个特性： 图形 B A 表示 (2)元素与集合的关系是 或 AUB= 符号 A∩B={x CA={x|x∈ 两种，用符号 或 表示 x∈A,且x∈ 表示 U,且xEA} (3)集合的表示法： B) AU财=A: A∩财=0； AU(GA)=U; (4)常见数集的记法 AUA=A; A∩A=A: A∩(CuA)= AUB- A∩B= 集合自然数集正整数集 性质 整数集有理数集 实数集 BUA; B∩A: Co(CoA)= 符号 AUB-A A∩B=A 台 注意N为自然数集（即非负整数集），包含0，而 4.区分下列集合的表示含义 N“和N的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. ly= fyly= (Gy)ly- 2.集合的基本关系 {x1f(x)=0}{x|fx)>0} f(x)} f(x)} f(x)》 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集 函数y 函数y= 方程f(x) 不等式f(x) 函数y 合A中 都是集合B中的元素，就称集 f(x) 色 f(z) 的 f(x)图象 义0的解集 >0的解集 合A为集合B的子集，记作 (或 定义域 值域 上的点集 BA) ⊙常用结论与知识拓展 (2)真子集：如果集合A二B,但存在元素x∈ 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2”个， B,且 就称集合A是集合B的真子 真子集有2”一1个，非空子集有2”一1个，非空真子集 集，记作 (或B吴A). 有2”一2个. ,则A=B 2.U是全集，A,B是U的两个子集， (3)相等：若A二B,且 (1)A三B台A∩B=A台AUB=B台CA三 (4)空集：一般地，我们把不含任何元素的集合 CB台A∩(CB)=心. 叫做空集，记为心，空集是 的子集，是 (2)Co(AB)=(CA)U(GB);Co(A UB)= 的真子集， (CA)∩(CB). 002亿对构·讲与练·高三数学·基础版 3.用card(A)表示有限集合A中元素的个数.对2.（教材改编题）设全集为R,A={x|3≤x< 任意两个有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+ 7},B={x|2<x<10},则CR(AUB)= card(B)-card(A∩B). ,(CRA)∩B= 》基础检测《 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 3.(教材改编题)已知集合A={m十2,2m2十m}, 第 “√”，错误的画“X” 若3∈A,则m的值为 (1)任何一个集合都至少有两个子集.() 4.已知全集为R,集合M={x|-3<x<3},N= 章 (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x, {x|x≥a},并且M二CRN,则a的取值范围 y)|y=x2+1} ( 是 (3)若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1. 5.(多选题)已知集合M={x|x一a=0},N= {x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值 (4)集合{(2,3)}与集合{(3,2)}表示同一 可以为 ) 集合 A.-1 B.1 C.0 D.2 提升>关键能力 考点1集合的含义与表示 考点2集合的基本关系 【例1】(1)己知集合A={a十4，|a|,a2-2a,【例2】(1)若集合A={-1,1},B={x|mx= 若3∈A,则a的值的集合为 2},且B二A,则实数m的值是 (2)已知x,y为非零实数，则集合M xy (2)已知集合A==经∈, mm=正十y+ 为 ( A.{0,3》 B.{1,3 B=xx=+m,n∈Z. C.{-1,3} D.{1,-3} 学生试答 ①分别判断元素一2元， 2025π与集合A,B的 2 关系； ②判断集合A与集合B的关系并说明理由. 学生试答： …规律总结 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元 素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集 合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什 么，从而准确把握集合的含义. 规律总结 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定 1.判断两集合关系的常用方法：一是元素特征 集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是 法，即先化简集合，再从表达式中寻找两集合的关 否满足互异性. 系；二是列举法，表示各集合，一一列举元素观察关 【对点训练1】含有三个实数的集合可表示为 系；三是利用Venn图或数轴法表示集合间的关系. 2.已知两个集合间的关系求参数时，对子集是 a2l,也可表示为a,a+b,01,则a2晒十 否为空集要进行分类讨论，若集合元素是一一列举 b2026= 的，根据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 003 注意集合中元素的互异性.若集合表示的是不等式 (2)(2023·全国乙卷理)设全集U=R,集合 (组)的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解， M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则 此时需注意端点值能否取到.若不等式（组）或方程 {x|x≥2}= () (组)最高次系数含参数，则需讨论参数是否为零. A.C(MUN) B.N U(CM) C.C(M∩N) D.MU CN) 【对点训练2】(1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)设集 命题角度2利用集合的基本运算求参数的值 合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A□ 第 (范围) B,则a= 【例4】(1)设集合A={x|1<x<2),B={x 章 (2)已知集合M={x∈R|5-|2x-3|为正 x>a},若A∩B=A,则a的取值范围 整数}，则M的所有真子集的个数是 是 考点3集合的基本运算 (2)已知集合A={x|(x+1)(x-a)≤0}， B={x|(x+3)(x+2)(x-1)=0},若A∩ 命题角度1集合的基本运算 B≠②，则实数a的取值范围为 【例3】(1)(2024·全国甲卷文)已知集合A={1, 学生试答 2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B A.{1,2,3》 B.{3,4,9y C.{1,2,3,4 D.{2,3,4,5》 (2)(2024·新课标I卷)已知集合A={x -5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩ 规律总结 B= ( 利用集合的基本运算求参数的步骤 A.{-1,0》 B.{2,3) (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间 C.{-3,-1,0》 D.{-1,0,2》 的关系.若集合中的元素能一一列举，则用观察法得 学生试答： 到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是 用不等式（组）表示的，则一般利用数轴解决，要注 意端点值能否取到. (2)将集合之间的关系转化为解方程（组）或不 等式（组）问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围 【对点训练4】 规律总结 E知集合A={r∈N2,∈N, 集合基本运算的求解策略 B=x 写≤0若ANBC(ax2,4, 首先看集合能否化简，能化简的先化简，当集合 是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元 则a的值为 素进行运算，也可借助Venn图运算；当集合是用不 命题角度3 抽象集合的运算 等式表示时，可运用数轴求解，对于端点处的取舍， 【例5】(1)若A,B,C为三个集合，AUB=B∩ C,则一定有 () 可以单独检验. A.ACC B.CA 【对点训练3】(1)(2023·全国乙卷文)设全集 C.A≠C D.A≠☑ U={0,1,2,4,6,8),集合M={0,4,6},N= (2)(多选题)(2024·河北石家庄质检三)某校 {0,1,6},则MU(CN)= ( “五一田径运动会”上，共有12名同学参加100 A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} 米、400米、1500米三项比赛，其中有8人参加 C.{1,2,4,6,8} D.U 100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参 004亿对构·讲与练·高三数学·基础版 加1500米比赛，100米比赛和400米比赛都参【对点训练5】(1)（多选题）(2024·江苏南通模 加的有4人，100米比赛和1500米比赛都参加 拟)设U为全集，集合A,B,C为U的子集，且 的有3人，400米比赛和1500米比赛都参加的 满足AUB=AUC,则下列各式中不一定成 有3人，则下列说法正确的是 立的是 A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人 A.B∈A 第 C.只参加400米比赛的有3人 B.C二A 章 D.只参加1500米比赛的有1人 C.A∩(CB)=A∩(CC) 学生试答： D.(CA)∩B=(CA)∩C (2)某班班主任对全班女生进行了关于对唱 歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每 位同学至少选择一项，经统计，有21人喜欢唱 歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱 歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有 规律总结 6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜 涉及抽象集合的运算问题，可利用集合的包含 关系或者结合Venn图求解. 欢的有2人，则该班女生人数为 聚焦学科素养。数学探究背景下的“集合新定义”问题 【题目呈现】(1)定义集合运算：A十B= 素养解读 {之之=x+y,x∈A,y∈B},设A={1,2},B= 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： {1,2,3},则集合A+B的所有元素之和为 (1)准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂 新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的 要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆 (2)若三个非零且互不相等的实数a,b,c满 (2)方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特 足日+片-二，则称06c是调和的；若满足a十 例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的 相关性质求解」 c=2b,则称a,b,c是等差的.已知集合M={x -2025≤x≤2025，x∈Z},集合P是M的三 》素养检测《 元子集，即P={a,b,c}二M.若集合P中元素a, 1.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x∈S, b,C既是调和的，又是等差的，则称集合P为“延安 如果x+1庄S且x一1在S,那么x是S的一 个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合 集”.不同的“延安集”的个数为 中，不含“好元素”的集合共有 个 学生试答： 2.(2025·福建宁德开学考试)设A,B,C是非空 集合，定义A·B·C={x|x∈A,且x∈B, 且x∈C},已知A={x|y=√x2十4x},B= {y|y=3+1},C={x C )温馨提示 学习至此，请完成训练1第一章集合、常用逻辑 用语与不等式 1.1集合 》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(1)确定性互异性 无序性 (2)属于不属于∈在 (3)列举法描述法图示法 (4)NN“(或N)ZQR 2.(1)任意一个元素A二B (2)xAAB(3)B三A (4)任何集合任何非空集合 3.{x|x∈A,或x∈B}B二AA二 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.{xx2或x≥10}{x2<x< 3或7x<10 解析：把集合A,B在数抽上表示如图. A☐B 23 710x 由图知，AUB={x|2<x<10}, 所以CR(AUB)={xx≤2或x≥ 10}.因为RA={xx<3或x≥7}， 所以(CRA)∩B={x2<x<3或 7≤x<10. 3 解析：当m十2=3时，m=1,此时， m十2=2m2十m=3,故舍去；当 2m2+m=3时，解得m三一2(m与 1舍去)，经检验符合题意. 4.a≥3 解析：由题意得CwN={xx<a,又 M={x|-3<x<3},M∈CRN,所 以a≥3. 5.ABC由M∩N=N,得N二M.当 V=⑦时，Q=0:当N≠②时，一一 a,解得a=±1.故a的值为士1,0.故 选ABC. …》提升·关键能力《… 例1(1){-3 解析：若a十4=3，则a=一1，A= {3,1,3},不满足互异性，若a=3, 则a=3或a=一3，同理可验证a=3 时不满足互异性，Q=一3成立，若 a2-2a=3,则a=-1或a=3,经验 证都不满足互异性.综上，a=一3. (2)C当x>0,y>0时，m=3;当 x<0,y<0时，m=-1:当x>0, y<0时，m=-1;当x<0,y>0时， m=-1.故M={-1,3}.故选C. 对点训练1一1 解辅：由e台可得a≠0里a≠ 1(否则不满足集合中元素的互异性)， [a=a+b.a=ai, b=0 a 才讲义手册 份二。1或8二0”经检腔a=-1. b=0满足题意，所以a2025十b202s= (-1)2025=-1. 例2(1)士2或0 解析：当B=财时，m=0,符合题意； 当B={-1}时，m=-2;当B={1》 时，m=2.综上，m的值为士2或0. (2)解：①令-2π= 经，得及 -4∈Z,故-2π∈A; π 5 令-2x=交十nr,得n=一2Z, 故-2π度B. 令2025x三k罗.得k2025∈Z,故 2 2025r∈A: 2 令2025r= 2 2十nx,得n=1012∈ Z,故2025π∈B. 2 ②BA.理由：由题意得 A=r-经e= 口是受的整数倍， B={=②m2D,mez 2 女工是的奇数倍}， 因为奇数集是整数集的真子集，所以 集合B是集合A的真子集，即B吴A. 对点训练2(1)1 解析：若a一2=0，解得a=2,此时 A={0,一2}，B={1,0,2},不符合题 意；若2a一2=0，解得a=1,此时 A={0,一1}，B={1,一1,0}，符合题 意.综上所述，a=1. (2)511 解析：因为5一2x一3为正整数，所 1 3 5 以M={-z021,2,2,23, 2},所以集合M中共有9个元素，因此 71 M的所有真子集的个数为2一1=511. 例3(1)CB={xx十1∈A},令x十 1=1,2,3,4,5,9,则=0,1,2,3,4， 8,即B={0,1,2,3,4,8},于是A∩ B={1,2,3,4.故选C. (2)A因为A={x-5<x< 5},B=-3,-1,0,2,3,1<5< 2,所以A∩B={-1,0}.故选A. 对点训练3(1)A由题意可得CN {2,4,8},则MU(CN)={0,2,4,6, 8}.故选A. (2)A由题意可得MUN={x x<2},则Cu(MUN)={x|x≥ 2},故A正确；CM={xx≥1}，则 NU(CuM)={xx>-1},故B错 误；M∩N={x|-1<x<1},则 C(M∩N)={xx-1或x≥ 1},故C错误；CN={xx≤-1或 x≥2，则MU(uN)={x|x<1 或x≥2}，故D错误.故选A. 例4(1)a≤1 解析：因为A∩B=A,所以A二B, 因为A={x|1<x<2},B={x x>a},所以a1. (2)(-∞，-2]U[1,+∞) 解析：由题可得B={一3，一2,1.当 a=-1时，A={-1,则A∩B= ⑦，不满足条件；当a<-1时，A= {xax-1},要使A∩B≠0， 则a一2；当a>-1时，A={x 一1≤x≤a},要使A∩B≠⑦，则 a≥l.综上，实数a的取值范围为 (-0∞，-2]U[1,+∞). 对点训练4士√2 解析：由A={x∈N2,工∈N 2 {0,2,4,6,8,10,12,B= ,x1 0}={x1≤x<5},则A∩B={2, 4},又A∩B二{a,a,4},所以{2,4}二 {a,a2,4}.当a=2时，{a,a2,4}变为 {2,4,4},不满足集合中元素的互异性， 故不符合；当a2=2时，a=士√2，当 a=V2时，{a,a”,4}={2,2,4},故 符合，当a=-√2时，{a,a2,4}= {-√2,2,4}，故符合.因此a=士√2. 例5(1)AAUB=B∩C,.AUBg B,B二B∩C,A二B,B二C,即 A二B二C.对于A,A二B二C, .A二C,A正确；对于B,当且仅当 A=B=C时，C二A,B错误；对于C, 当A=B=C时，满足A二B二C,C 错误；对于D,当A=时，满足A□ B二C,D错误.故选A. (2)ABD根据题意，设A={xx是 参加100米比赛的同学}，B={xx 是参加400米比赛的同学，C={x x是参加1500米比赛的同学冫，则 card(A)=8,card(B)=7,card(C)= 5,且card(A∩B)=4,card(A∩ C)=3,card(B∩C)=3,则 card(A∩B∩C)=12-[(8+7+ 5)一(4十3十3)]=2，所以三项比赛都 参加的有2人，只参加100米比赛的有 3人，只参加400米比赛的有2人，只参 加1500米比赛的有1人.故选ABD. 对点训练5(1)ABC对于A,B,C,当 U={1,2,3,A={1,B={2,3}, C={1,2,3}时，满足AUB=AU C,此时B车A,A至C,所以A,B不一 定成立，CB={1,CC=必，A∩ (CuB)={1,A∩(CC)=,所以 C不一定成立；对于D,Hx∈ (CuA)∩B,xEA,但x∈B,因为 AUB=AUC,所以x∈C,于是x∈ (CA)∩C,所以(A)∩B三(CA)∩ C,同理，Hx∈(CA)∩Cx∈ (CA)∩B,(CuA)∩B2(CoA)∩ C,因此，(CA)∩B=(CwA)∩C成 立，D一定成立，故选ABC. 参考答案397 (2)27 解析：作出Venn图，如图所示， 唱歌 5 0 42 跳舞 3 书法 1 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞， 1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳 舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢 唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的 有3人，三种都喜欢的有2人，则该班 女生人数为5+2+1+10+4+3十 2=27. 聚焦学科素养 题目呈现(1)14 解析：由题设知A十B={2,3,4,5}, .所有元素之和为2十3十4十5=14. (2)1012 解析：由a十c=2b,则a=2b一c,代 入+方= 1 2 2 1=2b二C,整理得(2b-c)=c,展 b bc 开得4b-5c十c2=0,解得b=千或 b=c(根据集合中元素的互异性，舍 去).代入a十c=2b得a=-合，则 cc p={-24c}ex-2025≤ x≤2025，x∈Z},所以c为4的整数 倍，且不为0，则共有2025-1×2= 4 1012(个)不同的“延安集”」 素养检测1.6 解析：由题意知这3个元素一定是连续 的3个整数，故不含“好元素”的集合有 {1,2,3,{2,3,4},{3,4,5,{4,5,6}, {5,6,7,{6,7,8},共6个 2.{x1<x<5} 解析：由x2十4x≥0得x≤-4或x≥ 0,所以A={xx一4或x≥0}，因 为3>0，所以3+1>1，所以B= yy>1,由+2 ≤0得 ”x-5 1(x+2)u-5)≤0·解得-2≤x< x-5≠0， 5,所以C={x一2≤x<5},因为A· B·C={xx∈A,且x∈B,且x∈ C},所以A·B·C={x1<x<5}. 1.2 常用逻辑用语 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.充分必要 充分不必要 必要不 充分 充要既不充分也不必要 2.(1)H3(2)Hx∈M,(x) (3)3x∈M,p(x) 3.3x∈M,p(x)Hx∈M,p(x) 3982对沟·讲与练·高三数学· 基础检测 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 2.既不充分也不必要 解析：若ab>1,当a=一2，b=一1 1 时，不能得到a> 方，若a>方，当 a=1,b=一1时，不能得到ab>1,故 “ab>1”是“a> 上”的既不充分也不 必要条件. 3.a∈(-o∞，1) 4.存在一个等边三角形，它不是等腰三 角形 5.AC对于A,Hx∈R,-x2≤0，所 以一x2一1<0，故A是全称量词命题 且为真命题；对于B,当m=0时，mm= m恒成立，故B是存在量词命题且为真 命题：对于C,任何一个圆的圆心到其 切线的距离都等于半径，故C是全称量 词命题且为真命题；对于D,当a=0, b≠0时，方程ax十b=0无解，故D是 全称量词命题且为假命题.故选AC. …》提升·关键能力《… 例1(1)C由函数y=x单调递增可 知，若a3=b,则a=b:由函数y=3 单调递增可知，若3=3，则a=b.故 “a3=b3”是“3”=3”的充要条件.故 选C. (2)C充分性：因为xy≠0，且x十 y=0,所以x=-y,所以义+ y 义十二义=一1-1=-2，所以充分 -y y 性成立.必要性：因为xy≠0，且义十 =-2，所以x2十y2=-2xy,即 x2十y2+2xy=0,即(x十y)2=0,所 以x十y=0,所以必要性成立，所以 “x十y=0”是“义+ =一2”的充 y 要条件，故选C. 对点训练1(1)A由x为整数能推出 2x十1为整数，故充分性成立，由x= ,2x十1为整数不能推出x为整数， 1 故必要性不成立，综上所述，“x为整 数”是“2x十1为整数”的充分不必要 条件，故选A. (2)BD由题意知p→q←r台s,pP r,rP力，所以s是g的充分不必要条 件，r是q的充分不必要条件，9是、的 必要不充分条件，p是s的既不充分也 不必要条件，故B,D正确.故选BD. (3)B由x2-7x十10≤0得2≤x≤ 5,由2≤x≤5能推出1≤x≤5，但 由1≤x≤5推不出2≤x5,故 “1≤x≤5”是“x2-7x十10≤0”的 必要不充分条件.故选B. 例2(1)x=0,y=2(答案不唯一) 解析：根据充分不必要条件的定义，只 需找出一组满足不等式的值即可，不 妨令x=0,y=2,而x十y≥0不能推 出该组值，故符合要求.（答案不唯一） (2)C因为此数为小于5的正整数， 所以A={x0<△·x<2}= 0<x<县}，周为x∈B是 基础版 x∈A的必要不充分条件，xEC是 x∈A的充分不必要条件，所以C是A 的真子集，A是B的真子集，所以只≤ 5且2、 解得号≤△<3，所以 >3 “△”表示的数字是1或2.故选C. 对点润您2[2-可 解析：由|x-2m<1,即-1<x 2m<1,解得2m-1<x<1十2m,因 为“1<x<2”是“|x-2m<1”的 充分不必要条件，所以(1,2)真包含于 2m-11+8m,片以20之 （学号不能同时取得)，解得号≤m≤ 1,所以实教m的取镇花国为[吕】] 「127 2)23] 解析：由题得（方）上(m-1, 1 m-1≤3 m+1),所以 解得 1 m+1≥2： 1 2 ≤m≤行，所以实数m的取值范 例3B:P∩Q=P,P二Q,当P Q时，3x∈Q,使得x任P,故A错 误；·P二Q,.Hx∈P,必有x∈ Q,即Hx任Q,必有x任P,故B正确； 由B正确，得Hx任Q,必有x任P, .xQ,使得x∈P错误，故C错 误；：Hx∈P,必有x∈Q,故D错 误.故选B. 对点训练3D对于命题p,Hx>1, √x>1,则W√x十2x>3,√x十2x- 3>0,即命题p为真命题；对于命题q, 因为△=（一4）2一4×2×3=-8 0,所以方程2x2一4x十3=0无解，即 命题q为假命题.故选D. 例4(1)3x<0,x+1≥-2 x (2)Hx∈R,x+2>0 对点训练43a∈R,一元二次方程x2 ax-1=0无实根假 解析：由题意得命题p的否定是3a∈ R,一元二次方程x一ax-1=0无实 根，由于△=a2十4>0恒成立，故对 任意实数a,方程都有实根，故命题p 的否定为假命题. 例5(1)-3<m≤0 解析：由题意得命题“了x∈R,使 mx-mx- 3 ≥0”是假命题，故 “x∈R,使mx2-mx-3<0”是 4 真命题，当m=0时，一÷<0成立，岩 m≠0，则m<0且△=m2-4m× (-是)<0，解得-3<m<0,综上 得-3<m≤0.