训练29 平面向量的概念及线性运算-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

(2)由1)知A=号因为a=5, 所以由正弦定理得 3 b C 3sin B=sin C=2. 2 则b=2sinB,c=2sinC, 所以a+b+c=V3+2sinB+2sinC= 6+2nB+2(行+B）=6+ 2amB+2停osB+号imB √5+2sinB+√5cosB+sinB=√5 3sin B+3 cos B =3+23 sin(B+ 若).因为B∈(o,)所以B中 吾e(后）· 所以sin(B+∈（分]， 所以25si(B+)∈(5,25]， 所以a+b+c∈(2√5,35] 所以△ABC周长的取值范围为(2√3， 33. 4.解：.(2十b)(sinA-sinB)=(c- b)sin C,a =2, ∴.由正弦定理得(a十b)(a-b)=(c- b)c,即c2+b2-a2=bc, A+a= 2bc A∈(0，)A= 31 由正弦定理得nB二nC b 2 43 sin A sin 3 3 sin B.e 4√3 3sin C, sa=合女mA=名× 1 3 sin Bx 3 sin Cx 2 nBn昏-） 停in Bem+音m） 1 专5mB-aB+1）- 2n(es-）g 0<B<, 由 0<-B< 得<B< 受则2B-∈（） sn(2郎-）e(侵]· △AC面积的取值范周为②5]. 第五章 平面向量、复数 训练29平面向量的 概念及线性运算 1.D对于A,零向量与任意向量共线， 且零向量的方向是任意的，当a=0或 b=0时，a与b的方向不是相同或相 反，故A错误；对于B,a=b,且 a,b方向相同才可判定a=b,故B错 误：对于C,当b=0时，若a∥b,b∥ c,则a与c是任意向量，故C错误；对于 a D,对任一非零向量a,a表示与a 方向相同且模为1的向量，故D正确. 故选D. 2.A对于A,因为0·0=0，故A错误； 对于B,因为所有的单位向量的模均为 1,故B正确；对于C,零向量与任何向 量共线，故C正确；对于D,因为相等向 量方向相同，所以相等向量必共线，故 D正确.故选A. 3.A由存在实数入，使得m=入n,可得 m,n共线：但当n=0时，m,n共线，此 时不一定存在实数入，使得m=An.故 选A 4.DAD,AE方向不同，不相等，A错 误；BD,CE方向相反，不相等，B错误： 若AB+AE=AC+AD,则ABAC= AD-AE,C第=ED,而C第=ED显然 不成立，矛盾，C错误；D,E为边BC的 三等分点，所以CE=DB,所以AE AC=AB-AD,即AE+A方=AB+ AC,D正确.故选D. 5.B由于D是边AB的中点，则B币 }赋，所以市-成+励=武+ 故选B 6.D如图，由题意 可得AB=AE十 EB AE+ 耐=破+ A /B 之亦+耐)=应+（成 号正)=亦+证所以m 分m=，所以m中n=故选D 1 6 7.BCD对于A,根据相反向量的定义可 知，若b是a的相反向量，则a= |b,故A正确；对于B,若a= |b,则a,b的长度相等，方向不一定 相同，故B错误；对于C,在平行四边形 ABCD中，有AB=-CD,但A,B,C, D四点不共线，故C错误；对于D,在平 行四边形ABCD中，一定有AB十 AD=AC,但在非平行四边形中该结 论不成立，故D错误.故选BCD. 8.ACD对于A,A言=DC,A正确；对于 B威=成-}市，B误：对于 C,A言-AD=D,C正确；对于D, A成=A店成-访+号C=A成+ 是(d)=子店ad)因元 AB+AC=2AM,D正确.故选ACD. 9.ACD对于A,AM= A 号访-号花 成花 合成-合A成，脚后 BM=M心，则点M是边BC的中点，所 以A正确；对于B,AM=2AB-AC→ AM-AB=AB-AC,所以BM=CB, 则点M在边CB的延长线上，所以B错 误；对于C,如图，设BC的中点为D,则 AM=-BM-CM=M店+M元= 2M心，由重心性质可知C正确；对于D, 商店花且十y=名 2AM=2xAB+2yAC.2x+2y=1, AE=2AM,则AE=2xAB+2AC,由 2x十2y=1,可知B,C,E三点共线，所 以△MBC的面积是△ABC面积的号， 2 所以D正确.故选ACD. 10.100200 解析：如图所示，汽车从点A出发，经 过点B,到达点C,最后停在点D,易 知C元|=AB|=100km,BC|= 200km,又在四边形ABCD中，CD= BA,所以四边形ABCD为平行四边 形，所以AD=BC1=200km. 100km 北 C D →东 200km B 100km 1 11.2 析：如图，由题 意可知AC 动= 合（防+励. B 由B配=2E市可得BD=号B配，又 硫-A花-A店，所以励=三A花 此花-（破+证 )=正-，又 A+应故A==是所 1 以入十以= 参考答案535 12.向量a,b方向相反向量a,b方向 相同 解析：如果a,b不共线，a,b,a一b正 好能构成三角形，那么a,b, a一b分别为此三角形的三条边 长，三角形的两边之和大于第三 边，三角形的两边之差小于第三边， ·a-b<a-b<a+ b1,当它们同向时，有1a一 b1|=|a-b<a十b:当它 们反向时，有|a-b1<|a一 b|=a+十b.综上所述，不等式 a-b≤|a+b|中等号成立的 条件是向量a,b方向相反；不等式 a-b≥a-b1|中等号成立 的条件是向量a,b方向相同. 13.解：(1)证明：因为AB=e1十2e2, BD =CD-CB =e-3e:-3e e2=-2e1-4e2,所以BD=-2AB, 又BD与AB有公共点B,所以A,B, D三点共线. (2)因为3e1-2e2与2e1-ke2共线， 所以存在实数入，使3e1一2e2= 2ke1-kie2, 因为e1与e,是不共线的两个非零 向量， 1=3 所以侣二众 2 4 k二3 所以长的值为子 14.解：(1)由题意，D为BC的中点，所以 AD=- 访+号A花，又M为BD的 中点所以成=店+2市 市+位前+) 弦+}花，因为花=成，即 A店=子AD,所以BG=AG-A店 号动-=号×（分本十 合C)店=-号店+号花 故A成=2A店+A花，B肪= 证+花 (2)由AG=2GD,AE=λAB,A京= AC(a,H∈R), 得防=忘，花-二市. 所以AG= 3A,因为E,F,G三点共线，所四 1 =1,则入十4=（入十 1 4)3入 动)-+贵+ 5 3 +京 =3, 5362对闪·讲与练·高三数学· 当且仅当贵=京博=1以=号 1 时取等号，所以入十4的最小值为3. 训练30平面向量基本 定理及坐标表示 1.B由题可知BC=AC-AB=(-4, 2).故选B. 2.D由向量a=(1,3),b=(2,m),可 得a-b=(-1,3-m),因为(a b)∥a,所以1×(3-m)-3×(-1)= 0,即6-m=0,解得m=6.故选D. 3.A由a∥b得2×4=(x-1)(x+ 1),解得x=±3，所以“x=3”是“a∥ b”的充分不必要条件，故选A. 4.Ba-2b=(3,4)-2(m,3)=(3 2m,-2),a+b=(3,4)+(m,3)= (3十m,7),因为向量a-2b与a十b共 线，所以(3一2m)×7十2(3十m)=0, 解得m= 9 故选B. 5.Aa+ib (）+（ 号=（侣+9+竖）a b=(是)-（竖9）-(9 名号-9a)a+o)∥a十 b), 释（+）停 ),化简得 =1.故选A. 6.B因为AC=AB+AD,所以AM 2λAB-34AC=2λAB-3μ(AB+ AD)=(2以-3)AB-3μAD,因为 BE=4EA,AF=3FD,所以AB 6A正，A市-专A,所以A成=52以 3)AE-4μAF.因为E,F,M三，点共 线，所以5(2λ-3)-4=1，得10入 19=1.故选B. 7.ACD分别设顶点A(0,3),B(-1, 0),C(3,0),第四个顶点为D(xy), 若AB=DC,即(-1，-3)=(3-x, 一y),则尽工=。1解得江=4， -y=-3, y=3, 即D(4,3):若AC=BD,即(3，-3)= (x十1y),则十1三3解得 y=-3, =2中D2.-3,花-丽. 即(3，-3)=(-1-x,-y),则 仁1一x=3:解得{工二。4·即 -y=-3, D(-4,3).故选ACD. 8.AC对于A,因为a=(1,-2),b= (-1,2),所以a=一b,则a∥b,A正 确；对于B,平面内不共线的两个向量 可以作为基底，由a∥b可知两向量共 线，B错误：对于C,a十b=(0,0)=0, C正确；对于D,b-a=(-1,2)-(1, -2)=(-2,4)=-2a,与a=(1, 一2)方向相反，D错误.故选AC. 基础版 9.ABD对于A,若a∥b,则有x=2X 2=4,A正确；对于B,若a⊥b,则有 2x十2=0，解得x=-1,B正确；对于 C,若|b=√5，则√x十4=√5，即 x2十4=5，解得x=士1，C错误；对于 D,a-b=(2-x,-1),若a·(a- b)=0,则2(2-x)-1=0,即3一 3 2x=0,解得x=之D正确.故 选ABD. 10.7 解析：因为向量a=(2,m),b=(n, 3),且a=2b,所以(2，m)=2(n, 3)=(2m,6),所以2n=2解得 6=m, 红=则m十n=6十1=7. m=6, 11.-7 解析：因为向量a=(1,一2)，b= (x,-1),c=(-4,x),所以2a十b= (2十x,-5),a-c=(5,-2-x). 因为2a十b,a-c共线，所以(2十 x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得 x=3或x=-7.又2a十b,a-c反 向共线，代入验证可知x=3时为同 向，舍去.而x=一7满足条件，所以 x- -7. 17 12.0,2」 解析：建立如图所示的平面直角坐标 系，过C作CF⊥AB,垂足为F, C D E A B :∠ABC=30°，BC=2, sin∠ABC= BC,COs∠ABC= C BF BC' .CF=2sin30°=1，BF=2cos30°= 5,∴A(0,0),B(2W3,0),C(5,1), D(0,1),设E(a,b),BE=mBC(m∈ [0,1]),因此(a-2√5，b)=m(-√5， 1)→6二25=-5m,→ b=m {a=25-5m:A龙=xAB+ b=m, yAD,.(a,b)=x(2√3,0)十y(0, 1)=(25xy)→a=2W5x,3 b=y 6'而a=25-V3m, b=m, y=b, y= 6m(25-m)=m(1 1 1 1 2m）=-2(m-1)+2,当m 1时2y有装大位子，当m=0时 有最小值0，xy的取值范围是 17 02 13.解：(1).b-c=(sinx-1,-1), a∥(b-c),∴.-(2十sinx)= sinx-l,即sinx=-2·又x∈ [02=名度x=日班级： 姓名： 第五章 平面向量、复数 训练29 平面向量的概念及线性运算 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.下列叙述中正确的是 ( 6在平行四边形ABCD中，B配=号BC,A-A应 ) A.已知向量a,b,且a∥b,则a与b的方向相同或 若AB=mDF+nAE,则m+n () 相反 c B.若|a1=b1,则a=b 二、多项选择题（每小题6分，共18分） C.若a∥b,b∥c,则a∥c 7.(2024·辽宁沈阳模拟)下列说法错误的是( 业对任一非零向量a:日是一个单位向量 A.若b是a的相反向量，则|a1=b 2.下列说法错误的是 B.若1a|=b|,则a,b的长度相等，方向相同 C.若AB=ACD(入≠0)，则A,B,C,D必共线 A.0·0=0 B.所有的单位向量的模均相等 D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC 8.已知四边形ABCD为平行四边形，M为BC的中 C.零向量与任何向量共线 点，则 D.相等向量必为共线向量 3.已知向量m,n,则“存在实数入，使得m=入n”是 A.AB=DC BB城-D “m,n共线”的 ( C.AB-AD=DB D.AB+AC=2AM A.充分不必要条件 9.(2024·山东济南模拟)设点M是△ABC所在平 B.必要不充分条件 面内一点，则下列说法正确的是 () C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.若Ai=2A店+号AC,则点M是边BC的巾点 4.如图所示，D,E为△ABC边BC的三等分点，且 B.若AM=2A店-AC,则点M在边BC的延长线上 AB|=AC|,则下列各式中正确的是 () C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心 A.AD-AE D若a-A店+C,且x+y行，则△MBC B.BD =CE C.AB+AE-AC+AD 的面积是△ABC面积的号 D.AB+AC =AD+AE 三、填空题（每小题5分，共15分） 5.(2024·江苏南京模拟)如图所示，已知在△ABC 10.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B 中，D是边AB的中点，则CD 点，然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了 A.BC-7BA 200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了 100km到达D点，则|CD= km, B.-BC+BA IAD I= km. 得分 C--耐 1,已知D为△ABC所在平面内-点，且C-号， nBC+号B时 连接BD,点E在线段BD上且BE=2ED.若AC λAB+uAE,则入十H= 得分 (横线下方不可作答) 317 第五章平面向量、复数 12.若a,b为非零向量，则不等式|a一b|≤1a|+ 14.(20分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中 |b|中等号成立的条件是 ；不 线，M为BD的中点，G是AD上一点，且AG 等式|a-b|≥||a|-b|中等号成立的条件 2GD,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于 是 得分 点F 得分 四、解答题（共37分） (1)试用AB和AC表示AM,BG; 13.(17分)已知非零向量e1和e2不共线. (2)若AE=λAB,A=uAC(au∈R),求入+ 得分 4μ的最小值. (1)如果AB=e1+2e2,CB=3e1十e2,CD=e1 3e2,求证：A,B,D三点共线； (2)若向量3e1-2e2与2e1-ke2平行，求实数k 的值. 红对勾·讲与练318] 高三数学·基础版 ■