专题11 平行线的证明相关压轴题分类训练2（综合动点知识迁移旋转4种类型32道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题11 平行线的证明相关压轴题分类训练2 （综合动点知识迁移旋转4种类型32道） 地 城 类型01 综合性问题 1．如图，，点、在直线上，点在上，，平分，．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据平行线的性质，角平分线定义和余角性质证明，再根据，得出，即可证明，得出①正确；根据平行线的性质得出，即可判定②正确；根据现有条件无法证明，即可判断③错误；根据平行线的性质证明，说明平分，判定④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，故②正确； ③根据已知条件无法证明，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 2．如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论： ①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定及性质；①由平行线的性质得，结合角平分线的定义即可判断；②过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可判断；③过作，由平行线的性质得，结合角平分线的定义得，即可判断；④由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可判断；能熟练利用平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】解：①， ， 平分， ， ； 故①正确； ②过作， ， ， ，， ， ，即； 故②正确； ③过作， ， ， ， ， ， ， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， 故此项错误； ④， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 3．如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的定义，解决本题的关键是根据图形的性质找到角之间的关系，根据角之间的关系判断结论是否正确． 【详解】解：， ， ， 平分， ， 故错误； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 已知，， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确． 正确的有． 故答案为： ． 4．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 5．如图，点E在的延长线上，，交于点F，且，P为线段上一动点，Q为上一点，且满足．．下列结论：①；②；③平分．其中正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据，得到，进而得到，推出，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； 故答案为：①②③ 6．如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有 （请填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ②∵， ∴，故正确； ③添加无法证明，故错误； ④∵， ∴，故正确； 故答案为：①②④． 7．如图，，连接，点是之间一点，点分别在上，连接，点在直线上，连接，恰好平分，，下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论序号是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的选项①②， 故答案为：①②． 8．如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 9．如图1，已知，．地 城 类型02 动点求值 (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 10．直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 【答案】(1)135 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，平行公理的推论，补角的定义，熟练运用平行线的性质，角的平分线的性质是解题的关键． （1）过点Q作，则，利用平行线的性质求解即可； （2）利用补角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，过点Q作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，    故答案为：135； （2）证明：， ， 平分， ． ∵ ． ∵， ．    11．如图，已知，，点P是射线上一动点（与点B不重合），、分别平分和，交射线于点C、D． (1)求的度数； (2)当点P运动时，与的度数有怎样的关系，并说明理由； (3)当点P运动到使时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义作答即可； （3）根据平行线的性质得到，进而得到，可知，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，分别平分和， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 即． （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．已知：，． (1)如图1，设，，直接写出α、β之间的数量关系： ； (2)如图2，的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质． （1）过点C作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：不发生变化，． 由②可得，， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， 过点P作，则， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 分以下两种情况： 当点F在点P的左侧时，如图， 则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 13．已知：如图，，点P是射线上一动点（与点C、点D不重合），分别平分和交射线于点E、F． (1)当时，求的度数； (2)随着点P的移动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由． (3)若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到，进而得出，进而完成解答； （3）同理（1）求出，根据，易证，再根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和．分别交射线于点、． (1)当时，_____； (2)当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)在（1）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （3）由得，当时，有，得，根据角平分线的定义可得，最后根据两直线平行同旁内角互补得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）解： ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：， ，， ， ， ，即； 又平分，平分， ，， ， ，， ． 15．已知，点E，F分别是上的动点，，垂足为点M，和的角平分线交于点N，． (1)如图1，当点E在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，点E在上移动过程中，若．求的度数； (3)如图3，当点M在直线上方时，的角平分线的反向延长线交于点N．请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，则，由平行线的性质可得，，结合，即可求解； （2）同（1）作，由角平分线的定义得，，由平行线的性质可得，，则，即可求解； （3）作，则，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作， 和的角平分线交于点N， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， （2）解：如图，作， 和的角平分线交于点N， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，作，则， 同上可得，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是添加辅助线构造平行． 16．如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，连接，，，，满足平分． 【初步探究】（1）如图1，当点在右侧时，求证：； 【深入探究】（2）如图2，当点在左侧时，过点作，交于点，探究、之间的关系并说明理由； 【衍生拓展】（3）如图3，当点在左侧时，为延长线上一点，平分，交于点，过点作，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的意义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键． （1）通过证明，利用内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用（1）的方法证明，再利用平行线的性质即可得结论； （3）根据角平分线的定义及角的和差关系即可求出． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．地 城 类型03 知识的迁移 【探究问题】 (1)在图①中，和三个角之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． 【知识运用】 (2)如图②是汽车灯的剖面图，位于点O的灯发出的光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为 ． 【知识迁移】 (3)如图③，电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．左图是一辆正在工作的电动曲臂高空作业车，某时刻可将其抽象为右图．其中，，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，即可得数量关系； （2）通过构造平行线，使用“两直线平行，内错角相等”即可求解； （3）延长构造平行线，结合平行线的性质可得，再使用“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴，和的数量关系为：； （2）解：过点O作射线平行于水平线，如图， 则有且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：延长交于点M，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 18．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求大小． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质的综合，理解图示，作辅助线，掌握平行线的性质的综合运用是解题的关键． （1）如图所示，过点作，根据两直线平行内错角相等即可求解，，之间的数量的关系； （2）根据角平分线的定义可求出，，之间的数量关系； （3）如图所示，过点作，过点作，设，，根据平行线的性质，角平分线的定义可得，，，由此可得，所以根据，由即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （2）由（1）证明可知，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ； 故答案为：． （3），理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ． 19．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，，，求证：． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）．（4） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图所示，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行， ∴， ∴， ∴． 20．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2），理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 21．已知，点M、N分别是、上的点，点G在、之间，连接、．请利用所学知识解决问题： (1)探究证明：如图1，试探究与、之间有什么数量关系，并说明理由． (2)拓展应用：如图2，若与的平分线相交于点P，请直接写出与之间的数量关系． (3)迁移提升：如图3，若点P是下方一点，平分，平分，已知，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)90° 【分析】（1）过点G作，根据平行线的性质得到，，继而得到结论； （2） 过点P作，根据平行线的性质得到，，通过角的转换得到，再利用角平分线的性质得到，结合（1）的结论即可得到答案； （3）过点P作，过点G作，设，由平行线的性质得到，，再利用角平分线的性质得到，继而求出，即可得到答案． 【详解】（1），理由如下 过点G作 （2），理由如下 过点P作 与的平分线相交于点P 由（1）得 （3），理由如下 过点P作，过点G作，设 又 平分，平分 ， 【点睛】本题考查平行线的性质及判定、角平分线的性质，熟练掌握知识点、添加恰当的辅助线是解题的关键． 22．（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； （2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，． ①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系； ②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系． 【答案】（1）100°（2）①；②当点在上时，；，当点在上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算． （1）过点作，依据平行线的性质，即可得到的度数； （2）①过作，依据平行线的性质，即可得出，和之间满足的数量关系． ②分两种情况讨论：过作，易得当点在上时，；当点在上时，． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， ， ， ； （2）①如图3，过作， ， ， ，， ，即； ②如图4，当点在上时，过作， ， ， ，， ； 即； 如图5，当点在上时，过作， ， ， ，， ， 即． 23．（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①理由见解析；②理由见解析；（2）211 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】解:（1）①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 故答案为：211． 24．已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练在为平行线的性质，是解题的关键： （1）过点P作，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据，得出最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，求出，根据，即可得出； （3）由（2）知，，先证、，，根据可得答案． 【详解】解：（1）如图1所示，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）结论：；理由如下： 如图2，过点P作，    ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 25．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分；地 城 类型04 旋转相关问题 (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、三角板中角度的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴， 解得：； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长与交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 26．已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 27．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前(即灯B转动角度小于)，A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达之前(即灯A转动角度小于)，若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)30秒或110秒 (3)不变， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，两束光线分别是， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图， ， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化： 设灯A射线转动时间为t秒， ， ， 又， ，而， ， ， 即． 28．如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的值为10或20或25 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； （2）过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 29．【问题探究】 （1）如图1，，，分别在，上，是直线上一点． ①若在点的右侧，且，，则的度数为_____，的度数为_____，的度数为_____； ②如图2，平分交于点，平分交于点，当在点的右侧时，过点作，垂足为，记，，请探究出与的关系式，并说明理由．    【拓展应用】 （2）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧班列”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即，连接，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是3度/秒，灯转动的速度是9度/秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，在灯发出的射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值．    【答案】（1）①；②；（2），，， 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键． （1）①根据平行线的性质，即可得出，再结合角的和差关系进行列式计算，即可作答． ②因为点在点的右侧，设，，记，，，即，所以，根据平行线的性质即可求解； （2）分三种情形讨论，①未到时，②从返回时，③第2次从出发，根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②，理由见详解 平分交于点，平分交于点． ，， 设，， ， ，， ∵记，， 即， ， ， ， 即， ， ， （2）①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点， 与互相垂直时， ， ，， ， 解得：； ②如图所示，当返回时， ， ，， ，，， ， 解得：； 如图所示，当返回时， ， ，， ，，， ， 解得：； ③当第2次从出发，与垂直时，如图所示， ， ， ，， ， 解得：． 综上所述，，，，． 30．实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 31．如图1，直线分别交直线于两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； (3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12或18或30或48 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，结合图形分情况分析是解题关键． （1）根据题意及平行线的判定即可证明； （2）分别过点作，得出，再由平行线的性质及各角之间的关系求解即可； （3）分四种情况分析：①当时，②当时，③当时，④当时，结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：分别过点作， ∵， ∴， ，，分别平分与 ∵， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ①当时，，得； ②当时， ， ， ， ， ∴，得； ③当时， ∴， ∴， ∴，得， ④当时，同理得：，得 综上所述的一边与直线平行时或或或． 32．综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题11平行线的证明相关压轴题分类议 (综合动点知识迁移旋转4种类型321 类型 综合性问题 类型2动点求值 平行线的证明相关 压轴题分类训川练2 类型3知识的迁移 类型4旋转相关问 目目 类型01 综合性问题 1.如图，AB∥GH,点C、E在直线GH上，点D在AB上，AC⊥BC,CA平分∠DC( ∠BCD=∠ADE.下列结论：①BC∥DE;②AC⊥DE;③∠B=2∠A;④DE平分∠ADC.其 (填序号) B E 2.如图，己知AB∥CD,点E为CD上一点，作∠BEF,连接AF,若∠ABE与∠BEF的角平分 列结论： ①∠BEC=2∠ABG;②若∠BAF=80°，则∠AFE-∠DEF=100°；③∠G-∠DEF=90°； ∠G+)∠CEF=180°.其中一定正确的结论有 (填写序号即可). 1/14 上好每一堂课 练2 道) 中正确的有 线交于点G.下 ④ 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E C 3.如图，ABI‖CD,E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F,LCED=90°，CE平分LAEG,且 ∠CGE=50°，则下列结论：①∠AEC=75°；②DE平分∠GEB;③∠CEF=∠GED; ④∠FED+∠BEC=180°；其中正确的有·（请填写序号） C F G D B 4.如图所示，已知AB∥CF,AB1BD于点B,∠1+∠3=180°，则下列结论一定正确的有一（填序号）. ①∠2=∠3；②∠4=∠AFD;③AF∥CE;④LD=∠DCE;⑤∠FCD=90°；⑥∠4=∠2+∠3. B C A01 2 4 E 5.如图，点E在CA的延长线上，DE,AB交于点F,且LBDE=LAEF,LB=LC,P为线段DC上一动 点，Q为PC上一点，且满足.∠FQP=∠QFP.下列结论：①CE∥BD;②AB∥CD;③FO平分∠AFP.其 中正确的序号是」 A F B Q PD 6.如图，已知AB∥CD.不添加辅助线，请再添加一个条件，使∠1=∠2成立.四位同学分别给出了答案， ①LBCF=∠CBE;②BE∥CF;③∠COF=∠BOE;④∠E=∠F.你认为正确的有 (请填序号). 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D ) A B 7.如图，AB∥CD,连接AC,点P是AB,CD之间一点，点E,F分别在AB,CD上，连接PF,PE,点H,G 在直线AC上，连接PH,PG,PG恰好平分∠EPF,∠A+∠AHP=180°，下列结论：①CDPH;② ∠BEP+∠DFP=2LEPG;③∠FPH=∠GPH,其中所有正确的结论序号是 (填序号). D B 8.如图，AB∥CD,E为AB上一点，且EF⊥CD,垂足为F,CE⊥DE,CE平分LAEG,且LCGE=Q ,则下列结论： ①∠EDG= ②∠CEB=2a; ③∠CEF=90°-& ④∠FED+∠DCE+∠FGE=180°；其中正确的有一·（请填写序号） C F G D ● B E 目目 类型02 动点求值 9.如图1，己知∠ACB=90°，MA∥BN. 3/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M A M B B 图1 图2 备用图 (1)设∠MAC=a,∠CBN=B,直接写出o、B之间的数量关系： (2)如图2，己知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P,当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生 变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F, 连接EP,已知∠FEP=I0°，求∠BPE的度数 10.直线AB∥CD,E是AB上一定点，P是直线CD上一动点，点Q在直线AB,CD之间，且 ∠QPD=70°，∠QEB=a,∠CPQ的平分线交直线AB于点M· M -M E E —B B A B C P P 图1 图2 备用 (1)如图1，若a=65°，则∠EQP的度数是° (2)如图2，若PM∥EQ,求∠QEB的度数； 11.如图，己知AM∥BN,∠B=30°，点P是射线BN上一动点（与点B不重合），AC、AD分别平分 ∠BAP和∠PAM,交射线BN于点C、D. M M B∠ 备用图 (1)求LCAD的度数； (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数有怎样的关系，并说明理由； (3)当点P运动到使∠ACB=∠BAD时，求∠BAC的度数. 12.已知：AC⊥BC,MA∥BN. 4/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，设∠MAC=a,∠CBN=B,直接写出a、B之间的数量关系：一； (2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P,当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变 化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=44°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F ,连接EP.己知LFEP=I5°，求∠BPE的度数. 13.己知：如图，ABII CD,点P是射线DC上一动点（与点C、点D不重合），BE、BF分别平分∠DBP和 ∠ABP交射线DC于点E、F. A B CF P E D (1)当∠D=50°时，求∠EBF的度数； (2)随着点P的移动，∠BPD与∠BFD之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变， 请说明理由 (3)若∠D=Q,∠ABE=∠DBF,求∠BPD的度数（用含O的式子表示）. 14.如图，己知AM∥BN,点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC,BD分别平分∠ABP和 LPBN,分别交射线AM于点C、D. D M N (1)当∠A=68°时，∠CBD=一 (2)当∠A=a时，求∠CBD的度数（用含o的代数式表示）： (3)在(1)的条件下，当∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数 15.已知AB∥CD,点E,F分别是AB,CD上的动点，EM⊥FM,垂足为点M,∠BEM和LCFM的角 5/14 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 平分线EN,FN交于点N,∠BEN=a. D F AE B A E B AE B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E在直线AB上移动到某处，测得a=10°.求LCFN的度数； (2)如图2，点E在AB上移动过程中，若a=2LCFN.求a的度数： (3)如图3，当点M在直线CD上方时，∠MFD的角平分线的反向延长线交EN于点N.请直接写出∠CFN的 度数（用含的式子表示）. 16.如图，点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，连接BD,DG,EF,EG,满足 ∠DBF=∠DEF,LBDG=∠BGD,DG平分∠BDE. B ME D A B GF CB M GF 图1 图2 图3 【初步探究】(1)如图1，当点G在F右侧时，求证：AD∥BC; 【深入探究】(2)如图2，当点G在F左侧时，过点G作GM∥BD,交AD于点M,探究LDGE、 ∠BDG、∠FEG之间的关系并说明理由： 【衍生拓展】(3)如图3，当点G在F左侧时，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG,交BC于点M, 过点G作GN⊥DG,交EF于点N,连接DN,若∠BDM=30°，求∠NGF的度数. 目目 类型03 知识的迁移 17.如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后， 折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P. 【探究问题】 (1)在图①中∠BPD,∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？并说明理由 【知识运用】 (2)如图②是汽车灯的剖面图，位于点O的灯发出的光照射到凹面镜上反射出的光线BA,CD都是水平线， 6/14 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若∠AB0=25°，LB0C=75°，则∠DC0的度数为 【知识迁移】 (3)如图③，电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转 向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度.左图是一辆正在工作的电动曲臂高空作业车，某时 刻可将其抽象为右图.其中AB‖EF,∠B=60°，∠BCD=25°，∠DEF=120°，求∠CDE的度数， B A M.------ ------ 图① 图② 图③ 18.综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动.已知 AB∥CD,BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F. 【探究问题】 (1)如图1，请直接写出LBFD,LABF,LCDF之间的数量关系， (2)如图1，请写出∠BFD,∠ABE,∠CDE之间的数量关系，并说明理由 【知识迁移】 (3)如图2，若∠E+8∠M=360°，∠ABM=∠EBF,∠CDM=20°，求∠MDF大小. B A D 图1 图2 19.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班 级开展课题学习活动.探究平行线的“等角转化”功能。 【问题初探】 (1)如图1，∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE,求证：AD∥BC. 【拓展探究】 (2)在(1)的条件下，试问∠ADF,∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由. 【迁移应用】 (3)路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1=31°，则∠2+∠3= 7/14 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角 a=15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=45°，求∠EFG的度数， I工作篮 3 2> 支撑平台 B E 图1 图2 图3 20.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班 级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能， (1)【问题初探】如图1，已知AE∥DC,∠C=∠DAE,试说明AD与BC的位置关系. 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整 解：AD∥BC,理由如下： 因为AE∥DC,所以LC=∠AEB,依据是 又因为LC=∠DAE,所以∠AEB=∠DAE; 由∠AEB=∠DAE得AD∥BC,依据是」 (2)【拓展探究】在(1)的条件下，∠DFE、∠ADF、∠AEB三个角的关系为：∠DFE=∠ADF+∠AEB, 请说明理由. (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1=31°，请直接 写出∠2+∠3的度数之和. D 皿工作篮 3 F 支撑平台 B E 图1 图2 21.已知AB∥CD,点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG,请利用所 学知识解决问题： 8/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M M B y B B G C N D D 图1 图2 图3 (1)探究证明：如图1，试探究∠MGN与∠AMG、∠CNG之间有什么数量关系，并说明理由 (2)拓展应用：如图2，若∠AMG与∠CNG的平分线相交于点P,请直接写出LMGN与∠MPN之间的数量 关系。 (3)迁移提升：如图3，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知∠BMG=30°，请 直接写出∠MGN+∠MPN的度数. 22.(1)问题解决：如图1，己知AB∥CD,E是直线AB,CD内部一点，连接BE,DE,若∠ABE=40° ,∠CDE=60°，求∠BED的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； (2)问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，AB∥CD,射线OM与直线AB,CD分别交于点A,C,射线ON与直线AB,CD分别交于点B, D,点P在射线ON上运动，设LBAP=a,∠DCP=B. ①当点P在B,D两点之间运动时(P不与B,D重合)，求，B和∠APC之间满足的数量关系； ②当点P在B,D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出，B和∠APC之间满足的数量关系. M A D 】 图1 图2 图3 23.(1)问题情景：如图1，己知∠CDF+∠DFE=180°，∠C=LDAE· 9/14 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 工作篮 O 4 D J A----2 F 支撑平台 E 图1 图2 ①问题初探：请对AD∥BC说明理由； ②拓展探究：请对∠DFE=∠ADF+∠AEB说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=31°，则 ∠2+∠3的度数为°. 24.己知直线AB∥CD,点P为直线AB,CD所确定的平面内的一点. 问题提出：（1)如图1，∠A=120°，∠C=130°，求∠APC的度数： 问题迁移：（2)如图2，写出∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：(3)如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC,作∠PEG=∠PEF,点G在直线CD上， 作∠BEG的平分线EH交PC于点H,若∠APC=20°，∠PAB=150°，求∠PEH的度数. D D D G C D 图1 图2 图3 目目 类型04 旋转相关问题 25.如图，直线PQ∥MN,一副三角板(LABC=∠CDE=90°，LACB=30°，LBAC=60°， ∠DCE=∠DEC=45)按如图1放置，其中点E在直线P9上，点B,C均在直线MN上，且CE平分 ZACN 图① 图② 图③ 10/14