专题10 平行线的证明相关压轴题分类训练1（定值数量关系存在性4种类型32道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题10 平行线的证明相关压轴题分类训练1 （定值数量关系存在性4种类型32道） 地 城 类型01 定值问题 1．已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 2．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 3．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 4．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 5．【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 6．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 7．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 8．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 9．已知直线，点M、N分别在直线、上．地 城 类型02 探究两角的数量关系 (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 10．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 11．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 12．如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 13．如图．已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由： (2)点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，，，． ①如图2．当点在点的右侧，试用含、的式子分别表示、； ___________：___________：当时，___________°； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 14．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 15．如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 16．（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 17．综合与实践地 城 类型03 探究三角的数量关系 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 18．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 19．已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 20．已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 21．综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 22．已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 23．如图，已知，平分交于点． (1)如图①，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，，，当时，求的度数； (3)如图②，若，直接写出、、之间的数量关系． 24．探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 25．已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间．地 城 类型04 存在性问题 (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 26．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． (1)【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； (2)【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 27．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，． (1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空） 28．如图，在四边形中，．点E、F均在边上，，平分，如图2和图 3． (1)利用图1证明：． (2)利用图2求的度数． (3)猜想和的一个等量关系式，并给予证明． (4)当和的长度改变，其他条件不变时，如图3，是否存在？ 若存在请求出的度数；若不存在，请说明理由． 29．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 30．数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（）”为主题开展数学活动，已知点G在直线上，E，F不同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角板的角的顶点E放在上，若，求的度数； (2)如图2，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)若存在，请画出示意图，并求出射线与所夹锐角的度数． 31．综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 32．2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ (2)如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． (3)若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平行线的证明相关压轴题分类训练1 （定值数量关系存在性4种类型32道） 地 城 类型01 定值问题 1．已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 2．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 3．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 4．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在，， 【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解、； （2）分、在不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求； （3）设转动时间，用表示相关角，结合推导表达式，根据定值条件确定与 ． 本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴且 解得， 故答案为：，． （2）解：当、都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当在的左侧，都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当、都在的左侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 综上，当时，求的值为或或； （3）解：在转动过程中，存在一点，使得为定值， 理由：设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， ∵， ∴, ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得k为定值， 此时， ． 5．【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；②的大小不变，其度数为 (2)当，的度数为定值，这个定值为 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握三个结论，是解题的关键： （1）①根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图1的结论进行求解即可； ②设，根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图3的结论进行求解即可； （2）设，利用图2的结论和平行线的性质，推出，根据的度数为定值，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 由图1的结论可知：． ②设． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， 由图3的结论可知：， ∴， ∴的大小不变，其度数为． （2）设． ∵， ∴， 由图2的结论可知：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的度数为定值， ∴，， ∴当，的度数为定值，这个定值为． 6．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 7．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 8．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．已知直线，点M、N分别在直线、上．地 城 类型02 探究两角的数量关系 (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 11．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)灯A旋转的时间为秒或秒； (3)和关系不会发生变化，． 【分析】本题考查邻补角，平行线的性质，一元一次方程的实际应用． （1）由邻补角互补，结合已知，即可得的度数； （2）分情况讨论，当时，由平行线的性质可得，即，求解即可；当时，由平行线的性质可得，即，求解即可； （3）由平行线的性质，结合角的和差关系，可得，，从而可得与的数量关系，根据数量关系是否与有关，即可判断与的数量关系是否发生变化． 【详解】（1）解：如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（秒），（秒） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴灯A旋转的时间为秒或秒． （3）解：如图4，设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴和关系不会发生变化，． 12．如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作，得到，利用平行线的性质得到，，得出结论； （2）根据（1）的结论得到，利用平行线的性质得到，结合角平分线定义以及利用（1）的结论得出结果； （3）设，，得到，利用（1）的结论得出结果． 【详解】（1）解：过点E作． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）的结论得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）的结论得； （3）解：．理由如下： 如图，设，． ∵，， ∴，， ∴， 由（1）的结论得，， ∴， 即． 13．如图．已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由： (2)点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，，，． ①如图2．当点在点的右侧，试用含、的式子分别表示、； ___________：___________：当时，___________°； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；；；②或．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． （1）由平分，得到，又，所以，证得； （2）①由平分，平分，得到，由可得，，，即可得到结果； ②当点G在点F的左侧时，由平分，平分，得到，由，得到，，从而得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 理由如下： 平分， ， ， ， ； （2）解：①如图2，平分，， ，， 平分，， ，， ，， ， ，即， ， ，即， ， ； 故答案为：；；； ②和之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 综上得，和之间的数量关系为或． 14．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）结合邻补角定义求出，依据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行线的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15．如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据可得出答案； （2）先根据得，再根据得，由此可判定与的位置关系； （3）根据角平分线的定义设，，则，，再根据得，，，则，，据此可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： ∵平分，平分， ∴设，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】过点作，根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； 过点作，可得，利用平行线的性质可得：，同理可得：，根据规律可得：； 过点作，可得：，根据平行线的性质可得：，由可得：，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 同理：， 以此类推，可得：； 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， 由可知， ． 【点睛】本题考查了平行线性质以及类比思想的运用、探索图形的规律，解决本题的关键是作辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质找角之间的关系，运用类比的思想推导出角之间的规律． 17．综合与实践地 城 类型03 探究三角的数量关系 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 18．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 19．已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2)当点在点左侧时，；当点在点右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用两直线平行内错角相等，得出相等的角，然后等量代换即可； （2）利用两直线平行同旁内角互补，得出角的关系，然后利用角的和差进行表示即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴； （2）解：①如图所示，当点在点左侧时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：当点在点左侧时，；当点在点右侧时，． 20．已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 21．综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，需熟练掌握平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造平行线，使用平行线的性质解决角度问题． （1）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”可得与，再由等量代换即可求解； （3）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，再结合角平分线的性质，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】解：（1）过点P作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）过点E作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴． 22．已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 23．如图，已知，平分交于点． (1)如图①，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，，，当时，求的度数； (3)如图②，若，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质和角平分线定义及角的和差计算可得，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论； （3）分析思路同（2），把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的度数为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 24．探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 【答案】探究：（1）证明见解析；拓展：（2）；应用：（3）或 【分析】本题主要考查的平行线的性质、角平分线的定义等知识，运用分类讨论的思想是解决应用的关键． （1）由平行线的性质得到，，然后等量代换即可证明； （2）由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：当点Q在直线的右侧和当点Q在直线的左侧，然后根据（1）的结论结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）． 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，当点Q在直线的右侧时， 由（1）得，， ∴， ∵、的平分线交于点， ∴， ∴由（1）得，； 如图所示，当点Q在直线的左侧时， 由（1）得，， ∵、的平分线交于点， ∴， ∴由（1）得，； 综上所述，或． 25．已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间．地 城 类型04 存在性问题 (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1)120 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：120； （2）解：如图，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）解：如图，当点在上方时，交于点，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，当点在下方时，延长交于点，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 26．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． (1)【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； (2)【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)与间的数量关系为，理由见解答； (3)射线与直线所夹锐角的度数为或 【分析】本题考查了平行线的性质以及平行线的拉皮筋模型中构造辅助线的方法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，从而可得； （2）过点B作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，，由已知，故，从而有； （3）根据点A始终在直线的上方可知，分两种情况：①边在直线上方时，，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为，②边再直线的下方，此时，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为． 【详解】（1）解：如图1，过点C作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）与间的数量关系为，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 即； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边在直线上方时，如图3，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， ②当边再直线的下方时，如图4，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， 综上所述，射线与直线所夹锐角的度数为或． 27．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，． (1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平等公理的推论，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点C作，可得，从而得到，即可求解； （2）由（1）得：，再结合邻补角的性质，即可求解； （3）先求出，设，则，然后根据平角的定义可得求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图， 由（1）得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 28．如图，在四边形中，．点E、F均在边上，，平分，如图2和图 3． (1)利用图1证明：． (2)利用图2求的度数． (3)猜想和的一个等量关系式，并给予证明． (4)当和的长度改变，其他条件不变时，如图3，是否存在？ 若存在请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 (4)存在，． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （3）平行线的性质得到，即可得出结论； （4）根据平行线的性质，结合，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）存在； ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴． 29．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 30．数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（）”为主题开展数学活动，已知点G在直线上，E，F不同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角板的角的顶点E放在上，若，求的度数； (2)如图2，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)若存在，请画出示意图，并求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2) (3)射线与所夹锐角的度数为或 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据平行线的性质计算即可得解； （2）过点E作，令交于，则．根据平行线的性质计算即可得解； （3）分两种情况：当点E在上方时；当点E在下方时；分别利用平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以； （2）解：如图1，过点E作，令交于，则． ， 所以，， 因为， 所以． 所以， 所以； （3）解：分两种情况： 如图2，当点E在上方时， ， 因为， 所以， 解得． 所以 因为， 所以射线与所夹锐角的度数为． ②如图3，当点E在下方时， ， 因为，， 所以， 解得． 所以， 因为， 所以射线与所夹锐角的度数为 综上，射线与所夹锐角的度数为或． 31．综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 32．2025年1月29日（大年初一）晚上8时广州市白鹅潭上空举行了一场盛大的无人机灯光秀，此次活动以白鹅潭大湾区艺术中心为烟火背景，融入了2025架无人机表演、灯光秀、视频投影等内容，结合珠水鹅潭一江两岸城市景观，展示广州活力繁华的城市景象，成为今年春节期间广州最令人瞩目的焦点盛事．在一次无人机表演中，两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的、两点． 无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕点顺时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，然后速度不变再次绕点顺时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到，依次进行直到表演结束． 无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． (1)如图1，若甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲才开始转动，请问两光束同时旋转多少秒后首次平行？ (2)如图2，若，两光束以（1）中的速度同时旋转秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点，过作于点．探究与之间的数量关系． (3)若甲、乙两光束开始时以的初始速度同时旋转秒（光束乙尚未第一次到达前），是否存在实数使得两光束所在直线互相垂直，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，准确添加辅助线是解题关键； （1）由题意可得甲、乙两光束速度为/秒和/秒，然后根据平行线的性质列方程求解； （2）过点作，结合平行线的性质和判定推理计算即可； （3）分束甲尚未第一次到达前和当光束甲转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到时，两种情况，结合方程思想推理计算 【详解】（1）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， 乙先转运所需的时间为：（秒）， 延长交于点 由题意可得， ∵， ∴ ，解得：， ∴两光束同时旋转秒后首次平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ （3）解：∵甲、乙两光束旋转的初始速度为，两光束旋转的初始速度之和为/秒， ∴甲、乙两光束速度为/秒和/秒， ①光束甲尚未第一次到达前，当时 过点作， ∵ ∴ ∴，， ∴， ，解得； ②当光束甲转到方向后立即以当前速度的倍匀速逆时针转回到时， 过点作， ∵ ∴ 此时， ，解得， 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $