专题09 二元一次方程组压轴应用题分类训练（5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题09 二元一次方程组压轴应用题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 方案问题——方案选择 1．某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案． （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台． 2．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，再分区间比较函数值大小，确定最优选择． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ，解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）甲印刷社：， 乙印刷社：， 当时，，选择甲印刷社； 当时，若，得，即，选择甲印刷社划算； 若，得，即，选择两家印刷社一样划算； 若得，即，选择乙印刷社划算． 综上所述，时选择甲印刷社划算； ，选择两家印刷社一样划算； ，选择乙印刷社划算． 3．“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： ①全部进行粗加工并包装； ②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售； ③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请根据以上信息，回答下列各小问： (1)若选择方案①，求该公司所得的利润． (2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由． 【答案】(1)57500元 (2)第③种，见解析 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，方案选择，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：（元）． 若选择方案①，求该公司所得的利润为元． （2）当选择方案②时，由题意得，进行天精加工并包装，余下的直接销售． 则精加工并包装的数量为，直接销售的数量为． 此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工并包装天，进行粗加工并包装天． 则 解得 此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为元． ， 选择第③种方案能使公司最大利润化． 4．根据以下素材，探究完成任务． 如何设计预订巴士优惠方案？ 素材（1） 华鑫学校七年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动．现有大巴和中巴两种车型可供选择． 素材（2） 若预定8辆大巴和7辆中巴会有5个空座位，预定7辆大巴和8辆中巴则有5人无座位． 素材（3） 旅游公司制定车辆租赁费用如下：大巴租金为540元/辆，中巴租金为490元/辆． 问题解决 任务（1） 探求两种车型的规格． 请运用适当方法，求出一辆大巴车与一辆中巴车的座位数． 任务（2） 探究预定方案． 请你为华鑫学校选择一种最优惠的预定方案． 【答案】（1）一辆大巴的座位数为45个，一辆中巴的座位为35个；（2）预定11辆大巴，3辆中巴最优惠 【分析】本题考查二元一次方程实际应用，选择最优方案，有理数混合运算等． （1）设一辆大巴的座位数为x个，一辆中巴的座位数为y个，再列二元一次方程组计算即可； （2）先计算出大巴车人均价格和中巴车人均价格，再分类讨论，计算哪种合适对比即可得到本题答案． 【详解】解：（1）设一辆大巴的座位数为x个，一辆中巴的座位数为y个， 由题意列方程组， 解得， 答：一辆大巴的座位数为45个，一辆中巴的座位数为35个； （2）大巴车人均价格（元），中巴车人均价格（元）， ∴尽可能多地预定大巴车，（辆）······15（人）， 分类讨论如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， 方案三：（元）， 方案四：（元）， 答：预定11辆大巴，3辆中巴最优惠． 5．某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 【答案】(1)该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元 (2)①；②选择公司合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键； （1）设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可； （2）①求出A公司在时，的表达式；求出B公司在及时的表达式即可； ②分别当时；当时；当时，进行考虑即可． 【详解】（1）解：设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元． 由题意得：． 化简得：， 解得：； 答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元． （2）解：①由题意得： A公司：当时，， ； B公司：当时，， 当时，， ； ； ②若，即， 故当时，，故选择A公司合算； 当时，，故选择A、B公司一样合算； 当时，，故选择B公司合算． 6．利用方程（组）或不等式（组）解决问题： “四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，已知购买2本《论语》和3本《孟子》共需要160元，购买4本《论语》和1本《孟子》共需要170元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共40本，其中《论语》不少于28本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠10元．如果此次学校买书的总费用不超过1040元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由． 【答案】(1)《论语》的单价为35元，《孟子》的单价为30元 (2)3种；购买《论语》28本，《孟子》12本，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组，以及一元一次不等式组的实际应用，找到题中等量关系是解题的关键． （1）设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》本，根据题意列出不等式组，结合m为整数，得到可取的数值，再求出每种方案的总价比较即可得出结果； 【详解】（1）设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元， 依题意得： 解得： 答：《论语》的单价为35元，《孟子》的单价为30元. （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》本， 依题意得： 解得： 又∵ m为整数， ∴ m可以为28，29，30， ∴ 共有3种购买方案， 方案1：购买《论语》28本，《孟子》12本， 购书的总费用为（元）； 方案2：购买《论语》29本，《孟子》11本， 购书的总费用为（元）； 方案3：购买《论语》30本，《孟子》10本， 购书的总费用为（元）； ∴ 为了节约资金，学校应选择方案1：购买《论语》28本，《孟子》12本. 7．国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元． (1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元． (2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 若该校共需购买40副围棋和副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算． 【答案】(1)每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元； (2)当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算 【分析】（1）设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买5副中国象棋和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元”列出二元一次方程组，求出解即可； （2）设选择方案一所需的费用为元，选择方案二所需的费用为元，利用一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元． 根据题意，得， 解得， 答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元； （2）解：设选择方案一所需的费用为元，选择方案二所需的费用为元． 由题意，可知；． 若，则，解得． 若，则，解得． 若，则，解得． ∵，∴若，则． ∴当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用和一次函数的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键． 8．已知：用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货19.5吨；用3辆型车和4辆型车载满货物一次可运货27吨．某物流公司现有33吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）根据物流公司的要求，请你帮该物流公司设计租车方案； （3）物流公司收费方式有以下两种：①按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元；②按车收费：型车每辆车运输货物到目的地收费750元，型车每辆车运输货物到目的地收费800元．要将33吨货物运输到目的地且只能选取一种收费方式，该物流公司选择哪一种收费方式才能使运费最少，最少运费是多少元？ 【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运吨；（2）有3种租车方案：方案一：A型车8辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车2辆，B型车6辆．；（3）选择按方案三收费方式才能使运费最少，最少运费是6300元 【分析】（1）根据“用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货19.5吨”“用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货27吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：3a+b=33，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）分别计算出每种收费方式的费用，再比较即可． 【详解】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组得： ， 解得：， ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运吨． （2）结合题意和（1）得：3a+b=33， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴，，， ∴有3种租车方案： 方案一：A型车8辆，B型车2辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车2辆，B型车6辆． （3）若①按吨收费： 33×200=6600元； 若②按车收费： 方案一收费为：8×750+2×800=7600元， 方案二收费为：5×750+4×800=6950元， 方案三收费为：2×750+6×800=6300元， 综上：该物流公司选择方案三收费方式才能使运费最少，最少运费是6300元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答． 9．某水果商为电商平台运输砂糖橘，有两种货车用于配送．如果用1辆车和2辆车载满一次可运吨；用2辆车和1辆车载满一次可运吨．地 城 类型02 方案问题——方案设计 (1)1辆车和1辆车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输吨砂糖橘，计划同时租用车和车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载满砂糖橘．若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及所需租金． 【答案】(1)1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘 (2)该水果商有2种租车方案：方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为元；方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为元；最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与方案选择问题，解题关键是通过列方程组求解货车载重量，再结合条件列出所有租车方案并计算成本． （1）设货车载重量为未知数，根据两种载重情况列二元一次方程组求解； （2）根据总运输量列二元一次方程，结合 “两种货车都租” 确定正整数解得到租车方案，再计算各方案租金选最省钱的． 【详解】（1）设1辆车载满一次可运输吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输吨砂糖橘， 根据题意得解得 答：1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘． （2）设需租用型车辆，型车辆，依题意得：，整理得：． 因为均为正整数，所以或 该水果商有2种租车方案： 方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为（元）； 方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为（元）． 因为， 所以最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元． 10．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 11．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨 (2)共有2种租车方案：租A型车6辆，B型车2辆；租A型车2辆，B型车5辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）通过设未知数，根据两种不同的车辆组合运货量列出二元一次方程组，求解得出每辆A型车和B型车的运货量． （2）根据货物总量以及A型车和B型车的运货量关系列出二元一次方程组，再结合正整数的条件找出所有可能的租车方案． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨， 由题意得：， 解得：． 答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨． （2）解：由题意和（1）得：， ∵a、b均为非负整数， ∴或， ∴共有2种租车方案： 租A型车6辆，B型车2辆， 租A型车2辆，B型车5辆． 12．学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位教师带队．现有A，B，C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： A型车 B型车 C型车 每辆车可乘坐旅客数（人） 每辆车租金（元） (1)租用车辆最多不能超过 辆；最少不能少于 辆． (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)8，5 (2)租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为元 【分析】本题考二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由教师人数决定租用车辆最多不能超过8辆，再计算只租用A和C型车的数量，即可求解； （2）设租用A型车x辆，B型车y辆，结合每辆车都坐满，分别计算当租用车辆为5，6，7，8时x，y的值，再计算最少费用． 【详解】（1）解：每辆汽车至少安排1位教师带队，且共8位教师， 租用车辆最多不能超过8辆， （辆）（人），（辆）， （辆）（人）， 综上，租用车辆最少不能少于5辆，租用车辆最多不能超过8辆． 故答案为：8；5． （2）解：设租用A型车x辆，B型车y辆， 当共租用5辆时，则租用C型车辆． ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用6辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用8辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合 当共租用7辆时，则租用C型车辆， ， ， 化简：， 所以，，， 当租用B型车4辆，C型车3辆时，租车费用； 当租用A型车1辆，B型车2辆，C型车4辆时，租车费用； 当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用； 所以当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为． 13．因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？ (2)请您设计一些方案，使得安排m艘小型船和n（）漫大型船，恰好一次救援完，且每艘船都坐满． 【答案】(1)每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众 (2)共有两种方案：方案一、安排28艘小型船，2艘大型船；方案二、安排20艘小型船，5艘大型船． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众，根据3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众建立方程组求解即可； （2）根据由题意得：，求出方程组的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众， 由题意得， ， 解得， 答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众； （2）解：由题意得：， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴当，，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，符合题意； 综上所述，共有两种方案：方案一、安排28艘小型船，2艘大型船；方案二、安排20艘小型船，5艘大型船． 14．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)A型号的汽车进价为25万元、B型号的汽车的进价为10万元 (2) 共有三种购买方案：①A型号购买2辆，B型号购买15辆；②A型号购买4辆，B型号购买10辆；③A型号购买6辆，B型号购买5辆 【分析】（1）根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”列方程组求解； （2）根据“正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列方程，并求出正整数解． 本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型号的汽车进价为万元、型号的汽车的进价为万元， 则：， 解得：， 答：型号的汽车进价为25万元、型号的汽车的进价为10万元； （2）解：设型号购买辆，型号购买辆， 则：， 方程的正整数解为：，，， 共有三种购买方案： ①型号购买2辆，型号购买15辆； ②型号购买4辆，型号购买10辆； ③型号购买6辆，型号购买5辆． 15．“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 【答案】(1)5100元 (2)甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛 (3)甲、乙两班联合购买101套服装 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价即可； （2）设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到101人，因此可以考虑买101套，计算其价钱然后与单独购买、联合购买的价钱进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 所以如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付5100元． （2）解：设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛． 由题意，得， 解得， 所以甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛． （3）解：（名），（名）， 所以甲班有51名学生参加比赛，甲、乙两班共有97名学生参加比赛． 方案一：甲、乙两班联合购买97套服装，则需要（元）． 方案二：甲、乙两班各自购买服装，则需要（元） 方案三：甲、乙两班联合购买101套服装，则需要（元）． 因为，所以最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装． 16．综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【答案】问题1：元；问题2：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个；问题3：方案一：当时，；方案二：当时，；方案三：当时，． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． 问题1：利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； 问题2：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题3：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】解：问题1：(元) 问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意，得， 解得． 答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个． 问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意得，， 则． 方案一：当时，； 方案二：当时，； 方案三：当时，． 17．某商店销售一台型电脑销售利润为100元，销售一台型电脑的销售利润为150元．地 城 类型03 二元一次方程组与一次函数综合销售利润 (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问型电脑和型电脑各售出多少台？（列方程组解应用题） (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，要使销售总利润为13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑． 【答案】(1)售出A型电脑13台，售出B型电脑5台 (2) (3)25台A型电脑、75台B型电脑 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用． （1）分别设售出A型电脑的台数和售出B型电脑的台数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“销售总利润销售一台A型电脑销售利润售出A型电脑的台数销售一台B型电脑的销售利润售出B型电脑的台数”写出W关于m的函数表达式即可； （3）将代入W关于m的函数表达式，求出对应m的值及 的值即可． 【详解】（1）解：设售出A型电脑x台，售出B型电脑y台， 根据题意，得， 解得， 答：售出A型电脑13台，售出B型电脑5台； （2）解：根据题意，得， ∴W关于m的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， （台）． 答：该商店应采购25台A型电脑、75台B型电脑． 18．广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖，绿色发展．某稻鱼综合养殖户计划购买甲，乙两种禾花鱼鱼苗，经调查，得到以下信息： 购买重量小于40 购买重量不小于40 甲鱼苗 原价销售 打七折销售 乙鱼苗 原价销售 打八折销售 如果购买10的甲鱼苗和5的乙鱼苗需用700元，如果购买20的甲鱼苗和15的乙鱼苗需用1600元． (1)甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元？ (2)现决定购买甲，乙两种鱼苗共90，其中，乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍，设购买甲鱼苗（），求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，请设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲鱼苗价格为50元，乙鱼苗价格为40元 (2) (3)购买甲鱼苗40，乙鱼苗50时，所需总费用最低，最低总费用为3000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，同时还考查了分段函数的最值问题．体现了分类讨论思想、方程思想与函数思想的综合运用． （1）根据题意列二元一次方程组进行解答； （2）根据两种鱼苗重量之间的关系，列出不等式（组）求出购买甲鱼苗重量a的取值范围，再依据a的取值范围分段考虑总费用W与a的关系式； （3）根据一次函数的性质，分段讨论，确定当a取何值时，费用W最低，最后综合确定费用W最低时的购买方案． 【详解】（1）解：设甲鱼苗价格为x元，乙鱼苗价格为y元， 由题意得， 解得， 答：甲鱼苗价格为50元，乙鱼苗价格为40元； （2）根据题意得：，解得， ∵， ∴， ①当时， W关于a的解析式为：； ②当时，W关于a的解析式为： ； ∴ （3）①当时，， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W的值最小，此时（元）； ②当时，， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W的值最小，此时（元）， ∵， ∴当购买甲鱼苗40，乙鱼苗50时，所需总费用最低，最低总费用为3000元． 19．中国共产党第二十次全国代表大会期间，某网店直接从工厂购进两款纪念中国共产党第二十次全国代表大会顺利召开的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用8500元购进两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变）．已知第二次商品全部售完，请求出第二次利润（元）与购买款钥匙扣数量（件）的函数表达式；若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润多少元？ 【答案】(1)购进款钥匙扣200件，款钥匙扣100件 (2)，若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润为11100元 【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，根据“用8500元购进两款钥匙扣共300件”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进款钥匙扣件，则购进款钥匙扣件，根据总利润（售价进价）数量，即可得到关于的表达式，根据款钥匙扣数量不超过500个可得出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 根据题意得：， 解得：， 购进款钥匙扣200件，款钥匙扣100件； （2）解：设购进款钥匙扣件，则购进款钥匙扣件， 根据题意得：， ， 款钥匙扣数量不超过500个， ， ， 随着的增大而增大， 当时，最大，， 若款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润为11100元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，得到关于的表达式，是解题的关键． 20．某水果经销商购进甲、乙两种水果进行销售． 若购买甲种水果10千克，乙种水果20千克，共付款800元；若购买甲种水果20千克，乙种水果10千克，共付款850元． 若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的购买价格不变． 设经销商购买甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．    (1)求甲种水果打折前的价格和乙种水果的价格； (2)直接写出图像中的值及与之间的函数表达式； (3)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克． 如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额（元）最少？最少付款金额是多少？ 【答案】(1)甲种水果打折前的价格为元/千克，乙种水果的价格为元/千克 (2)；与之间的函数表达式为 (3)当甲种水果购买千克、乙种水果购买千克时，才能使经销商付款总金额（元）最少，最少付款金额是元 【分析】（1）根据题意，设甲种水果打折前的价格为元/千克，乙种水果的价格为元/千克，根据购买甲种水果10千克，乙种水果20千克，共付款800元；若购买甲种水果20千克，乙种水果10千克，共付款850元列出二元一次方程组求解即可得到答案； （2）根据（1）中单价，结合与之间的函数关系图像，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）由题意可知，分两种情况，列出表达式，根据函数增减性求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的价格为元/千克，乙种水果的价格为元/千克，则 ，解得， 答：甲种水果打折前的价格为元/千克，乙种水果的价格为元/千克； （2）解：当一次性购买甲种水果不超过40千克时，如图所示，为正比例函数，由（1）知甲种水果打折前的价格为元/千克，则与之间的函数表达式为； 当一次性购买甲种水果超过40千克时，超过部分的价格打八折，则，如图所示，直线过和，设直线表达式为，则，解得，此时与之间的函数表达式为； ；与之间的函数表达式为； （3）解：当一次性购买甲种水果不超过40千克时，即，则 ， ， 值随着的增大而增大，即当时，有最小值为元； 当一次性购买甲种水果超过40千克时，即，则 ， ， 值随着的增大而减小，即当时，有最小值为元； ， 综上所述，当甲种水果购买千克、乙种水果购买千克时，才能使经销商付款总金额（元）最少，最少付款金额是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数的实际应用，读懂题意，准确列出方程组及函数表达式是解决问题的关键． 21．某旅游纪念品商店销售A，B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元，销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元； (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为y元．设购进A种伴手礼x件． ①求y与x的函数关系式； ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 (2)①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即可； （2）①根据“总利润等于两种伴手礼的利润和”列出函数关系式即可； ②根据题意求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： ， 解得：； 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． （2）①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 22．某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元 (2)①（且为正整数）；②购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大 【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题； （2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式； ②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元， 根据题意，得：，解得， 答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元． （2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得： ， 即， ∵ 关于a的函数关系式为：（且为正整数）； ②， ∵， 随的增大而减小， 又∵且为正整数 当时，取得最大值， 则购进A型复读机（台）， 答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大． 23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在此契机下购进了“歼35”和“歼”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2件“歼”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼”模型共需560元． (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼”模型件（），购买这两种模型80件共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼”模型的售价为150元/件．该商家计划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元 (2) (3)购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼”模型的单价b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设购进“歼”模型件（），则购进“歼35”模型件，根据数量乘以单价，列出一次函数关系式，即可求解． （3）根据题意先求得，设商家获得的利润是W元，列出一次函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼20S”模型的单价b元. 根据题意，得， 解得. 答：购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元. （2）设购进“歼20s”模型年（），则购进“歼35”模型件 根据题意，得. 答：y与x之间的函数关系式为. （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 设商家获得的利润是W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W值最大， ，（套）. 答：购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元. 24．国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． (2)应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 25．甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇．地 城 类型04 二元一次方程组与一次函数综合行程问题 (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米． 26．暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下： 文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头” 接待点A：西溪湿地 景点B：法镜寺（游山寺） 景点C：猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后乘坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A． 旅游路线：    设从接待点A出发后时间为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍． 行程函数图象：    （1）方案梳理 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C； （2）回程规划 求b的值； （3）行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长． 【答案】（1）A→B段路程为，大巴车行驶段的路程B→C；；（2）；（3）3小时 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用，注意数形结合思想与函数思想的运用； （1）本题只要抓住时间和总路程即可．从图象中可以梳理出来的已知条件有，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长；加上已知“大巴车速度是自行车速度的8倍”，可设自行车速度为，大巴车，解二元一次方程组即可． （2）b表示返程回到接待点的时间，只要求出返程用了多少时间即可，在已知大巴车速度的情况下，可求． （3）本题只要用关于a的代数式列式，直接可求解，即总时长 【详解】解：（1）由函数图象可知，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长． 设自行车的速度为，大巴车的速度为， 则有：． 解得：， 所以自行车的速度为，大巴车的速度为， 自行车骑行段的路程A→B为，大巴车行驶段的路程B→C；． （2）； 所以b的值为． （3）总时长 ， 所以游客在两个景点游玩的总时长为． 27．小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地米，早上小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） (1)小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后登山的速度为__________米/分钟； (2)求a的值，并说明点A所表示的实际意义； (3)若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟． 【答案】(1) (2)，点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米 (3)米/分钟 【分析】（1）解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟），，则小兴开始爬山的速度为（米/分钟），小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟），当时，小兴爬到半山腰，则小兴减速后登山的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；联立，可得，则，进而可证点A表示小兴在爬了分钟后，于上午9:24追上小宜，此时二人离出发地相距米． （3）设小宜比原来速度提高米/分钟．根据题意，得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟） 根据题意，得，小兴开始爬山的速度为（米/分钟）， ∴小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟）， ∵， ∴当时，小兴爬到半山腰， ∴小兴减速后登山的速度为（米/分钟）． 故答案为：． （2）解：由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 联立， 解得， ∴， ∴点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米． （3）解：设小宜比原来速度提高米/分钟． 根据题意，得， 解得， ∴小宜加速后的速度至少应提高米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，函数解析式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 28．如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示．    (1)______，______； (2)求线段所表示的与x之间的函数表达式； (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【答案】(1)75；125 (2) (3)见解析 【分析】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可； （2）先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）（单位：）与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点（点M和与点M类似的那个点），由此画图即可． 【详解】（1）解：， 解得， 故答案为：75；125； （2）解：， ∴点M的坐标为， ， ∴点N的坐标为， 线段所表示的与x之间的函数表达式为， ∴， ∴， ∴段所表示的与x之间的函数表达式为； （3）解：与x之间的函数图象如图所示．    【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 29．随着新冠疫情的来临，为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个城市之间进行物资调配．A车从佛山出发运送物资到阳江，B车从阳江出发运送物资到佛山，他们沿同一条公路同时出发，匀速（）相向而行，途中两车在一个服务区相遇，休息了10分钟后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（千米）和时间t（分钟）之间的关系图象如图所示，请回答下列问题： (1)图象中的自变量是__________，因变量是__________； (2)佛山与阳江两地的距离是__________千米； (3)A车每小时行驶多少千米？ (4)图象中a的值是多少？ 【答案】(1)时间；两车之间的距离 (2)200 (3)120千米 (4) 【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可； （2）根据图象信息得佛山与阳江两地相距200km； （3）根据“速度=路程÷时间”列方程组解答即可； （4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可． 【详解】（1）解：由题意可知：横轴是时间，纵轴是两车之间的距离．所以自变量是时间，因变量是两车之间的距离； 故答案为：时间；两车之间的距离． （2）解：由图象可知，佛山与阳江两地相距200km； 故答案为：200． （3）解：设A车的速度为x 千米/分，B车的速度为y 千米/分，根据题意，得：， 解得：， 即A车的速度为2千米/分，即A车的速度为120千米/小时，即A车每小时行驶120千米． （4）解：由题意可知A车此时已到达阳江 故（km）． 【点睛】本题考查通过函数图象解决问题，从图象中获取相关信息是解答本题的关键． 30．“低碳生活，绿色出行”是一种环保健康的生活方式，小王从甲地匀速骑单车前往乙地，同时小李从乙地沿同一路线匀速骑单车前往甲地，两人之间的距离为y（km），y与骑车时间x（min）之间的函数关系如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示． (1)小王和小李出发______min相遇； (2)在骑行过程中，若小李先到达甲地， ①求小王和小李各自骑行的速度（速度单位km/时）； ②计算出点C的坐标，并说明C的实际意义． 【答案】(1)45 (2)①小王骑行的速度为15km/时，小李骑行的速度为25km/时；②两人出发72min时，小李到达甲地，此时两人相距18km 【分析】（1）直接从图象获取信息即可； （2）①设小王骑行的速度为v1km/min，小李骑行的速度为v2km/min，且v2＞v1，根据图象和题意列出方程组，求解即可； ②由图可知：点C的位置是小李到达甲地，直接用总路程÷时间可得小李的时间，二人的距离即C的纵坐标，就是两人之间的距离． 【详解】（1）解：由图象可得小王和小李出发出发45min相遇， 故答案为：45； （2）①设小王骑行的速度为v1km/min，小李骑行的速度为v2km/min，且v2＞v1， 则， 解得：， km/min＝15km/时，km/min＝25km/时， 答：小王骑行的速度为15km/时，小李骑行的速度为25km/时； ②30÷＝72（min），72×＝18（km）， ∴点C（72，18）， 点C表示：两人出发72min时，小李到达甲地，此时两人相距18km． 【点睛】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 31．同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 32．某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 地 城 类型05 阶梯计价 33．当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 (1)求a，b的值． (2)小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 【答案】(1)a的值是，b的值是 (2)40吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即a的值是，b的值是； （2）解：设小王家6月份用水x吨， 根据题意得：30吨的水费为：， ∵， ∴小王家6月份计划用水超过了30吨， ∴， 解得：， 即小王家6月份用水量40吨． 34．2025年5月11日日是第三十四届全国城市节约用水宣传周，为促进城市节水工作高质量发展，增强人民群众参与节水工作的积极性、主动性，河南省工人文化宫开展了一系列内容丰富、形式多样的主题宣传活动．某市采用价格调控的手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量/ 水费/元 甲户 200 930 乙户 240 1170 (1)求该市居民用水的基本水价和超过部分的水价； (2)若该市丙户居民去年的水费为1050元，求该市丙户居民去年的用水量． 【答案】(1)该市居民用水的基本水价为4.5元/，超过部分的水价为6元/ (2)该市丙户居民去年的用水量为220立方米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及题意，列出二元一次方程组，再解出，即可作答． （2）先分析出，再根据超过部分的水价为6元进行列式，进行作答即可． 【详解】（1）解：设该市居民用水的基本水价为元，超过部分的水价为元． 根据题意，得 解得 答：该市居民用水的基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． （2）解：由（1）可知基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． 则（元） ∵ ∴设该市丙户居民去年的用水量为立方米，且， 根据题意，得． 解得． 答：该市丙户居民去年的用水量为220立方米． 35．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6立方米时，水费按a元/立方米收费；每户每月用水量超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/立方米收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量x（m3） 收费y（元） 3 5 7.5 4 9 27 （1）求a、c的值； （2）写出每月用水量x不超过6立方米和超过6立方米时，水费y与用水量x之间的关系式； （3）已知某户5月份的用水量为8立方米，求该用户5月份的水费． 【答案】（1）a=1.5，c=6；（2）时，，时，；（3）该用户5月份的水费为21元． 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出即可求解； （2）分时和当时，列出函数关系式，即可求解； （3）根据 ，将 代入，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得： ； （2）当时，， 当时，； （3）∵ ， ∴该用户5月份的水费（元）． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，求函数值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 36．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将分别代入求解比较即可．． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 37．团体购买公园门票票价如下： 购票人数 100人以上 每人门票（元） 13元 11元 9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人． 若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？ 【答案】(1)乙旅行团的人数超过50 (2)甲旅行团有36人，乙旅行团有84人 【分析】本题考查解应用题，涉及逻辑推理、二元一次方程组解应用题等知识，读懂题意，根据题意描述计算推理，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）假设乙旅行团的人数也少于50，根据题意，结合票价，计算一起购票的花费即可得出答案. （2）由（1）知乙旅行团的人数超过50，设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则当时，列方程组，根据即可判断，重新列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：假设乙团人数也少于50人， 因为甲团人数少于50人， 所以两团分开购票，票价均为13元。则总花费为元。 可得两团总人数为，不是整数，与实际不符。 所以假设不成立，乙团的人数超过50人。 （2）解：由（1）知乙旅行团的人数超过50， 设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则 当时， ， ，不是整数，故 ， 解得， 答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人． 38．“滴滴”已成为一种出行习惯，其中的“滴滴专车”正成为非常热门的出行选择．经了解温州地区滴滴专车部分计价规则如下表： 收费项目 收费标准 起步费 15元 里程费 2.8元/公里 远途费 超出8公里，超出部分每公里收1元远途费 等待费 乘客迟到按每分钟0.6元收等待费 备注：公里数不足1公里的部分均按1公里计算，时间不到1分钟的均按一分钟计算 以没有收取等待费为例：某甲坐车10公里的费用为元 (1)若行驶里程为6千米，且没有收取等待费，求应支付的总费用； (2)若某天小周迟到7分钟才上车，且里程数超过了8公里，最终支付的总费用为53元，求支付的远途费； (3)某次行程结束后，乘客小周发现乘车的里程数超过了5公里，需要支付的费用恰好为46元，起初小周认为系统计算错误，经司机提醒才记起，原来是他有事耽搁没有及时上车，被收取了等待费，则收取的等待费为 元．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)应支付的总费用元； (2)支付的远途费为3元； (3)等待费为元或元． 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的实际应用． （1）按照题意计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程，结合实际情况求解； （3）根据题意，分两种情况列出二元一次方程和，结合实际情况求解． 【详解】（1）解：（元）； 答：应支付的总费用元； （2）解：设里程数是x千米，由题意得， ， 解之得， （元）， 答：支付的远途费为3元； （3）解：设里程数是x千米，等待了y分钟，（x和y都是正整数） 当时，由题意得 ， 解之得， ∴等待费为：（元）； 当时，由题意得， 解之得 ， ∴等待费为：（元）； 故等待费为元或元． 39．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 40．星期天，小华的妈妈计划乘坐出租车带小华去郊外游玩在出发前，小华收集了以下信息： 小华和妈妈外出乘车：行驶7公里，支付了元的车费； 小华和妈妈返回乘车：行驶13公里，支付了28元的车费． (1)请帮助小华计算出租车的起步价和超过3公里后的里程费收费标准（用方程或方程组解答）； (2)如果行驶路程为公里，则应付的车费为 元（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)出租车的起步价为10元，超出3公里的里程费为每公里元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）设出租车的起步价为x元，，超出3公里的里程费为每公里y元，根据行驶7公里，支付了元的车费；行驶13公里，支付了28元的车费建立方程组求解即可； （2）用起步价加上超出3公里的里程费即可得到答案． 【详解】（1）解：设出租车的起步价为x元，，超出3公里的里程费为每公里y元， 由题意得，， 解得， 答：出租车的起步价为10元，超出3公里的里程费为每公里元； （2）解：由题意得，如果行驶路程为公里，则应付的车费为元， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二元一次方程组压轴应用题分类训练 (5种类型40道) 类型方案问题一方案选择 类型2方案问题一方案设计 类型3二元一次方程组与一次函数综 二元一次方程组压轴应用题 合销售利润 类型4二元一次方程组与一次函数综 合行程问题 类型5阶梯计价 目目 类型01 方案问题一一方案选择 1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为： 甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元. (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案. (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获 利250元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案。 (3)若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案 2.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制 作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y(元)与印制数x(张)的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 500张以内（含500张） 0.20元/张 乙印刷社 超过500张部分 0.10元/张 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪 家印刷社比较划算. 3.“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”.假 设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并 包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元.该公司每天可粗加工并包装 4t或精加工并包装1.5t.同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完 毕.为此，公司研究了三种方案： ①全部进行粗加工并包装： ②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售； ③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成. 请根据以上信息，回答下列各小问： (1)若选择方案①，求该公司所得的利润. (2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由. 4.根据以下素材，探究完成任务 如何设计预订巴士优惠方案？ 华鑫学校七年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行春季研学活动.现有大巴和中巴 素材(1) 两种车型可供选择， 素材(2) 若预定8辆大巴和7辆中巴会有5个空座位，预定7辆大巴和8辆中巴则有5人无座位。 素材(3) 旅游公司制定车辆租赁费用如下：大巴租金为540元/辆，中巴租金为490元/辆. 问题解决 任务(1) 探求两种车型的规格。 请运用适当方法，求出一辆大巴车与一辆中巴车的座位数. 任务(2) 探究预定方案。 请你为华鑫学校选择一种最优惠的预定方案. 5.某物流A公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费，己知两次运输 记录如下： 2/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里， 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里， 总运费840元 总运费1260元 (1)求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：0-500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元. ①分别写出两家公司总运费wA(元)和wg(元)关于运输距离d(公里)(d>300)的函数表达式： ②一客户运送货物的距离d(公里)(d>300)，该客户选择哪家物流公司更合算？请直接写出你的结论. 6.利用方程（组）或不等式（组）解决问题： “四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》 (五经)的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们 了解中国古代社会的一把钥匙，已知购买2本《论语》和3本《孟子》共需要160元，购买4本《论语》 和1本《孟子》共需要170元. (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ (2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两 种书共40本，其中《论语》不少于28本.正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠 10元.如果此次学校买书的总费用不超过1040元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方 案？说明理由. 7.国家“双减"”政策实施后.某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和围棋两个 社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费165 元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元. (1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元 (2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副 围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款. 若该校共需购买40副围棋和xx≥10)副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算。 8.己知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货19.5吨；用3辆A型车和4辆B型车载满货物一 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 次可运货27吨.某物流公司现有33吨货物，计划同时租用A型车Q辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每 辆车都载满货物 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)根据物流公司的要求，请你帮该物流公司设计租车方案， (3)物流公司收费方式有以下两种：①按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元；②按车收费：A型 车每辆车运输货物到目的地收费750元，B型车每辆车运输货物到目的地收费800元.要将33吨货物运输 到目的地且只能选取一种收费方式，该物流公司选择哪一种收费方式才能使运费最少，最少运费是多少元？ 目目 类型02 方案问题一一方案设计 9.某水果商为电商平台运输砂糖橘，有A,B两种货车用于配送.如果用1辆A车和2辆B车载满一次可运 16吨；用2辆A车和1辆B车载满一次可运14吨， (1)1辆A车和1辆B车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输32吨砂糖橘，计划同时租用A车和B车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载 满砂糖橘.若A车每辆需租金200元/次，B车每辆需租金240元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最 省钱的方案及所需租金 10.某生态柑橘园现有柑橘24t,计划租用A,B两种型号的货车将柑橘运往外地销售.己知满载时，用1 辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t;用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t. (1)1辆A型车和1辆B型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租 车方案（要求A、B型货车都要有） 11.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物 一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车α辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都 载满货物. 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案. 12.学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领165位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位 教师带队.现有A,B,C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A型 B型 C型 车 车 车 每辆车可乘坐旅客数 39 29 19 (人) 每辆车租金（元) 975 870 665 (1)租用车辆最多不能超过辆；最少不能少于_辆. (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用。 13.因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125 名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众. (1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？ (2)请您设计一些方案，使得安排m艘小型船和n(n<6)漫大型船，恰好一次救援完，且每艘船都坐满。 14.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元； 3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元 (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公 司设计购买方案 15.“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数， 且甲班人数不足100人)报名购买服装参加比赛.下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 150 51~100 ≥101 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元 (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案. 16.综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品，该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每 个2元 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠， 方案二 购买玩偶满50个，立减10元. 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶 各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案. 目目 类型03 二元一次方程组与一次函数综合销售利润 17.某商店销售一台4型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元. (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问A型电脑和B型电脑各售出多少台？（列 方程组解应用题) (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑台，这100台电脑的销售总利润为W元， 求W关于m的函数表达式； (3)在（2)的条件下，要使销售总利润为13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑. 18.广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖，绿色发展.某稻鱼综合养殖户计划购买甲，乙两种禾花鱼鱼苗，经 调查，得到以下信息： 购买重量小于40kg 购买重量不小于40kg 甲鱼 原价销售 打七折销售 苗 乙鱼 原价销售 打八折销售 苗 如果购买10kg的甲鱼苗和5kg的乙鱼苗需用700元，如果购买20kg的甲鱼苗和15kg的乙鱼苗需用1600 元 (1)甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元？ (2)现决定购买甲，乙两种鱼苗共90kg,其中，乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍，设购买甲鱼苗kg (a≤50)，求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式； (3)在(2)的条件下，请设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用. 6/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.中国共产党第二十次全国代表大会期间，某网店直接从工厂购进A,B两款纪念中国共产党第二十次全 国代表大会顺利召开的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价一进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用8500元购进A,B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A,B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不 变).已知第二次商品全部售完，请求出第二次利润w(元)与购买A款钥匙扣数量m(件)的函数表达式； 若A款钥匙扣数量不超过500个，网店可获得最大利润多少元？ 20.某水果经销商购进甲、乙两种水果进行销售.若购买甲种水果10千克，乙种水果20千克，共付款800 元；若购买甲种水果20千克，乙种水果10千克，共付款850元.若一次性购买甲种水果超过40千克， 超过部分的价格打八折，乙种水果的购买价格不变.设经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之 间的函数关系如图所示. ↑（元） 040 80 x(千克) (1)求甲种水果打折前的价格和乙种水果的价格： (2)直接写出图像中a的值及y与x之间的函数表达式： (3)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克.如 何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？最少付款金额是多少？ 21.某旅游纪念品商店销售A,B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元， 销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元. (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元： (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A,B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部 销售完可获总利润为y元.设购进A种伴手礼x件. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求y与x的函数关系式： ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 22.某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利 润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元. (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台(36≤a≤80)，设销售 这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式： ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 23.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九 三阅兵”.在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量某商家在此契机 下购进了“歼35”和“歼20S"两种隐形战机模型共80件进行销售，己知购进3件“歼35”模型和2件“歼20S” 模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼20S"模型共需560元. (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼20S”模型x件(x>35),购买这两种模型80件共花费y元，求y与x之间的函数关系式： (3)在(2)的条件下，若“歼35"模型的售价为120元/件，"歼20S”模型的售价为150元/件.该商家计划购进 这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计 购进方案，并求出最大利润 24.国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面.某新能源汽车经销 商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元； 2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元. (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价： (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，己知 中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆.根据销售经验，购中级型汽车的数量不 低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车 各多少辆才能使W最大？W最大为多少万元？ 目目 类型04 二元一次方程组与一次函数综合行程问题 25.甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车.乙行驶的时间为t(h), 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲乙两人之间的距离为y(km),y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇. y(km) 100 VB D 011.5 3 4 (h) (1)求出线段BC所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）： (2)写出B点的实际意义： (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度， 26.暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下： 文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头” 接待点A:西溪湿地 旅游路线： 景点B:法镜寺（游山寺） 景点C:猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B,B点游玩后乘坐大 B 巴匀速行驶至点C,C点游玩后返回点A. 行程函数图象： 设从接待点A出发后时间为xh,总路程为km,y关于x 36 的函数图象如右图所示.已知：大巴车速度是自行车速度 的8倍. 0 1.25aa+0.755b末 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行 (1)方案梳理 驶段的路程B→C; (2)回程规划 求b的值； (3)行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地600米，早上9：00小宜从出发地 爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上9：08才开始从同一出发地开始爬， 为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的1.5倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山 顶，两人距出发地路程y(米)与小宜登山的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.（注：小宜、小兴每 一 段的爬行均视为匀速) y(米) 600 300 Om a 3035 53分钟) (1)小宜休息前登山的速度为 米/分钟，小兴减速前登山的速度 米/分钟；小兴减速后登 山的速度为 米/分钟： (2)求a的值，并说明点A所表示的实际意义； (3)若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟 28.如图①，古代行军中传令兵负责传送命令.如图②，一支长度为600m的队伍AB,排尾A处的传令兵 从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发.队伍AB以y,m/mi的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时， 传令兵接到命令，立即以vm/min的速度赶赴排头B,到达排头B后立即返回排尾A,再次接到命令，立即 赶赴排头B…如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变.行进过程中，传令兵离甲地的距离y(单位： m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系部分图象如图③所示. 个y/m 换040经09 ① 1215 x/min 甲地 ② ③ (1)v=m/min,v2=m/min (2)求线段MN所表示的y与x之间的函数表达式： (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离⅓（单位：m)与出发时间x之间的函数图象 29.随着新冠疫情的来临，为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个城市之间进行物资调配.A 10/15