专题07 一次函数几何综合题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题07 一次函数几何综合题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    (1)求，的值； (2)如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； (3)如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．已知函数是关于的一次函数． (1)________； (2)图象与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________； (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的两条性质； (4)若该函数图象与轴交于点，与轴交于点． ①过点作直线与轴交于点，且，求的面积； ②已知直线与该一次函数图象交于点是轴上一动点，连接，求的最小值． 3．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 6．如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线：过定点，交轴于点． (1)求正方形的边长； (2)如图2，当时，过点作，交于点，连接、相交于点，交轴于，求线段的长； (3)如图3，在直线上有一点，，连接，点为的中点，连接，求线段的长度的最小值，并求出此时点的坐标． 7．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 8．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． 地 城 类型02 一次函数与几何综合角度相关 9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 10．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，已知直线：交轴于，交轴于． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，B点在x轴上且A、B关于y轴对称，的面积为48，． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，点D在线段上（不与点A、C重合），连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． (3)如图3，在（2）的条件下，过点D做轴，垂足为E，点K为的中点，连接，延长交x轴于N，F为上一点，连接，若，，求点D的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． (1)求直线的表达式： (2)的面积为 ； (3)连接，， ①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ； ②当时，请直接写出点P的坐标为 ． 地 城 类型03 一次函数与几何综合面积相关 17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，一次函数的图象经过点． (1)求的面积． (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 20．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 21．直线和直线分别交y轴于点A，B，两直线交于点．    (1)求m，k的值； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 22．已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B， (1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）． (2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________． (3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且． （1）求一次函数的解析式； （2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC； （3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 类型04 一次函数存在性问题全等三角形 25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 26．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 27．已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 28．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 29．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 31．如图，已知点是正方形的一个顶点，直线交于点，若是的中点． （1）求点的坐标． （2）求直线的解析式． （3）若点是直线在第一象限的一个动点，当点运动到什么位置时，图中存在与全等的三角形．请写出所有符合条件的三角形及点运动到的位置，并求出点的坐标（写过程）． 32．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与y轴交于点B，直线交x轴正半轴于点C， ，点P是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)若，求点P的坐标． (3)已知点Q在线段上，连结． ①若与全等，求线段的长； ②在P、Q的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）． 地 城 类型05 一次函数存在性问题等腰三角形 33．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 34．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 35．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点，与直线l1交于点D（2，t）． （1）求直线l2的解析式； （2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作轴交l2于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标； （3）将直线向左平移10个单位得到直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点，过点F作直线轴．在直线l4上是否存在动点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，且，，点D为的中点，点E在x轴上，直线交x轴于点F． （1）如图1，若， ①求证：； ②点P是直线上的一个动点，求作点P使得的值最小，并直接写出的最小值； （2）如图2，E在x轴上运动，当为等腰三角形时，求点E的坐标． 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由 38．如图，在平面平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴交于点B，点C是的中点，过点C作直线轴于点D，点P是直线上的动点． （1）填空：线段的长为_______，线段的长为________，点C的坐标 ； （2）是否存在这样的点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在直角坐标系中，直线经过、两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B． (1)求这条直线的解析式； (2)分别求出A和B的坐标，并求出的长； (3)求出的面积： (4)观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？ (5)如果P点是x轴上的一点，且为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标． 40．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 地 城 类型06 一次函数存在性问题直角三角形 41．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 42．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 43．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点.过点作轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点，交一次函数的图象于点，连接.    （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由. 44．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 45．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求△BMN的面积； ②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标． 47．直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是，另一条直线经过点A、C． （1）求线段AC所对应的函数表达式； （2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，当点M运动到C点时停止运动，设M运动t秒时，△ABM的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②当t＝4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 48．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线，若点P为y轴上一个动点，Q为直线上一个动点，求的周长的最小值； （3）如图2，直线BC上有一点，将直线BC绕点F顺时针旋转90°得到直线，与x轴交于点H，直线上有一点，点M是直线上一动点，是否存在点M使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数几何综合题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    (1)求，的值； (2)如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； (3)如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)周长的最小值为，此时点的坐标 (3)符合条件的点的坐标为或或． 【详解】（1）解：对于直线， 当， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入直线，则， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴， 将代入直线，则， 解得； （2）解：由（1）可得入直线，直线 将代入直线，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，则在直线上， ∵， ∴ 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，    ∴， ∴， 当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，如图：    ∴ 设直线， 则， 解得， ∴直线， 当， ∴， ∴周长的最小值为，此时点的坐标； （3）解：当时， 过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图：    同理可证明：， ∴， ∴ 当时，构造同样辅助线，如图：    ∴， 设， 则， 解得， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简等知识点． 2．已知函数是关于的一次函数． (1)________； (2)图象与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________； (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的两条性质； (4)若该函数图象与轴交于点，与轴交于点． ①过点作直线与轴交于点，且，求的面积； ②已知直线与该一次函数图象交于点是轴上一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)， (3)图见解析，①的值随的值的增大而减小；②函数图象不经过第三象限（答案不唯一） (4)①的面积为或；②的最小值为 【分析】本题考查勾股定理，一次函数的定义，一次函数的图象与性质； （1）由一次函数定义可得且，解得； （2）由（1）知函数，当时，，当时，，即可求出与坐标轴的交点； （3）画出的函数图象，由函数图象分析性质即可； （4）①由，，得到，，，再根据点在右边或左边分情况讨论，求出，最后根据计算即可； ②先求出直线与该一次函数图象交于点，再取点，则与关于轴对称，，连接，则，，当在上时为最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：1； （2）解：由（1）知函数， 当时，， 解得， 当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是； 故答案为：，； （3）解：画出的函数图象如图所示： 由函数图象知：①的值随的值的增大而减小； ②函数图象不经过第三象限； （4）解：①∵该函数图象与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， ∴， ∴当点在右边时，，； 当点在左边时，，； ∴的面积为或； ②联立，解得， ∴直线与该一次函数图象交于点， 如图，取点，连接，， 则与关于轴对称，， ∴， ∴， 当在上时为最小值． 3．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点的坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； （2）解：由（1）可知：， 如图，    设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分线的性质及求线段和最值的方法． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故； 当，则，故； ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则， 解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知，， ∴， 根据等面积法， 得， ∴， 则， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，， ，， ，，， ， ， 由对称的性质可知， ， 则点，，三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线：过定点，交轴于点． (1)求正方形的边长； (2)如图2，当时，过点作，交于点，连接、相交于点，交轴于，求线段的长； (3)如图3，在直线上有一点，，连接，点为的中点，连接，求线段的长度的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)N（2+，4﹣）． 【分析】（1）由y＝kx﹣2k+4，可得y﹣4＝k（x﹣2），由y＝kx﹣2k+4过定点，则x与y的值与k无关，可得，解得，进而得出C点的坐标，即可得出正方形ABCD的边长为4; （2）由k＝时，得出直线l的解析式为y＝，从而得出点E的坐标，由FC⊥CE，∠DCB＝90°，∠DCF＝∠BCE，可得△DCF≌△BCE（ASA），由DF＝BE＝5﹣2＝3，AF＝1，得出点F（﹣2，1），由直线EF的解析式为y＝，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，联立得出G（0，2），利用两点间的距离可得出GH的值; （3）在x轴上截取BP＝AB，连接NP、CP，由，，可得，所以当C、N、P三点共线时，取得最大值，又由M为AN的中点，B为AP的中点，得出线段BM的长度的最小值为，利用相似三角形相似比可得出N的坐标． 【详解】（1）由y＝kx﹣2k+4，得y﹣4＝k（x﹣2）， ∵直线l：y＝kx﹣2k+4过定点，则x与y的值与k无关， ∴，解得， ∴C（2，4）， ∴正方形ABCD的边长为4， （2）当k＝时，直线l的解析式为y＝， 当y＝0时，x＝5， ∴E（5，0）， ∵FC⊥CE，∠DCB＝90°， ∴∠DCF＝∠BCE， 在△DCF和△BCE中， ， ∴△DCF≌△BCE（ASA）， ∴DF＝BE＝5﹣2＝3，AF＝1， ∴F（﹣2，1） ∴直线EF的解析式为y＝， ∵B（2，0），D（﹣2，4）， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2， 联立得，解得， ∵G（0，2）， ∴GH＝＝， （3）如图1，在x轴上截取BP＝AB，连接NP、CP， ∵CN＝， ∴， 当C、N、P三点共线时，取得最小值， 又∵M为AN的中点，B为AP的中点， ∴线段BM的长度的最小值为， 如图2，C、N、P三点共线， BE＝4，， 设N（x，y），过点N作NG⊥x轴于点G， ∴NG//BC ∴ ∴ ，得， 解得， 得，＝，解得x＝2+ ∴此时N（2+，4﹣）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及一次函数解析式、全等三角形的判定、三角形的三边关系及相似三角形的对应边的比，解题的关键是当C、N、P三点共线时，取得BM的长度的最小值． 7．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 8．如图1，点在直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，，且点在第四象限．    (1)当时，求直线的函数解析式． (2)如图2，等腰直角三角形中，，，且点、分别在第二象限和第三象限；连接，交轴分别与、两点． ①当、的纵坐标相等．判断和的大小关系并说明理由． ②与的面积有什么关系？若，，，当面积取到最大值时，求的长． 【答案】(1)y=-x (2)①，理由见解析；②，当面积取到最大值时，的长为 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明（），可得，，设，即则，利用待定系数法即可求解． （2）①过点作轴于点，过点作轴于点，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论． ②过点作于点，过点作于点，证明（），，利用三角形的面积公式可得，由可得当为的边上的高（）时，最大，即可得的长 【详解】（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据   轴，轴， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，直线解析式为， 设，即，， ，， 点在第四象限，，， 设直线解析式为， 将代入得，解得， 故直线解析式为； （2）①，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，   点、的纵坐标相等， 轴，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当为的边上的高时，最大， 当面积取到最大值时，的长为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 地 城 类型02 一次函数与几何综合角度相关 9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 10．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 11．如图1，已知直线：交轴于，交轴于． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，B点在x轴上且A、B关于y轴对称，的面积为48，． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，点D在线段上（不与点A、C重合），连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． (3)如图3，在（2）的条件下，过点D做轴，垂足为E，点K为的中点，连接，延长交x轴于N，F为上一点，连接，若，，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据对称的性质求出点B的坐标，运用三角形面积公式求出点C的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据“”求解即可； （3）根据中点坐标公式求出点的坐标，再求出点的坐标，过点作于点，交轴于点，证明，得，由此列方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵且点在轴的负半轴上， ∴， 又点A与点B关于y轴对称， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴即 解得， ∵点C在轴的轴上， ∴ 设直线的解析式为 把代入得： ， 解得，， 所以，直线的解析式为； （2）解：∵点D在线段上，且点D横坐标为， ∴， ∵ ∴ ； 即 （3）解：∵，且为的中点， ∴，即， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， 而 ∴ 过点作于点，交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，中点得到点的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，则：， 分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点在点左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，把，代入，得：； ∴直线的解析式为； （2）过点作轴于点，交直线于点，设，则：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为：或 （3）当点在点右侧时：将直线沿着轴向上平移个单位，得到直线：， 此时， ∴， 当时，， ∴， 当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，连接交x轴于点P，则：， ∴， 设， 则：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①M或M，②P或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）①设， 则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， ∴M或M ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 设，则 ∴，，， ∴， 解得． ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点P的坐标为或． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． (1)求直线的表达式： (2)的面积为 ； (3)连接，， ①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ； ②当时，请直接写出点P的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)3 (3)①或；②或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式： （2）由直线可得，由直线得，即可得的面积； （3）①设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可； ②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线得， ， 点， 设直线的解析式是， 点， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ， 直线与轴相交于点， ， 点， ， ， 故答案为：3； （3）解：①设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； ②设点的坐标为， Ⅰ点在轴正半轴时，过点作轴于， ， ， ， ， 直线，令，则， ， ， ，，， ， ， 设点的坐标为； Ⅱ点在轴负半轴时， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 地 城 类型03 一次函数与几何综合面积相关 17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 18．如图，一次函数的图象经过点． (1)求的面积． (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题． （1）把点代入求得，进而令，求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）设点的坐标为，则．根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得 点． 设一次函数的图象与轴交于点， 令，解得， ， ． （2）设点的坐标为，则． 由（1）可知， ， 解得． ∵点在轴的负半轴上， ，即点的坐标为． 19．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，用了分类讨论思想和方程思想． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 故答案为：； （2）解：点， 的面积； （3）解：存在； 设， ， ， ， 或 20．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，     ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 21．直线和直线分别交y轴于点A，B，两直线交于点．    (1)求m，k的值； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】（1）把点代入直线的解析式求得的值，然后待定系数法即可求得的值； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形面积的公式求解即可； （3）设点坐标为，表示出的面积，根据与的面积相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 把代入，得， 解得； （2）令，则， 点坐标为， 令，则， 点坐标为， ， 的面积； （3）设点坐标为， 则的面积， 与的面积相等， ， 解得， （舍）或， 点坐标为． 【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形的面积等，求出交点坐标是解题的关键． 22．已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 23．如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B， (1)请写出A点的坐标是（_________，_________），Q点的坐标是（_________，_________），B点的坐标是（_________，_________），P点的坐标是（_________，_________）． (2)若△AOQ的面积为，则=_________，四边形PQOB的面积为，则=_________． (3)直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)-2，0，0，2，4，0，2，4 (2)2，10 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法或构建方程组即可解决问题． （2）利用三角形的面积公式计算即可． （3）设M（m，m＋2），则有或，分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线PA：y＝x＋2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y＝−2x＋8与x轴交于点B， ∴Q（0，2），A（−2，0），B（4，0）， 由， 解得， ∴P（2，4）， 故答案为−2，0，0，2，4，0，2，4． （2）解：，， 故答案为2，10． （3）解：设M（m，m＋2），则有或， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且． （1）求一次函数的解析式； （2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC； （3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，， 【分析】（1）根据经过点和点，待定系数法求解析式即可； （2）根据题意求得，再联立即可求得点的坐标，进而根据四边形OBEC 即可求得； （3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：（1）因为经过点和点， 所以，解得， 一次函数的解析式为； （2）因为，又， 所以，即， 所以，所以， 所以直线AB的解析式为， 因为直线交y轴于点B，所以点． 因为直线与直线相交于点E， 所以， 解得：， 即点， 所以四边形OBEC ； （3）分两种情况讨论： ①当点P在x轴上时，设点P的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 所以此时点P的坐标为，； ②当点P在y轴上时，设点P的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 所以此时点P的坐标为，， 综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键． 地 城 类型04 一次函数存在性问题全等三角形 25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 26．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 27．已知：如图点在正比例函数图象上，点B坐标为，连接，，点C是线段的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段上由点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒 (1)求该正比例函数的解析式： (2)当秒，且时，求点Q的坐标： (3)连接，在点P、Q运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，全等三角形的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点H，先求出的长，进而利用三角形面积公式求出的长，即点Q的纵坐标，再把点Q纵坐标代入（1）所求解析式中进行求解即可； （3）分当时，②当时，两种情况先求出运动时间，再求出点Q的路程即可求出点Q的速度． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 把代入中得： 解得：， ∴该正比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 如图，过点Q作轴于点H， ∵， ∴． 在中，当时，解得， ∴． （3）解：∵，点C是线段的中点， ∴，． ①当时， ∵， ∴，， 解得：． ∵ ∴． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． ②当时， ∴， 解得：． ∵， ∴． ∴． 解得：． ∴点Q运动的速度为个单位/秒． 综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等． 28．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 29．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 30．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 31．如图，已知点是正方形的一个顶点，直线交于点，若是的中点． （1）求点的坐标． （2）求直线的解析式． （3）若点是直线在第一象限的一个动点，当点运动到什么位置时，图中存在与全等的三角形．请写出所有符合条件的三角形及点运动到的位置，并求出点的坐标（写过程）． 【答案】（1）点的坐标为（2，4）；（2）直线的解析式为y=-2x+8；（3）当点P与E重合时，点的坐标为（2，4）；当AP=CP时，点的坐标为（，）．过程见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质结合点C的坐标即可得出点B、C的坐标，再由点E是AB的中点即可得出点E的坐标； （2）设直线DC的解析式为，由点E、C的坐标利用待定系数法即可求出直线DC的解析式； （3）分点P与点E重合以及两种情况考虑．①由（1）即可得出点P的坐标；②由全等三角形的性质得出相等的角，从而得出直线OP的解析式，联立OP、PC的解析式成方程组，解方程组即可求出交点P的坐标． 【详解】解：（1）∵四边形AOCB是正方形，C（4，0）， ∴点B（4，4），A（0，4）， ∵E是AB的中点， ∴点E的坐标为（2，4）． （2）设直线DC的解析式为， 将点E（2，4）、C（4，0）代入中， 得：，解得：， ∴直线DC的解析式为． （3）有两种情况，如图所示． ①当点P与点E重合时， 在和中， ， ∴， 此时点P坐标为（2，4）； ②当AP等于CP时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直线OP的解析式为． 联立直线OP、PC的解析式得： ，解得：， ∴此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、待定系数法求函数解析式以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与y轴交于点B，直线交x轴正半轴于点C， ，点P是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)若，求点P的坐标． (3)已知点Q在线段上，连结． ①若与全等，求线段的长； ②在P、Q的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)P坐标为或 (3)①4；② 【分析】（1）把点A代入直线可求出b的值，可求出直线解析式； （2）设，分两种情况：当P在延长线上时和当P在线段上时，结合，即可求解； （3）①根据当时，可得为中位线，从而得到． 当时，可得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到向右平移两个长度单位为直线，的解析式，即可求解；②过O作的对称点，过O'作，连接，此时最小．过作轴．可得，从而得到，，，再由， 可得， 从而得到，进而得到 ，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：设， 当P在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：P坐标为或． （3）解：①当时， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴为中位线， ∴． 当时， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵直线解析式为， ∴向右平移两个长度单位为直线解析式：， 同理，直线解析式为：， 联立得：， ∴点P的坐标为， 同理， ∴； ②过O作的对称点，过O'作，连接，此时最小． 过作轴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴R的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 地 城 类型05 一次函数存在性问题等腰三角形 33．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查等腰三角形，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）根据题意得到，，结合，计算即可； （2）证出，得到，求出M点的横坐标为，即可求出结果； （3）过点E作于点F，由勾股定理可得：，若为腰时，得到，或，若为底时，则的垂直平分线交y于，设，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点E的坐标代入直线：得：， ∴， ∴把点E的坐标代入直线：得：， 解得：， ∴直线：， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴，， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则点为的中点， ∵点，， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为； （3）解：如图，过点E作于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 如图，若为腰时，则，或， ∴；     若为底时，则的垂直平分线交y于，则， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 34．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 35．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点，与直线l1交于点D（2，t）． （1）求直线l2的解析式； （2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作轴交l2于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标； （3）将直线向左平移10个单位得到直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点，过点F作直线轴．在直线l4上是否存在动点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）；（3）或，或 【分析】（1）把点D坐标代入直线求出t的值，运用待定系数法求出l2即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）设 则，分，，三种情况列式求解即可． 【详解】解：（1）∵D（2，t）在直线 ∴， ∴D（2，3） 设直线的解析式为， 将点C，D代入得， 解得， 所以，线的解析式为 （2）设 ∵PQ//x轴， ∴G(a,0)，Q(a，2a-1) ∵，且 ∴ ∴ 解得，，（舍去） ∴ （3）存在，理由如下： 对于直线 当时，；当时， ∴, ∴ 如图， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴的解析式为: 设 则 当为等腰三角形，有： ①时， 解得，，即 ②时， 解得：或 即， ③时， 解得，或（舍去） 即 综上，点M的坐标为：或，或． 【点睛】本题为一次函数综合运用题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 36．如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，且，，点D为的中点，点E在x轴上，直线交x轴于点F． （1）如图1，若， ①求证：； ②点P是直线上的一个动点，求作点P使得的值最小，并直接写出的最小值； （2）如图2，E在x轴上运动，当为等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1）①见解析；②求作点P见解析，PA+PF的最小值为；（2）当△ECD为等腰三角形时，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）①利用勾股定理求得CD2、DE2、CE2，再利用勾股定理的逆定理即可判断△EDC为直角三角形； ②作点A关于DE的对称点为，当F、P、三点共线时，PA+PF取得最小值，分别求得直线CD、DE、的解析式，再求得点的坐标，利用两点间的距离公式即可求解； （2）设点的坐标为(，)，分CD=CE或EC=ED或CD=DE三种情况讨论，利用两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）①∵正方形ABCO的边长为4， ∴OC=OA=AB=BC=4， ∠B=∠DAE=∠COE=90， ∵点D为AB的中点， ∴BD=AD=2， 在Rt△BCD中，， 在Rt△ADE中，， 在Rt△OCE中，， ∴， 勾股定理的逆定理可知，△EDC为直角三角形，且∠CDE=90， 故∠CDE=90； ②如图，作点A关于DE的对称点为，连接交DE于点H，连接交DE于P，点P为所求作， 由对称性可知，，， ∴PA+PF=+PF，PA+PF取得最小值，最小值， 由题意知A(4，0)，D(4，2)，C(0，4)，B(4，4)，E(3，0)， 设直线CD的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线CD的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为(8，0)， 同理求得直线DE的解析式为， ∵， ∴∥CF， ∴设直线的解析式为， 把A(4，0)代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点的坐标为(，)， 又， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为(，)， ∴， ∴， ∴PA+PF的最小值为； （2）∵E在x轴上运动， ∴设点的坐标为(，)， ∵△ECD为等腰三角形， ∴CD=CE或EC=ED或CD=DE， ∵C(0，4)，D(4，2)，E(，)， ∴， ， ， ①当CD=CE时，则， ∴， 解得， ∴(，)，(，)； ②当EC=ED时，则， ∴， 解得， ∴(，)； ③当CD=DE时，则， ∴， 解得，， 时，E与F重合，C、D、E共线，无法构成三角形； ∴(，)； 综上所述，当△ECD为等腰三角形时，点的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了正方形的性质、一次函数解析式的求法、勾股定理、最小值以及坐标特征等知识；本题难度较大，综合性强，解题的关键是通过作辅助线求一次函数解析式得出结果． 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由 【答案】（1）y1=-x-2，；（2）6；（3）（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）． 【分析】（Ⅰ）将点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；再将点B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，然后运用待定系数法确定一次函数解析即可； （2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，再运用三角形的面积公式求解即可； （3）分PA=PO、PA=AO、PO=OA三种情况，分别建立方程分别求解即可． 【详解】解：（1）∵A（-4,2）， ∴将点A坐标代入反比例函数解析式可得：m=-8 ∴该反比例函数的解析式为， 将点B的坐标代入，可得n=-4 ∴点B的坐标（2，-4） 将A与B坐标代入一次函数解析式中，可得： ，解得： ∴一次函数解析式为y1=-x-2； （2）当-x-2=0时，解得x=-2， ∴直线AB与x轴的交点为（-2,0） ∵点A（-4,2）、点B（2，-4）， ∴△AOB的面积为：； （3）设点P（m，0）， ∵点A、O的坐标分别为：（-4,2）、（0，0） ∴AO2= =20, PO2== m2， PA2==m2+20+8m， 当AO=PO时，有20=m2，解得：m=； 当PA=OA时，m2+20+8m=20，解得：m=-8或m=0（不合题图舍去） 当PA=PO时，有m2+20+8m= m2，解得：m=-2.5， 综上点P的坐标为：（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）时，△PAO为等腰三角形 【点睛】本题主要考查了待走系数法求函数解析式、两点间的距离公式、三角形的面积公式、等腰三角形的定义等知识点，掌握数形结合思想和待定系数法成为解答本题的关键． 38．如图，在平面平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴交于点B，点C是的中点，过点C作直线轴于点D，点P是直线上的动点． （1）填空：线段的长为_______，线段的长为________，点C的坐标 ； （2）是否存在这样的点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2，4，（1，2）；（2）存在，；，；， 【分析】（1）根据自变量与函数值的关系，函数值为零时，可得相应自变量的值；自变量为零时，可得相应的函数值；根据线段中点公式：线段两端点的横坐标的平均数是中点的横坐标，线段两端点的纵坐标的平均数是中点的纵坐标，可得答案； （2）分类讨论：①当PO=PB时，②当PO=OB时，③当PB=OB时，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）当时，．解得，即． 当时，，即， ∴，， 由中点坐标，得点的横坐标为，纵坐标为， 即； （2）存在这样的点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ①当时，平方，得，即， 化简，得．解得，即； ②当时，平方，得，即， 解得，即，； ③当时，平方，得 ，即，解得，即，， 综上所述：存在这样的点，使为等腰三角形，；，；，． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系和线段中点公式：线段两端点的横坐标的平均数是中点的横坐标，线段两端点的纵坐标的平均数是中点的纵坐标；（2）分类讨论是解题关键． 39．如图，在直角坐标系中，直线经过、两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B． (1)求这条直线的解析式； (2)分别求出A和B的坐标，并求出的长； (3)求出的面积： (4)观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？ (5)如果P点是x轴上的一点，且为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)10 (4)当时，y大于0，当时，y小于0 (5)或或或 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）先求得A、B点坐标，然后利用勾股定理求解即可； （3）根据三角形面积公式即可求得； （4）观察图象即可求得； （5）根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时；然后根据等腰三角形的性质，求出符合条件的P点坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，，则， 当时，，解得，则， ∴，， ∴； （3）解：； （4）解：由图象可知当时，y大于0，当时，y小于0； （5）解：设，则，， ①当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； ②当时， ∵， ∴点P的坐标为或； ③当时， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴P的坐标为． 综上，当点P的坐标为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点坐标，等腰三角形存在性问题，解题关键是对的边进行分类讨论，根据腰相等列方程． 40．如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， ， ， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， ， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设 ， ∴ 由题意知 当时，即，即 ， ∴或， 当时，即， 过点P作轴于H点，则 在中， ∴或 ∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 地 城 类型06 一次函数存在性问题直角三角形 41．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 42．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）由题意易得点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据两点距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：；；，则有，即是直角三角形，然后问题可求解； （3）由题意可分当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点， 把代入，得， 点A的坐标为， 把代入，得， 点B的坐标为， ， ；； （2）解：由（1）可知：；；， ，， ， 是直角三角形，即， ； （3）解：①当时，如图， 沿直线翻折， ， ， ， C、M、A三点共线， ；， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； ②当时，如图，过点M作于N点， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ；， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式是解题的关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点.过点作轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点，交一次函数的图象于点，连接.    （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， ；（2）14；（3），. 【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值，此题的解； （2）由点P的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出BC的长度，由OP的长度结合三角形的面积公式即可求出△OBC的面积； （3）假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），因为为直角三角形，所以要分AO是直角边和AO是斜边两种情况.根据图形，利用勾股定理，求出m即可. 【详解】解：（1）∵正比例函数与一次函数的图象相交于点， ∴，， 解得：，， ∴正比例函数表达式为； 一次函数表达式为. （2）∵轴，， ∴把分别代入和中， 得：，， ∵. 又∵， ∴. （3）假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0）， ∵为直角三角形， ∴分AO是直角边和AO是斜边两种情况. ∵ ∴AO= ①当AO是斜边时，有AM=6,OM=m 则： 解得：m=±8， 当m=-8不符合题意，故舍弃， ∴点；    ②当AO直角边时，利用勾股定理可得AM2=62+（m-8）2, ∵ OM=m，AO=10 ∴在Rt△OAM中， 则： 解得：m=±， 当m=-不符合题意，故舍弃， 所以，. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，能利用数形结合是解答此题的关键. 44．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 45．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求△BMN的面积； ②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标． 【答案】（1）（﹣2，2）；（2）①1；②（0，）或（0，） 【分析】（1）联立方程组求解； （2）①设平行于y轴的动直线为x＝m，然后用含m的式子表示出M和N点坐标，然后根据两点间距离公式列方程求得m的值，最后根据三角形面积公式求解； ②设Q点坐标为（0，a），然后根据△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，分情况列方程求解． 【详解】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x与l1交于点B， ∴联立方程组可得， 解得：， ∴B点坐标为（﹣2，2）； （2）①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m， 过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D， ∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m）， ∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2， 解得：m＝﹣1， 又∵B点坐标为（﹣2，2）， ∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴S△BMN＝MN•BD＝＝1； ②如图， i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时， 设MN＝3a，QN＝4a， ∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a）， ∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a， 解得：a＝， ∴Q点坐标为（0，）， ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时， 设MN＝4a，QN＝3a， ∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a）， ∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a， 解得：a＝， ∴Q点坐标为（0，）， 综上，Q点坐标为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键． 47．直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是，另一条直线经过点A、C． （1）求线段AC所对应的函数表达式； （2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，当点M运动到C点时停止运动，设M运动t秒时，△ABM的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②当t＝4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x＋3；（2）①S＝；②存在；点P的坐标是（，0）或（0，−1）或（0，−9） 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）①根据M的运动时间及运动速度，可得BM的长，根据正切函数值，可得∠B的大小，再根据勾股定理，可得MD的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据三角形的面积公式，可得答案； ②根据题意，分三种情况：①点P在x轴上时；②点P在y轴上，且BP为斜边时；③点P在y轴上，且BP为另一条直角边时；然后根据直角三角形的性质分类讨论，求出P点坐标各是多少即可． 【详解】（1）当y＝0时，−x＋3＝0，解得x＝3， 即B（3，0）, 当x＝0时，y＝3，即C点坐标是（0，3） 设线段AC所对应的函数表达式y＝kx＋b， 图象经过A、C点，得， 解得． 故线段AC所对应的函数表达式y＝x＋3； （2）如图1， ①由动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度， 行驶t秒，得BM＝t，由线段的和差，得AB＝3−（−）＝4， B（3，0）, C（0，3）, , 由勾股定理得：, , , ， 由三角形面积公式，得S＝AB•MD＝×t×4=， 即S＝； ②如图2：当t＝4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形， Ⅰ、如图2， ∵点M运动的速度为每秒1个单位长度， ∴当t＝4时，BM＝4， ∵∠ABC＝30°，∠PMB＝90°， ∴设，则， 根据勾股定理可得：, 即：， 解得：(负值舍去)， ， , ∴点P的坐标是（，0）； Ⅱ、如图3，PM和AB相交于点N， ∵点M运动的速度为每秒1个单位长度， ∴当t＝4时，BM＝4， ∵∠ABC＝30°，∠NMB＝90°， 设，则， 由勾股定理可得：, 即：， 解得：(负值舍去)， ， , , , , , , 由勾股定理可得：, ∴点P的坐标是（0，−1）． Ⅲ、如图4，当时， , , , , , 由勾股定理可得：, ∴点P的坐标是（0，−9）． 综上，可得 当t＝4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形， 点P的坐标是（，0）或（0，−1）或（0，−9）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，分析推理能力，还考查了分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，勾股定理，直角三角形角的性质和应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握． 48．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线，若点P为y轴上一个动点，Q为直线上一个动点，求的周长的最小值； （3）如图2，直线BC上有一点，将直线BC绕点F顺时针旋转90°得到直线，与x轴交于点H，直线上有一点，点M是直线上一动点，是否存在点M使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），（2），（3），，，． 【分析】（1）求出OB长，再求OA长，得到A点坐标代入解析式即可； （2）根据平移得到直线解析式，求出D点坐标，作关于直线对称点，关于轴对称点，连接，，．求出即可； （3）求出F、G、H点坐标，设点坐标为，根据直角不同分类讨论，勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）直线：分别与轴、轴交于，两点， ∴点坐标为，则， ， ∴A点坐标为（-3,0），代入得， 解得，， 故直线的解析式为：． （2）将直线：下平移个单位长度得到直线：，与轴交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线， ∴点坐标为，直线：， ∵， ∴点坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点坐标为， 如图所示，作关于直线对称点，关于轴对称点，连接，，． ∴坐标为，坐标为， 由对称性可知，， 周长 ， 当点，，，四点共线时，周长取得最小值为， 又， 周长最小值为． （3）点为直线：上一点 ∴，即， 将直线绕点顺时针旋转90°得到直线， ∴设直线解析式为， 将代入中得， ∴直线：， 又直线与轴交点为， ∴点坐标为， 点为直线上有一点， ∴，则， ∴点坐标为， 又点为直线上一动点 ∴设点坐标为， ∴， ， ， 若为直角三角形，由勾股定理可知： 或或 ①时， ， ∴， ∴， ∴，； ②当时， ， ， ∴， ∴； ③当时， ， ∴，， ∴， 综上所述：当为直角三角形时， 点的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想、分类讨论思想，设坐标表示线段长，根据勾股定理列方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $