专题05 位置与坐标探究数量关系和存在性问题（7种类型42道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题05 位置与坐标探究数量关系和存在性问题 （7种类型42道） 地 城 类型01 探究角的数量关系 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过点B作交延长线于点M，则 ，如图所示标注角度，根据等边对等角及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （3）过点B作交于N，同理得：，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）过点B作交延长线于点M，则，如图所示标注角度， ， ， ， ， 又由（1）得 ， ∴在和中 ，，， ， ， 又∵， ， ， 在和中， ，，， ， ， ，即； （3）过点B作交于N， 由（1）（2），同理得：，， ∴， 由(2)得 ， ∴， 在和中， ，，， ∴，     ∴， ， ． 2． 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， (1)求的面积 (2)点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． (3)在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)， 【分析】本题考查了 二元一次方程组，坐标与平面综合，中点坐标公式，函数关系式的建立，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点． （1）先解二元一次方程组求出，再由三角形面积公式求解； （2）先由中点坐标公式表示，再由即可求解； （3）由得到，则，故，根据三角形的外角性质以及结合已知条件得到，由，得到，故，则． 【详解】（1）解：， 解该方程组得：， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，点D是线段中点， ∴， ∴， ∴y关于m的关系式为：； （3）解：结论：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）结合点A，B的坐标根据平移特点横坐标加上3，纵坐标不变可得答案； （2）作，根据平移的性质得，再根据平行线的性质得然后根据可得答案； （3）先求出平行四边形的面积，分点P在x轴上时，作出图形根据，可得答案；然后根据点P在y轴上时结合，可得答案；最后根据点P在y轴正半轴时，结合，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段， ∴； （2）解：理由如下： 过点F作，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∴ ∵ ∴， 即：； （3）解：存在；理由如下： 由平移的性质得：． ∵ ∴，边上的高为2， ∴． ①当点P在x轴上时，如图所示： 则， ∴， ∴点P的坐标为：或； ②当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， 若点P在y轴负半轴，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 点P在y轴正半轴时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标内线段的平移，平行线的性质，求点的坐标，求三角形和平行四边形的面积，注意分情况讨论，不能丢解． 4．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：点A，B的坐标A（______，0），B（______，______）； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点D． ①直接写出点D的坐标：（______，______）； ②若点M在y轴上，且三角形的面积是6，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，写出、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；4，5 (2)①点D的坐标为；点M的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形综合，三角形的面积，算术平方根的非负性，平移，坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用平方根和绝对值得非负性，算出a、b的值，由立方根求出m的值，即可得出A和B的坐标； （2）①根据平移的性质，画出点D的位置即可作答； ②根据三角形的面积是6，建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论点E的位置，过点E作，根据平行线的性质，得出，，的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∵m是64的立方根， ∴， ∴，； 故答案为：；4，5． （2）解：①如图，线段即为所求，点D的坐标为； ②设点M的坐标为， ∵，，且三角形的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； （3）解：如图，当点E在之间时，过点E作， ∴， ∴； 如图，当点E在D点的下方时，过点E作， ∴， ∴． 综上所述，或． 6．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题． 地 城 类型02 探究线段的数量关系 7．已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． (2)如图2，过点作轴于，求证：； (3)如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）设和的延长线相交于点D，先证明，再证明，推出，再证，推出，即可得出． 【详解】（1）解：作轴于H，如图1： 点A的坐标是，点B的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：．理由如下：如图2， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 而， ； （3）解：．理由如下： 如图3，设和的延长线相交于点D， ， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， x轴平分，轴， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，等腰中，，点A，C分别在坐标轴上． (1)如图1，若，则B点的坐标为 ； (2)如图2，垂直x轴于D点，判断的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上运动时，分别以为边如图作等腰和等腰，其中，，连接交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的值为，是定值； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点B作轴于M，证明，得到，进而得到，则； （2）过点C作交延长线于N，可证明，再证明，得到，即可证明； （3）过点E作轴于T，同理可证明，得到；再证明，得到，可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于M， ∵， ∴； ∵等腰中，， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线于N， ∵垂直x轴于D点，， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为，是定值． 9．如图，这是校园布局图的一部分，若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台、教学楼的坐标分别为． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系，并写出实验楼的位置的坐标；___________． (2)标出艺术楼、餐厅的位置． (3)连接，请直接写出和的位置关系和数量关系：___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，正确的画出坐标系，是解题的关键： （1）根据已有点的坐标确定原点的位置，画出坐标系，进而写出点的坐标即可； （2）根据坐标，描点即可； （3）根据图形进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下；由图可知：实验楼的位置的坐标为； （2）解：由题意，描点如图； （3）由图可知：． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴负半轴上有点，点为中点．    (1)如图1，点与点关于轴对称，且，则点的坐标为________；求证：为等边三角形； (2)在（1）的条件下，若点为轴上点右侧的一个动点，则______，并求出的最小值（用含的式子表示）； (3)如图2，分别为轴正半轴与轴正半轴上的动点，若，点为的角平分线交点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据关于轴对称的点的纵坐标互为相反数，即可得出点的坐标，根据题意，垂直平分，垂直平分，进而根据垂直平分线的性质可得，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，，可得，，过点作于点，则，得出，则当三点共线时，取得最小值，是等边三角形的高，则，即可求解； （3）连接，点为的角平分线交点，根据角平分线的定义可得，，进而得出，证明，可得出，则是等腰直角三角形，同理可得，可得是等腰直角三角形，延长至，使得，连接，倍长中线法证明，进而证明，可得，即，即可得证． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，且, ∴点的坐标为， 故答案为：． 证明：∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， 故答案为：． 如图所示，过点作于点，则，    ∴，则当三点共线时，取得最小值， ∵， 则与轴的交点即为点，此时， 又是等边三角形的高，则 ∴的最小值为； （3）解：，理由如下， 如图所示，连接，    ∵点为的角平分线交点， ∴，， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∴，， ∴，则是等腰直角三角形， 同理可得，可得是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 延长至，使得，连接， 又∵ ∴， ∴，， ∵， 又， ∴ 在中， ∴ ∴ 即， ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，轴对称的性质求线段的和，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题是几何变换的综合题，考查等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，截长补短法的应用是． （1）①由关于y轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解； ②求出，再由轴，求出，即可求； （2）延长交于点G，由题意求出，再求出，，则有，由是等边三角形，可得G是的中点，则可证明垂直平分； （3）先证，可得，然后作，证可得，最后证即可解答． 【详解】（1）①如图1： ∵点关于y轴的对称点为点D， ∴， 故答案为：； ②由对称性可知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴G是的中点， ∴垂直平分； （3），证明如下： 如图：作，连接， ∵C、D两点关于y轴的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵, ∴, ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴正半轴上一个动点，连接，过点作，且． (1)如图，当时，连接交轴于点，求点的坐标； (2)如图，轴于点，且，连接交轴于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图，在延长线上，过作轴于，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)在点运动过程中，长保持不变，； (3)，见解析． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． （）过点作轴于，由同角的余角相等得，证明，所以， ，然后代入即可求解； （）过点作轴于，由（）可知：，则， ，再证明，所以，从而得 ； （）延长交的延长线于，过点作于，交于，证明，则，，又，，， 得，根据性质得出即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴； （2）解：在点运动过程中，长保持不变，理由： 如图，过点作轴于， 由（）可知：， ∴，， ∵，轴 ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由： 如图，延长交的延长线于，过点作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 地 城 类型03 探究坐标参数的数量关系 13．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点C从点O出发，以每秒3个单位的速度向y轴的负方向运动，设运动时间为t秒． (1) ， ； (2)如图（1），连接，交于点D，则当点C运动多少秒时，； (3)如图（2），直线交x轴于点，交y轴于点，再将平移，点H与点E对应，点G与点M对应，点E坐标为，直线交x轴于点F．第三象限有一点，满足，求m与n的数量关系． 【答案】(1)3，2 (2) (3) 【分析】（1）根据实数的非负性解答即可． （2）求得直线的解析式为．设直线与y轴交于点F，则，求得；设，得到；根据，，得到，解答即可． （3）利用平移，待定系数法确定，连接，过点P作轴于点Q，作轴于点N，，，根据，，，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 设直线与y轴交于点F，则， ∴； 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故 （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵平移，点H与点E对应，点G与点M对应，点E坐标为， 设直线的解析式为． ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 连接，过点P作轴于点Q，作轴于点N， ∵点，点，，，第三象限有一点， ∴，， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， 故m与n的数量关系为． 【点睛】本题考查了实数的非负性，待定系数法求解析式，坐标与线段的转化，分割法表示图形的面积，熟练掌握待定系数法，分割法表示图形的面积是解题的关键． 15．在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、平面直角坐标系中点的平移，左右平移：正数向右平移，负数向左平移；上下平移：正数向上平移，负数向下平移． 按照先左右后上下的顺序列出算式，再计算即可； 根据平移的方向和距离画出图形即可； 根据、水平相距的单位，可得、的关系；根据、竖直相距的单位，可得、的关系． 【详解】（1）解：从到记为：， 从到记为：, 从到记为：， 点运动路线为时， 运动的总路程为； （2）解：如下图所示， （3）解：由可知点在点的右方距离点个单位长度， ， 由可知点和点在同一个水平方向上， ， 故答案为：，． 16．综合与实践 问题情境：如图1，学校有甲、乙两块相邻的正方形菜地，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在甲块菜地内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在乙块菜地内利用已有篱笆规划两块三角形菜地分别种植西红柿和黄瓜，且要求种植西红柿的面积等于种植青椒与种植黄瓜的面积之和． 操作过程：数学实践小组利用平面直角坐标系知识帮助学校完成规划，过程如下： 步骤一：建立如图2所示的平面直角坐标系，两条篱笆的端点分别为和，a，b满足，过点A作轴于点C，沿搭建篱笆，在区域内种植青椒． 步骤二：如图2，取的中点为E，过点B作轴于点D，连接，沿，搭建篱笆，在区域内种植西红柿，在区域内种植黄瓜．问题解决： (1)a的值为________，b的值为________． (2)①的面积为________； ②实践小组的规划可以得到，请你通过计算说明理由． (3)如图3，若在线段上的点处安装一个照明灯，直接写出n与m满足的数量关系． 【答案】(1)3；． (2)①3，② (3) 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，点的坐标，三角形面积的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，得，即可作答． （2）①先得，因为过点A作轴于点C，故，，再根据三角形面积进行列式计算，即可作答． ②因为为的中点，故，结合轴，，得，，再分别算出，，即可作答． （3）过点F分别作于点M，轴于点N，连接，因为，得，．．再把数值代入进行计算． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， 故答案为：3；． （2）解：①由（1）得， ． ∵过点A作轴于点C， ，， ． 故答案为：3； ②为的中点， ， ∵轴，， ∴，， ，， ． （3）解：如图，过点F分别作于点M，轴于点N，连接． ， ，． ． 则， ， 解得． 17．【阅读理解】画一条水平数轴，记为x轴，以原点O为圆心，过x轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向画与x轴正半轴的角度分别为、、、、、…、的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、D的坐标分别表示为、、． 【问题探究】 (1)如图点C、E的坐标分别表示为______； (2)在“圆”坐标系内描出点、，连接AB、FG，试说明； (3)若是等边三角形，则点P的坐标为______； (4)若在“圆”坐标系中，不在x轴上的点与点关于x轴对称，则与、与分别满足的数量关系是______． 【答案】(1) (2)画图见解析，证明见解析 (3)或 (4)， 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质： （1）根据题意进行求解即可； （2）先根据题意标出F、G，再利用证明即可； （3）由等边三角形的性质得到，据此可得答案； （4）由题意得，，，又由可得． 【详解】（1）解：由题意得，点C、E的坐标分别表示为， 故答案为：； （2）解：如图所示，点F和点G即为所求； ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∴或， 故答案为：或； （4）解：∵点与点关于x轴对称，不妨设点M在x轴上方 ∴，， ∴， ∵， 故答案为：，． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．规定：如果有一个顶点在直线上，另外两个顶点在直线的异侧，则称为直线的“泛对称三角形”．    (1)点在直线上，直接写出的数量关系； (2)若是以为底边的等腰三角形，且点的纵坐标为3，判断是否为直线的“泛对称三角形”？并说明理由； (3)若为直线在第一象限内的“泛对称三角形”，，，是否始终存在关于直线轴对称的情形？若存在，求和的值或数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直线的“泛对称三角形”； (3)始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先判断在直线上方，在直线下方，若点在直线上，求得点的坐标为，求得，据此即可判断结论成立； （3）分点B在直线上、点A在直线上以及点在直线上时，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴的数量关系为； （2）解：是以为底边的等腰三角形， ∵，， ∴在直线上方，在直线下方， 若点在直线上， ∵点的纵坐标为3， ∴， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， ∴是直线的“泛对称三角形”； （3）解：当顶点在直线上时，则， 解得，不满足在第一象限内的条件，舍去； 当顶点在直线上时，则， 解得，不满足在第一象限内的条件，舍去； 当顶点在直线上时，关于直线轴对称， 则点B和A关于直线轴对称， 即，， 综上，始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 地 城 类型04 存在性问题面积相关 19．如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 20．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质． （1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标； （2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可； （3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵轴交x轴于点B， ∴点B的坐标为， 即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （2）解：如图，过点E作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t， 当点P在y轴正半轴上，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴上时，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】 21．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 22．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积计算、非负数的性质． （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，，； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 故答案为：． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式． (1)求(______，_____)，(______，_____)，(______，_____)的坐标； (2)在坐标系中画出，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0；4；3；0；6；4 (2)图见解析，的面积为 (3)存在点，坐标为或 【分析】本题考查平面直角坐标系的点坐标、三角形面积计算、动点存在性问题．用割补法求三角形面积，在轴上设点的坐标，利用三角形面积公式列方程是解题关键． （1）利用“绝对值、平方数、算术平方根均为非负数，和为0则每一项为0”，求解、、的值，进而确定点坐标； （2）通过割补法求面积，用矩形面积减去两个三角形面积即为的面积； （3）设点为，用表示，再根据三角形面积公式列方程求出，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：，，，， 可得， 解得， ，，， ，，． 答：0；4；3；0；6；4． （2）解：如图．过点向轴作垂线，与轴交于点． 由，可知，且平行于轴， 故点到的距离为， 可得． 答：的面积为． （3）解：设点为，则，， 故， 解得或， 故点为或． 答：存在点，坐标为或． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 地 城 类型05 存在性问题等腰三角形相关 25．已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：，，， ，，； （2），，， ，， ， ， ， ； （3），，， ， 点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得； 当时，设， 则在中，有， 解得：， ； 当时，可得． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)两点的坐标分别是 ， ； (2)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为或或 【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平方根非负性，偶次幂非负性求出，即可； （）由题意得，然后分当时，当时，当时三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动， ∴，点表示的数为， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴， ∴点表示的数为； ∴点坐标为 综上可得：为等腰三角形时，点坐标为或或． 27．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 28．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)存在，或或或 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到，，解一元一次方程即可得出答案； （2）过点作轴于点，易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可得，因此，，于是可推出，进而可求出，于是，，据此即可求出点的坐标；取点，连接，连接交于点，易证得，于是有，，进而可证得垂直平分，连接交于点，连接，则，此时最小，，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时与之间的数量关系； （4）当点在轴上运动时，点在直线上运动，根据垂线段最短可知：当时，最短，过点作于点，过点作于点，进而可求得点的坐标，设，若是等腰三角形，则分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列方程求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； （4）解：存在，理由如下： 由（2）、（3）可得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最短， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 设，若是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 则有：， 即：， 解得：， ； 当时， 则有：， 即：， 解得：，， 或； 当时， 则有：， 即：， 解得：（此时点与点重合，故舍去），， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质（及），已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，等式的性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，角平分线的性质，三角形的面积公式，垂线段最短，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接开平方法解一元二次方程等知识点，正确作出辅助线并运用分类讨论思想是解题的关键． 29．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或； (3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 30．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用： （1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可； （2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可； （3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，，当时，， ∴． （2）∵是直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 当或，，理由如下： 当时，， 解得：或， ∴或． （3）设， ∵， ∴， 当时，则：解得：或（舍去）， ∴； 当时：，解得：或，均不符合题意，舍去； 当时：，解得：， ∴； 综上：或． 地 城 类型06 存在性问题直角三角形相关 31．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，面积为或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）直接利用两点距离计算公式求解即可； （2）过点作轴于，分点C在线段上（不包括点O）和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可； （3）利用两点距离计算公式分别求出，再分， 和三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为 点，点， ，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于，当点C在线段上（不包括点O）时， 点，点，点 ，，，， ； 当点在线段的延长线上， ∴ ； 综上所述：； （3）解：点，点，点， ∴，， ； 当时，由勾股定理得， ∴，   ， ； 当时，由勾股定理得， ∴， 解得 ； 当时，由勾股定理得， ∴， ， ； 综上所述，存在点C使为直角三角形，为直角三角形时，其面积为或或． 32．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 33．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或，图见解析 【分析】本题考查的是画轴对称图形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据为直角边确定的位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或． 理由：∵，， ， ∴，， ∴． 34．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点． （1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ． （2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示） （3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由． 【答案】（1），；（2）S△ABC=3m+8；（3）存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50． 【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于E，由A、B、C点的坐标可得BE=8、OE=8、AO=2、OC=4，最后根据勾股定理解答即可； （2）由0＜m＜8可得点C在OE上，然后根据面积关系求解即可； （3）分∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°三种情况，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E ∵点A（0，2），点B{8，8），点C（4，0） ∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=4， ∴CE=4， ∴， 故填：，； （2）∵当0＜m＜8 ∴点C在OE上时， ∴A（0，2），点B（8，8），点C{m，0） ∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=m， ∴ ； ∴，S△ABC=3m+8； （3）当∠BAC=90°时，BC2=AB2+AC2，即64+（8-m）2=64+（8-2）2+4+m2，解得m= ∴； 当∠ACB=90°时，AB2=AC2+BC2，则64+（8-2）2=4+m2+64+{8-m）2，解得m=4， ∴； 当∠ABC=90°时，AC2=AB2+BC2，则4+m2=64+（8-2）2+64+{8-m）2，解得m=14， ∴； 综上：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． 35．综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且． (1)直接写出的值：____________，____________，____________． (2)当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）非负性求出，勾股定理求出的值即可； （2）设点的坐标为，利用分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设点的坐标为，由（1）可知：， 即 解得：； 的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当，过点作，则：， ， ， ∵，， ∴，轴， ， ， ， 点的坐标为 ②当，如图，设， ， ， ， 即， 解得； 的坐标为； ③当，不符合题意 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负性，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想，是解题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得． ∵为轴正半轴上的一点，且， ∴． ∴点的坐标为． （2）解：存在． ①如图，当时，此时点（图中）与原点重合，所以点的坐标为． ②如图，当时，此时点（图中）位于轴的正半轴． 设点的坐标为， 在中．由勾股定理得，即． 在中，由勾股定理得，即． 所以， 解得． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 地 城 类型06 存在性问题最值相关 37．如图，的三个顶点，，在单位为1的方格图中的格点上． (1)可以判断的形状是______； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找点，使得点到点和的距离之和最小（最小），若存在，在轴上画出来（保留作图痕迹，不要求写作法）． (4)最小值的平方是多少？ 【答案】(1)等腰三角形 (2)见详解 (3)见解析 (4)18 【详解】（1）解：在单位长度为1的网格中， ， ， 是等腰三角形； （2）如图，即为所求的三角形； （3）如图，点为所求的点； （4）作点关于轴的对称点， 点关于轴对称，点在对称轴轴上， ， ，即此时取最小值； ， 的最小值的平方是18． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或或 (2)存在，，5 【详解】（1）解：∵点，， ∴， ∴， 如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C， 此时，， ∴， ∵点C在x轴的负半轴， ∴； 以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 综上所述，符合题意的点C为或或． （2）解：根据点，， 故， ∵， ∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可． 故，此时， 故时，的值最小，且最小值为5． 39．在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为个单位， (1)将向下平移个单位后得到，请你在图中画出；分别写出、、的坐标； (2)轴上存在点，使得的值最小，请标出点的位置，则的最小值为_____． 【答案】(1)作图见解析，，，； (2)点的位置见解析图，． 【详解】（1）、、向下平移个单位后得到，，连接各点即可， AI ∴即为所求，，，； （2）找关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，    ∵在网格可知：， ∴， ∴点即为所求的点，使得最小， 此时， 故答案为：． 40．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出的三个顶点、、的坐标； (2)直线过点且平行于轴，在直线上找出一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】(1)见详解， (2)图见解析， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴． （2）解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， 如图： ∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 41．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； (3)在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） (4)在y轴上一点M的坐标为，在x轴上有一动点Q满足最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)轴，； (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； （3）解：如图，点即为所求． （4）解：∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴当点M，点，点Q共线时，最大， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ． ∵， 最大值为5． 故答案为：． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； (3)在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 位置与坐标探究数量关系和存在性问题 （7种类型42道） 地 城 类型01 探究角的数量关系 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 2． 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， (1)求的面积 (2)点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． (3)在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：点A，B的坐标A（______，0），B（______，______）； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点D． ①直接写出点D的坐标：（______，______）； ②若点M在y轴上，且三角形的面积是6，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，写出、之间的数量关系，并说明理由． 6．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 地 城 类型02 探究线段的数量关系 7．已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． (2)如图2，过点作轴于，求证：； (3)如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 8．如图，等腰中，，点A，C分别在坐标轴上． (1)如图1，若，则B点的坐标为 ； (2)如图2，垂直x轴于D点，判断的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上运动时，分别以为边如图作等腰和等腰，其中，，连接交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 9．如图，这是校园布局图的一部分，若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台、教学楼的坐标分别为． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系，并写出实验楼的位置的坐标；___________． (2)标出艺术楼、餐厅的位置． (3)连接，请直接写出和的位置关系和数量关系：___________． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴负半轴上有点，点为中点．    (1)如图1，点与点关于轴对称，且，则点的坐标为________；求证：为等边三角形； (2)在（1）的条件下，若点为轴上点右侧的一个动点，则______，并求出的最小值（用含的式子表示）； (3)如图2，分别为轴正半轴与轴正半轴上的动点，若，点为的角平分线交点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 11．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴正半轴上一个动点，连接，过点作，且． (1)如图，当时，连接交轴于点，求点的坐标； (2)如图，轴于点，且，连接交轴于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图，在延长线上，过作轴于，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 地 城 类型03 探究坐标参数的数量关系 13．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点C从点O出发，以每秒3个单位的速度向y轴的负方向运动，设运动时间为t秒． (1) ， ； (2)如图（1），连接，交于点D，则当点C运动多少秒时，； (3)如图（2），直线交x轴于点，交y轴于点，再将平移，点H与点E对应，点G与点M对应，点E坐标为，直线交x轴于点F．第三象限有一点，满足，求m与n的数量关系． 15．在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为． 例如，从到记为：；从到记为：． 回答下列问题： (1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程． (2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置． (3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ． 16．综合与实践 问题情境：如图1，学校有甲、乙两块相邻的正方形菜地，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在甲块菜地内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在乙块菜地内利用已有篱笆规划两块三角形菜地分别种植西红柿和黄瓜，且要求种植西红柿的面积等于种植青椒与种植黄瓜的面积之和． 操作过程：数学实践小组利用平面直角坐标系知识帮助学校完成规划，过程如下： 步骤一：建立如图2所示的平面直角坐标系，两条篱笆的端点分别为和，a，b满足，过点A作轴于点C，沿搭建篱笆，在区域内种植青椒． 步骤二：如图2，取的中点为E，过点B作轴于点D，连接，沿，搭建篱笆，在区域内种植西红柿，在区域内种植黄瓜．问题解决： (1)a的值为________，b的值为________． (2)①的面积为________； ②实践小组的规划可以得到，请你通过计算说明理由． (3)如图3，若在线段上的点处安装一个照明灯，直接写出n与m满足的数量关系． 17．【阅读理解】画一条水平数轴，记为x轴，以原点O为圆心，过x轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向画与x轴正半轴的角度分别为、、、、、…、的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、D的坐标分别表示为、、． 【问题探究】 (1)如图点C、E的坐标分别表示为______； (2)在“圆”坐标系内描出点、，连接AB、FG，试说明； (3)若是等边三角形，则点P的坐标为______； (4)若在“圆”坐标系中，不在x轴上的点与点关于x轴对称，则与、与分别满足的数量关系是______． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．规定：如果有一个顶点在直线上，另外两个顶点在直线的异侧，则称为直线的“泛对称三角形”．    (1)点在直线上，直接写出的数量关系； (2)若是以为底边的等腰三角形，且点的纵坐标为3，判断是否为直线的“泛对称三角形”？并说明理由； (3)若为直线在第一象限内的“泛对称三角形”，，，是否始终存在关于直线轴对称的情形？若存在，求和的值或数量关系；若不存在，请说明理由． 地 城 类型04 存在性问题面积相关 19．如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 20．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 22．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式． (1)求(______，_____)，(______，_____)，(______，_____)的坐标； (2)在坐标系中画出，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 地 城 类型05 存在性问题等腰三角形相关 25．已知．且满足，平面内有一点（其中m是常数），请回答下列问题： (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点D在第二象限，连接，请用含m的代数式表示四边形的面积四边形，并求出当四边形时，m的值； (3)若点D是由点C沿x轴正方向平移距离得到的，连接，请问在四边形边上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)两点的坐标分别是 ， ； (2)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 27．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 29．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 30．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 地 城 类型06 存在性问题直角三角形相关 31．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 33．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 34．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点． （1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ． （2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示） （3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由． 35．综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且． (1)直接写出的值：____________，____________，____________． (2)当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 类型06 存在性问题最值相关 37．如图，的三个顶点，，在单位为1的方格图中的格点上． (1)可以判断的形状是______； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找点，使得点到点和的距离之和最小（最小），若存在，在轴上画出来（保留作图痕迹，不要求写作法）． (4)最小值的平方是多少？ 38．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标； (2)当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 39．在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为个单位， (1)将向下平移个单位后得到，请你在图中画出；分别写出、、的坐标； (2)轴上存在点，使得的值最小，请标出点的位置，则的最小值为_____． 40．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出的三个顶点、、的坐标； (2)直线过点且平行于轴，在直线上找出一点，使得的值最大，则最大值为_____． 41．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； (3)在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） (4)在y轴上一点M的坐标为，在x轴上有一动点Q满足最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； (3)在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $