专题04 实数相关压轴题分类训练（6种类型36道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题04 实数相关压轴题分类训练 （6种类型36道） 地 城 类型01 复合二次根式化简 1．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 2．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 4．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 5．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 6．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 地 城 类型02 分母有理化 7．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 8．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 9．已知，，则代数式的值是 ； 【答案】181 【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等知识，综合性强，难度较大．先化简，，从而计算出，，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ； ∴， ， ∴ ． 10．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 12．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 地 城 类型03 实数相关规律性问题 13．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 14．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． 15．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 16．观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察等式可得第个等式为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1个等式，即； 第2个等式，即； 第3个等式，即； …… 观察发现，第个等式为， 则第9个等式为， 故答案为：． 17．观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和． 本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 18．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 地 城 类型04 整数部分与小数部分 19．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 20．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】先估算出的大小，从而求出整数部分，再进一步表示出小数部分，然后代值求解即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是2， ， ， ， 的整数部分是3，小数部分是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算． 21．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 【答案】(1)2 (2) (3)6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算法则求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算法则求出的取值范围，则可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案； （3）求出的取值范围，则可求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴； （3）解：由（1）得， ∴， ∵，其中x是正整数，， ∴， ∴， ∴ ． 22．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可； （3）估算出的取值范围，进而确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，的整数部分为1， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为9，小数部分为， ∴， ∴ ． 23．阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为； （2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：依题意，∵， ∴， ∴， 即， ∵是是整数部分， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 即． 24．知识夯基： 材料一：是一个无理数，我们可以用这种方法求出它的整数部分和小数部分：因为，即，所以的整数部分为1，再用减去其整数部分，差就是小数部分，于是其小数部分为． 材料二：小陈在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． 应用检验： (1)直接写出的整数部分是___________，小数部分是___________；的小数部分是___________； (2)若，其中为整数，且，求的值； (3)利用小陈的方法估算（结果精确到）． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数混合运算，； （1）根据材料一得，，即可求解； （2）根据材料一得，可得，即可求解； （3）根据材料二得，设，其中则有，即可求解； 能熟练利用无理数估算进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 的整数部分是，小数部分是； ， 的小数部分是； 故答案为：，，； （2）解：， ， ， ， ； ； （3）解：设，其中，依题意有： ， ， ， 解得， 即． 地 城 类型05 海伦——秦九韶公式应用 25．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 26．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 27．综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 实践探究 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为______． 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示； ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1） ；（2）①；②；（3）①见解析②见解析，；③见解析，84 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△的面积； （2）①根据海伦公式计算即可； ②把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）①根据可得答案； ②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得的值； ③根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）△的面积， 故答案为：； （2）①， ， 故答案为：； ②三边长依次为，，的三角形的面积， 故答案为：； （3）①，， ， ②， ，， ， 解得； ③由②得：， ． 28．【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，也考查了阅读理解能力． （1）利用阅读材料，把数值代入公式中即可计算出的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，，， ． 故答案为：12． （2），，， ． （3）， ． ． 在中，，， ． 29．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 30．项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 地 城 类型06 实数相关定义新运算 31．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 32．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 33．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算， 根据新定义代入，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：∵对于任意正实数，都有， ∴， 故答案为：15 34．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数、，都有．例如，那么 ． 【答案】22 【分析】本题考查新定义下的实数运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义得，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：22． 35．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）①根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ②设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 36．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，，，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数相关压轴题分类训练 （6种类型36道） 地 城 类型01 复合二次根式化简 1．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 2．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 3．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 4．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 5．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 6．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 地 城 类型02 分母有理化 7．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 8．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 9．已知，，则代数式的值是 ； 10．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 11．二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 12．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 地 城 类型03 实数相关规律性问题 13．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 14．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 15．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 16．观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 17．观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 18．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 地 城 类型04 整数部分与小数部分 19．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 20．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 21．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 22．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 23．阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 24．知识夯基： 材料一：是一个无理数，我们可以用这种方法求出它的整数部分和小数部分：因为，即，所以的整数部分为1，再用减去其整数部分，差就是小数部分，于是其小数部分为． 材料二：小陈在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到），设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． 应用检验： (1)直接写出的整数部分是___________，小数部分是___________；的小数部分是___________； (2)若，其中为整数，且，求的值； (3)利用小陈的方法估算（结果精确到）． 地 城 类型05 海伦——秦九韶公式应用 25．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 26．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 27．综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 实践探究 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为______． 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示； ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 28．【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 29．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 30．项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 地 城 类型06 实数相关定义新运算 31．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 32．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 33．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 34．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数、，都有．例如，那么 ． 35．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 36．阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ；；；；． (3)计算的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $