专题01 勾股定理相关动点问题分类训练（5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理相关动点问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 动点问题探究数量关系 1．如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 2．已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 3．已知在中，，点D是的中点，点E是上一点． (1)如图1，，，是的垂直平分线，求的长； (2)点F是上一点，已知，连接． ①如图2，延长到点G，使得，连接，，探索，和之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，当，时，其他条件不变，求的长． 4．如图，在菱形中，，在边上，在的延长线，，射线交于，连接． （1）如图，当点是中点，线段，，的数量关系是________； （2）如图，当点不是中点，（1）的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）若，，直接写出的长． 5．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．    （1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME； （2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系． 6．如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 7．如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由． 8．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边交于点E（如图②），试探究：线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 地 城 类型02 动点存在性问题 9．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题： （1）边DC的长为 　 　cm； （2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 10．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 11．如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 12．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 13．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接． （1）用含的代数式表示线段长度：________，________； （2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程． （3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由． （4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 15．数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． (1)图中与的数量关系是_____． (2)图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 地 城 类型03 动点问题求运动时间 17．如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． (1)点运动到的中点时，求t的值； (2)运动时间在秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 18．如图，中，，若动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)当点P在边的垂直平分线上时，求t的值； (2)当点P在的平分线上时，求t的值． 19．如图：已知中，，的面积是12，于点，点在直线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连结，当与全等时，求值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当t＝2秒时，求AD的长； （2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，说明理由，若能，请求出t的值． 21．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 22．如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． (1)当秒时，则的长度为__________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 23．在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示线段和的长； (2)当时，求的长； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 24．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D移动．当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ． (1)当t=2时，求PQ的长； (2)当PQ=10cm时，求t的值． 地 城 类型04 动点最值问题 25．在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 26．探究：如图所示，C为线段上一动点，分别过点A，点B作，，分别连接，．已知，，．设． (1)= ，= ；（用含x的代数式表示） (2)探究点D，C，E处于何种位置时，的值最小，并求出其最小值； (3)根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图） 27．如图1，已知四边形和四边形都是正方形，且．连接，连接交于点．如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，且． （1）如，，请求出的面积． （2）求证：． （3）如图2，当，是边上一点且时，如点为边上的一个动点，以为边向左侧作等边，连接，请直接写出的最小值． 28．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 29．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D分别作，，垂足分别是E、F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出的最小值． 30． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 31．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 32．已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造一个长方形，其中，P是上的一个动点，设，则，那么通过勾股定理可以用含x的式子表示，问题可以转化为求与的和的最小值，用几何知识可以解答． (1)的最小值为 ； (2)结合以上解题思路，求的最小值．（其中x，y为两个正数，）画出图形． 地 城 类型05 动点求值 33．如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 34．如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)用含t的代数式表示的长． 35．在中，，．点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F．连结，若． (1)求证：AE⊥AC； (2)求DE的长． 36．在中，，．点为直线上一动点（点不与点重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明． (2)应用：在探究的条件下，若，，求的周长． 37．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 38．问题提出 （1）如图①，，，，，则______． 问题解决 （2）已知：如图②，中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于M，若，请求出的值． 39．在△ABC中，，，，点是边上一动点，过点作，交AC于点E，将△AED沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当△FEC是直角三角形时，求出的长． 40．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF． (1)求AB的长； (2)当△BEF为等腰三角形时，求AF的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理相关动点问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 动点问题探究数量关系 1．如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）按照题目补图即可； （2）连接，根据轴对称的性质和全等三角形的判定与性质可得出，，根据三角形内角和定理和对顶角的性质可求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据三角形外角的性质即可求解； （3）过C作交于M，根据证明，得出，根据（2）中，得出，结合对顶角的性质可得出，根据证明，得出，根据线段的和差关系可求出，根据勾股定理求出，即可得证． 【详解】（1）解∶补全图形如图所示： ； （2）解：连接， ∵E、G关于对称， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：， 理由：过C作交延长线于M， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）如图，连接，证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （2）（1）中的结论仍然成立．证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴，即， ∴，，三者之间的数量关系：， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， 即； （3）设，则， 当点在线段上时，如图， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，如图， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， ∵，，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．已知在中，，点D是的中点，点E是上一点． (1)如图1，，，是的垂直平分线，求的长； (2)点F是上一点，已知，连接． ①如图2，延长到点G，使得，连接，，探索，和之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，当，时，其他条件不变，求的长． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）①由题意可得是的垂直平分线，推出，证明，得出，，推出，证明是直角三角形，再由勾股定理计算即可得解；②连接，证明，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：①，证明如下： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴； ②如图，连接， ， 在中，，点是的中点， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 4．如图，在菱形中，，在边上，在的延长线，，射线交于，连接． （1）如图，当点是中点，线段，，的数量关系是________； （2）如图，当点不是中点，（1）的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）可以利用度量方法初步猜想，后给出证明即可； （2）仿照（1）中的证明给出解答即可； （3）利用构造等边三角形底边上的高的方法，分两种情形求解即可． 【详解】（1）．理由如下： 如图连接AC,PQ，在MA上截取AN=MD，连接NC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，△ABC是等边三角形，∠D=60°， ∴△ACD是等边三角形, ∴AC=CD，∠ACD=60°， ∵PC=PD， ∴∠APC=90°，∠NAC=30°， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB∥CD， ∴∠PCQ=60°， ∵PC=CQ， ∴△PCQ是等边三角形, ∴PC=PD=PQ， ∴∠DQC=90°，∠MDC=30°， ∴∠NAC=∠MDC， ∵AC=DC，AN=DM， ∴△NAC≌△MDC， ∴NC=MC，∠ACN=∠DCM， ∵∠ACN+∠NCD=60°， ∴∠DCM +∠NCD=60°， ∴∠NCM=60°， ∴△NCM是等边三角形, ∴CM=MN， ∵MA=AN+MN， ∴MC+MD=MA． 故答案为：MC+MD=MA． （2）成立,理由如下：在MA上截取AE=MD，连接EC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，△ABC是等边三角形，∠D=60°， ∴△ACD是等边三角形, ∴AC=CD，∠ACD=60°， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB∥CD， ∴∠PCQ=60°， ∵PC=CQ， ∴△PCQ是等边三角形, ∴PC=PD=PQ，∠ACP=∠DCQ， ∵AC=DC，PC=CQ， ∴△ACP≌△DCQ， ∴∠CAE=∠CDM， ∵AC=DC，AE=DM， ∴△EAC≌△MDC， ∴EC=MC，∠ACE=∠DCM， ∵∠ACE+∠ECD=60°， ∴∠DCM +∠ECD=60°， ∴∠ECM=60°， ∴△ECM是等边三角形, ∴CM=MN， ∵MA=AN+MN， ∴MC+MD=MA． （3）如图3，连接AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H， 根据（1）得△ACD，△ACD都是等边三角形, ∴AC=CD=AB=8，∠ACD=60°， ∴∠CAH=30°， ∴CH=DH=AC=4，AH=ACsin60°=8×=， 在直角三角形APH中，PH==1， ∴PD=DH-PH=4-1=3， 根据（2）得∠CAP=∠CDQ， ∵∠APC=∠DPM， ∴△APC∽△DPM， ∴AP：PD=AC：MD， ∴7：3=8：MD， ∴MD=； 如图4，连接AC，过点A作AF⊥CD，垂足为F， 根据（1）得△ACD，△ACD都是等边三角形, ∴AC=CD=AB=8，∠ADC=60°， ∴∠FAD=30°， ∴CF=DF=AD=4，AF=ADsin60°=8×=， 在直角三角形APF中，PF==1， ∴PD=DF+PF=4+1=5， 根据（2）得∠CAP=∠CDQ， ∵∠APC=∠DPM， ∴△APC∽△DPM， ∴AP：PD=AC：MD， ∴7：5=8：MD， ∴MD=； 故DM的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，分类的思想，熟练菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，活用特殊角的三角函数是解题的关键． 5．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．    （1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME； （2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；② 【分析】（1）证是等腰直角三角形即可得； （2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，   四边形是正方形，是对角线， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）①如图所示，连接、，   是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， ， ∵ ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 即； ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 又且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 又，， ， 则． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点． 6．如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案； （2）根据列出等式，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ． （2）证明：， ∴， 由（1）得，， 作于， ，， ， ， 由平行线间距离处处相等可知， ∴， ， ． 7．如图，在中，，，点D在斜边边上，以为直角边向右作等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)判断线段、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）根据，只要证明即可解决问题； （2）结论：．证明，，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵ ∴，， ∴， ∴， 即． 8．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边交于点E（如图②），试探究：线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键在于正确作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． （1）连接，求出，设，则.再根据勾股定理求解即可． （2）延长到F，使得，连接．证明，再根据勾股定理求解即可判断三者关系． 【详解】（1）解：连接， ∵，且点M为边的中点， ∴是线段的垂直平分线． ∴． 设，则， 在中，， ． 解得：，即 ． 在中，， 在中， ． （2）解：，理由如下： 如图②延长到F，使得，连接． ∵点M为的中点， ∴， 在和中． ∴ ∴． ∴． ∵． ∴． 在中，∵， ∴． 在中，． ∴． 地 城 类型02 动点存在性问题 9．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题： （1）边DC的长为 　 　cm； （2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可； （2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可； （3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可； （4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可． 【详解】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E， 由题意可得：四边形ABED为长方形， ∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°， 又∵BC＝6cm， ∴CE＝BC－BE＝4cm， 在中，cm， 故答案为：5； （2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9， ∴ ， ∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）； （3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， 由题意可得： ， 当t＝3时，点P与点B重合， 此时， ∴＜， ∴点P在线段BC上， ∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， ∴， 即：， 解得：， ∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时； （4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形， 当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴，， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°， ∴， ∴， 解得：（符合题意）， 当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t， ∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t， ∵∠DEC＝∠DEB＝90°， ∴， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°， 此时点P与点E重合， ∴t＝AB+BE＝3+2＝5， 综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键． 10．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当秒或2秒时，的长度等于 (2)存在，当秒时，使得五边形的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，理解题意，正确找到相应关系是解题的关键； （1）先求出，，再利用勾股定理得到，即可建立方程，解方程即可得到答案； （2）由长方形的面积是：，五边形的面积等于，得到的面积为，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：从点开始沿边向终点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动 ， ， ， 由长方形得， ∴， ∵， ∴， 解得：，； 当秒或2秒时，的长度等于； （2）解：存在，当秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，． ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，此时， ∴， ∴， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 11．如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出的长； （2）根据勾股定理定理表示出、、，再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，图像经过、， ∴， 解得：， ∴与的函数表达式为， 当时，得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数关系式，边的长为， 故答案为：；； （2）同意，理由如下： ∵四边形是长方形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数不会随着点的运动而发生变化， ∴小黄的说法正确； （3）设存在的值，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∴存在，使得． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 12．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【详解】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 13．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接． （1）用含的代数式表示线段长度：________，________； （2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程． （3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由． （4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）是，见解析；（4）存在， 【分析】（1）由即可求得，在等腰中，勾股定理即可求得； （2）已知,根据，即可证明四边形平行四边形，列出方程，求解即可； （3）过作，证明四边形是平行四边形即可 （4）由（3）的结论，，根据，列出方程，求解即可 【详解】（1），， ， ， 是等腰 是等腰 ． （2）, 当时，四边形是平行四边形 是等腰   ， 解得：． 当时，四边形是平行四边形 （3）如图：过作，连接, 又 是等腰 ， ． 四边形是平行四边形 点为对角线的交点 即总是的中点． （4）由（3）四边形是平行四边形 是等腰三角形 所以为顶角 ， ． ， 解得：． 当，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，动点问题，熟悉以上知识是解题的关键． 14．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 15．数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正确，理由如下 (2)72；54；作图见详解 【分析】本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． 【详解】（1）连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵ ∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． （2）如图①：面积为72． 面积求解如下： 易证： 如图②：面积为54． 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． (1)图中与的数量关系是_____． (2)图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 【答案】(1) (2)与 仍然存在（1）中的数量关系．理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； （2）与仍然存在（1）中的数量关系． 理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴与仍然存在（1）中的数量关系； （3）当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 地 城 类型03 动点问题求运动时间 17．如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． (1)点运动到的中点时，求t的值； (2)运动时间在秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间路程速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：． （2）解：连接， 根据题意，得， 故秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得， 故． （3）解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 在中，， ∴， 即； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 18．如图，中，，若动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)当点P在边的垂直平分线上时，求t的值； (2)当点P在的平分线上时，求t的值． 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 【分析】本题以动点问题为背景，考查了线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理和勾股定理，解题的关键是熟知角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理得到相关线段的长度． （1）过点P作垂直平分于点D，连接，然后结合中垂线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值； （2）过点P作，则，然后结合角平分线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值． 【详解】（1）解：如图1，①当点P在边的垂直平分线上时， 过点P作垂直平分于点D，连接，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴点P在边的垂直平分线上时，求t的值为． （2）解：当点P在上且在的角平分线上时， 如图2，过点P作， ∵平分，且， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴当点P在的平分线上时，t的值为． 19．如图：已知中，，的面积是12，于点，点在直线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连结，当与全等时，求值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ∵， ∴，即点P与点B重合， ； 当，点在点左侧时，， ， ∴； 当点在点右侧，， ， ∴； 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当t＝2秒时，求AD的长； （2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，说明理由，若能，请求出t的值． 【答案】（1）21；（2）能，4.5或12.5 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出CD，再求出答案即可； （2）分为两种情况：时，当时，求出t即可． 【详解】（1）由勾股定理得： ， 当t=2秒时，， 所以； （2）△CBD能为直角三角形， 理由是：分为两种情况：时， ， ， 由勾股定理得：， 所以； 当时，此时点D和A重合， ， 综上所述，t的值是4.5或12.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积等知识，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 21．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或4 【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）根据题意列代数式可求得答案； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：； 故答案为：； （2）解：过点P作于点M，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； （3）解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得： 此时； 当作为腰时，如图所示： ，此时； 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或4． 22．如图1，已知在中，，，，D是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为t，连接． (1)当秒时，则的长度为__________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)如图2，过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)t的值为或5 (3)当t的值为5或11时，平分 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解； （3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 故答案为：； （2）解：在中，， 由勾股定理，得． 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为或5； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 23．在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示线段和的长； (2)当时，求的长； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)cm (3) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，正确的列出代数式，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用勾股定理进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）当时，，， ∵， ∴cm； （3）由题意，当为等腰直角三角形时，， ∴， 解得． 24．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D移动．当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ． (1)当t=2时，求PQ的长； (2)当PQ=10cm时，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为1.6或4.8 【分析】（1）过点Q作QH⊥AB于点H，则QH=BC=6，根据题意求得BH=QC=4cm，即可求得PH=AB-AP-BH=16-6-4=6cm，然后根据勾股定理求得即可； （2）设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠BHQ=90°， ∴四边形BCQH是矩形， ∴QH=BC=6cm， 当t=2时，AP=3×2=6cm，QC=2×2=4cm， ∴BH=QC=4cm， ∴PH=AB-AP-BH=16-6-4=6cm， 在中，； （2）解：设P，Q两点从出发经过ts时，点P，Q间的距离是10cm，则PQ=10cm， 根据题意得：CQ=2tcm，AP=3tcm， 由（1）得：BH=CQ=2tcm，QH=BC=6cm， ∴HP=AB-AP-BH=（16-5t）cm． 在中，， ∴， 解得t=4.8或1.6． 故当PQ=10cm时，t的值为1.6或4.8． 【点睛】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题的关键． 地 城 类型04 动点最值问题 25．在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】此题考查了勾股定理，最短路径等知识﹒ （1）分别用x表示出的长度，再根据勾股定理即可求解； （2）作点A关于的对称点，连接，即可得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意结合图形得, 在中，， 在中，， 当时， ； （2）解：存在﹒ 如图，作点A关于的对称点，连接， ∴， 在中，， ∴最小值为． 26．探究：如图所示，C为线段上一动点，分别过点A，点B作，，分别连接，．已知，，．设． (1)= ，= ；（用含x的代数式表示） (2)探究点D，C，E处于何种位置时，的值最小，并求出其最小值； (3)根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图） 【答案】(1)，； (2)当D，C，E三点共线时，的值最小，10 (3)13 【分析】对于（1），根据勾股定理计算并表示即可； 对于（2），先根据两点之间线段最短判断，再构造矩形，并结合勾股定理求出答案； 对于（3），根据（2）中的解题思路构造图形，并结合勾股定理计算． 【详解】（1）根据勾股定理，得，； 故答案为：，； （2）如图，当D，C，E三点共线时，的值最小．    延长，过点E作的平行线交延长线于点F， 此时四边形是矩形      ∴，，    ∴．     ∵， ∴， ∴的最小值为10； （3）如图，为上一点，，， ，，．   设，则， ∴．   由（2）知：当，，三点共线时，的值最小． 此时，值为． ∴的最小值为13． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理求最值，根据矩形的性质构造直角三角形是解题的关键． 27．如图1，已知四边形和四边形都是正方形，且．连接，连接交于点．如果正方形绕点旋转到某一位置恰好使得，且． （1）如，，请求出的面积． （2）求证：． （3）如图2，当，是边上一点且时，如点为边上的一个动点，以为边向左侧作等边，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）DP的最小值为3． 【分析】（1）根据正方形的性质，再由SAS证明△BCG≌△DCE，连接BE，根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，由SAS证得△BCG≌△BCE，得出BG=BE，证得△BDE为等边三角形，再根据即可求解； （2）利用△BDE为等边三角形，∠DBC=∠BDC=45°，求得∠MBN=30°，根据30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可证明BM=DM； （3）以CM为边向左侧作等边△MCQ，连接PQ，证得△PMQ≌△NMC，判断出点P在过点Q且垂直于QM的直线上，当DP⊥PQ时，DP的值最小，过点M作MH⊥PD于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求得DP的最小值为3． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°． ∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG， ∴∠BCG=∠DCE． 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）． ∴BG=DE； 连接BE， ∵CG∥BD， ∴∠DCG=∠BDC=45°， ∴∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+45°=135°， ∵∠GCE=90°， ∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°， ∴∠BCG=∠BCE， 在△BCG和△BCE中， ， ∴△BCG≌△BCE（SAS）， 即△BCG≌△BCE≌△DCE， ∴BG=BE=DE， ∵BG=BD， ∴BD=BG=BE=DE， ∴△BDE为等边三角形， ∵BD=，则BE=DE=， ∴BC=DC=， 过点D作DI⊥BE于点I， 则， ∴， ∴， ， ； （2）过点M作MN⊥BD于点N， 由（1）知：△BDE为等边三角形，∠DBC=∠BDC=45°， ∴∠CDE=∠CDG=∠CBE=60°-45°=15°， ∴∠MBN=45°-15°=30°， 在Rt△BMN和在Rt△DMN中，∠MBN=30°，∠BDM=45°， ∴BM=2MN，DM=MN， ∴BM=DM； （3）以CM为边向左侧作等边△MCQ，连接PQ， 则QM=MC， ∵△MNP是等边三角形， ∴∠PMN=60°，PM=MN， 则∠PMN=∠QMC=60°， ∴∠PMQ=∠NMC， 同理可证：△PMQ≌△NMC， ∴∠PQM=∠NCM=90°， ∴点P在过点Q且垂直于QM的直线上； 当DP⊥PQ时，DP的值最小， 过点M作MH⊥PD于点H， ∵∠PQM=90°，DP⊥PQ， ∴四边形PQMH是矩形， ∴PH=QM，∠PDM=∠QMC=60°， ∵BD=5，CM=1，∠HMD=30°， ∴BC=CD =5，DM=4，PH=QM= CM=1， ∴HD=DM=2， ∴DP=2+1=3． 即DP的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 28．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为． 29．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D分别作，，垂足分别是E、F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，则是直角三角形，，进而可证四边形是矩形； （2）如图，连接，由四边形是矩形，可得，即最小时，最小，由题意知，当时，最小，根据，计算求解，进而可得的最小值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，， 又∵，， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴最小时，最小， 由题意知，当时，最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 30． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】(1)①图见解析；②5 (2) (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 31．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 32．已知，求的最小值． 分析：如图，我们可以构造一个长方形，其中，P是上的一个动点，设，则，那么通过勾股定理可以用含x的式子表示，问题可以转化为求与的和的最小值，用几何知识可以解答． (1)的最小值为 ； (2)结合以上解题思路，求的最小值．（其中x，y为两个正数，）画出图形． 【答案】(1) (2)画图见解析，最小值为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，二次根式的运算等知识点，正确利用转化的思想是解题的关键． （1）过点作关于的对称点，连接，则， 故当点三点共线时，取得最小值即为，再由勾股定理求解即可； （2）作长方形，使得，P是上的一个动点，设，，则，那么，然后同（1）作对称点求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，，， 设，则， ∴由勾股定理得，， 过点作关于的对称点，连接 ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为 ∴； （2）解：作长方形，使得，P是上的一个动点，设，，则，那么， ∴，，， ∴由勾股定理得，， 过点作关于的对称点，连接 ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为 ∴． 地 城 类型05 动点求值 33．如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； （2）解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 34．如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． (1)求边的长． (2)用含t的代数式表示的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、列代数式、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用勾股定理求出的长即可； （2）根据路程等于速度乘以时间求出的长，再根据线段的和差关系表示出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意，得：， ∴． 35．在中，，．点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F．连结，若． (1)求证：AE⊥AC； (2)求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 36．在中，，．点为直线上一动点（点不与点重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明． (2)应用：在探究的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，即得，又由全等三角形的性质得，，即得到，再利用勾股定理求出的长即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的周长为． 37．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 38．问题提出 （1）如图①，，，，，则______． 问题解决 （2）已知：如图②，中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于M，若，请求出的值． 【答案】（1）6；（2）或 【分析】此题主要考查了全等三角形判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． （1）先证明，进而依据“”判定和全等得，再根据即可得出的长； （2）根据，设，则，则，依题意有以下两种情况：①当点在边上时，过点作于点，证明和全等得，再证明和全等得，进而得，再由三角形的面积公式及勾股定理求出和的面积，最后求出比值即可；②点在的延长线上时，过点作于点，同①证明和全等，和全等得，进而得，再由三角形的面积公式及勾股定理求出和的面积，最后求出比值即可． 【详解】解：（1）∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6 ； （2）， 设，则， ， 依题意有以下两种情况：①当点在边上时，过点作于点，如图②所示： ， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ； ②点在的延长线上时，过点作于点， 如图③所示： 同理可得：， ， ， ， ∴， ， ， ∴； 综上所述：的值为或． 39．在△ABC中，，，，点是边上一动点，过点作，交AC于点E，将△AED沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当△FEC是直角三角形时，求出的长． 【答案】2或4/4或2 【分析】若△FEC是直角三角形，有两种情况：①当∠EFC=90°时，∠FCE=30°；②当∠FCE=90°时，点F，B重合． 【详解】解： ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 若△FEC是直角三角形，有两种情况： ①当时，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ②当时，点F，B重合． ∴． ∴当△FEC是直角三角形时，的长为2或4． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质；分类讨论是解题的关键． 40．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF． (1)求AB的长； (2)当△BEF为等腰三角形时，求AF的长． 【答案】(1) (2) 或 或 【分析】（1）根据AC2+CE2＝AE2得出∠ACE＝90°，再利用勾股定理即可得到AB的值； （2）根据等腰三角形的性质，分析符合题意的情况并求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵AC＝5，CE＝1，， ∴AC2+CE2＝26，AE2＝26， ∴AC2+CE2＝AE2， ∴∠ACE＝90°， ∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5， ∴； （2）（2）①当BF＝BE＝4时， AF＝AB﹣BF＝； ②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°， ∴∠BFE＝90°， 设BF＝EF＝x， ∵BF2+EF2＝BE2， ∴x2+x2＝42， ∴（负值舍去）， ∴AF＝AB﹣BF＝； ③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°， ∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4， ∴， ∴AF＝AB﹣BF＝， 综上所述，AF的长为或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，掌握相关性质并根据题意分析不同情况进行求解是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $