重难点03 一次函数的图象和性质6大考点（专项训练）（河北专用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

专题01 一次函数的图象和性质 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一、一次函数图象判断 解｜题｜技｜巧 定与y轴交点(0,b)。结合两者可判断图象经过的象限。快速判断时，可先定b，再根据k画趋势。 1．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程解的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 5．（2024·河北石家庄·二模）如图，一次函数的图象经过平面直角坐标系中四个点：，，，中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，直线与直线（a为常数）的交点在第三象限，则a的取值范围是 ． 7．（2022·河北石家庄·一模）已知一次函数满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（    ） A．B．C． D． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 二、一次函数的图象与性质的应用 考点二、一次函数的图象与性质的应用 解｜题｜技｜巧 利用待定系数法求解析式是基础。解题关键在于将实际条件（如速度、单价）或几何特征转化为k、b的关系，并利用增减性比较大小或求最值。 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点向上平移4个单位长度到点，点向左平移2个单位长度到点，直线的图象与直线交于点． (1)画出直线并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：有唯一值不可取； 淇淇说：无论为何值（唯一不可取的值除外），直线总经过一个定点； 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当直线与直线的交点到轴的距离恰为3时，求的值． 10．（2025·河北邯郸·一模）如图，直线经过点，点，直线（）． (1)画出直线，并求直线的解析式； (2)请你通过计算说明：当时，直线总经过一个定点，且该定点在直线上； (3)设直线，直线与轴分别交于点，点，若点在线段上，直接写出的取值范围． 11．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 12．（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． (1)求直线l对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 13．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，直线：（）与x轴、y轴分别交于点A，B，直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，直线与直线交于点． (1)求k，b的值； (2)求四边形的面积； (3)若当时，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，请直接写出m的取值范围____________． 14．（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 15．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 16．（2025·河北石家庄·一模）如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接． (1)直接写出点的坐标，并求直线的表达式； (2)设，求的值； (3)设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上． 17．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． 18．（2025·河北·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 考点三、一次函数图象的变换问题 解｜题｜技｜巧 掌握平移规律：“左加右减”自变量，“上加下减”常数项。解题时，先确定原解析式，再根据平移方向直接写出新解析式，或利用平移后点坐标代入求解。 19．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 22．（2025·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，已知直线过，两点，直线：． (1)若直线与直线交于点； 求直线的函数解析式； 当时，请直接写出的取值范围； (2)将线段在平面直角坐标系内平移得到线段，其中点的对称点为点，点的对称点为点．若平移后点落在直线上，此时关于的函数图象必经过一个定点，请求出该定点坐标． 23．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（2024·河北·模拟预测）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，将直线绕点B旋转得到直线，线段的端点为点，，其中a为任意实数．已知线段与直线，直线分别交于点G，．(点K与点P，Q不重合) (1)若直线经过的中点M． ①求直线的解析式并在图中画出直线； ②当点Q关于点K的对称点仍然在线段上时，求a的取值范围； (2)当时． ①若为钝角三角形，求t的取值范围； ②当直线经过点时，将线段平移，并使平移后的线段与直线，直线在点B下方围成的三角形面积最大，直接写出点P平移的方式． 25．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 26．（2025·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点，称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； 27．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 28．（2025·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 29．（2025·河北唐山·二模）如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2． ①求点的纵坐标； ②若点在内部（不含边界），直接写出点的纵坐标的取值范围． 考点四、一次函数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 观察图形或数字序列，找出坐标或参数的循环变化规律。通常需列出前几项，分析横、纵坐标与序号n的关系，用含n的代数式表示，并验证。 30．（2025·河北唐山·三模）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为 ． 31．（2025·河北唐山·二模）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则 ． 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， 32．（2023·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，直线的表达式为：．      （1）当时，直线与x轴交于点D，点D的坐标是 ； （2）若线段与直线有交点，则k的取值范围是 ． 33．（2022·河北廊坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形． （1）线段的长度为 ； （2）点的坐标为 ； （3）线段的长度为 ． 34．（2021·河北唐山·一模）如图，过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点：点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为： （1） （2） （3） 35．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 36．（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 37．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 38．（2022·河北保定·二模）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线l上，点，，，，…在x轴正半轴上，则第二个正方形的对角线长为 ，前n个（n为正整数）正方形对角线的和是 ． 考点五、一次函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 求两函数交点，即联立解析式解方程组。一次函数与坐标轴交点也很重要：与y轴交于(0,b)；与x轴交于(-b/k, 0)。数形结合分析交点意义。 39．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 41．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 42．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴、y轴分别交于点，B． (1)求直线l的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； (3)点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 43．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 44．（2025·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 45．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 46．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知，函数其中，为常数．记该函数的图像为． (1)当时，若图像经过点，求的值； (2)若点和点在图像上，当，且时，求的值； (3)若，两点的坐标分别为，，当图像与线段有且只有一个交点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由． 47．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 48．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且的面积为56．点D为线段的中点，点E为y轴上一动点，连接，将线段绕着点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)在点E运动的过程中，若的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为； ①用m表示点F的坐标； ②点E运动的过程中，若点F始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围． 考点六、一次函数的综合问题 解｜题｜技｜巧 常与方程、不等式、几何图形结合。思路是：数形结合，将几何条件转化为坐标或线段长；分类讨论不确定情况；求面积时常分割或利用坐标差。 49．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 50．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 51．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 53．（2025·河北石家庄·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 54．（2025·河北唐山·三模）如图，矩形位于平面直角坐标系第一象限，点O与原点重合，边和边分别与x轴、y轴重合，，B为中点，直线的函数关系式是，点P由A点出发，沿折线运动，运动路程为m，连接所在直线l的关系式为． (1)求b的值及点C坐标； (2)在点P运动过程中，若中的随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若直线l将线段分成两部分，请直接写出此时m的值． 55．（2025·河北张家口·二模）已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）． ②射线是否经过？请说明理由． (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围． (3)若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 56．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 57．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 58．（2025·河北唐山·一模）如图，直线经过两点，已知，点是线段上一动点（可与点重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标______； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围______． (4)当时，设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出的值． 试卷第2页，共112页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数的图象和性质 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一、一次函数图象判断 解｜题｜技｜巧 定与y轴交点(0,b)。结合两者可判断图象经过的象限。快速判断时，可先定b，再根据k画趋势。 1．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据平移的规律可知直线的图象经过点，根据两条直线平行，从而可确定一次函数的图象不经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过点，将该函数图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象， 直线的图象经过点． ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 2．（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次方程的两根为和， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，求解一次函数的解析式，先求解，，，结合当时，且点在轴上，可得或，再进一步求解即可. 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当，；当时，， 解得：， ∴，， ∵点关于轴的对称点为点． ∴， 当时，且点在轴上， ∴或， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当时， ∴， 故选：C 4．（2025·河北沧州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程解的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，判别式判断一元二次方程的根的情况，先根据图象得，则，因为，故，即可作答． 【详解】解：依题意，一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．（2024·河北石家庄·二模）如图，一次函数的图象经过平面直角坐标系中四个点：，，，中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本图考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，根据题意，当经过两点时，最大，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：当，越大，则直线与轴的夹角越大， ∴当经过两点时，最大， 将，，代入 解得： 故选：B． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，直线与直线（a为常数）的交点在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质以及交点坐标问题，解题的关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合第三象限的坐标特征确定的取值范围．先求出直线与轴的交点，再根据直线与直线的交点在第三象限，确定的取值范围． 【详解】当时，， ∴直线与轴交于点， ， ∵直线与直线（为常数）的交点在第三象限， ， 故答案为：． 7．（2022·河北石家庄·一模）已知一次函数满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度， ∴y随x的增大而增大，排除C、D， A选项，自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加1个单位长度，不符合题意， B选项，自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（2）    （3）图见解析       【分析】（2）①把代入，得，由此即可求出的值；②把代入，得，解方程即可求出与的值，进而可求出的值； （3）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；①由函数图象即可直接得出该函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出直线，由函数图象即可直接得出时的取值范围． 【详解】解：（2）①把代入，得： ； ②把代入，得： ， 解得：或， ； （3）画出该函数的图象如下： ①由函数图象可知：该函数的最小值为； ②在同一平面直角坐标系中画出直线， 由函数图象可知：时的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，根据两条直线的交点求不等式的解集，代数式求值，求函数值，用表格表示变量间的关系，绝对值方程等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 二、一次函数的图象与性质的应用 考点二、一次函数的图象与性质的应用 解｜题｜技｜巧 利用待定系数法求解析式是基础。解题关键在于将实际条件（如速度、单价）或几何特征转化为k、b的关系，并利用增减性比较大小或求最值。 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点向上平移4个单位长度到点，点向左平移2个单位长度到点，直线的图象与直线交于点． (1)画出直线并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：有唯一值不可取； 淇淇说：无论为何值（唯一不可取的值除外），直线总经过一个定点； 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当直线与直线的交点到轴的距离恰为3时，求的值． 【答案】(1)见解析，直线的解析式为 (2)见解析 (3)或 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及解析式、点的平移、两直线位置关系等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据点平移的规律得到点的坐标，由待定系数法求出函数表达式，即可画出直线； （2）嘉嘉：由直线与直线不平行，进而得到；淇淇：直线，无论为可取的任意值，时，即可求解； （3）由题意得：点在直线上且纵坐标为3或，分别代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 设直线的解析式为 ，解得 直线的解析式为； （2）解：嘉嘉：直线与直线交于点 直线与直线不平行， 有唯一值不可取 淇淇：直线 无论为可取的任意值，时 直线始终过； （3）解：由题意得：点在直线上且纵坐标为3或， 当， 过， ，解得， 当， 过， ，解得， 或． 10．（2025·河北邯郸·一模）如图，直线经过点，点，直线（）． (1)画出直线，并求直线的解析式； (2)请你通过计算说明：当时，直线总经过一个定点，且该定点在直线上； (3)设直线，直线与轴分别交于点，点，若点在线段上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练求得正确的一次函数解析式是解题的关键． （1）描点画出直线，再利用待定系数法即可解答； （2）只需满足的系数为0，即可解答； （3）当轴时，最短，当点重合时，最大，分别计算即可． 【详解】（1）解：画直线如图所示： 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：，即函数过定点 当时，，可知点在直线上 （3）解：如图，当轴时，最短， ， 此时点， ； 又∵， 故该D点位置不会出现， ∴ 如图，当点重合时，最大， ， 此时， ． 11．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 12．（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． (1)求直线l对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点，得出，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先根据，，求出，从而得出或，代入中，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴点， 设直线l对应的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线l对应的函数解析式为； （2）解：在中，令， 解得， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 将或代入中， 解得或， ∴点P的坐标为或． 13．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，直线：（）与x轴、y轴分别交于点A，B，直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，直线与直线交于点． (1)求k，b的值； (2)求四边形的面积； (3)若当时，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，请直接写出m的取值范围____________． 【答案】(1)，； (2)四边形的面积； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）先求得，，，根据四边形的面积，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，画出临界状态图像分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴，； （2）解：由（1）直线：，直线：， 当时，或， 解得或， 当时，， ∴，，， ∴四边形的面积； （3）解：∵两个一次函数的解析式分别为，， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，则画出图像为： 由图像得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 故答案为：． 14．（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）把代入，解方程组，得，再代入，即得； （2）代入，即可求的面积； （3）当点E在点A的正上方时，点E的横坐标为．此时，得，得t的取值范围是． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 的解析式为：． 把代入， 得，解得． ∴． （2）解：当时， ． 的面积为． （3）解：． 理由：当点E在点A的正上方时，点E的横坐标为． 此时， ， 即， ． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数综合．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，函数图象围成的三角形面积，一次函数的增减性，是解题的关键． 15．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，点不在直线； (2)①，②； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； （2）解：①当时直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； （3）解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， ∴的取值范围或． 16．（2025·河北石家庄·一模）如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接． (1)直接写出点的坐标，并求直线的表达式； (2)设，求的值； (3)设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点不在直线上，见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式． 因为当时，可得，解方程求出，从而可得点的坐标为，根据点与点关于轴对称，可得点的坐标为；设直线的表达式为，利用待定系数法求直线的解析式即可； 分别求出和四边形的面积，把两个面积相加即可； 因为点与点关于轴对称，可知直线与直线关于轴对称，利用待定系数法求出直线的解析式，即为直线的解析式，把代入解析式，可得：，所以可知点不在直线上． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为， 又点与点关于轴对称， 点的坐标为； 设直线的表达式为， 把，分别代入， 可得：， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：当时，， 点的坐标为， ， ， ， ， ，，， ， ； （3）解：直线与关于轴对称， 直线经过点． 设直线的表达式为， 把，分别代入， 可得：， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上． 17．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识． （1）由待定系数法可求解析式； （2）求出，设点，由面积公式可求解； （3）结合图象可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵、点在直线上， ∴ 解得 ∴； （2）∵，， ∴， 过点C作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或； （3）过点C作轴于E， ∵， ∴， ∵的图象是y随x的增大而减小，经过， ∴当点P在的左侧时，符合题意， ∴． 18．（2025·河北·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)k的最大值与最小值的乘积为 (3)m的取值范围为且 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键； （1）线段轴，、两点纵坐标相等，又，点在点右边，根据距离确定点坐标． （2）利用待定系数法求得直线过点、或、时的的值，即可求得的最小值为，的最大值为，进一步求得的最大值与的最小值的乘积； （3）由题意可知直线与直线平行，且直线在直线的上方，据此得出，解得，由，则． 【详解】（1）解：与轴平行， 、两点的纵坐标相同，都为2， 又点，， ； 故答案为：； （2）解：一次函数的图象经过点， ． ． ． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当时，一次函数 的图象与线段有公共点， 的最小值为，的最大值为． 的最大值与最小值的乘积为； （3）解：两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值， 直线与直线平行，且直线在直线的上方， ， 解得， ， ， 的取值范围为且． 考点三、一次函数图象的变换问题 解｜题｜技｜巧 掌握平移规律：“左加右减”自变量，“上加下减”常数项。解题时，先确定原解析式，再根据平移方向直接写出新解析式，或利用平移后点坐标代入求解。 19．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数的平移问题，设平移后的直线解析式为，可分别求出直线恰好经过时和直线与只有一个交点时的b的值，再计算出直线l分别平移到这两条直线的距离即可得到答案． 【详解】解：在中，当时， 设平移后的直线解析式为， 当直线恰好经过时，则， ∴， 当直线与只有一个交点时，则方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 设直线，，分别与y轴交于A、B、C， ∴， ∴； 设直线与x轴交于F，则， ∴， 又∵， ∴， 如图所示，过点A作分别交直线，于D、E 由平移的性质可， ∴， ∴， ∵， ∴平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为， 故选：A． 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再求得，，从而可得点的坐标． 【详解】解：直线， 当时，； 当时，，解得， ∴，． 过点作x轴的垂线，垂足为点H， 则， ∴， ∵将点B绕着点A顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形与坐标，旋转的性质，直角三角形的两个锐角互斜，解题关键是找准全等三角形证明线段相等． 21．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 22．（2025·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，已知直线过，两点，直线：． (1)若直线与直线交于点； 求直线的函数解析式； 当时，请直接写出的取值范围； (2)将线段在平面直角坐标系内平移得到线段，其中点的对称点为点，点的对称点为点．若平移后点落在直线上，此时关于的函数图象必经过一个定点，请求出该定点坐标． 【答案】(1)①；②； (2)关于的函数图象必过定点，且该定点坐标为． 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，平移的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解析式即可； 当时，得，然后解不等式组即可； （）由点，点，则，且，又点与点之间的对应坐标差和点与点得对应坐标差相等，即点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，所以，代入得，，即，当时，无论取何值都有，从而求解． 【详解】（1）解：∵直线过，两点， ∴设：， ∴，解得：， ∴：， 把代入已知直线：， 得， 把代入直线：， 得， ∴直线的函数解析式：； 如图： ， ∵当， ∴， ， 解得，， ∴； （2）解：点，点， ∵线段沿某个方向平移得到线段，点与点是对应点，点与是对应点， ∴，且， ∴点与点之间的对应坐标差和点与点得对应坐标差相等， 即点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，向下平移个单位得到点， ∴， 把代入得， ，即， 当时，无论取何值都有， 此时， ∴关于的函数图象必过定点，且该定点坐标为． 23．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 24．（2024·河北·模拟预测）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，将直线绕点B旋转得到直线，线段的端点为点，，其中a为任意实数．已知线段与直线，直线分别交于点G，．(点K与点P，Q不重合) (1)若直线经过的中点M． ①求直线的解析式并在图中画出直线； ②当点Q关于点K的对称点仍然在线段上时，求a的取值范围； (2)当时． ①若为钝角三角形，求t的取值范围； ②当直线经过点时，将线段平移，并使平移后的线段与直线，直线在点B下方围成的三角形面积最大，直接写出点P平移的方式． 【答案】(1)①直线的解析式为，图象见详解；②a的取值范围为 (2)①或或；②点P先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】（1）①由题意易得，，则有，然后可利用待定系数法求解函数解析式，进而在坐标系上作图即可； ②由①可得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）当时，则，①由题意易得直线与x轴所成锐角为，则有与直线所成锐角也为，当直线与y轴重合时，此时，然后根据题意可分三种情况进行分类求解即可； ②由题意易得直线的解析式为，如图，当点P、Q分别在直线与直线上时，即位于点时，围成的三角形面积最大，设此时点，则点，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①将代入，得：，即， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴，即， 将代入得：， ∴， ∵直线绕点B旋转得到直线， ∴设直线的解析式为， ∵直线经过点M， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 画出直线的图象如图所示： ②将代入中，得：， 解得：， ∴， ∵线段与直线、都相交， ∴点Q在点K的右侧， ∴，解得：， ∴， ∵点Q关于点K的对称点仍然在上， ∴，即， 解得：， 综上所述：a的取值范围为； （2）解：当时，则， ①∵， ∴， ∴直线与x轴所成锐角为， ∵轴， ∴与直线所成锐角也为， 当直线与y轴重合时，此时， 若要为钝角三角形，分三种情况： 情况一：点K从移动至，为钝角； ∴当时，为钝角三角形； 情况二：点K从移动至，为钝角； ∴当时，为钝角三角形； 情况三：当点G、K关于y轴对称时，点K的坐标为，此时为直角， ∴点K从移动至，为钝角； ∴当时，为钝角三角形； 综上所述：当或或时，为钝角三角形； ②设直线的解析式为，由直线经过点，，可得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵将线段平移，并使平移后的线段与直线，直线在点B下方围成的三角形面积最大， ∴如图，当点P、Q分别在直线与直线上时，即位于点时，围成的三角形面积最大， 设此时点，则点， ∵， ∴，即， 解得：，此时点， ∴点移动到点，即点P先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 25．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，是解题的关键． 本题考查一次函数的综合、对称的性质． （1）求出线段的中点，代入直线，解方程即得； （2）可知直线的解析式为，根据直线，得直线l的解析式为，当时，求出y值即得； （3）可知直线的解析式为，分点Q在点A和在点B时的对称点为，求出的坐标，得中点坐标，代入解析式求出m的临界值即得． 【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵直线过点P， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为．    （2）解：∵动点恒在直线上， ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴， ∴直线l的解析式为． 令， 则， ∴点P的坐标为． （3）m的取值范围为． 解法提示： 根据题意可得，直线的解析式为， 则直线与x轴所夹锐角为．如解图， 当点Q运动到点A时， 记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，A与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， ∴点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入， 得， 解得； 当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，B与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， 点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入，得， 解得． 综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意， 故满足条件的m的取值范围是． 26．（2025·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点，称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； 【答案】(1)， (2)①；②见解析，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数图象解析式，坐标与图形变化—平移，画一次函数图象，正确理解甲方式和乙方式移到后点的坐标变化情况是解题的关键： （1）利用待定系数法求出直线的解析式，再根据上加下减，左减右加的平移规律求出直线的解析式即可； （2）①根据题意可得点按照乙方式移动了次，再根据甲方式和乙方式移到后点的坐标变化情况，求出点P移动10次后的横纵坐标即可得到答案；②根据（2）①所求得到关于x、y的关系式，进而可得直线的解析式，据此画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设的解析式为， 由题意可得：，解得：， 的解析式为， ∴将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）解：①点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动10次， 点按照乙方式移动了次， 点按照甲方式移动次后得到的点的横坐标为，点按照乙方式移动次后得到的点的纵坐标为， 点从原点出发连续移动10次后的坐标为， ； ②∵ ∴， 直线的解析式为； 函数图象如图所示： 27．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 28．（2025·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得； （2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标； ②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ②连接， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代得：，解得：，． 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， 当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 29．（2025·河北唐山·二模）如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2． ①求点的纵坐标； ②若点在内部（不含边界），直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①点的纵坐标为；② 【分析】（1）由待定系数法列式求解即可得到答案； （2）设，由平面直角坐标系中求三角形面积方法，根据的面积为，数形结合得到，解方程即可得到答案； （3）①证明，即可求解；②由点 （n-1，-1）知，点 在 上运动，再用数形结合的方法即可求解 【详解】（1）解：直线与直线交于点， 将点代入，得 ； 点， 设直线， 将 、代入直线得， 解得， 则直线的表达式为：； （2）解：如图所示： 直线与坐标轴交于两点， 当时，，即；当时，，解得，即， 设， 的面积为， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：①将线段绕点顺时针旋转，得到线段， 为等腰直角三角形， 过点作轴于点，如图所示： ，， ， ，， ， ，， 即点， 点的纵坐标为； ②由点知，点在上运动， 当点在上时，即 ，解得； 当在上时，即，解得； 当点在上时，即，解得； 如图所示： 若点在内部（不含边界），则线段与的边只有一个交点， 的取值范围为：． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积表示方法、旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、动点的轨迹等知识，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 考点四、一次函数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 观察图形或数字序列，找出坐标或参数的循环变化规律。通常需列出前几项，分析横、纵坐标与序号n的关系，用含n的代数式表示，并验证。 30．（2025·河北唐山·三模）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探索，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，作轴于，则，，即可得出，求出，，…，得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， 则，， ∴， ∵过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 31．（2025·河北唐山·二模）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型、点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，掌握从特殊到一般探究规律，再利用规律解决问题的思路是解题的关键． 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（2023·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，直线的表达式为：．      （1）当时，直线与x轴交于点D，点D的坐标是 ； （2）若线段与直线有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）当时，令，解方程求出的值即可解题；（2）先得到必过点，然后运用旋转可知当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：当时，直线为， 令，即，解得， ∴点D的坐标是 ∵ ∴直线定过点，    当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k的取值范围为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键． 33．（2022·河北廊坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形． （1）线段的长度为 ； （2）点的坐标为 ； （3）线段的长度为 ． 【答案】 （22021，0） 【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，设An的坐标为（an，0），由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐标B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020． 【详解】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an， ∵点B1，B2，B3，…是在直线y=x（x≥0）上的第一象限内的点， ∴∠AnOBn=30°， 又∵△BnAnAn+1为等边三角形， ∴∠BnAnAn+1=60°， ∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°， ∴BnBn+1=OBn=an， ∵点A1的坐标为（1，0）， 设An的坐标为（an，0）， ∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…， ∴an=2n-1． ∴A2022（22021，0）． ∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020． 故答案为：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020． 【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n-1． 34．（2021·河北唐山·一模）如图，过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点：点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线y＝3x于点；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为： （1） （2） （3） 【答案】 (4，12) (32，96) 【分析】（1）根据点可得点的横坐标，再代入直线可得其纵坐标，由此即可得出答案； （2）先同（1）求出点的坐标，然后归纳类推出一般规律，由此即可得； （3）由（2）已求得． 【详解】（1）轴，且， 点的横坐标为4， 当时，， 则， 故答案为：； （2）同（1）可得：， 观察可知：点的横坐标依次为，即为；纵坐标为横坐标的3倍， 归纳类推得：（其中为正整数）， 则，即， 故答案为：； （3）由（2）已求得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 35．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 36．（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据、、、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ； ∴ ， 故答案为：． 37．（2025·河北石家庄·一模）已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 38．（2022·河北保定·二模）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线l上，点，，，，…在x轴正半轴上，则第二个正方形的对角线长为 ，前n个（n为正整数）正方形对角线的和是 ． 【答案】 【分析】由题意可得正方形OA1B1C1的对角线长为，第二个正方形的对角线长为，正方形A3B3C3C2的对角线长为，得到正方形AnBn∁nCn﹣1的对角线长为，得到前n个正方形对角线长的和是：，进一步计算就可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决． 【详解】解：如图， 对于直线l：y＝x＋1， 当x＝0时，y＝1， 当y＝0时，0＝x＋1，解得x＝﹣1， ∴点A1的坐标是（0，1），OA1＝1，点A的坐标是（﹣1，0）,OA＝1， ∴正方形OA1B1C1边长为1，正方形OA1B1C1的对角线长为， ∴OC1＝A1B1＝ B1C1＝1， 对于直线l：y＝x＋1， 当x＝1时，y＝2， ∴点A2的坐标是（1，2）， ∴A2C1＝2， ∴正方形A2B2C2C1的边长为2， ∴第二个正方形的对角线长为， 同理正方形A3B3C3C2的边长为4， ∴正方形A3B3C3C2的对角线长为， …正方形AnBn∁nCn﹣1的边长为2n﹣1， 正方形AnBn∁nCn﹣1的对角线长为， ∴前n个正方形对角线长的和是：， 设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n， 则2S﹣S＝2n﹣1， ∴S＝2n﹣1， ∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1， ∴前n个正方形对角线长的和是：（2n﹣1）， 故答案为：4，（2n﹣1）， 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考点五、一次函数的交点问题 解｜题｜技｜巧 求两函数交点，即联立解析式解方程组。一次函数与坐标轴交点也很重要：与y轴交于(0,b)；与x轴交于(-b/k, 0)。数形结合分析交点意义。 39．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先求出直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的整点个数，即的值，再根据每个选项确定的值，判断即可． 【详解】解：令，则，令，则， 则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解； 时，（1个）； 时，（2个）； 时，（3个）； 时，（4个）． 总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足的正整数对有： 时，（3个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）； 时，（3个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意． 综上，当时，， 故选：C． 40．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析，； (2)； (3)或． 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，点的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据点的平移得出，然后画出函数图象，再通过待定系数法即可求出解析式； （2）通过直线与线段有交点，列出不等式即可； （3） 分两种情况讨论由经过定点，再结合图象即可求出的取值范围． 解： 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴上有一点，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点， ， 如图1， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）的取值范围是或．理由如下： 由， 经过定点， 分两种情况讨论： 当时，如图2， 直线围成的封闭图形不包括边界有个整点， 当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 当时，如图3， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 41．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)，1， (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及三角形面积问题，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式，然后确定与坐标轴的交点即可； （2）根据题意得出三角形的高相等，确定，即可求解； （3）根据题意得出要点共有6个，分别为：，然后结合图像确定当反比例函数恰好经过点时，符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和， 得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为； （2）∵点为正半轴上的一点，，高相等， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：， 当反比例函数恰好经过点时，， 当时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴． 42．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴、y轴分别交于点，B． (1)求直线l的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由； (3)点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C． ①直接写出点C的坐标； ②当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)有可能，当P的坐标是时，点P落在直线l上，见解析； (3)①点C的坐标是；②． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，解决本题的关键是待定系数法求一次函数的解析式，然后再利用一次函数的图象与性质求解． （1）把点A的坐标代入，得到关于k的一次方程，解方程求出k的值即可； （2）把代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再根据a的值求出点P的坐标即可判断； （3）①先根据一次函数的解析式求出点B的坐标，再根据平面直角坐标系中点平移时，左减右加，上加下减求出点C的坐标； ②根据点P的坐标可知：点P在直线上，用待定系数法求出直线的解析式为，因为点P在的内部（不包括边界），所以可得不等式组，解不等式组求出a的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）有可能，理由如下： 由条件可得：， 解得：， ∴， ∴当P的坐标是时，点P落在直线l上； （3）①当时，可得：， ∴点B的坐标为， ∴把点向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度可得：点C的坐标是； ②∵是平面直角坐标系中的一个动点， ∴点P在直线上， 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 可得：直线的解析式为， ∵点的坐标满足：， 当时解得：； 当时解得：， ∴在的内部（不包括边界）的点的坐标满足：， ∵点P在的内部（不包括边界）， ∴． 43．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； (3)若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． （3）把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 44．（2025·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）待定系数法求函数解析式，然后代入点的坐标求值； （2）根据一次函数图像性质列不等式求解； （3）首先分析求得直线必经过定点，然后再通过分析临界点，即当直线经过B点时，当直线经过A点时，直线与线段有交点，从而确定n的取值范围． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，将，代入可得 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 将代入可得：，解得； （2）解：若直线l不经过第一象限，则时，解得； （3）解：由直线整理可得， 当时， ∴直线必经过定点， 当直线经过B点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得； 当直线经过A点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴n的取值范围为． 45．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 【答案】(1)①；②点M可以落在线段上，见解析 (2)，0 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）①根据中点坐标公式求出点的坐标，再利用待定系数法求出光线所在直线的解析式即可； ②将坐标代入光线所在直线的解析式得到关于的一元一次方程，若方程有解，则说明点可以落在线段上，求出点的坐标，否则，则说明点不能落在线段上； （2）利用待定系数法分别求出光线、所在直线的解析式并将点的坐标分别代入，求出对应的值，从而得到的取值范围，写出符合条件的的整数值即可． 【详解】（1）①， ∴， 设光线所在直线的解析式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得 ∴光线所在直线的解析式为； ②点可以落在线段上．理由如下： 将坐标代入，得， 解得， ， ∴点可以落在线段上，此时点的坐标为； （2）当光线经过点时， 设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 当光线经过点时，设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入，得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 将代入，得, 解得， 将代入，得， 解得， ∴符合条件的的整数值为或 0 ． 46．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知，函数其中，为常数．记该函数的图像为． (1)当时，若图像经过点，求的值； (2)若点和点在图像上，当，且时，求的值； (3)若，两点的坐标分别为，，当图像与线段有且只有一个交点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，，把，代入，进行求解即可； （2）代入，把代入中，求出的值，根据，求出的值即可； （3）分两种情况，图像的最低点恰好在线段上，以及点在图像上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，图像经过点，， ∴把，代入，得： ； （2）∵点和点在图像上，， 把代入，得：， ∴； 把代入，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴当时，， 对于，当时，； 对于，当时，； ∴图象的最低点为， 当图像与线段有且只有一个交点时： ①当点恰好在线段上时，则：， ∴； ②当点在上时：则：，解得：， 此时图像与线段有且只有一个交点； 当点在上时：则：，解得：， 此时图像与线段恰好有两个交点； ∴当时，图像与线段有且只有一个交点； 综上：或． 47．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)A； (2)3或5； (3)或． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）由题意可知，求出m的值即可； （3）画出图象，当直线经过时，，当直线经过时，，则时，交点中至少有一个是直线的关联点；当直线经过时，，当直线经过时，，当时，可得交点中至少有一个是直线l1的关联点． 【详解】（1）解：如图，      当时，，则， ∴， ∴A点是直线的关联点； 当时，则，解得：， ∴， ∴B点不是直线的关联点； 故答案为：A； （2）解：设过点D的垂直于y轴的直线交于点Q，      当时，，解得：， ∴， ∵点是直线的最佳关联点， ∴， ∴或， 故答案为：3或5； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，E点在x轴正半轴， ∴， 如图，当直线在和之间，在和之间时，符合条件；      当时，对于，，此时A是直线的最佳关联点，当直线经过时，； 当时，对于，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴时，交点中至少有一个是直线的关联点； 当时，对于，，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， 当时，对于，，，此时E是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴当时，交点中至少有一个是直线的关联点； 综上所述：或时，交点中至少有一个是直线的关联点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合讨论是解题的关键． 48．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且的面积为56．点D为线段的中点，点E为y轴上一动点，连接，将线段绕着点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)在点E运动的过程中，若的面积为5，求此时点E的坐标； (3)设点E的坐标为； ①用m表示点F的坐标； ②点E运动的过程中，若点F始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)    【分析】（1）设原点为，先求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再求出线段的中点的坐标，由“的面积为”求出线段的长，进而求出的长，于是可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）设，由旋转的性质可得，，由“的面积为”可求出的长，然后根据两点之间的距离公式建立关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，进而可得点E的坐标； （3）①过点作轴于点，过点作轴于点，通过构造直角三角形，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可求出点F的坐标；②分别讨论点在边界处（两个极限位置）时的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：如图，设原点为， 对于直线， 令，则, ， ， 令，则， 解得：， ， ， 点D为线段的中点， ， 的面积为， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：点E为y轴上一动点， 设， 线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ，， 的面积为， ， ， 由（1）得：， ， 解得：或， 点E的坐标为或； （3）解：①如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， 由（1）得：， ，， ， 点F的坐标为； ②如图， 当点在直线上时， 此时， 解得：； 当点在轴上时， 此时， 解得：； 当时，点始终在的内部（包括边界）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，直接开平方法解一元二次方程，直角三角形的两个锐角互余，解二元一次方程组，解一元一次方程，求一次函数的函数值，中点坐标等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 考点六、一次函数的综合问题 解｜题｜技｜巧 常与方程、不等式、几何图形结合。思路是：数形结合，将几何条件转化为坐标或线段长；分类讨论不确定情况；求面积时常分割或利用坐标差。 49．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式； （2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果． 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键． 50．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析②5 【分析】（1）设直线AB的解析式为，把点，代入，即可求解； （2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入，即可求解； ②由①得：，可得，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解． 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴AB所在直线的解析式为； （2）解： ，理由如下： 若有光点P弹出，则c＝2， ∴点C（2，0）， 把点C（2，0）代入得： ； ∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为； ②由①得：， ∴， ∵点，，AB所在直线的解析式为， ∴线段AB上的其它整点为， ∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点， ∴直线CD过整数点， ∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即， 当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4， 当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10， 当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在， 当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8， 当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2， 当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去）， 综上所述，此时整数m的个数为5个． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键． 51．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） 【答案】(1)1； (2) (3) 【分析】（）把代入一次函数解析式可求出的值，把代入一次函数解析式可求出点的坐标； （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，进而可得的长，由题可知点的坐标为，把代入一次函数解析式分别求出和，再根据列出函数解析式即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数的几何应用，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得，即， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为，把点，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：把代入，得， 解得， ∴， ， 由题可知点的坐标为， 将分别代入直线，的解析式，得，， ， ． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)k的值为0或或 (4)或 【分析】（1）根据题意并结合图形即可得出答案； （2）求出当时，，即可得解； （3）分情况一次函数分别平行，和过点C，求解即可； （4）分两种情况：当直线与 交于点M，与x轴交于点N时，当直线交边于点Q时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点C． ∴点C的坐标为； （2）解：∵P的坐标为， ∴对， 当时， ， ∴一次函数的图象一定过点P； （3）解：∵直线、直线、直线不能组成三角形， ∴当直线平行时，； 当直线平行时， 设直线的函数解析式为． ∵轴，, ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴，符合题意； 当直线过点时， ，解得，符合题意． 综上，k的值为0或或； （4）解：∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴面积为， ∵直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为， ∴，； 如图1，设直线与 交于点M，与x轴交于点N， ∵直线解析式为， ∴代入得， ∴， ∴， ∵x轴解析式为， ∴代入得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 检验是方程的解，符合题意； 当直线交边于点Q时， ∵边的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 检验，都是方程的解， 时，， 时，，不合题意，舍去， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数的性质，矩形的判定和性质，面积，三角形和公式，平行线性质，函数与方程和关系，分类讨论，是解此题的关键． 53．（2025·河北石家庄·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点即在上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴或． 54．（2025·河北唐山·三模）如图，矩形位于平面直角坐标系第一象限，点O与原点重合，边和边分别与x轴、y轴重合，，B为中点，直线的函数关系式是，点P由A点出发，沿折线运动，运动路程为m，连接所在直线l的关系式为． (1)求b的值及点C坐标； (2)在点P运动过程中，若中的随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若直线l将线段分成两部分，请直接写出此时m的值． 【答案】(1)，点 (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形和边的长，可求出b的值和C点的纵坐标 ，再把C点纵坐标代入中即可求出C点坐标． （2）设中点为Q，当点P从Q运动到D点时，，即可求出答案． （3）分两种情况：当时或时，用三角形相似即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴点； （2）解：设的中点为Q，如图所示， 当点P在折线上时（不包括点Q），，y随x的增大而增大，， 当点P在上时（不包括点Q），，y随x的增大而减小，， 故答案为：； （3）解：如图所示， 设与的交点为E，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或20． 【点睛】本题考查了矩形和一次函数的综合问题，涉及到了动点、相似三角形、一次函数的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 55．（2025·河北张家口·二模）已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）． ②射线是否经过？请说明理由． (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围． (3)若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 【答案】(1)①，②不经过，理由见解析 (2)或 (3)满足条件的整数的个数为2 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据待定系数法求出解析式即可；②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点有共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； （3）根据题意得出，将代入直线，得，解得．结合为正整数，且为整数，且点为整数点，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵直线：经过点，， ∴ ∴ ∴射线的表达式为． ②不经过．理由如下， 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， ∴点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 ∴射线的表达式为． 当时，， ∴射线不经过点． （2）解：当时，点，点， ∴线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． ∵上的整数点被点分为个数之比为2：7的两部分， ∴点在和之间或在和之间， ∴将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． ∴的取值范围为或． （3）解：∵点为线段的中点， ∴． 将代入直线：， 得，解得． ∵为正整数，且为整数，且点为整数点， ∴可列表如下： 1 2 5 10 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 3 4 7 12 1 2 5 10 ∴综上所述，满足条件的整数的个数为2，分别是11和3． 56．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 57．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是，． 【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． （1）根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果； （2）设点，则，，根据列出，进一步得出结果； （3）设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果； 【详解】（1）解：直线过点， ， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：设点，则，， 由得，， 舍去或， ； （3）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下， 设点，则，， 四边形是长方形， ，， 由得，， ， 由得，， 点M在直线上运动． 58．（2025·河北唐山·一模）如图，直线经过两点，已知，点是线段上一动点（可与点重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标______； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围______． (4)当时，设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称．直接写出的值． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2) (3)或且 (4)的值为或或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质，中点坐标的计算方法是关键． （1）设直线的解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）将直线变形得，当时，，函数与值无关，由此即可求解； （3）当直线经过时，；当直线经过时，；当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意，要舍去，由此即可求解； （4）当时，，如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点，分类讨论：当点关于点对称，当点关于点对称，当点关于点对称，运用中点坐标公式计算即可求解． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线（为常数）， ∴， ∴当时，， ∴直线过的定点的坐标为； （3）解：，点是线段上一动点（可与点重合），直线（为常数）经过点， ∴当直线经过时，， 解得，； 当直线经过时，， 解得，； ∵直线， ∴当时，直线，则直线平行，没有交点，不符合题意； ∵越大，函数图象越靠近轴， ∴或且； （4）解：当时，， 如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，与轴交于点， 直线中，，则点的横坐标为，直线中，，则点的横坐标为， ∵其中两点关于第三点对称， ∴当点关于点对称，则， 解得，； 当点关于点对称， ∴， 解得，； 当点关于点对称， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或或． 试卷第2页，共112页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $