重难点专题 一元二次方程解应用题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以五大应用专题为框架，系统整合解题方法与实际问题，通过“方法提炼-典例应用-变式训练”构建完整知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率/下降率问题|11题|“审设列解验答”六步流程+公式a(1±x)²=b|从实际增长情境抽象为方程模型，强调根的实际意义检验| |利润销售问题|12题|总利润=单件利润×销量，结合价格变动影响销量|通过经济问题建立等量关系，培养应用意识| |几何图形面积问题|11题|平移/旋转转化图形，利用面积公式列方程|空间观念与代数方法结合，体现数形结合思想| |传播/握手问题|7题|单循环(x(x-1)/2)与双循环(x(x-1))公式|从人际互动情境抽象数量关系，发展数学眼光| |动点几何问题|7题|根据动点运动规律建立等量关系，注意取值范围|动态问题中静态化处理，培养数学思维的严谨性|

重难点专题 一元二次方程解应用题 重难点一 增长率/下降率问题 通用解题步骤：审题意→设未知数→列方程→解方程→检验根是否符合实际意义→作答. 增长率/下降率公式：（a：初始量；x：增长率(+) /下降率(-)；b：两次变化之后的量）.特别注意：解出来两个根，一定要舍去不符合现实的负数、超出范围的解. 1.电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 2.某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3.在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（） A． B． C． D． 4.某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本.设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5.深圳“华为”1月份产值200亿元，现计划扩大生产，使2、3两月份的产值都比前一个月增长相同的百分数，这样第一季度的总产值就达到了1400亿元．设这个百分数为，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 6.某种小家电在两年内提价两次后每个的价格比两年前增加了，则平均每次提价的百分为 ． 7.随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润11.25万元，则三、四两个月份销售利润的月均增长率为 ． 8.某楼盘月份的均价为元．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价，月份的均价为元． (1)求该楼盘月到月期间均价的月平均下降率； (2)林叔叔决定等到均价低于元时买房子，按这样的月平均下降率，林叔叔能在月份买房子吗？ 9.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同、求3月份的利润是多少万元？ 10.某厂工业废气年排放量为万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到万立方米，如果每期治理中废气減少的百分率相同． (1)求每期减少的百分率是多少? (2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入2万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入万元，问两期治理完成后需投入多少万元? 11.某商店二月份的销售额为万元，三月份的销售额下降了，商店从四月份起改进经营管理，销售额稳步增长，五月份销售额达到万元，求： (1)该商店三月份的营业额； (2)该商店四、五两个月销售额的平均增长率． 重难点二 利润销售问题 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=售价−进价；涨价销量减少，降价销量增多.利用以上等量关系建立方程.特别注意：计算的结果是否符合实际意义. 1.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 2.十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 50元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元． 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人． (1)当时，该公司应支付购票费用多少元？ (2)若该公司观看此场演出超过30人，共支付1200元的购票费用，该公司观看此场演出的员工多少人？ 3.某水果商场销售一种高档水果． (1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ 4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元． (1)连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 5.某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游．原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天．实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不变．甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？ 6.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． (1)当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； (2)若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 7.亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宜传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 8.成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”恤，经统计平均每天可售出件，每件盈利元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若每件商品降价元，平均每天的销售量为______件． (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ (3)店主想要获得每天元的利润，小明认为不可能，请说明理由． 9.某足球联赛吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款足球联赛吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率． (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 10.某商店销售一款工艺品．每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． (1)若销售单价为每件45元，则每件利润为 元；此时每天的销售量为 件，每天的销售利润为 元． (2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 11.近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 12.某杨梅采摘园收费信息如下表∶ 成人票 儿童票 带出杨梅价格 不超过人 超过人 元/人 元/斤 元/人 每增加人，人均票价下降元，但不低于儿童票价 (1)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？ (2)某公司员工(均为成人)在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？ 重难点三 几何图形面积问题 常见的有矩形、道路边框、花圃、圆等图形；有时需要通过平移法、旋转等变换建立面积间的等量关系. 1.如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程（    ）    A． B． C． D． 3.已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（    ） A． B． C． D． 4.用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地的长为，则列方程为 ． 5.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽． 6.如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是 ．    7.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为平方米，求车道的宽度（单位：米）．    8.如图，要使用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃． (1)若要围成面积为的花圃，则的长为多少米？ (2)能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 9.郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万．    (1)求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； (2)为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 10.某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 11.操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 重难点四 传播、握手（互送）问题 1. 病毒传播（一轮传给多人）一轮：1人感染，每人传染x人；两轮后总感染：. 2. 握手问题（两两只发生1次，属于单循环问题）：；n个人，每两人握一次手，总握手次数. 3. 互送礼物（双向，互相送，属于双循环问题）：；互送贺卡，甲送给乙，乙也要送给甲，不乘. 特别注意：握手除以2；互送礼物不除以2. 1.在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 2. 903班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2070张，如果设903班有x个学生，则可列方（    ） A． B． C． D． 3.我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 4.下列结论中，正确的是（    ）． ①∵；②两边同除以，得；③一台电脑被电脑病毒感染，经过两轮被传播后共有144台电脑被感染，则每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④ 5.某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手．设共有x位同学聚会，可列方程为 ． 6.请根据图片内容，回答下列问题：   （假设每轮传染人数相同） 每轮传染中，平均一个人传染了 个人． 7.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 重难点五 动点几何问题 根据动点的活动规律找出等量关系，建立方程.特别注意：动点的变化范围. 1.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 2.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 3.观察思考 结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个． 4.意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 5.如图，在直角三角形中，，点P，Q同时从B，A出发，分别向终点A，C移动，P，Q的速度分别是，问经过几秒后，三角形的面积是？ 6.实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 7.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴______；______； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程解应用题 重难点一 增长率/下降率问题 通用解题步骤：审题意→设未知数→列方程→解方程→检验根是否符合实际意义→作答. 增长率/下降率公式：（a：初始量；x：增长率(+) /下降率(-)；b：两次变化之后的量）.特别注意：解出来两个根，一定要舍去不符合现实的负数、超出范围的解. 1.电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 2.某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题，一般用增长后的量增长前的量(增长率)，设教育经费的年平均增长率为，分别表示出从到年每年投入的教育经费即可得出方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元， 依题意可得方程，， 故选：． 3.在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用经过两个学期的两次调整后每天作业平均时长=原来每天作业平均时长这两次该校每天作业平均时长的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 4.某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本.设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2017年图书借阅总量2015年图书借阅总量列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：B． 5.深圳“华为”1月份产值200亿元，现计划扩大生产，使2、3两月份的产值都比前一个月增长相同的百分数，这样第一季度的总产值就达到了1400亿元．设这个百分数为，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系：第一季度的总产值1月份的产值2月份的产值3月份的产值，是解此题的关键． 【详解】解：设这个百分数为， 由题意得：， 故选：D． 6.某种小家电在两年内提价两次后每个的价格比两年前增加了，则平均每次提价的百分为 ． 【分析】本题是个增长率问题，关键是设出原价，它能消去，根据等量关系列方程求解． 设原价是，若两次提价的百分率是，则有方程，可求解； 【详解】设原价是，若两次提价的百分率是， 则， ， ； 故答案为：． 7.随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润11.25万元，则三、四两个月份销售利润的月均增长率为 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是关键．设三、四两个月份销售利润的月均增长率为，则三月获得的利润为，四月获得的利润为，列出方程即可． 【详解】解：设三、四两个月份销售利润的月均增长率为， 依题意得 整理得 解得，（舍去）， 故三、四两个月份销售利润的月均增长率为． 8.某楼盘月份的均价为元．受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，开发商连续两次下调房价，月份的均价为元． (1)求该楼盘月到月期间均价的月平均下降率； (2)林叔叔决定等到均价低于元时买房子，按这样的月平均下降率，林叔叔能在月份买房子吗？ 【分析】（）设该楼盘月到9月期间均价的月平均下降率为，利用该楼盘月份的均价＝该楼盘月份的均价（该楼盘月到月期间均价的月平均下降率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （）利用该楼盘月份的均价该楼盘月份的均价（该楼盘月到月期间均价的月平均下降率），可求出该楼盘月份的均价，再将其与元比较后，即可得出结论； 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出一元二次方程． 【详解】（1）设该楼盘月到月期间均价的月平均下降率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该楼盘月到月期间均价的月平均下降率为； （2）（元）， ∵， ∴按这样的月平均下降率，林叔叔不能在月份买房子． 9.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同、求3月份的利润是多少万元？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设增长率为x，则2月份获得利润万元，3月份获得利润万元，再根据，3月份的利润比2月份的利润增加万元列出方程求解即可． 【详解】解：设增长率为x，则2月份获得利润万元，3月份获得利润万元， 依题意，得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， （万元）， 答：3月份的利润是万元． 10.某厂工业废气年排放量为万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到万立方米，如果每期治理中废气減少的百分率相同． (1)求每期减少的百分率是多少? (2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入2万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入万元，问两期治理完成后需投入多少万元? 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设每期减少的百分率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，第一期的治理费用为：，第二期的治理费用为：，然后求和即可． 【详解】（1）解：设每期减少的百分率是， 依题意得，， 解得，（舍去）， ∴每期减少的百分率为． （2）解：由题意知，第一期的治理费用为：（万元）， 第二期的治理费用为：（万元）， ∴（万元）， 答：两期治理完成后需要投入448万元． 11.某商店二月份的销售额为万元，三月份的销售额下降了，商店从四月份起改进经营管理，销售额稳步增长，五月份销售额达到万元，求： (1)该商店三月份的营业额； (2)该商店四、五两个月销售额的平均增长率． 【分析】（1）本小题主要考查销售额与销售额下降率的关系，直接用二月份的万乘以就可直接求解三月份的营业额． （2）本小题考查一元二次方程的增长率问题，直接算出四月份和五月份的销售金额，再求和就可以得到关于的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （万元）； 答：该商店三月份的营业额为万元． （2）解：设该商店四、五两个月销售额的平均增长率为， 根据题意得：； 即； 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该商店四、五两个月销售额的平均增长率为． 重难点二 利润销售问题 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=售价−进价；涨价销量减少，降价销量增多.利用以上等量关系建立方程.特别注意：计算的结果是否符合实际意义. 1.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，设每次下降的百分率为x，根据题意表示两次降价后的价格为元，再建立方程，解方程即可求解； （2）本题考查了一元二次方程的应用，营销问题，设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，再利用总利润等于每件利润乘以销售量可得方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%． （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ． 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：每千克应涨价5元． 2.十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 50元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元． 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人． (1)当时，该公司应支付购票费用多少元？ (2)若该公司观看此场演出超过30人，共支付1200元的购票费用，该公司观看此场演出的员工多少人？ 【分析】（1）由“超过30人，每增加1人，每张票的单价减少2元”，可得出每张票价，然后再求出支付购票费用即可；理解题意、列式求得每张票的单价是解题的关键； （2）根据“总价=单价×人数”列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据超过30人，单价不低于28元即可解答．根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 元， 该公司应支付1452元的购票费用． （2）解：由题意得：， 整理得：，解得或， 当时，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：该公司观看此场演出的员工40人． 3.某水果商场销售一种高档水果． (1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，营销问题,通过设出未知数，找到等量关系建立方程求解是解题的关键. （1）设每次下降的百分率为x，根据题意表示两次降价后的价格为元，再建立方程，解方程即可求解； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，再利用总利润等于每件利润乘以销售量可得方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ． 又∵尽可能减轻顾客负担， ∴． 答：每千克应涨价5元． 4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元． (1)连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用， （1）设求每次下降的百分率x，则，进行计算即可得； （2）设每千克应涨价x元，根据题意得，进行计算即可得； 找出题中的等量关系列出方程是解题的根关键． 【详解】（1）解：设求每次下降的百分率x， ， ， ， ， ，（舍）， 即每次下降的百分率； （2）解：设每千克应涨价x元， ， ， ， ， ， ，（舍）， 答：每千克应涨价5元． 5.某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游．原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天．实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不变．甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设甲旅行团实际增加了x人，则甲实际每人每天的花费为元，分别计算出甲乙两个旅行团的实际费用，再根据甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲旅行团实际增加了x人， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：甲旅行团实际增加的人数是6人． 6.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． (1)当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； (2)若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 【分析】本题考查的是列式计算，一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由原销售量20件加上增加的销售量即可得到答案； （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，由销售量乘以每件的利润，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当每件小商品的售价为50元时，日销售量为（件）； （2）解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元， 日销售量为：（件）， 依题意得：， 解得：， ， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴ ， 答：每件售价应定为54元． 7.亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宜传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【分析】(1)设月平均增长率是，利用月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 8.成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会迹象物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”恤，经统计平均每天可售出件，每件盈利元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若每件商品降价元，平均每天的销售量为______件． (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ (3)店主想要获得每天元的利润，小明认为不可能，请说明理由． 【分析】()由题意列式计算即可； ()设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为元，列出一元二次方程，解方程即可； ()设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：若每件商品降价元，则平均每天可多售出（件）， ∴平均每天销售量为（件）， 故答案为：； （2）解：设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元， 由题意得：， 整理得，， 解得，， 答：当每件商品降价元或元时，该商品每天销售利润为元； （3）解：店主不能获得每天元的利润， 理由如下：设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元， 由题意得：， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴店主不能获得每天元的利润． 9.某足球联赛吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款足球联赛吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率． (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元. 10.某商店销售一款工艺品．每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． (1)若销售单价为每件45元，则每件利润为 元；此时每天的销售量为 件，每天的销售利润为 元． (2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出每件利润及每天的销售量，再根据每天的销售利润每件利润每天的销售量，进行计算即可得到答案； （2）设每件工艺品售价应为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润每件利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： 若销售单价为每件45元，则每件利润为（元）， 此时每天的销售量为（件）， 每天的销售利润为（元）， 故答案为：15，70，1050； （2）解：设每件工艺品售价应为元，则每天的销售量是件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 销售单价不得超过55元， ， 每件工艺品售价应为元． 11.近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元二次方程的根的判别式的应用． （1）根据题意直接列出代数式即可； （2）根据题意直接列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意直接列出方程，根据方程的根的情况即可判断． 【详解】（1）根据题意有：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， 故答案为：，； （2）根据题意，得． 解得，． 经检验，或均符合本题要求． 答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 （3）不能 理由：根据题意，得． 化简，得． ∵， ∴方程没有实数根， ∴商家平均每天盈利不能达到1350元． 12.某杨梅采摘园收费信息如下表∶ 成人票 儿童票 带出杨梅价格 不超过人 超过人 元/人 元/斤 元/人 每增加人，人均票价下降元，但不低于儿童票价 (1)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？ (2)某公司员工(均为成人)在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？ 【分析】本题主要查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用： （1）根据题意可得成人票都是元/人，设本次活动他们最多共带出斤杨梅，根据题意列出不等式，即可求解； （2）设这次参加团建的共y人，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：（人），（人）， 当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人； ， 该社团购买的成人票为元/人； 设本次活动他们共带出斤杨梅，根据题意得： ， ， 答：本次活动他们最多共带出杨梅30斤． （2）解：设参加团建的共有人， ， ， ． 由题意得，， 解得，（舍） 答：参加这次团建的共有人． 重难点三 几何图形面积问题 常见的有矩形、道路边框、花圃、圆等图形；有时需要通过平移法、旋转等变换建立面积间的等量关系. 1.如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 2.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程（    ）    A． B． C． D． 【分析】考查了一元二次方程的应用，关键是将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程． 【详解】解：设道路的宽应为米．依题意得： ， 故选：A． 3.已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．设，则可求出，，再根据正方形与四边形的面积相等，结合正方形和矩形的面积公式，可列出关于x的方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∴，．　 ∵正方形与四边形的面积相等， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 故选B． 4.用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地的长为，则列方程为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“场地的面积为”列方程即可． 【详解】解：设该长方形场地的长为, 则： 整理得： 故答案为：． 5.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 6.如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是 ．    【分析】本题考查一元二次方程的应用，观察图形可知小矩形的长为，根据去除阴影部分后的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的值是． 故答案为：． 7.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为平方米，求车道的宽度（单位：米）．    【分析】由停车场外围的长为米，宽为米．及车道及入口都是长为米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为x米，依题意得， 解得：（舍去） 答：车道的宽度为米． 8.如图，要使用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃． (1)若要围成面积为的花圃，则的长为多少米？ (2)能否围成面积为的花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】（）的长为，则，列出方程即可求解； （）的长为，则，列出方程然后判断有无实数根即可求解； 此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，， 答：的长为米； （2）假设花圃的面积等于平方米，则， 整理得：， ， ∴此方程无实数根， 所以花圃的面积不能等于平方米． 9.郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万．    (1)求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； (2)为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列方程求解， （1）设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y，利用2021年郑州黄河水利风景区游玩人数＝2019年郑州黄河水利风景区游玩人数×（1﹣2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率）的平方，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据各边之间的关系，可得出米，结合跑马区的面积为600平方米，可列出关于x的一元二次方程解的x，再结合墙长为36米，即可确定结论． 【详解】（1）解：设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为； （2）∵篱笆总长为84米，且米，四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当x为20米时，跑马区的面积为600平方米． 10.某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【分析】（1）设的长为，则，由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意可得方程，求出y的值，然后再根据P处这棵树是否被围在菜地内进行分析即可． 【详解】（1）解：设的长为，则， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 答：的长为或． (2)该菜地的面积不能为，理由如下： 设的长为，则， 由题意，得， 整理，得，解得， 当时，， 即当时，， ∴这棵古树没有被围在菜地里， ∴要将这棵古树围在矩形菜地内，该菜地的面积不能为． 11.操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）(2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 重难点四 传播、握手（互送）问题 1. 病毒传播（一轮传给多人）一轮：1人感染，每人传染x人；两轮后总感染：. 2. 握手问题（两两只发生1次，属于单循环问题）：；n个人，每两人握一次手，总握手次数. 3. 互送礼物（双向，互相送，属于双循环问题）：；互送贺卡，甲送给乙，乙也要送给甲，不乘. 特别注意：握手除以2；互送礼物不除以2. 1.在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 2. 903班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2070张，如果设903班有x个学生，则可列方（    ） A． B． C． D． 【分析】根据每人向本班其他同学各赠送一张，送出的相片总共2070张可列出方程． 【详解】解：设903班有x个学生，则每名同学要送出一寸相片张， 根据题意得． 故选：B． 3.我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据“主干、支干和小分支的总数是91”列出方程即可．理解题意、明确主干、支干和小分支的关系是解答本题的关键． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：C． 4.下列结论中，正确的是（    ）． ①∵；②两边同除以，得；③一台电脑被电脑病毒感染，经过两轮被传播后共有144台电脑被感染，则每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等知识点，①根据因式分解法解方程即可求解；②根据因式分解法解方程即可求解；③设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值；④根据等量关系：共赠贺卡30张即可列出方程求解，熟练掌握该知识点是解本题的关键． 【详解】①∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 故原题的说法正确，符合题意； ② ， ， 解得或1， 故原题的说法有误，不符合题意； ③设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得： ， 整理得， 则或， 解得（舍去）， ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑，故原题的说法正确，符合题意； ④元旦期间有x名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程： ， 故原题说法正确，符合题意． 故选：B． 5.某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手．设共有x位同学聚会，可列方程为 ． 【分析】由于参与的同学每两人之间都握了一次手，所以这x个人共握手次，进而可得答案． 【详解】解：设共有x位同学聚会， 由题意得：， 故答案为：． 6.请根据图片内容，回答下列问题：   （假设每轮传染人数相同） 每轮传染中，平均一个人传染了 个人． 【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了人， 依题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）， 每轮传染中，平均一个人传染了10人． 故答案为：10． 7.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 重难点五 动点几何问题 根据动点的活动规律找出等量关系，建立方程.特别注意：动点的变化范围. 1.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 2.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 3.观察思考 结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个． 【分析】本题考查了规律探索，一元二次方程的应用，利用枚举法，确定“★”的规律；再确定“◎”的规律，根据题意，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得 第1个图案中的个数为：1； 第2个图案中的个数为：； 第3个图案中的个数为：；…， 所以第n个图案中的个数为：． 第1个图案中的个数为：； 第2个图案中的个数为：； 第3个图案中的个数为：；…， 所以第n个图案中的个数为：． 由题知，， 解得或， 故答案为：7或10． 4.意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 【分析】将已知数值代入自由落体关系式，解关于t的一元二次方程，根据实际意义舍去负数解，再对算术平方根取近似值，精确到． 【详解】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 5.如图，在直角三角形中，，点P，Q同时从B，A出发，分别向终点A，C移动，P，Q的速度分别是，问经过几秒后，三角形的面积是？ 【分析】在中，利用“角所对的直角边等于斜边的一半”，可求出AB的长度，过点Q作于点M，设运动时间为，则，，根据三角形的面积是，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及含度角的直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴． 过点Q作于点M，如图所示． 设运动时间为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：经过或后，三角形的面积是． 6.实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 7.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴______；______； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ 【分析】（）利用求根公式即可求出方程的两根； （）仿照（）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形； （）仿照（）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可找出、之间的关系； 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，准确的找到等量关系列方程组，会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况． 【详解】（1）， ∴，， 故答案为：，； （2）①设所求矩形的一边长是x，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴不存在矩形； ②设所求矩形的一边长是x，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得， 要使矩形存在，此方程需有解，即， 即， 整理，得， ∴当时，矩形存在． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $